Menemukan solusi sistem linear

Subbab 1.2 Menemukan solusi sistem linear

Pada bagian sebelumnya, kita mempelajari sistem persamaan linear dari sudut pandang grafis. Karena persamaan-persamaan tersebut hanya memiliki dua atau tiga variabel, kita dapat mempelajari ruang solusinya sebagai perpotongan garis dan bidang.

🔗

Karena pada akhirnya kita akan mempelajari sistem dengan banyak persamaan dan banyak variabel, pendekatan grafis ini umumnya tidak akan menjadi strategi yang berguna. Sebagai gantinya, kita akan menangani masalah ini secara aljabar dan mengembangkan suatu teknik untuk mendeskripsikan ruang solusi sistem linear secara umum.

🔗

Subbagian 1.2.1 Eliminasi Gauss

Kita akan mengembangkan suatu algoritma, yang biasanya disebut eliminasi Gauss, yang memungkinkan kita mendeskripsikan ruang solusi suatu sistem linear. Algoritma ini berperan penting dalam banyak pembahasan selanjutnya.

🔗

Aktivitas Pratinjau 1.2.1.

Dalam kegiatan ini, kita akan mempelajari beberapa contoh sederhana yang akan memandu kita menemukan pendekatan yang lebih umum.

🔗

(a)

Deskripsikan ruang solusi sistem linear berikut:

\begin{equation*} \begin{alignedat}{3} x \amp = \amp 2 \\ y \amp = \amp -1. \\ \end{alignedat} \end{equation*}

🔗

(b)

Deskripsikan ruang solusi sistem linear berikut:

\begin{equation*} \begin{alignedat}{4} -x \amp {} + {} \amp 2y \amp {}-{} \amp z \amp {}={} \amp -3 \\ \amp \amp 3y \amp {}+{} \amp z \amp {}={} \amp -1 \\ \amp \amp \amp \amp 2z \amp {}={} \amp 4. \\ \end{alignedat} \end{equation*}

🔗

(c)

Deskripsikan ruang solusi sistem linear berikut:

\begin{equation*} \begin{alignedat}{3} x \amp {} + {} \amp 3y \amp {}={} \amp -1 \\ 2x\amp {}+{} \amp y \amp {}={} \amp 3. \\ \end{alignedat} \end{equation*}

🔗

(d)

Deskripsikan ruang solusi persamaan linear \(0x = 0\text{.}\)

🔗

(e)

Deskripsikan ruang solusi persamaan linear \(0x = 5\text{.}\)

🔗

Contoh-contoh ini menghasilkan beberapa pengamatan yang memotivasi pendekatan umum untuk menemukan solusi sistem linear.

🔗

Pengamatan 1.2.1.

Pertama, menemukan ruang solusi beberapa sistem merupakan hal sederhana. Sebagai contoh, karena setiap persamaan dalam sistem berikut

\begin{equation*} \begin{alignedat}{3} x \amp {}={} \amp -4 \\ y \amp {}={} \amp 2. \\ \end{alignedat} \end{equation*}

hanya memiliki satu variabel, persamaan tersebut menetapkan nilai tertentu untuk variabel itu. Dengan demikian, kita melihat bahwa terdapat tepat satu solusi, yaitu \((x,y) = (-4,2)\text{.}\) Sistem semacam ini kita sebut terurai.

🔗

Pengamatan 1.2.2.

Kedua, terdapat suatu proses yang dapat digunakan untuk menemukan solusi jenis sistem linear tertentu. Sebagai contoh, mari kita perhatikan sistem

\begin{equation*} \begin{alignedat}{4} x \amp {} + {} \amp 2y \amp {}-{} \amp 2z \amp {}={} \amp -4 \\ \amp \amp -y \amp {}+{} \amp z \amp {}={} \amp 3 \\ \amp \amp \amp \amp 3z \amp {}={} \amp 3. \\ \end{alignedat} \end{equation*}

Mengalikan kedua ruas persamaan terakhir dengan \(1/3\) menghasilkan

\begin{equation*} \begin{alignedat}{4} x \amp {} + {} \amp 2y \amp {}-{} \amp 2z \amp {}={} \amp -4 \\ \amp \amp -y \amp {}+{} \amp z \amp {}={} \amp 3 \\ \amp \amp \amp \amp z \amp {}={} \amp 1. \\ \end{alignedat} \end{equation*}

Setiap solusi sistem linear ini dengan demikian harus memenuhi \(z=1\text{.}\)

🔗

Setelah mengetahuinya, kita dapat menyubstitusikan \(z=1\) ke dalam persamaan pertama dan kedua, lalu menyederhanakannya untuk memperoleh sistem persamaan baru yang memiliki solusi yang sama:

\begin{equation*} \begin{alignedat}{3} x \amp {} + {} \amp 2y {}={} \amp\amp -2 \\ \amp \amp -y {}={} \amp\amp 2. \\ \end{alignedat} \end{equation*}

Setelah kedua ruasnya dikalikan dengan \(-1\text{,}\) persamaan kedua menunjukkan bahwa \(y=-2\text{.}\) Selanjutnya, kita dapat menyubstitusikan nilai ini ke dalam persamaan pertama untuk menentukan bahwa \(x=2\text{.}\)

🔗

Dengan cara ini, kita sampai pada sistem terurai yang menunjukkan bahwa terdapat tepat satu solusi, yaitu \((x,y,z)=(2,-2,1)\text{.}\)

🔗

Sistem semula,

disebut sistem segitiga karena susunan koefisiennya membentuk pola segitiga. Sebagaimana diperlihatkan contoh ini, sistem segitiga mudah diselesaikan dengan proses yang disebut substitusi mundur.

