Salah satu fakta yang menarik adalah bahwa aljabar, yang membahas persamaan simbolis beserta solusinya, berkaitan erat dengan geometri. Sebagai contoh, himpunan solusi persamaan linear dengan dua peubah tak diketahui, seperti \(2x + y = 1\text{,}\) dapat direpresentasikan secara grafis oleh sebuah garis lurus. Bagian ini bertujuan memperdalam kaitan tersebut dengan memperkenalkan vektor, yang akan membantu kita menerapkan intuisi geometris ketika memikirkan sistem linear.
Secara sederhana, vektor dapat dipandang sebagai matriks yang hanya memiliki satu kolom. Sebagai contoh, \(\vvec = \left[
\begin{array}{r}
2 \\
1 \\
\end{array}
\right]\) dan \(\wvec = \left[
\begin{array}{r}
-3 \\
1 \\
0 \\
2 \\
\end{array}
\right]\) keduanya merupakan vektor. Entri-entri dalam suatu vektor disebut komponen vektor tersebut. Karena vektor \(\vvec\) memiliki dua komponen, kita menyebutnya vektor dua dimensi; demikian pula, vektor \(\wvec\) merupakan vektor empat dimensi.
Kita menyatakan himpunan semua vektor berdimensi \(m\) dengan \(\real^m\text{.}\) Oleh karena itu, jika \(\uvec\) merupakan vektor tiga dimensi, kita mengatakan bahwa \(\uvec\) berada dalam \(\real^3\text{.}\)
Meskipun vektor empat dimensi sulit divisualisasikan, kita dapat menggambar ilustrasi sederhana yang menggambarkan vektor dua dimensi \(\vvec\text{,}\) seperti ditunjukkan pada Gambar 2.1.1.
Sebuah panah digambar untuk merepresentasikan vektor dua dimensi \(\vvec = \twovec21\text{.}\) Diagram tersebut memuat kisi koordinat \(1\times1\) dan sepasang sumbu berlabel. Panah yang merepresentasikan \(\vvec\) digambar mulai dari titik asal \((0,0)\text{,}\) lalu memanjang dua satuan secara horizontal dan satu satuan secara vertikal sehingga ujungnya berada di titik \((2,1)\text{.}\)
Kita dapat memandang \(\vvec\) sebagai gambaran suatu lintasan pada bidang: kita bergerak dua satuan secara horizontal dan satu satuan secara vertikal. Meskipun lintasan itu dapat dimulai dari titik mana pun pada bidang, biasanya kita akan mulai dari titik asal. Dalam hal ini, kita tiba di titik \((2,1)\text{,}\) seperti ditunjukkan pada gambar.
Kisi koordinat dan sumbu dengan koordinat horizontal dan vertikal yang berkisar dari -6 hingga 6. Tidak terdapat unsur lain karena pembaca diminta menggambar delapan vektor.
Kisi koordinat dan sumbu dengan koordinat horizontal dan vertikal yang berkisar dari -6 hingga 6. Tidak terdapat unsur lain karena pembaca diminta menggambar vektor \(\vvec\) dan \(\wvec\) beserta jumlahnya, \(\vvec+\wvec\text{.}\)
Tinjau vektor-vektor yang berbentuk \(\vvec +
c\wvec\text{,}\) dengan \(c\) sembarang skalar. Gambarkan beberapa vektor tersebut, misalnya ketika \(c = -2, -1, 0, 1, \) dan \(2\text{.}\) Berikan deskripsi geometris untuk himpunan vektor ini.
Kisi koordinat dan sumbu dengan koordinat horizontal dan vertikal yang berkisar dari -6 hingga 6. Tidak terdapat unsur lain karena pembaca diminta menggambar vektor-vektor berbentuk \(\vvec+c\wvec\) ketika skalar \(c\) mengambil lima nilai yang berbeda.
