Setelah memahami matriks simetris dan varians, sekarang kita akan mempelajari cara menentukan arah yang membuat varians suatu himpunan data sebesar mungkin maupun sekecil mungkin. Ini merupakan bagian dari pembahasan yang jauh lebih luas mengenai suatu jenis fungsi, yang disebut bentuk kuadratik, yang akan kita perkenalkan di sini.
Gambarkan titik-titik data terpusat pada Gambar 7.2.1. Pada arah manakah varians tampak paling besar, dan pada arah manakah varians tampak paling kecil?
Secara umum, jika \(C\) adalah matriks kovarians suatu himpunan data dan \(\uvec\) adalah vektor eigen satuan dari \(C\) dengan nilai eigen terkait \(\lambda\text{,}\) berapakah \(V_{\uvec}\text{?}\)
Perhatikan bahwa ekspresi ini serupa dengan yang kita gunakan untuk mencari varians \(V_{\uvec}\) dari matriks kovarians \(C\text{.}\) Satu-satunya perbedaan ialah bahwa \(\xvec\) boleh berupa sembarang vektor dan tidak harus berupa vektor satuan.
Jika \(A\) adalah matriks simetris \(m\times m\text{,}\) maka bentuk kuadratik yang didefinisikan oleh \(A\) adalah fungsi \(q_A(\xvec) = \xvec\cdot(A\xvec)\text{.}\)
Diberikan matriks simetris \(A=\begin{bmatrix}
2 \amp 5 \\
5 \amp -3
\end{bmatrix}
\text{,}\) tuliskan bentuk kuadratik \(q_A(\xvec)\) yang didefinisikan oleh \(A\text{,}\) lalu hitung \(q_A\left(\twovec{2}{-1}\right)\text{.}\)
Misalkan \(q\left(\twovec{x_1}{x_2}\right) = 3x_1^2
- 4x_1x_2 + 4x_2^2\text{.}\) Carilah matriks simetris \(A\) sedemikian sehingga \(q\) adalah bentuk kuadratik yang didefinisikan oleh \(A\text{.}\)
Misalkan \(A\) adalah matriks simetris dan \(q_A(\xvec)\) adalah bentuk kuadratik yang didefinisikan oleh \(A\text{.}\) Misalkan \(\xvec\) adalah vektor eigen \(A\) dengan nilai eigen terkait -4 dan panjang 7. Berapakah \(q_A(\xvec)\text{?}\)
Aljabar linear pada dasarnya membahas objek-objek yang linear. Namun, sebagaimana tersirat dari namanya, bentuk kuadratik memiliki sifat yang jelas tidak linear. Pertama, jika \(A=\begin{bmatrix} a \amp b \\ b \amp c \end{bmatrix}\) merupakan matriks simetris, maka bentuk kuadratik yang terkait adalah
Ekspresi ini mempunyai bentuk yang sangat sederhana ketika \(D\) merupakan matriks diagonal. Secara khusus, jika \(D = \begin{bmatrix}
a \amp 0 \\
0 \amp c \\
\end{bmatrix}
\text{,}\) maka \(q_D\left(\twovec{x_1}{x_2}\right) = ax_1^2 +
cx_2^2\text{.}\) Bentuk ini istimewa karena tidak terdapat suku silang yang memuat \(x_1x_2\text{.}\)
Sebagai contoh, ketika \(\xvec\) dikalikan dengan skalar 2, diperoleh \(q_A(2\xvec) = 4q_A(\xvec)\text{.}\) Perhatikan pula bahwa \(q_A(-\xvec) = q_A(\xvec)\) karena skalarnya dikuadratkan.
Terakhir, menghitung nilai bentuk kuadratik pada suatu vektor eigen menghasilkan bentuk yang sangat sederhana. Misalkan \(\xvec\) adalah vektor eigen \(A\) dengan nilai eigen terkait \(\lambda\text{.}\) Maka
Sekarang mari kita kembali ke pertanyaan yang memotivasi pembahasan ini: pada arah \(\uvec\) manakah varians \(V_{\uvec}=\uvec\cdot(C\uvec)\) suatu himpunan data menjadi sebesar mungkin, dan pada arah manakah varians itu menjadi sekecil mungkin? Karena \(\uvec\) merupakan vektor satuan, kita dapat menyatakan pertanyaan ini dalam bentuk yang lebih umum: Jika \(q_A(\xvec)\) merupakan bentuk kuadratik, pada vektor-vektor satuan \(\uvec\) manakah \(q_A(\uvec)=\uvec\cdot(A\uvec)\) mencapai nilai sebesar mungkin, dan pada vektor manakah nilainya sekecil mungkin? Karena vektor satuan menentukan suatu arah, kita akan sering mencari arah tempat bentuk kuadratik \(q(\xvec)\) mencapai nilai maksimum atau minimumnya.