🔗

Pengamatan 1.2.3.

Kita dapat menggunakan substitusi secara lebih umum untuk menyelesaikan sistem linear. Sebagai contoh, pendekatan yang wajar untuk sistem

\begin{equation*} \begin{alignedat}{3} x \amp {} + {} \amp 2y \amp {}={} \amp 1 \\ 2x\amp {}+{} \amp 3y \amp {}={} \amp 3. \\ \end{alignedat} \end{equation*}

adalah menggunakan persamaan pertama untuk menyatakan \(x\) sebagai fungsi dari \(y\text{:}\)

\begin{equation*} x = 1-2y \end{equation*}

lalu menyubstitusikannya ke dalam persamaan kedua dan menyederhanakannya:

\begin{equation*} \begin{alignedat}{2} 2x + 3y \amp {}= \amp 3 \\ 2(1-2y) + 3y \amp {}={} \amp 3 \\ 2-4y + 3y \amp {}={} \amp 3 \\ -y \amp {}={} \amp 1 \\ y \amp {}={} \amp -1 \\ \end{alignedat} \end{equation*}

Dari sini, kita dapat menyubstitusikan \(y=-1\) ke dalam persamaan pertama sehingga memperoleh solusi \((x,y)=(3,-1)\text{.}\)

🔗

Namun, proses dua langkah untuk menyelesaikan persamaan guna memperoleh \(x\) sebagai fungsi dari \(y\text{,}\) lalu menyubstitusikannya ke dalam persamaan kedua, dapat dilakukan secara lebih efisien dengan menambahkan kelipatan persamaan pertama ke persamaan kedua. Dalam hal ini, kita akan mengalikan persamaan pertama dengan -2 dan menambahkannya ke persamaan kedua

\begin{equation*} \begin{array}{cr} \amp -2(\text{persamaan 1}) \\ + \amp \text{persamaan 2} \\ \hline \end{array} \end{equation*}

untuk memperoleh

\begin{equation*} \begin{array}{cr} \amp -2(x+2y=1) \\ + \amp 2x+3y = 3 \\ \hline \\ \end{array} \end{equation*}

yang menghasilkan

\begin{equation*} \begin{array}{crcr} \amp -2x-4y \amp = \amp -2 \\ + \amp 2x+3y \amp = \amp 3 \\ \hline \amp -y \amp = \amp 1. \\ \end{array} \end{equation*}

🔗

Dengan cara ini, sistem

\begin{equation*} \begin{alignedat}{3} x \amp {} + {} \amp 2y \amp {}={} \amp 1 \\ 2x\amp {}+{} \amp 3y \amp {}={} \amp 3 \\ \end{alignedat} \end{equation*}

diubah menjadi sistem segitiga baru

\begin{equation*} \begin{alignedat}{3} x \amp {} + {} \amp 2y \amp {}={} \amp 1 \\ \amp \amp -y \amp {}={} \amp 1. \\ \end{alignedat} \end{equation*}

Perhatikan bahwa proses ini dapat dibalik. Dengan memulai dari sistem segitiga, kita dapat memperoleh kembali sistem semula dengan mengalikan persamaan pertama dengan 2 dan menambahkannya ke persamaan kedua. Oleh karena itu, kedua sistem memiliki ruang solusi yang sama. Kita akan membahas kembali hal ini nanti dan memberikan penjelasan yang mungkin lebih meyakinkan.

🔗

Tentu saja, kita memilih untuk mengalikan persamaan pertama dengan -2 agar suku-suku yang memuat \(x\) dalam kedua persamaan saling meniadakan, sehingga diperoleh sistem segitiga yang dapat diselesaikan dengan substitusi mundur.

🔗

Berdasarkan pengamatan-pengamatan ini, kita mencatat tiga operasi yang mengubah suatu sistem persamaan linear menjadi sistem persamaan baru dengan ruang solusi yang sama. Tujuan kita adalah membuat sistem baru yang ruang solusinya sama dengan sistem semula dan mudah dideskripsikan.

Penskalaan 🔗: Kita dapat mengalikan suatu persamaan dengan bilangan tak nol. Sebagai contoh,

\begin{equation*} 2x -4y = 6 \end{equation*}

memiliki himpunan solusi yang sama dengan

\begin{equation*} \frac12(2x-4y=6) \end{equation*}

atau

\begin{equation*} x-2y=3\text{.} \end{equation*}

🔗
Pertukaran 🔗: Menukar urutan persamaan tidak mengubah himpunan solusi. Sebagai contoh,

\begin{equation*} \begin{alignedat}{3} 2x \amp {}+{} \amp 4y \amp {}={} \amp 1 \\ x \amp {}-{} \amp 3y \amp {}={} \amp 0 \\ \end{alignedat} \end{equation*}

memiliki himpunan solusi yang sama dengan

\begin{equation*} \begin{alignedat}{3} x \amp {}-{} \amp 3y \amp {}={} \amp 0 \\ 2x \amp {}+{} \amp 4y \amp {}={} \amp 1. \\ \end{alignedat} \end{equation*}

🔗
Penggantian 🔗: Seperti yang telah kita lihat, kita dapat mengalikan suatu persamaan dengan bilangan real dan menambahkannya ke persamaan lain. Proses ini kita sebut penggantian.
🔗

🔗

Contoh 1.2.4.