Jika \(c\) dan \(d\) merupakan dua skalar, maka vektor
\begin{equation*}
c \vvec + d \wvec
\end{equation*}
disebut kombinasi linear dari vektor-vektor \(\vvec\) dan \(\wvec\text{.}\) Tentukan vektor yang merupakan kombinasi linear ketika \(c = -2\) dan \(d = 1\text{.}\)
Dapatkah vektor \(\left[\begin{array}{r} -31 \\ 37
\end{array}\right]\) direpresentasikan sebagai kombinasi linear dari \(\vvec\) dan \(\wvec\text{?}\) Dengan kata lain, dapatkah kita menemukan skalar \(c\) dan \(d\) sedemikian sehingga \(c\vvec+d\wvec = \twovec{-31}{37}\text{?}\)
Pertama, kita melihat bahwa perkalian skalar menyebabkan suatu vektor meregang atau memendek. Perkalian dengan skalar negatif mengubah arah vektor. Dalam kedua kasus tersebut, Gambar 2.1.5 memperlihatkan bahwa kelipatan skalar vektor \(\vvec\) terletak pada garis yang sama dengan garis yang ditentukan oleh \(\vvec\text{.}\)
Vektor \(\vvec=\twovec21\) direpresentasikan secara grafis bersama kelipatan skalarnya, yaitu \(2\vvec\text{,}\)\(-\vvec\text{,}\) dan \(-2\vvec\text{.}\) Vektor-vektor tersebut terletak pada garis yang sama, yang juga digambarkan memanjang tanpa batas ke kedua arah.
Untuk merepresentasikan jumlah \(\vvec + \wvec\text{,}\) bayangkan kita berjalan dari titik asal dengan perubahan horizontal dan vertikal yang diberikan oleh \(\vvec\text{.}\) Dari sana, kita melanjutkan lintasan dengan perubahan horizontal dan vertikal yang ditentukan oleh \(\wvec\text{,}\) lalu tiba pada jumlah \(\vvec
+ \wvec\text{.}\) Hal ini diperlihatkan di sebelah kiri Gambar 2.1.6, tempat pangkal \(\wvec\) diletakkan pada ujung \(\vvec\text{.}\)
Vektor \(\vvec\) digambar mulai dari titik asal, lalu vektor kedua \(\wvec\) digambar mulai dari ujung \(\vvec\text{.}\) Selanjutnya, jumlah vektor \(\vvec+\wvec\) digambar dari titik asal hingga ujung \(\wvec\text{.}\)
Separuh jajar genjang tersebut dibentuk dengan sebuah panah yang bermula di titik asal dan merepresentasikan \(\vvec\text{.}\) Dari ujung \(\vvec\text{,}\) ditampilkan panah kedua yang merepresentasikan \(\wvec\text{.}\)
Separuh lainnya dibentuk dengan sebuah panah yang bermula di titik asal dan merepresentasikan \(\wvec\text{.}\) Dari ujung vektor ini, ditampilkan panah lain yang merepresentasikan \(\vvec\text{.}\)
Sepasang sisi berhadapan pada jajar genjang tersebut merepresentasikan \(\vvec\text{,}\) sedangkan pasangan sisi berhadapan lainnya merepresentasikan \(\wvec\text{.}\)
Gambar2.1.6.Penjumlahan vektor sebagai lintasan sederhana pada bidang diperlihatkan di sebelah kiri. Jumlah vektor direpresentasikan sebagai diagonal jajar genjang di sebelah kanan.
Sebagai cara lain, kita dapat membentuk jajar genjang dengan \(\vvec\) dan \(\wvec\) sebagai dua sisinya. Jumlah kedua vektor tersebut kemudian menjadi diagonal jajar genjang, seperti diperlihatkan di sebelah kanan Gambar 2.1.6.
Kita telah melihat bahwa himpunan vektor berbentuk \(c\vvec\) merupakan sebuah garis. Untuk membentuk himpunan vektor \(c\vvec+\wvec\text{,}\) kita dapat mulai dengan vektor \(\wvec\) lalu menambahkan kelipatan-kelipatan \(\vvec\text{.}\) Secara geometris, ini berarti kita mulai dari ujung \(\wvec\) dan bergerak ke arah yang sejajar dengan \(\vvec\text{.}\) Akibatnya, garis \(c\vvec\) ditranslasikan oleh vektor \(\wvec\text{,}\) seperti ditunjukkan pada Gambar 2.1.7.
