Dalam bab ini, kita telah mempelajari basis untuk \(\real^p\text{,}\) yaitu himpunan vektor yang bebas linear dan merentang \(\real^p\text{.}\) Namun, kita sering hanya memperhatikan suatu himpunan bagian dari \(\real^p\text{.}\) Secara khusus, jika diberikan matriks \(m\times n\)\(A\text{,}\) kita telah menelaah rentang linear kolom-kolom \(A\) maupun ruang solusi persamaan homogen \(A\xvec = \zerovec\text{.}\) Dalam bagian ini, kita akan memperluas konsep basis untuk mendeskripsikan himpunan-himpunan semacam itu.
Jelaskan bagaimana deskripsi parametrik ini menghasilkan dua vektor \(\wvec_1\) dan \(\wvec_2\) yang rentang linearnya merupakan ruang solusi persamaan \(A\xvec = \zerovec\text{.}\)
Nyatakan kolom-kolom \(A\) sebagai \(\vvec_1\text{,}\)\(\vvec_2\text{,}\)\(\vvec_3\text{,}\) dan \(\vvec_4\text{.}\) Jelaskan mengapa \(\vvec_3\) dan \(\vvec_4\) dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari \(\vvec_1\) dan \(\vvec_2\text{.}\)
Tujuan kita adalah mengembangkan kerangka umum untuk mendeskripsikan himpunan bagian seperti rentang linear kolom-kolom suatu matriks dan ruang solusi suatu persamaan homogen. Hal ini membawa kita pada definisi berikut.
Karena kita telah mempelajari konsep rentang linear secara cukup terperinci, definisi ini hanya memberi kita istilah baru untuk mendeskripsikan sesuatu yang sudah dikenal. Mari kita lihat beberapa contoh.
Dalam Kegiatan 2.3.3 dan pembahasan sesudahnya, kita telah menelaah subruang dalam \(\real^3\) tanpa menggunakan istilah tersebut secara eksplisit. Mari kita mengingat kembali beberapa contohnya.
Misalkan kita memiliki satu vektor tak nol \(\vvec\text{.}\) Rentang linear \(\vvec\) merupakan subruang, yang akan kita tulis sebagai \(S =
\laspan{\vvec}\text{.}\) Seperti yang telah kita lihat, rentang linear satu vektor terdiri atas semua kelipatan skalar vektor tersebut, dan vektor-vektor itu membentuk garis yang melalui titik asal.
Diagram tiga dimensi yang memperlihatkan tiga sumbu koordinat, sebuah vektor \(\vvec\text{,}\) dan garis yang dibentuk oleh semua kelipatan skalar \(\vvec\text{.}\)
Jika kita memiliki dua vektor bebas linear \(\vvec_1\) dan \(\vvec_2\text{,}\) subruang \(S=\laspan{\vvec_1,\vvec_2}\) merupakan bidang yang melalui titik asal.
Diagram tiga dimensi dengan dua vektor \(\vvec_1\) dan \(\vvec_2\text{.}\) Himpunan semua kombinasi linear keduanya diperlihatkan sebagai bidang yang melalui titik asal.
Perhatikan ketiga vektor \(\evec_1\text{,}\)\(\evec_2\text{,}\) dan \(\evec_3\text{.}\) Karena kita mengetahui bahwa setiap vektor tiga dimensi dapat ditulis sebagai kombinasi linear, kita memperoleh \(S = \laspan{\evec_1, \evec_2,
\evec_3} = \real^3\text{.}\)
Subruang lain yang perlu disebutkan adalah \(S=\laspan{\zerovec}\text{.}\) Karena setiap kombinasi linear vektor nol juga merupakan vektor nol, subruang ini hanya terdiri atas satu vektor, yaitu \(\zerovec\text{.}\)
Kita akan menelaah beberapa himpunan vektor dan subruang yang dibentuknya.