Mari kita ilustrasikan penggunaan operasi-operasi ini untuk menemukan ruang solusi sistem persamaan berikut:

\begin{equation*} \begin{alignedat}{4} x \amp {}+{} \amp 2y \amp \amp \amp {}={} \amp 4 \\ 2x \amp {}+{} \amp y \amp {}-{} \amp 3z \amp {}={} \amp 11 \\ -3x \amp {}-{} \amp 2y \amp {}+{} \amp z \amp {}={} \amp -10 \\ \end{alignedat} \end{equation*}

🔗

Pertama, kita akan mengubah sistem tersebut menjadi sistem segitiga. Karena itu, kita mulai dengan mengeliminasi \(x\) dari persamaan kedua dan ketiga.

🔗

Kita mulai dengan operasi penggantian: kalikan persamaan pertama dengan -2, lalu tambahkan hasilnya ke persamaan kedua.

🔗

\begin{equation*} \begin{alignedat}{4} x \amp {}+{} \amp 2y \amp \amp \amp {}={} \amp 4 \\ \amp \amp -3y \amp {}-{} \amp 3z \amp {}={} \amp 3 \\ -3x \amp {}-{} \amp 2y \amp {}+{} \amp z \amp {}={} \amp -10 \\ \end{alignedat} \end{equation*}

🔗

Operasi penggantian lainnya mengeliminasi \(x\) dari persamaan ketiga. Kita mengalikan persamaan pertama dengan 3 dan menambahkannya ke persamaan ketiga.

🔗

\begin{equation*} \begin{alignedat}{4} x \amp {}+{} \amp 2y \amp \amp \amp {}={} \amp 4 \\ \amp \amp -3y \amp {}-{} \amp 3z \amp {}={} \amp 3 \\ \amp \amp 4y \amp {}+{} \amp z \amp {}={} \amp 2 \\ \end{alignedat} \end{equation*}

🔗

Lakukan penskalaan pada persamaan kedua dengan mengalikannya dengan \(-1/3\text{.}\)

🔗

\begin{equation*} \begin{alignedat}{4} x \amp {}+{} \amp 2y \amp \amp \amp {}={} \amp 4 \\ \amp \amp y \amp {}+{} \amp z \amp {}={} \amp -1 \\ \amp \amp 4y \amp {}+{} \amp z \amp {}={} \amp 2 \\ \end{alignedat} \end{equation*}

🔗

Eliminasikan \(y\) dari persamaan ketiga dengan mengalikan persamaan kedua dengan -4 dan menambahkannya ke persamaan ketiga. Perhatikan bahwa sekarang kita memiliki sistem segitiga yang dapat diselesaikan dengan substitusi mundur.

🔗

\begin{equation*} \begin{alignedat}{4} x \amp {}+{} \amp 2y \amp \amp \amp {}={} \amp 4 \\ \amp \amp y \amp {}+{} \amp z \amp {}={} \amp -1 \\ \amp \amp \amp \amp -3z \amp {}={} \amp 6 \\ \end{alignedat} \end{equation*}

🔗

Setelah menskalakan persamaan ketiga dengan \(-1/3\text{,}\) kita telah menemukan nilai \(z\text{.}\)

🔗

\begin{equation*} \begin{alignedat}{4} x \amp {}+{} \amp 2y \amp \amp \amp {}={} \amp 4 \\ \amp \amp y \amp {}+{} \amp z \amp {}={} \amp -1 \\ \amp \amp \amp \amp z \amp {}={} \amp -2 \\ \end{alignedat} \end{equation*}

🔗

Kita mengeliminasi \(z\) dari persamaan kedua dengan mengalikan persamaan ketiga dengan -1 dan menambahkannya ke persamaan kedua.

🔗

\begin{equation*} \begin{alignedat}{4} x \amp {}+{} \amp 2y \amp \amp \amp {}={} \amp 4 \\ \amp \amp y \amp \amp \amp {}={} \amp 1 \\ \amp \amp \amp \amp z \amp {}={} \amp -2 \\ \end{alignedat} \end{equation*}

🔗

Terakhir, kalikan persamaan kedua dengan -2 dan tambahkan hasilnya ke persamaan pertama untuk memperoleh:

🔗

\begin{equation*} \begin{alignedat}{3} x \amp {}={} \amp 2 \\ y \amp {}={} \amp 1 \\ z \amp {}={} \amp -2. \\ \end{alignedat} \end{equation*}

🔗

Setelah sampai pada sistem terurai, kita mengetahui bahwa terdapat tepat satu solusi bagi sistem persamaan semula, yaitu \((x,y,z) = (2,1,-2)\text{.}\)

🔗

Hasil yang sama dapat ditemukan dengan menerapkan urutan operasi penggantian dan penskalaan yang berbeda. Namun, kita memilih urutan ini karena terlebih dahulu ingin mengubah sistem menjadi sistem segitiga. Untuk melakukannya, kita mengeliminasi variabel pertama \(x\) dari semua persamaan kecuali satu, lalu beralih ke variabel-variabel berikutnya dari kiri ke kanan. Setelah memperoleh sistem segitiga, kita menggunakan substitusi mundur dengan bergerak melalui variabel-variabel dari kanan ke kiri.