Dua vektor \(\vvec\) dan \(\wvec\) diperlihatkan, keduanya bermula di titik asal. Garis yang ditentukan oleh \(\vvec\) juga diperlihatkan memanjang tanpa batas ke kedua arah, sedangkan garis tak berhingga kedua yang sejajar dengan \(\vvec\) digambar melalui ujung \(\wvec\text{.}\) Vektor-vektor \(c\vvec+\wvec\) untuk skalar \(c=-2,-1,0,1,2\) diperlihatkan bermula di titik asal, dengan ujung-ujungnya terletak pada garis kedua yang sejajar dengan \(\vvec\text{.}\)
Terkadang, akan berguna jika kita memandang vektor dan titik secara bergantian. Artinya, kita dapat memandang vektor \(\left[\begin{array}{r} 2 \\ 1 \end{array}\right]\) sebagai deskripsi titik \((2,1)\text{,}\) dan sebaliknya. Ketika kita mengatakan bahwa vektor-vektor berbentuk \(c\vvec + \wvec\) membentuk sebuah garis, yang kita maksud sebenarnya adalah bahwa ujung semua vektor tersebut terletak pada garis yang melalui \(\wvec\) dan sejajar dengan \(\vvec\text{.}\)
Sage dapat melakukan perkalian skalar dan penjumlahan vektor. Kita mendefinisikan vektor dengan perintah vector; selanjutnya, * dan + masing-masing menyatakan perkalian skalar dan penjumlahan vektor.
Kombinasi linear, yang telah kita jumpai dalam aktivitas pratinjau, menghubungkan vektor dengan sistem linear. Secara khusus, kombinasi linear akan membantu kita menerapkan intuisi geometris pada masalah-masalah yang melibatkan sistem linear.
Dalam aktivitas ini, kita akan menelaah kombinasi linear dari sepasang vektor, \(\vvec = \left[\begin{array}{r} 2 \\ 1 \end{array}\right]\) dan \(\wvec = \left[\begin{array}{r} 1 \\ 2 \end{array}\right]
\text{.}\)
Pada latar diagram interaktif ini terdapat kisi koordinat dan sepasang sumbu berlabel. Dua vektor \(\vvec\) dan \(\wvec\) juga diperlihatkan, keduanya bermula di titik asal. Selain itu, terdapat sekumpulan garis yang masing-masing sejajar dengan \(\vvec\) dan melalui kelipatan bulat \(\wvec\text{.}\) Dengan cara yang sama, terdapat sekumpulan garis kedua yang masing-masing sejajar dengan \(\wvec\) dan melalui kelipatan bulat \(\vvec\text{.}\) Kedua kumpulan garis sejajar tersebut membentuk kisi koordinat miring.
Di bagian atas diagram terdapat dua penggeser yang dapat digunakan untuk mengubah dua parameter berlabel \(c\) dan \(d\text{.}\) Ketika salah satu parameter diubah, vektor \(c\vvec+d\wvec\) tampak bergerak sejajar dengan salah satu kumpulan garis pada kisi miring tersebut.
Diagram di bawah ini dapat digunakan untuk membentuk kombinasi linear yang bobotnya, \(c\) dan \(d\text{,}\) dapat diubah dengan penggeser di bagian atas. Vektor \(\vvec\) dan \(\wvec\) ditampilkan sebagai garis luar, sedangkan kombinasi linear
Bobot \(d\) mula-mula ditetapkan sama dengan 0. Jelaskan apa yang terjadi ketika Anda mengubah \(c\) sambil mempertahankan \(d=0\text{.}\) Bagaimana kaitannya dengan perkalian skalar?
Apa kombinasi linear dari \(\vvec\) dan \(\wvec\) ketika \(c = 1\) dan \(d=-2\text{?}\) Anda dapat memperoleh hasilnya dengan menggunakan diagram, tetapi Anda juga perlu memverifikasinya dengan menghitung kombinasi linear tersebut.