Kita dapat memperoleh intuisi mengenai masalah ini dengan menggambar grafik bentuk kuadratik dan memberi perhatian khusus pada vektor-vektor satuan.
Menjalankan sel berikut mendefinisikan matriks \(D = \begin{bmatrix}
3 \amp 0 \\
0 \amp -1
\end{bmatrix}\) dan menampilkan grafik bentuk kuadratik terkait \(q_D(\xvec)\text{.}\) Selain itu, titik-titik yang bersesuaian dengan vektor satuan \(\uvec\) ditampilkan sebagai sebuah kurva.
Tuliskan bentuk kuadratik \(q_D\) yang terkait dengan \(D\text{.}\) Berapakah nilai \(q_D\left(\twovec10\right)\text{?}\) Berapakah nilai \(q_D\left(\twovec01\right)\text{?}\)
Perhatikan vektor satuan \(\uvec=\twovec{u_1}{u_2}\text{,}\) sehingga \(u_1^2+u_2^2 =
1\text{,}\) yang dapat kita tulis ulang sebagai \(u_1^2 =
1-u_2^2\text{.}\) Tuliskan bentuk kuadratik \(q_D(\uvec)\text{,}\) lalu gantikan \(u_1^2\) dengan \(1-u_2^2\text{.}\) Jelaskan mengapa nilai maksimum \(q_D(\uvec)\) adalah 3. Pada arah manakah maksimum itu tercapai? Apakah hasil ini sesuai dengan pengamatan Anda pada grafik di atas?
Tuliskan bentuk kuadratik \(q_D(\uvec)\text{,}\) lalu gantikan \(u_2^2\) dengan \(1-u_1^2\text{.}\) Berapakah nilai minimum \(q_D(\uvec)\text{,}\) dan pada arah manakah minimum itu tercapai?
Gunakan sel Sage sebelumnya untuk mengubah matriks menjadi \(A=\begin{bmatrix}
1 \amp 2 \\
2 \amp 1
\end{bmatrix}\) dan menampilkan grafik bentuk kuadratik \(q_A(\xvec) = \xvec\cdot(A\xvec)\text{.}\) Tentukan arah tempat maksimum dan minimum tercapai.
Ingat bahwa \(A=\begin{bmatrix}
1 \amp 2 \\
2 \amp 1
\end{bmatrix}\) bersifat simetris, sehingga \(A=QDQ^T\text{,}\) dengan \(D\) sebagai matriks diagonal di atas dan \(Q\) sebagai matriks ortogonal yang memutar vektor sebesar \(45^\circ\text{.}\) Perhatikan bahwa
Dengan menggunakan fakta bahwa \(q_A(\uvec) = q_D(\vvec)\text{,}\) jelaskan bagaimana kita mengetahui bahwa nilai maksimum \(q_A(\uvec)\) adalah 3, lalu tentukan arah tempat maksimum itu tercapai. Tentukan pula nilai minimum \(q_A(\uvec)\) beserta arah tempat minimum itu tercapai.
Aktivitas ini menunjukkan bagaimana nilai-nilai eigen \(A\) menentukan nilai maksimum dan minimum bentuk kuadratik \(q_A(\uvec)\) ketika dihitung pada vektor-vektor satuan, serta bagaimana vektor-vektor eigen terkait menentukan arah tempat nilai maksimum dan minimum tersebut tercapai. Mari kita lihat contoh lain agar hubungan ini menjadi jelas.