🔗

Proses ini kita sebut eliminasi Gauss dan merupakan alat utama kita untuk menyelesaikan sistem persamaan linear.

🔗

Kegiatan 1.2.2. Eliminasi Gauss.

Untuk setiap sistem linear berikut, gunakan eliminasi Gauss untuk mendeskripsikan solusinya. Secara khusus, tentukan apakah setiap sistem linear memiliki tepat satu solusi, tak berhingga banyak solusi, atau tidak memiliki solusi.

\(\displaystyle \begin{alignedat}{4} x \amp {}+{} \amp y \amp {}+{} \amp 2z \amp {}={} \amp 1 \\ 2x \amp {}-{} \amp y \amp {}-{} \amp 2z \amp {}={} \amp 2 \\ -x \amp {}+{} \amp y \amp {}+{} \amp z \amp {}={} \amp 0 \\ \\ \end{alignedat}\)
🔗

🔗
\(\displaystyle \begin{alignedat}{4} -x \amp {}-{} \amp 2y \amp {}+{} \amp 2z \amp {}={} \amp -1 \\ 2x \amp {}+{} \amp 4y \amp {}-{} \amp z \amp {}={} \amp 5 \\ x \amp {}+{} \amp 2y \amp \amp \amp {}={} \amp 3 \\ \\ \end{alignedat}\)
🔗

🔗
\(\displaystyle \begin{alignedat}{4} -x \amp {}-{} \amp 2y \amp {}+{} \amp 2z \amp {}={} \amp -1 \\ 2x \amp {}+{} \amp 4y \amp {}-{} \amp z \amp {}={} \amp 5 \\ x \amp {}+{} \amp 2y \amp \amp \amp {}={} \amp 2 \\ \\ \end{alignedat}\)
🔗

🔗

🔗

Subbagian 1.2.2 Matriks diperbesar

Setelah melakukan eliminasi Gauss beberapa kali, Anda mungkin memperhatikan bahwa sebagian besar waktu digunakan untuk mencermati koefisien, sedangkan variabel hanya dicatat sebagai penanda tempat. Berdasarkan pengamatan ini, kita akan memperkenalkan cara ringkas untuk mendeskripsikan sistem linear.

🔗

Ketika menulis suatu sistem linear, kita selalu menuliskan variabel dalam urutan yang sama pada setiap persamaan. Selanjutnya, kita membentuk matriks diperbesar dengan mengabaikan variabel dan mencatat data numeriknya dalam larik persegi panjang. Sebagai contoh, sistem persamaan di bawah ini memiliki matriks diperbesar berikut

🔗

\begin{equation*} \begin{alignedat}{4} -x \amp {}-{} \amp 2y \amp {}+{} \amp 2z \amp {}={} \amp -1 \\ 2x \amp {}+{} \amp 4y \amp {}-{} \amp z \amp {}={} \amp 5 \\ x \amp {}+{} \amp 2y \amp \amp \amp {}={} \amp 3 \\ \end{alignedat} \end{equation*}

🔗

\begin{equation*} \left[ \begin{array}{rrr|r} -1 \amp -2 \amp 2 \amp -1 \\ 2 \amp 4 \amp -1 \amp 5 \\ 1 \amp 2 \amp 0 \amp 3 \\ \end{array} \right]. \end{equation*}

🔗

Garis vertikal mengingatkan kita pada letak tanda sama dengan dalam persamaan. Entri matriks di sebelah kiri garis vertikal bersesuaian dengan koefisien persamaan. Kadang-kadang kita memilih untuk hanya memusatkan perhatian pada koefisien sistem; dalam hal ini, kita menulis matriks koefisien sebagai

\begin{equation*} \left[ \begin{array}{rrr} -1 \amp -2 \amp 2 \\ 2 \amp 4 \amp -1 \\ 1 \amp 2 \amp 0 \\ \end{array} \right]. \end{equation*}

🔗

Ketiga operasi yang kita lakukan pada sistem persamaan secara alami menjadi operasi pada matriks. Sebagai contoh, operasi penggantian yang mengalikan persamaan pertama dengan 2 dan menambahkannya ke persamaan kedua dapat dilakukan dengan mengalikan baris pertama matriks diperbesar dengan 2 dan menambahkannya ke baris kedua:

\begin{equation*} \left[ \begin{array}{rrr|r} -1 \amp -2 \amp 2 \amp -1 \\ 2 \amp 4 \amp -1 \amp 5 \\ 1 \amp 2 \amp 0 \amp 3 \\ \end{array} \right] \sim \left[ \begin{array}{rrr|r} -1 \amp -2 \amp 2 \amp -1 \\ 0 \amp 0 \amp 3 \amp 3 \\ 1 \amp 2 \amp 0 \amp 3 \\ \end{array} \right]. \end{equation*}

🔗

Simbol \(\sim\) di antara kedua matriks menunjukkan bahwa keduanya dihubungkan oleh serangkaian operasi penskalaan, pertukaran, dan penggantian. Karena operasi-operasi ini bekerja pada baris matriks, kita mengatakan bahwa matriks-matriks tersebut ekuivalen baris. Perhatikan bahwa sistem linear yang bersesuaian dengan dua matriks diperbesar yang ekuivalen baris memiliki ruang solusi yang sama.