Deskripsikan vektor-vektor yang muncul ketika bobot \(d\) ditetapkan sama dengan 1 dan \(c\) diubah-ubah. Bagaimana kaitannya dengan penelusuran kita dalam aktivitas pratinjau?
Dapatkah vektor \(\left[\begin{array}{r} 0 \\ 0 \end{array} \right]\) dinyatakan sebagai kombinasi linear dari \(\vvec\) dan \(\wvec\text{?}\) Jika dapat, berapakah bobot \(c\) dan \(d\text{?}\)
Dapatkah vektor \(\left[\begin{array}{r} 3 \\ 0 \end{array} \right]\) dinyatakan sebagai kombinasi linear dari \(\vvec\) dan \(\wvec\text{?}\) Jika dapat, berapakah bobot \(c\) dan \(d\text{?}\)
Verifikasi hasil dari bagian sebelumnya dengan mencari secara aljabar bobot \(c\) dan \(d\) yang membentuk kombinasi linear \(\left[\begin{array}{r} 3 \\ 0 \end{array} \right]\text{.}\)
Dapatkah vektor \(\left[\begin{array}{r} 1.3 \\ -1.7 \end{array} \right]\) dinyatakan sebagai kombinasi linear dari \(\vvec\) dan \(\wvec\text{?}\) Bagaimana dengan vektor \(\left[\begin{array}{r} 15.2 \\ 7.1 \end{array} \right]\text{?}\)
Aktivitas ini menggambarkan bagaimana kombinasi linear dibentuk secara geometris: kombinasi linear \(c\vvec +
d\wvec\) diperoleh dengan menempuh arah \(\vvec\) sebanyak \(c\) kali, lalu menempuh arah \(\wvec\) sebanyak \(d\) kali. Ketika salah satu bobot dipertahankan tetap sedangkan bobot lainnya berubah, vektor tersebut bergerak sepanjang sebuah garis.
Aktivitas sebelumnya juga menunjukkan bahwa pertanyaan tentang kombinasi linear secara alami mengarah pada sistem linear. Misalkan kita memiliki vektor \(\vvec = \twovec3{-1}\) dan \(\wvec=\twovec43\text{.}\) Mari kita tentukan apakah vektor \(\bvec=\twovec{-11}{-18}\) dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari \(\vvec\) dan \(\wvec\text{.}\) Dengan kata lain, kita ingin mengetahui apakah terdapat bobot \(c\) dan \(d\) sedemikian sehingga
Bahkan, kita mengetahui lebih banyak karena matriks eselon baris tereduksi tersebut menunjukkan bahwa hanya bobot-bobot inilah yang mungkin. Oleh karena itu, \(\bvec\) dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari \(\vvec\) dan \(\wvec\) dengan tepat satu cara.
Contoh ini memperlihatkan kaitan antara kombinasi linear dan sistem linear. Menanyakan apakah suatu vektor \(\bvec\) merupakan kombinasi linear dari vektor-vektor \(\vvec_1,\vvec_2,\ldots,\vvec_n\) ekuivalen dengan menanyakan apakah sistem linear yang terkait konsisten.
Sebenarnya, kita dapat dengan mudah mendeskripsikan sistem linear yang terkait menggunakan vektor \(\vvec\text{,}\)\(\wvec\text{,}\) dan \(\bvec\text{.}\) Perhatikan bahwa matriks diperbesar yang kita peroleh dalam contoh tersebut adalah \(\left[
\begin{array}{rr|r}
3 \amp 4 \amp -11 \\
-1 \amp 3 \amp -18
\end{array}
\right].\) Dua kolom pertama matriks ini adalah \(\vvec\) dan \(\wvec\text{,}\) sedangkan kolom paling kanannya adalah \(\bvec\text{.}\) Sebagai notasi ringkas, kita akan menuliskan matriks diperbesar ini dengan mengganti kolom-kolom tersebut oleh representasi vektornya:
Vektor \(\bvec\) merupakan kombinasi linear dari vektor-vektor \(\vvec_1,\vvec_2,\ldots,\vvec_n\) jika dan hanya jika sistem linear yang bersesuaian dengan matriks diperbesar
dapatkah \(\bvec\) dinyatakan sebagai kombinasi linear dari \(\vvec_1\text{,}\)\(\vvec_2\text{,}\) dan \(\vvec_3\text{?}\) Nyatakan kembali pertanyaan ini dengan menuliskan sistem linear untuk bobot \(c_1\text{,}\)\(c_2\text{,}\) dan \(c_3\text{,}\) lalu gunakan sel Sage di bawah ini untuk menjawabnya.