Perhatikan matriks simetris \(A=\begin{bmatrix}
-7 \amp -6 \\
-6 \amp 2 \\
\end{bmatrix}\text{.}\) Karena \(A\) simetris, kita mengetahui bahwa matriks tersebut dapat didiagonalisasi secara ortogonal. Bahkan, \(A=QDQ^T\) dengan
Dari diagonalisasi ini, kita mengetahui bahwa \(\lambda_1=5\) merupakan nilai eigen terbesar \(A\) dengan vektor eigen terkait \(\uvec_1 = \twovec{1/\sqrt{5}}{-2/\sqrt{5}}\text{,}\) sedangkan \(\lambda_2=-10\) merupakan nilai eigen terkecil dengan vektor eigen terkait \(\uvec_2 =
\twovec{2/\sqrt{5}}{1/\sqrt{5}}\text{.}\)
Pertama-tama, mari kita pelajari bentuk kuadratik \(q_D(\uvec) = 5u_1^2 - 10u_2^2\text{.}\) Ketiadaan suku silang membuat bentuk ini relatif sederhana. Karena \(\uvec\) merupakan vektor satuan, berlaku \(u_1^2+u_2^2=1\text{,}\) yang berarti \(u_1^2 = 1-u_2^2\text{.}\) Oleh karena itu,
Hal ini menunjukkan bahwa nilai maksimum \(q_D(\uvec)\) adalah \(5\text{,}\) yang tercapai ketika \(u_2=0\text{,}\) yaitu pada arah \(\twovec10\text{.}\)
Dengan cara yang sama, menuliskan ulang \(u_2^2 = 1-u_1^2\) memungkinkan kita menyimpulkan bahwa nilai minimum \(q_D(\uvec)\) adalah \(-10\text{,}\) yang tercapai pada arah \(\twovec01\text{.}\)
Dengan kata lain, \(q_A(\uvec) = q_D(\vvec)\) dengan \(\vvec=Q^T\uvec\text{.}\) Hubungan ini sangat berguna karena memungkinkan kita mengaitkan nilai-nilai \(q_A\) dengan nilai-nilai \(q_D\text{,}\) yang telah kita pahami dengan baik.
Oleh karena itu, nilai maksimum \(q_A(\uvec)\) sama dengan nilai maksimum \(q_D(\vvec)\text{,}\) yaitu \(5\text{,}\) yang tercapai pada arah \(\vvec=\twovec10\text{.}\) Ini berarti nilai maksimum \(q_A(\uvec)\) juga \(5\) dan tercapai pada arah \(\uvec =
Q\vvec = Q\twovec10 = \twovec{1/\sqrt{5}}{-2/\sqrt{5}}\text{.}\) Sekarang kita mengetahui bahwa nilai maksimum \(q_A(\uvec)\) adalah nilai eigen terbesar \(\lambda_1=5\text{,}\) dan nilai maksimum tersebut tercapai pada arah vektor eigen yang terkait.
Dengan cara yang sama, kita melihat bahwa nilai minimum \(q_A(\uvec)\) adalah nilai eigen terkecil \(\lambda_2=-10\text{,}\) dan minimum ini tercapai pada arah \(\uvec=Q\twovec01 = \twovec{2/\sqrt{5}}{1/\sqrt{5}}\text{,}\) yaitu vektor eigen yang terkait.
Misalkan \(A\) adalah matriks simetris, nilai-nilai eigennya diurutkan menurun sebagai \(\lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \ldots \geq \lambda_m\text{,}\) dan \(\uvec_1,\uvec_2,\ldots,\uvec_m\) merupakan basis yang terdiri atas vektor-vektor eigen terkait. Nilai maksimum \(q_A(\uvec)\) di antara semua vektor satuan \(\uvec\) adalah \(\lambda_1\text{,}\) yang tercapai pada arah \(\uvec_1\text{.}\) Demikian pula, nilai minimum \(q_A(\uvec)\) adalah \(\lambda_m\text{,}\) yang tercapai pada arah \(\uvec_m\text{.}\)
Kita melihat bahwa nilai maksimum \(q_A(\uvec)\) adalah 12, yang tercapai pada arah \(\threevec{1/3}{2/3}{2/3}\text{,}\) sedangkan nilai minimumnya adalah -6, yang tercapai pada arah \(\threevec{2/3}{-2/3}{1/3}\text{.}\)
Misalkan kita memiliki matriks titik-titik data terpusat \(A = \begin{bmatrix}
2 \amp 1 \amp -3 \\
1 \amp 2 \amp -3 \\
\end{bmatrix}\) yang kita tinjau dalam Aktivitas Pratinjau 7.2.1. Titik-titik data tersebut ditampilkan pada Gambar 7.2.8.