Jika \(\vvec_1, \vvec_2,\ldots,\vvec_n\) merupakan himpunan vektor dalam \(\real^m\text{,}\) jelaskan mengapa \(\zerovec\) dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear vektor-vektor tersebut. Gunakan fakta ini untuk menjelaskan mengapa vektor nol \(\zerovec\) termasuk dalam setiap subruang dari \(\real^m\text{.}\)
Jelaskan mengapa garis di sebelah kiri Gambar 3.5.3 bukan merupakan subruang dari \(\real^2\text{,}\) sedangkan garis di sebelah kanan merupakan subruang.
Seperti diperlihatkan oleh aktivitas tersebut, beberapa subruang dapat dinyatakan sebagai rentang linear dari lebih dari satu himpunan vektor. Kita terutama tertarik untuk menyatakan suatu subruang sebagai rentang linear himpunan vektor yang bebas linear.
Basis untuk subruang \(S\) dari \(\real^p\) adalah himpunan vektor dalam \(S\) yang bebas linear dan yang rentang linearnya adalah \(S\text{.}\)Dimensi subruang \(S\text{,}\) yang dinotasikan dengan \(\dim
S\text{,}\) adalah banyaknya vektor dalam sembarang basis.
Misalkan kita memiliki vektor-vektor empat dimensi \(\vvec_1\text{,}\)\(\vvec_2\text{,}\) dan \(\vvec_3\) yang mendefinisikan subruang \(S = \laspan{\vvec_1,\vvec_2,\vvec_3}\) dari \(\real^4\text{.}\) Misalkan pula bahwa
Dari bentuk eselon baris tereduksi matriks tersebut, kita melihat bahwa \(\vvec_2 = -\vvec_1\text{.}\) Oleh karena itu, sembarang kombinasi linear dari \(\vvec_1\text{,}\)\(\vvec_2\text{,}\) dan \(\vvec_3\) dapat ditulis ulang
Selain itu, bentuk eselon baris tereduksi matriks tersebut menunjukkan bahwa \(\vvec_1\) dan \(\vvec_3\) bebas linear. Oleh karena itu, \(\{\vvec_1,\vvec_3\}\) merupakan basis untuk \(S\text{,}\) yang berarti bahwa \(S\) adalah subruang berdimensi dua dari \(\real^4\text{.}\)
Ada dua subruang penting yang terkait dengan setiap matriks; masing-masing muncul dari salah satu dari dua pertanyaan mendasar kita, seperti yang akan kita lihat sekarang.
Jika \(A\) adalah matriks \(m\times n\text{,}\) rentang linear kolom-kolomnya disebut ruang kolom dari \(A\) dan dinotasikan dengan \(\col(A)\text{.}\)
Perhatikan bahwa kolom-kolom \(A\) adalah vektor-vektor dalam \(\real^m\text{,}\) yang berarti bahwa setiap kombinasi linear kolom-kolom tersebut juga berada dalam \(\real^m\text{.}\) Karena ruang kolom dinyatakan sebagai rentang linear suatu himpunan vektor, kita melihat bahwa \(\col(A)\) merupakan subruang dari \(\real^m\text{.}\)
Jelaskan mengapa \(\vvec_3\) dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari \(\vvec_1\) dan \(\vvec_2\text{,}\) serta mengapa \(\col(A)=\laspan{\vvec_1,\vvec_2}\text{.}\)
Jelaskan mengapa vektor-vektor \(\vvec_1\) dan \(\vvec_2\) membentuk basis untuk \(\col(A)\text{,}\) serta mengapa \(\col(A)\) merupakan subruang berdimensi 2 dari \(\real^3\) dan dengan demikian merupakan bidang.