Tentukan vektor \(\vvec_1\text{,}\)\(\vvec_2\text{,}\)\(\vvec_3\text{,}\) dan \(\bvec\) sedemikian sehingga pertanyaan "Apakah sistem linear ini konsisten?" ekuivalen dengan pertanyaan "Dapatkah \(\bvec\) dinyatakan sebagai kombinasi linear dari \(\vvec_1\text{,}\)\(\vvec_2\text{,}\) dan \(\vvec_3\text{?}\)"
Dapatkah \(\bvec\) dinyatakan sebagai kombinasi linear dari \(\vvec_1\text{,}\)\(\vvec_2\text{,}\) dan \(\vvec_3\text{?}\) Jika dapat, dapatkah \(\bvec\) ditulis sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor tersebut dengan lebih dari satu cara?
Dengan meninjau vektor \(\vvec_1\text{,}\)\(\vvec_2\text{,}\) dan \(\vvec_3\) dari bagian sebelumnya, dapatkah kita menulis setiap vektor tiga dimensi \(\bvec\) sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor tersebut? Jelaskan bagaimana posisi pivot matriks \(\left[\begin{array}{rrr} \vvec_1 \amp
\vvec_2 \amp \vvec_3 \end{array} \right]\) membantu menjawab pertanyaan ini.
Dapatkah \(\bvec\) dinyatakan sebagai kombinasi linear dari \(\vvec_1\text{,}\)\(\vvec_2\text{,}\) dan \(\vvec_3\text{?}\) Jika dapat, dapatkah \(\bvec\) ditulis sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor tersebut dengan lebih dari satu cara?
Dengan meninjau vektor \(\vvec_1\text{,}\)\(\vvec_2\text{,}\) dan \(\vvec_3\) dari bagian sebelumnya, dapatkah kita menulis setiap vektor tiga dimensi \(\bvec\) sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor tersebut? Jelaskan bagaimana posisi pivot matriks \(\left[\begin{array}{rrr} \vvec_1 \amp
\vvec_2 \amp \vvec_3 \end{array} \right]\) membantu menjawab pertanyaan ini.
Dua vektor, \(\vvec=\twovec{-1}1\) dan \(\wvec=\twovec2{-2}\text{,}\) direpresentasikan oleh panah yang bermula di titik asal. Panah-panah ini terletak pada garis yang sama, dan garis tersebut juga diperlihatkan memanjang tanpa batas ke kedua arah.
Vektor-vektor ini tampak terletak pada garis yang sama, suatu fakta yang menjadi jelas setelah kita memperhatikan bahwa \(\wvec =
-2\vvec\text{.}\) Secara intuitif, kita memandang kombinasi linear
\begin{equation*}
c\vvec + d\wvec
\end{equation*}
sebagai hasil bergerak \(c\) kali ke arah \(\vvec\) dan \(d\) kali ke arah \(\wvec\text{.}\) Dengan kedua vektor ini, kita selalu bergerak sepanjang garis yang sama sehingga setiap kombinasi linearnya semestinya terletak pada garis itu. Selain itu, suatu vektor yang tidak berada pada garis tersebut, misalnya \(\bvec = \twovec30\text{,}\) semestinya tidak dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari \(\vvec\) dan \(\wvec\text{.}\)
Hal ini menunjukkan bahwa sistem linear yang terkait tidak konsisten, yang berarti vektor \(\bvec=\twovec30\) tidak dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari \(\vvec\) dan \(\wvec\text{.}\)
membuat kita menduga hasil ini. Karena tidak terdapat posisi pivot pada baris kedua matriks koefisien \(\begin{bmatrix}\vvec
\amp \wvec \end{bmatrix}\text{,}\) posisi pivot mungkin muncul pada kolom paling kanan matriks diperbesar
Diberikan suatu himpunan vektor dan suatu himpunan skalar yang kita sebut bobot, kita dapat membentuk kombinasi linear dengan menggunakan perkalian skalar dan penjumlahan vektor.