🔗

Kegiatan 1.2.3. Matriks diperbesar dan ruang solusi.

Tuliskan matriks diperbesar untuk sistem linear

\begin{equation*} \begin{alignedat}{4} x \amp {}+{} \amp 2y \amp {}-{} \amp z \amp {}={} \amp 1 \\ 3x \amp {}+{} \amp 2y \amp {}+{} \amp 2z \amp {}={} \amp 7 \\ -x \amp \amp \amp {}+{} \amp 4z \amp {}={} \amp -3 \\ \end{alignedat} \end{equation*}

dan lakukan eliminasi Gauss untuk mendeskripsikan ruang solusinya serinci mungkin.

🔗

🔗
Misalkan Anda memiliki sistem linear dalam variabel \(x\) dan \(y\) yang matriks diperbesarnya ekuivalen baris dengan

\begin{equation*} \left[ \begin{array}{rr|r} 1 \amp 0 \amp 3 \\ 0 \amp 1 \amp 0 \\ 0 \amp 0 \amp 0 \\ \end{array} \right]. \end{equation*}

Tuliskan sistem linear yang bersesuaian dengan matriks diperbesar ini dan deskripsikan himpunan solusinya serinci mungkin.

🔗

🔗
Misalkan Anda memiliki sistem linear dalam variabel \(x\) dan \(y\) yang matriks diperbesarnya ekuivalen baris dengan

\begin{equation*} \left[ \begin{array}{rr|r} 1 \amp 0 \amp 3 \\ 0 \amp 1 \amp 0 \\ 0 \amp 0 \amp 1 \\ \end{array} \right]. \end{equation*}

Tuliskan sistem linear yang bersesuaian dengan matriks diperbesar ini dan deskripsikan himpunan solusinya serinci mungkin.

🔗

🔗
Misalkan matriks diperbesar suatu sistem linear berbentuk sebagai berikut, dengan \(*\) dapat berupa sembarang bilangan real.

\begin{equation*} \left[ \begin{array}{rrrrr|r} * \amp * \amp * \amp * \amp * \amp * \\ * \amp * \amp * \amp * \amp * \amp * \\ * \amp * \amp * \amp * \amp * \amp * \\ \end{array} \right]. \end{equation*}
1. Berapa banyak persamaan dan berapa banyak variabel dalam sistem ini?
  🔗
  
  🔗
2. Berdasarkan pembahasan sebelumnya dalam Subbab 1.1, menurut Anda apakah sistem ini mungkin memiliki tepat satu solusi, tak berhingga banyak solusi, atau tidak memiliki solusi?
  🔗
  
  🔗
3. Misalkan matriks diperbesar ini ekuivalen baris dengan
  
  \begin{equation*} \left[ \begin{array}{rrrrr|r} 1 \amp 2 \amp 0 \amp 0 \amp 3 \amp 2 \\ 0 \amp 0 \amp 1 \amp 2 \amp -1 \amp -1 \\ 0 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \\ \end{array} \right]. \end{equation*}
  
  Pilih nama bagi variabel-variabelnya dan tuliskan sistem linear yang bersesuaian. Apakah sistem tersebut memiliki tepat satu solusi, tak berhingga banyak solusi, atau tidak memiliki solusi?
  
  🔗
  
  🔗
🔗
🔗

🔗

Subbagian 1.2.3 Bentuk eselon baris tereduksi

Terdapat kelas matriks khusus yang bentuknya sangat memudahkan kita mendeskripsikan ruang solusi sistem linear yang bersesuaian. Ketika membahas sifat-sifat kelas matriks ini, kita dapat terbantu dengan memperhatikan suatu contoh, seperti matriks berikut.

\begin{equation*} \left[ \begin{array}{rrrrrr} 1 \amp * \amp 0 \amp * \amp 0 \amp * \\ 0 \amp 0 \amp 1 \amp * \amp 0 \amp * \\ 0 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \amp 1 \amp * \\ 0 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \\ 0 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \\ \end{array} \right]. \end{equation*}

🔗

Definisi 1.2.5.

Kita mengatakan bahwa suatu matriks berada dalam bentuk eselon baris tereduksi jika sifat-sifat berikut dipenuhi.

Jika semua entri dalam suatu baris bernilai nol, hal yang sama juga berlaku bagi setiap baris di bawahnya.
🔗

🔗
Jika kita menelusuri suatu baris dari kiri ke kanan, entri tak nol pertama yang dijumpai bernilai 1. Entri ini kita sebut entri utama pada baris tersebut.
🔗

🔗
Entri utama pada setiap baris terletak di sebelah kanan entri utama pada semua baris di atasnya.
🔗

🔗
Entri utama merupakan satu-satunya entri tak nol dalam kolomnya.
🔗

🔗

Matriks yang berada dalam bentuk eselon baris tereduksi kita sebut matriks eselon baris tereduksi.