Misalkan \(A\) adalah matriks \(8\times 10\) dan \(\col(A) = \real^8\text{.}\) Jika \(\bvec\) adalah vektor berdimensi 8, apa yang dapat Anda simpulkan mengenai persamaan \(A\xvec = \bvec\text{?}\)
Berdasarkan definisi ruang kolom, tentu saja berlaku \(\col(A) =
\laspan{\vvec_1,\vvec_2,\ldots,\vvec_5}\text{.}\) Namun, bentuk eselon baris tereduksi matriks tersebut menunjukkan bahwa vektor-vektor itu tidak bebas linear, sehingga \(\vvec_1,\vvec_2,\ldots,\vvec_5\) tidak membentuk basis untuk \(\col(A)\text{.}\)
Ini berarti bahwa sembarang kombinasi linear dari \(\vvec_1,\vvec_2,\ldots,\vvec_5\) dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari \(\vvec_1\) dan \(\vvec_2\) saja. Oleh karena itu, kita melihat bahwa \(\col(A) = \laspan{\vvec_1,\vvec_2}\text{.}\)
Selain itu, bentuk eselon baris tereduksi menunjukkan bahwa \(\vvec_1\) dan \(\vvec_2\) bebas linear, yang menyiratkan bahwa keduanya membentuk basis untuk \(\col(A)\text{.}\) Ini berarti bahwa \(\col(A)\) merupakan subruang berdimensi 2 dari \(\real^3\text{,}\) yaitu suatu bidang dalam \(\real^3\text{,}\) dengan basis
Secara umum, suatu kolom tanpa posisi pivot dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari kolom-kolom yang memiliki posisi pivot. Ini berarti bahwa basis untuk \(\col(A)\) selalu diberikan oleh kolom-kolom \(A\) yang memiliki posisi pivot. Hal ini membawa kita pada definisi dan proposisi berikut.
Jika \(A\) adalah matriks \(m\times n\text{,}\) maka \(\col(A)\) merupakan subruang dari \(\real^m\) yang dimensinya sama dengan \(\rank(A)\text{.}\) Kolom-kolom \(A\) yang memuat posisi pivot membentuk basis untuk \(\col(A)\text{.}\)
Sebagai contoh, rank matriks \(A\) dalam Contoh 3.5.7 adalah dua karena terdapat dua posisi pivot. Basis untuk \(\col(A)\) diberikan oleh dua kolom pertama \(A\) karena kolom-kolom tersebut memiliki posisi pivot.
Sebagai catatan penting, kita menentukan posisi-posisi pivot dengan melihat bentuk eselon baris tereduksi \(A\text{.}\) Namun, kita membentuk basis untuk \(\col(A)\) dari kolom-kolom \(A\text{,}\) bukan dari kolom-kolom matriks bentuk eselon baris tereduksi tersebut.
Jika \(A\) adalah matriks \(m\times n\text{,}\) himpunan bagian vektor \(\xvec\) dalam \(\real^n\) yang memenuhi \(A\xvec = \zerovec\) disebut ruang nol dari \(A\) dan dinotasikan dengan \(\nul(A)\text{.}\)
Ingat bahwa subruang adalah himpunan bagian yang dapat dinyatakan sebagai rentang linear suatu himpunan vektor. Ruang kolom \(A\text{,}\) yang merupakan rentang linear kolom-kolom \(A\text{,}\) memenuhi definisi ini. Mungkin belum langsung terlihat bagaimana ruang nol \(A\text{,}\) yaitu ruang solusi persamaan \(A\xvec
= \zerovec\text{,}\) memenuhi definisi tersebut. Namun, kita akan melihat bahwa \(\nul(A)\) merupakan subruang dari \(\real^n\text{.}\)
dan berikan deskripsi parametrik ruang solusi persamaan \(A\xvec = \zerovec\text{.}\) Dengan kata lain, berikan deskripsi parametrik \(\nul(A)\text{.}\)
Deskripsi parametrik ini menunjukkan bahwa vektor-vektor yang memenuhi persamaan \(A\xvec=\zerovec\) dapat ditulis sebagai kombinasi linear suatu himpunan vektor. Dengan kata lain, deskripsi ini menunjukkan mengapa \(\nul(A)\) merupakan rentang linear suatu himpunan vektor dan dengan demikian merupakan subruang. Tentukan suatu himpunan vektor yang rentang linearnya adalah \(\nul(A)\text{.}\)
Deskripsi parametrik tersebut memberikan himpunan vektor yang merentang \(\nul(B)\text{.}\) Jelaskan mengapa himpunan vektor ini bebas linear dan dengan demikian membentuk basis. Berapakah dimensi \(\nul(B)\text{?}\)
Untuk mencari deskripsi parametrik ruang solusi \(A\xvec=\zerovec\text{,}\) bayangkan bahwa kita memperbesar \(A\) dan bentuk eselon baris tereduksinya dengan kolom nol. Hal ini menghasilkan persamaan-persamaan
Mudah untuk memeriksa bahwa vektor-vektor tersebut bebas linear, yang berarti bahwa \(\vvec_1\text{,}\)\(\vvec_2\text{,}\) dan \(\vvec_3\) membentuk basis untuk \(\nul(A)\text{,}\) yaitu subruang berdimensi 3 dari \(\real^5\text{.}\)
Seperti diperlihatkan dalam contoh ini, dimensi \(\nul(A)\) sama dengan banyaknya variabel bebas dalam persamaan \(A\xvec=\zerovec\text{.}\) Jumlah tersebut sama dengan banyaknya kolom \(A\) tanpa posisi pivot, atau banyaknya kolom \(A\) dikurangi banyaknya posisi pivot.