Pembentukan matriks kovarians \(C=\frac13~AA^T\) menghasilkan \(C=\begin{bmatrix}
14/3 \amp 13/3 \\
13/3 \amp 14/3 \end{bmatrix}\text{,}\) yang memiliki nilai eigen \(\lambda_1=9\) dengan vektor eigen terkait \(\twovec{1/\sqrt{2}}{1/\sqrt{2}}\text{,}\) serta \(\lambda_2=1/3\) dengan vektor eigen terkait \(\twovec{-1/\sqrt{2}}{1/\sqrt{2}}\text{.}\)
Ingat bahwa varians pada arah \(\uvec\) adalah \(V_{\uvec} = \uvec\cdot(C\uvec) = q_C(\uvec)\text{.}\) Oleh karena itu, varians mencapai nilai maksimum 9 pada arah \(\twovec{1/\sqrt{2}}{1/\sqrt{2}}\) dan nilai minimum 1/3 pada arah \(\twovec{-1/\sqrt{2}}{1/\sqrt{2}}\text{.}\)Gambar 7.2.9 menunjukkan proyeksi data pada garis-garis yang ditentukan oleh vektor-vektor ini.
Kisi koordinat \(1\times1\) standar, sepasang sumbu, dan tiga titik data, \((2,1)\text{,}\)\((1,2)\text{,}\) dan \((-3,-3)\text{.}\) Ditampilkan pula proyeksi ortogonal titik-titik tersebut pada garis yang ditentukan oleh vektor eigen \(\twovec{1/\sqrt{2}}{1/\sqrt{2}}\text{.}\) Titik-titik hasil proyeksi ialah \((3/2,3/2)\text{,}\) yang muncul dua kali, dan \((-3,-3)\text{.}\)
Kisi koordinat \(1\times1\) standar, sepasang sumbu, dan tiga titik data, \((2,1)\text{,}\)\((1,2)\text{,}\) dan \((-3,-3)\text{.}\) Ditampilkan pula proyeksi ortogonal titik-titik tersebut pada garis yang ditentukan oleh vektor eigen \(\twovec{-1/\sqrt{2}}{1/\sqrt{2}}\text{.}\) Titik-titik hasil proyeksi ialah \((1/2,-1/2)\text{,}\)\((-1/2,1/2)\text{,}\) dan \((0,0)\text{.}\)
Sejauh ini kita berfokus mencari arah tempat suatu bentuk kuadratik mencapai nilai maksimum dan minimumnya. Namun, ada pengamatan penting lain setelah aktivitas ini. Ingat bahwa kita menggunakan fakta bahwa matriks simetris dapat didiagonalisasi secara ortogonal: jika \(A=QDQ^T\text{,}\) maka \(q_A(\uvec) = q_D(\vvec)\) dengan \(\vvec = Q^T\uvec\text{.}\)
Dengan kata lain, setelah perubahan koordinat, bentuk kuadratik \(q_A\) dapat dituliskan tanpa suku silang. Hasil ini dikenal sebagai Teorema Sumbu Utama.
Jika \(A\) adalah matriks simetris \(m\times m\) dengan nilai-nilai eigen \(\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m\text{,}\) maka bentuk kuadratik \(q_A\) dapat dituliskan, setelah perubahan koordinat ortogonal \(\yvec=Q^T\xvec\text{,}\) sebagai
Meskipun pertanyaan mengenai varians memberi kita motivasi untuk mempelajari bentuk kuadratik, fungsi-fungsi ini juga muncul dalam berbagai konteks lain sehingga layak dipelajari lebih lanjut. Sebagai contoh, bentuk kuadratik muncul dalam kalkulus multivariabel ketika mendeskripsikan perilaku fungsi beberapa variabel di sekitar titik kritis, dan dalam fisika ketika mendeskripsikan energi kinetik benda tegar.
Matriks simetris \(A\) disebut definit positif jika bentuk kuadratik terkait memenuhi \(q_A(\xvec) \gt 0\) untuk setiap vektor tak nol \(\xvec\text{.}\) Jika \(q_A(\xvec) \geq 0\) untuk semua vektor tak nol \(\xvec\text{,}\) kita menyebut \(A\)semidefinit positif.