🔗

Kita sengaja belum menentukan apakah matriks yang sedang dipelajari merupakan matriks diperbesar yang bersesuaian dengan suatu sistem linear atau matriks koefisien, karena selanjutnya kita akan mempelajari kedua kemungkinan tersebut.

🔗

Kegiatan 1.2.4. Mengenali matriks eselon baris tereduksi.

Perhatikan setiap matriks diperbesar berikut. Tentukan apakah matriks tersebut berada dalam bentuk eselon baris tereduksi. Jika tidak, lakukan serangkaian operasi penskalaan, pertukaran, dan penggantian untuk memperoleh matriks ekuivalen baris yang berada dalam bentuk eselon baris tereduksi. Kemudian, gunakan matriks eselon baris tereduksi tersebut untuk mendeskripsikan ruang solusi.

\(\displaystyle \left[ \begin{array}{rrr|r} 2 \amp 0 \amp 4 \amp -8 \\ 0 \amp 1 \amp 3 \amp 2 \\ \end{array} \right].\)
🔗

🔗
\(\displaystyle \left[ \begin{array}{rrr|r} 1 \amp 0 \amp 0 \amp -1 \\ 0 \amp 1 \amp 0 \amp 3 \\ 0 \amp 0 \amp 1 \amp 1 \\ \end{array} \right].\)
🔗

🔗
\(\displaystyle \left[ \begin{array}{rrr|r} 1 \amp 0 \amp 4 \amp 2 \\ 0 \amp 1 \amp 3 \amp 2 \\ 0 \amp 0 \amp 0 \amp 1 \\ \end{array} \right].\)
🔗

🔗
\(\displaystyle \left[ \begin{array}{rrr|r} 0 \amp 1 \amp 3 \amp 2 \\ 0 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \\ 1 \amp 0 \amp 4 \amp 2 \\ \end{array} \right].\)
🔗

🔗
\(\displaystyle \left[ \begin{array}{rrr|r} 1 \amp 2 \amp -1 \amp 2 \\ 0 \amp 1 \amp -2 \amp 0 \\ 0 \amp 0 \amp 1 \amp 1 \\ \end{array} \right].\)
🔗

🔗

🔗

Contoh-contoh dalam kegiatan sebelumnya menunjukkan bahwa terdapat serangkaian operasi baris yang mengubah setiap matriks menjadi matriks dalam bentuk eselon baris tereduksi. Selain itu, syarat-syarat yang mendefinisikan matriks eselon baris tereduksi menjamin bahwa matriks ini tunggal.

🔗

Teorema 1.2.6.

Untuk setiap matriks, terdapat tepat satu matriks eselon baris tereduksi yang ekuivalen baris dengannya.

🔗

Setelah memperoleh matriks eselon baris tereduksi ini, kita dapat mendeskripsikan himpunan solusi sistem linear yang bersesuaian dengan relatif mudah.

🔗

Contoh 1.2.7. Mendeskripsikan ruang solusi dari matriks eselon baris tereduksi.

Perhatikan matriks eselon baris tereduksi

\begin{equation*} \left[ \begin{array}{rrr|r} 1 \amp 0 \amp 2 \amp -1 \\ 0 \amp 1 \amp 1 \amp 2 \\ \end{array} \right] \end{equation*}

beserta sistem linear yang bersesuaian

\begin{equation*} \begin{alignedat}{4} x \amp \amp \amp {}+{} \amp 2z \amp {}={} \amp -1 \\ \amp \amp y \amp {}+{} \amp z \amp {}={} \amp 2. \\ \end{alignedat} \end{equation*}

Mari kita tulis kembali persamaan-persamaan tersebut sebagai

\begin{equation*} \begin{alignedat}{2} x \amp {}={} \amp -1 -2z\\ y \amp {}={} \amp 2-z. \\ \end{alignedat} \end{equation*}

Dari deskripsi ini, jelas bahwa kita memperoleh solusi untuk setiap nilai variabel \(z\text{.}\) Sebagai contoh, jika \(z=2\text{,}\) maka \(x = -5\) dan \(y=0\text{,}\) sehingga \((x,y,z) = (-5,0,2)\) merupakan solusi. Demikian pula, jika \(z=0\text{,}\) kita melihat bahwa \((x,y,z) = (-1,2,0)\) juga merupakan solusi.

🔗

Karena tidak terdapat batasan pada nilai \(z\text{,}\) kita menyebutnya variabel bebas dan mencatat bahwa sistem linear tersebut memiliki tak berhingga banyak solusi. Variabel \(x\) dan \(y\) disebut variabel dasar karena nilainya ditentukan setelah kita memilih nilai variabel bebas.
🔗

Deskripsi ruang solusi yang menyatakan variabel dasar sebagai fungsi dari variabel bebas ini kita sebut deskripsi parametrik ruang solusi.
🔗

🔗
Perhatikan matriks

\begin{equation*} \left[ \begin{array}{rrr|r} 1 \amp 0 \amp 0 \amp 4 \\ 0 \amp 1 \amp 0 \amp -3 \\ 0 \amp 0 \amp 1 \amp 1 \\ 0 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \\ \end{array} \right]. \end{equation*}