Sekali lagi, kita kembali pada dua pertanyaan mendasar kita mengenai keberadaan dan ketunggalan solusi sistem linear. Ruang kolom \(\col(A)\) memuat semua vektor \(\bvec\) yang membuat persamaan \(A\xvec = \bvec\) konsisten. Ruang nol \(\nul(A)\) adalah ruang solusi persamaan \(A\xvec = \zerovec\text{,}\) yang berkaitan dengan ketunggalan solusi persamaan ini dan persamaan-persamaan lainnya.
Subruang \(S\) dari \(\real^p\) adalah himpunan bagian dari \(\real^p\) yang dapat dinyatakan sebagai rentang linear suatu himpunan vektor. Basis untuk \(S\) adalah himpunan vektor yang bebas linear dan yang rentang linearnya adalah \(S\text{.}\)
Jika \(A\) adalah matriks \(m\times n\text{,}\) ruang kolom \(\col(A)\) merupakan rentang linear kolom-kolom \(A\) dan membentuk subruang dari \(\real^m\text{.}\)
Basis untuk \(\col(A)\) diperoleh dari kolom-kolom \(A\) yang memiliki posisi pivot. Oleh karena itu, dimensinya adalah \(\dim~\col(A) = \rank(A)\text{.}\)
Basis untuk \(\nul(A)\) diperoleh melalui deskripsi parametrik ruang solusi \(A\xvec =
\zerovec\text{,}\) dan berlaku \(\dim~\nul(A) = n -
\rank(A)\text{.}\)
Ruang nol \(\nul(A)\) merupakan subruang dari \(\real^p\) untuk nilai \(p\) berapa? Ruang kolom \(\col(A)\) merupakan subruang dari \(\real^p\) untuk nilai \(p\) berapa?
Tentukan apakah pernyataan-pernyataan berikut benar atau salah, lalu berikan alasan untuk jawaban Anda. Kecuali dinyatakan lain, anggap \(A\) sebagai matriks \(m\times n\text{.}\)
Jika \(A\) adalah matriks \(127\times 341\text{,}\) maka \(\nul(A)\) merupakan subruang dari \(\real^{127}\text{.}\)
Dalam bagian ini, kita telah melihat bahwa ruang solusi persamaan homogen \(A\xvec = \zerovec\) merupakan subruang dari \(\real^p\) untuk suatu \(p\text{.}\) Dalam latihan ini, kita akan menyelidiki apakah ruang solusi persamaan lain \(A\xvec = \bvec\) dapat membentuk subruang.
Diagram dua dimensi dengan kisi koordinat \(1\times1\) dan sepasang sumbu. Rentang horizontal dan vertikal jendela tampilan dimulai pada \(-4\) dan berakhir pada \(4\text{.}\)
Apa yang dapat Anda simpulkan mengenai semua ruang solusi persamaan berbentuk \(A\xvec = \bvec\) ketika \(\bvec\) merupakan vektor dalam \(\col(A)\text{?}\)