Kisi koordinat dan sumbu dengan koordinat horizontal dan vertikal yang berkisar dari -6 hingga 6. Tidak terdapat fitur lain karena pembaca diminta membuat sketsa sekumpulan vektor.
Hitunglah vektor-vektor \(-3\vvec\text{,}\)\(2\wvec\text{,}\)\(\vvec + \wvec\text{,}\) dan \(\vvec - \wvec\text{,}\) lalu tambahkan vektor-vektor tersebut ke sketsa di atas.
Kisi koordinat dan sumbu dengan koordinat horizontal dan vertikal yang berkisar dari -6 hingga 6. Tidak terdapat fitur lain karena pembaca diminta membuat sketsa sekumpulan vektor.
Buatlah sketsa garis \(y=3x - 2\) di bawah. Kemudian, tentukan dua vektor \(\vvec\) dan \(\wvec\) sedemikian sehingga garis ini dideskripsikan oleh \(\vvec + c\wvec\text{.}\) Apakah terdapat pilihan lain untuk vektor \(\vvec\) dan \(\wvec\text{?}\)
Kisi koordinat dan sumbu dengan koordinat horizontal dan vertikal yang berkisar dari -6 hingga 6. Tidak terdapat fitur lain karena pembaca diminta membuat sketsa sekumpulan vektor.
Dua vektor \(\vvec\) dan \(\wvec\) ditampilkan sebagai anak panah yang berpangkal di titik asal. Kisi miring yang ditentukan oleh keduanya juga ditampilkan. Kisi ini terdiri atas dua kelompok garis sejajar. Kelompok pertama sejajar dengan \(\vvec\) dan melalui kelipatan bilangan bulat dari \(\wvec\text{.}\) Kelompok lainnya terdiri atas garis-garis yang sejajar dengan \(\wvec\) dan melalui kelipatan bilangan bulat dari \(\vvec\text{.}\)
Terdapat pula tujuh titik berlabel \(p\text{,}\)\(q\text{,}\)\(r\text{,}\)\(s\text{,}\)\(t\text{,}\)\(u\text{,}\) dan \(v\) pada berbagai lokasi di garis-garis kisi tersebut.
Dapatkah Anda menyatakan vektor \({\mathbf 0} =
\left[\begin{array}{r} 0 \\ 0 \end{array}\right]\) sebagai kombinasi linear dari \(\vvec_1\text{,}\)\(\vvec_2\text{,}\) dan \(\vvec_3\text{?}\) Jika dapat, deskripsikan semua cara untuk melakukannya.
Dapatkah Anda menyatakan vektor \({\mathbf 0} =
\left[\begin{array}{r} 0 \\ 0 \end{array}\right]\) sebagai kombinasi linear dengan hanya menggunakan dua vektor pertama, \(\vvec_1\) dan \(\vvec_2\text{?}\) Jika dapat, deskripsikan semua cara untuk melakukannya.
Informasi gizi tentang sereal sarapan dicetak pada kemasannya. Sebagai contoh, satu porsi Frosted Flakes mengandung 111 kalori, 140 miligram natrium, dan 1,2 gram protein. Kita dapat merepresentasikannya sebagai vektor
Misalkan Anda memakan \(c\) porsi Frosted Flakes dan \(d\) porsi Cocoa Puffs. Gunakan bahasa vektor dan kombinasi linear untuk menyatakan jumlah kalori, natrium, dan protein yang telah Anda konsumsi.
Dapatkah Anda menyatakan vektor \(\bvec=\left[\begin{array}{r} 10 \\ 1 \\ -8
\end{array}\right]\) sebagai kombinasi linear dari \(\vvec_1\text{,}\)\(\vvec_2\text{,}\) dan \(\vvec_3\text{?}\) Jika dapat, deskripsikan semua cara untuk melakukannya.