Persamaan terakhir menghasilkan

\begin{equation*} 0x +0y+0z = 0\text{,} \end{equation*}

yang benar untuk setiap \((x,y,z)\text{.}\) Kita dapat mengabaikan persamaan ini karena tidak memberikan batasan pada \((x,y,z)\text{.}\) Dengan demikian, kita melihat bahwa terdapat solusi tunggal \((x,y,z) = (4,-3,1)\text{.}\)

🔗

🔗
Perhatikan matriks

\begin{equation*} \left[ \begin{array}{rrr|r} 1 \amp 0 \amp 2 \amp 0 \\ 0 \amp 1 \amp -1 \amp 0 \\ 0 \amp 0 \amp 0 \amp 1 \\ \end{array} \right]. \end{equation*}

Dengan memulai dari persamaan terakhir, kita melihat bahwa

\begin{equation*} 0x +0y+0z = 0 = 1\text{,} \end{equation*}

yang tidak benar untuk \((x,y,z)\) mana pun. Persamaan ini tidak memiliki solusi sehingga sistem persamaan tersebut juga tidak memiliki solusi.

🔗

🔗

🔗

Subbagian 1.2.4 Ringkasan

Kita telah mempelajari beberapa konsep penting dalam bagian ini.

Kita dapat mendeskripsikan ruang solusi suatu sistem linear dengan mengubahnya menjadi sistem linear baru yang memiliki ruang solusi sama melalui serangkaian operasi penskalaan, pertukaran, dan penggantian.
🔗

🔗
Kita dapat merepresentasikan sistem linear dengan matriks diperbesar. Dengan menggunakan operasi penskalaan, pertukaran, dan penggantian, matriks diperbesar tersebut ekuivalen baris dengan tepat satu matriks eselon baris tereduksi. Proses membentuk matriks eselon baris tereduksi ini disebut eliminasi Gauss.
🔗

🔗
Matriks eselon baris tereduksi memungkinkan kita dengan mudah mendeskripsikan ruang solusi suatu sistem linear.
🔗

🔗

🔗

Latihan 1.2.5 Latihan

1.

Untuk setiap sistem linear di bawah ini, tuliskan matriks diperbesar yang terkait dan temukan matriks eselon baris tereduksi yang ekuivalen baris dengannya. Identifikasi variabel dasar dan variabel bebas, lalu deskripsikan ruang solusi sistem linear semula dengan menggunakan deskripsi parametrik jika sesuai.

🔗

\begin{equation*} \begin{alignedat}{3} 2x \amp {}+{} \amp y \amp {}={} \amp 0 \\ x \amp {}+{} \amp 2y \amp {}={} \amp 3 \\ -2x \amp {}+{} \amp 2y \amp {}={} \amp 6 \\ \\ \end{alignedat} \end{equation*}

🔗

🔗
\begin{equation*} \begin{alignedat}{5} -x_1 \amp {}+{} \amp 2x_2 \amp \amp \amp {}+{} \amp x_3 \amp {}={} \amp 2 \\ 3x_1 \amp \amp \amp \amp \amp {}+{} \amp 2x_3 \amp {}={} \amp -1 \\ -x_1 \amp {}-{} \amp x_2 \amp \amp \amp {}+{} \amp x_3 \amp {}={} \amp 2 \\ \\ \end{alignedat} \end{equation*}

🔗

🔗
\begin{equation*} \begin{alignedat}{5} x_1 \amp {}+{} \amp 2x_2 \amp {}-{} \amp 5x_3 \amp {}-{} \amp x_4 \amp {}={} \amp -3 \\ -2x_1 \amp {}-{} \amp 2x_2 \amp {}+{} \amp 6x_3 \amp {}-{} \amp 2x_4 \amp {}={} \amp 4 \\ x_1 \amp \amp \amp {}-{} \amp x_3 \amp {}+{} \amp 9x_4 \amp {}={} \amp -7 \\ \amp \amp -x_2 \amp {}+{} \amp 2x_3 \amp {}-{} \amp x_4 \amp {}={} \amp 4 \\ \\ \end{alignedat} \end{equation*}

🔗

🔗

🔗

2.

Perhatikan setiap matriks di bawah ini dan tentukan apakah matriks tersebut berada dalam bentuk eselon baris tereduksi. Jika tidak, nyatakan alasannya dan terapkan serangkaian operasi baris untuk menemukan matriks eselon baris tereduksinya. Untuk setiap matriks, nyatakan apakah sistem linear yang bersesuaian memiliki tak berhingga banyak solusi, tepat satu solusi, atau tidak memiliki solusi.

\begin{equation*} \left[ \begin{array}{rrrr|r} 1 \amp 1 \amp 0 \amp 3 \amp 3 \\ 0 \amp 1 \amp 0 \amp -2 \amp 1 \\ 0 \amp 0 \amp 1 \amp 3 \amp 4 \\ \end{array} \right] \end{equation*}

🔗

🔗
\begin{equation*} \left[ \begin{array}{rrrr|r} 1 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \\ 0 \amp 2 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \\ 0 \amp 0 \amp -3 \amp 0 \amp 0 \\ 0 \amp 0 \amp 0 \amp 1 \amp 0 \\ 0 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \amp 1 \\ \end{array} \right] \end{equation*}

🔗

🔗
\begin{equation*} \left[ \begin{array}{rrrr|r} 1 \amp 0 \amp 0 \amp 3 \amp 3 \\ 0 \amp 1 \amp 0 \amp -2 \amp 1 \\ 0 \amp 0 \amp 1 \amp 3 \amp 4 \\ 0 \amp 0 \amp 0 \amp 3 \amp 3 \\ \end{array} \right] \end{equation*}

🔗

🔗
\begin{equation*} \left[ \begin{array}{rrrr|r} 0 \amp 0 \amp 1 \amp 0 \amp -1 \\ 0 \amp 1 \amp 0 \amp 0 \amp 3 \\ 1 \amp 1 \amp 1 \amp 1 \amp 2 \\ \end{array} \right] \end{equation*}

🔗

🔗

🔗

3.

Berikan contoh matriks eselon baris tereduksi yang mendeskripsikan sistem linear dengan sifat-sifat yang dinyatakan. Jika contoh semacam itu tidak mungkin ditemukan, jelaskan alasannya.

Tuliskan matriks eselon baris tereduksi untuk sistem linear yang memiliki lima persamaan dalam tiga variabel dan tepat satu solusi.
🔗

🔗
Tuliskan matriks eselon baris tereduksi untuk sistem linear yang memiliki tiga persamaan dalam tiga variabel dan tidak memiliki solusi.
🔗

🔗
Tuliskan matriks eselon baris tereduksi untuk sistem linear yang memiliki tiga persamaan dalam lima variabel dan tak berhingga banyak solusi.
🔗

🔗
Tuliskan matriks eselon baris tereduksi untuk sistem linear yang memiliki tiga persamaan dalam empat variabel dan tepat satu solusi.
🔗

🔗
Tuliskan matriks eselon baris tereduksi untuk sistem linear yang memiliki empat persamaan dalam empat variabel dan tepat satu solusi.
🔗

🔗

🔗

4.

Untuk setiap matriks, Teorema 1.2.6 menyatakan bahwa terdapat matriks eselon baris tereduksi yang ekuivalen baris dengannya. Latihan ini memperlihatkan alasannya. Setiap matriks berikut memenuhi tiga dari empat syarat matriks eselon baris tereduksi sebagaimana ditetapkan dalam Definisi 1.2.5. Untuk setiap matriks, tunjukkan cara menerapkan serangkaian operasi baris untuk membentuk matriks eselon baris tereduksi yang ekuivalen baris.

\begin{equation*} \begin{bmatrix} 1 \amp 0 \amp 2 \amp 3 \\ 0 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \\ 0 \amp 1 \amp -2 \amp 1 \\ \end{bmatrix} \end{equation*}

🔗

🔗
\begin{equation*} \begin{bmatrix} 1 \amp 0 \amp 0 \amp 2 \\ 0 \amp -2 \amp 0 \amp -4 \\ 0 \amp 0 \amp 1 \amp 1 \\ \end{bmatrix} \end{equation*}

🔗

🔗
\begin{equation*} \begin{bmatrix} 0 \amp 1 \amp 0 \amp -2 \\ 0 \amp 0 \amp 1 \amp 4 \\ 1 \amp 0 \amp 0 \amp 3 \\ 0 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \\ 0 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \\ \end{bmatrix} \end{equation*}

🔗

🔗
\begin{equation*} \begin{bmatrix} 1 \amp 0 \amp 2 \amp 3 \\ 0 \amp 1 \amp 3 \amp 0 \\ 0 \amp 0 \amp 1 \amp -1 \\ 0 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \\ \end{bmatrix} \end{equation*}

🔗

🔗

🔗

5.

Untuk setiap pertanyaan di bawah ini, berikan alasan yang mendukung jawaban Anda.

Apa yang dapat kita simpulkan tentang ruang solusi sistem linear dari adanya baris yang semua entrinya nol dalam suatu matriks diperbesar?
🔗

🔗
Bagaimana Anda dapat menentukan secara langsung dari matriks eselon baris tereduksinya bahwa suatu sistem linear tidak memiliki solusi?
🔗

🔗
Bagaimana Anda dapat menentukan secara langsung dari matriks eselon baris tereduksinya bahwa suatu sistem linear memiliki tak berhingga banyak solusi?
🔗

🔗
Apa yang dapat Anda katakan tentang ruang solusi suatu sistem linear jika jumlah variabel lebih banyak daripada jumlah persamaan dan setidaknya terdapat satu solusi?
🔗

🔗

🔗

6.

Tentukan apakah pernyataan-pernyataan berikut benar atau salah, lalu jelaskan penalaran Anda.

Jika setiap variabel merupakan variabel dasar, sistem linear tersebut memiliki tepat satu solusi.
🔗

🔗
Jika dua matriks diperbesar ekuivalen baris satu sama lain, keduanya mendeskripsikan dua sistem linear yang memiliki ruang solusi sama.
🔗

🔗
Adanya variabel bebas menunjukkan bahwa sistem linear tidak memiliki solusi.
🔗

🔗
Jika suatu sistem linear memiliki tepat satu solusi, jumlah persamaannya harus sama dengan jumlah variabelnya.
🔗

🔗
Jika suatu sistem linear memiliki jumlah persamaan yang sama dengan jumlah variabel, sistem tersebut memiliki tepat satu solusi.
🔗

🔗

🔗

Sblm Top Lnjt