Dapatkah Anda menyatakan vektor \(\bvec=\left[\begin{array}{r} 3 \\ 7 \\ 1
\end{array}\right]\) sebagai kombinasi linear dari \(\vvec_1\text{,}\)\(\vvec_2\text{,}\) dan \(\vvec_3\text{?}\) Jika dapat, deskripsikan semua cara untuk melakukannya.
Untuk nilai \(k\) manakah, jika ada, vektor \(\left[\begin{array}{r} k \\ -2 \\ 5 \end{array}\right]\) dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari \(\vvec_1\) dan \(\vvec_2\text{?}\)
Misalkan \(\vvec_1,\vvec_2,\ldots,\vvec_n\) merupakan kumpulan vektor berdimensi \(m\) dan matriks \(\left[\begin{array}{rrrr}
\vvec_1 \amp \vvec_2 \amp \ldots \amp \vvec_n
\end{array}\right]\) memiliki posisi pivot pada setiap baris. Jika \(\bvec\) adalah sembarang vektor berdimensi \(m\text{,}\) maka \(\bvec\) dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari \(\vvec_1,\vvec_2,\ldots,\vvec_n\text{.}\)
Misalkan \(\vvec_1,\vvec_2,\ldots,\vvec_n\) merupakan kumpulan vektor berdimensi \(m\) dan matriks \(\left[\begin{array}{rrrr}
\vvec_1 \amp \vvec_2 \amp \ldots \amp \vvec_n
\end{array}\right]\) memiliki posisi pivot pada setiap baris dan setiap kolom. Jika \(\bvec\) adalah sembarang vektor berdimensi \(m\text{,}\) maka \(\bvec\) dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari \(\vvec_1,\vvec_2,\ldots,\vvec_n\) dengan tepat satu cara.
Kita dapat menentukan dua vektor berdimensi 3, \(\vvec_1\) dan \(\vvec_2\text{,}\) sedemikian sehingga setiap vektor berdimensi 3 dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari \(\vvec_1\) dan \(\vvec_2\text{.}\)
Salah satu tema yang akan dikembangkan kemudian berkaitan dengan penggunaan sistem koordinat. Kita dapat mengidentifikasi titik \((x,y)\) dengan ujung vektor \(\left[\begin{array}{r}x\\y\end{array}\right]\) yang digambar dengan pangkal di titik asal. Dengan demikian, kita dapat memandang sistem koordinat Kartesius yang biasa digunakan melalui kombinasi linear dari vektor-vektor
Vektor \(\evec_1=\twovec10\) dan \(\evec_2=\twovec01\) ditampilkan bersama kisi koordinat horizontal dan vertikal standar. Vektor ketiga, yaitu kombinasi linear \(2\evec_1 - 3\evec_2\text{,}\) juga ditampilkan.
Dua vektor \(\vvec_1\) dan \(\vvec_2\) ditampilkan sebagai anak panah yang berpangkal di titik asal. Kisi yang dibentuk oleh garis-garis yang sejajar dengan kedua vektor ini juga ditampilkan, bersama kombinasi linear \(2\vvec_1-3\vvec_2\text{.}\)
Gambar2.1.19.Sistem koordinat Kartesius yang biasa digunakan, yang ditentukan oleh vektor \(\evec_1\) dan \(\evec_2\text{,}\) ditampilkan di sebelah kiri beserta representasi titik \((2,-3)\text{.}\) Di sebelah kanan ditampilkan sistem koordinat tak standar yang ditentukan oleh vektor \(\vvec_1\) dan \(\vvec_2\text{.}\)
Apa strategi umum untuk mengonversi suatu titik dari koordinat Kartesius standar \((x,y)\) ke koordinat baru \(\{c,d\}\text{?}\) Penerapan strategi ini secara umum mungkin memerlukan beberapa langkah, jadi cukup deskripsikan strateginya. Kita akan mempelajari hal ini secara lebih terperinci nanti.