Aktivitas ini mempelajari hubungan antara nilai-nilai eigen suatu matriks simetris dan sifat definitnya.
Perhatikan matriks diagonal \(D=\begin{bmatrix}
4 \amp 0 \\
0 \amp 2 \\
\end{bmatrix}\) dan tuliskan bentuk kuadratiknya \(q_D(\xvec)\) dalam komponen-komponen \(\xvec=\twovec{x_1}{x_2}\text{.}\) Bagaimana hal ini membantu Anda menentukan apakah \(D\) definit positif?
Sekarang perhatikan \(D=\begin{bmatrix}
4 \amp 0 \\
0 \amp 0 \\
\end{bmatrix}\) dan tuliskan bentuk kuadratiknya \(q_D(\xvec)\) dalam \(x_1\) dan \(x_2\text{.}\) Apa yang dapat Anda simpulkan mengenai sifat definit \(D\text{?}\)
Misalkan \(A\) adalah matriks simetris dengan nilai eigen 4 dan 2, sehingga \(A=QDQ^T\text{,}\) dengan \(D=\begin{bmatrix}4 \amp 0 \\ 0 \amp 2
\end{bmatrix}\text{.}\) Jika \(\yvec = Q^T\xvec\text{,}\) maka \(q_A(\xvec) = q_D(\yvec)\text{.}\) Jelaskan mengapa hal ini menunjukkan bahwa \(A\) definit positif.
Seperti terlihat dalam aktivitas ini, sifat definit suatu matriks diagonal dapat ditentukan dengan mudah. Sebagai contoh, jika \(D=\begin{bmatrix} 7 \amp 0 \\ 0 \amp 5 \end{bmatrix}\text{,}\) then
Hal ini menunjukkan bahwa \(q_D(\xvec) \gt 0\) ketika \(x_1\) atau \(x_2\) tak nol, sehingga kita menyimpulkan bahwa \(D\) definit positif. Dengan cara yang sama, kita melihat bahwa \(D\) semidefinit positif jika semua entri diagonalnya tak negatif.
Memahami perilaku matriks diagonal ini memungkinkan kita memahami matriks simetris yang lebih umum. Seperti yang telah kita lihat, setelah perubahan koordinat, bentuk kuadratik untuk matriks simetris \(A=QDQ^T\) sama dengan bentuk kuadratik untuk matriks diagonal \(D\text{.}\) Secara khusus,
dengan \(\yvec=Q^T\xvec\text{.}\) Entri-entri diagonal \(D\) merupakan nilai-nilai eigen \(A\text{.}\) Karena itu, kita menyimpulkan bahwa \(q_A(\xvec) \gt 0\) jika semua nilai eigen \(A\) positif. Demikian pula, \(q_A(\xvec)\geq 0\) jika semua nilai eigennya tak negatif.
Matriks simetris bersifat definit positif jika semua nilai eigennya positif. Matriks tersebut bersifat semidefinit positif jika semua nilai eigennya tak negatif.
Sekarang kita akan menerapkan pengetahuan tentang bentuk kuadratik untuk mempelajari sifat titik kritis dalam kalkulus multivariabel. Bagian selanjutnya mengasumsikan bahwa pembaca mengenal konsep-konsep kalkulus multivariabel; pembaca lain dapat melewatinya.
Pertama, misalkan \(f(x,y)\) merupakan fungsi yang dapat didiferensialkan. Kita menggunakan \(f_x\) dan \(f_y\) untuk menyatakan turunan parsial \(f\) terhadap \(x\) dan \(y\text{.}\) Demikian pula, \(f_{xx}\text{,}\)\(f_{xy}\text{,}\)\(f_{yx}\text{,}\) dan \(f_{yy}\) menyatakan turunan parsial kedua. Ingat bahwa turunan parsial campuran \(f_{xy}\) dan \(f_{yx}\) sama di bawah asumsi ringan terhadap fungsi \(f\text{.}\) Pertanyaan umum dalam kalkulus ialah menentukan tempat fungsi ini mencapai nilai maksimum dan minimumnya.
Mari kita pelajari bagaimana pemahaman tentang bentuk kuadratik membantu kita menentukan perilaku fungsi \(f\) di sekitar titik kritis.
Perhatikan fungsi \(f(x,y) = 2x^3 - 6xy + 3y^2\text{.}\) Carilah turunan parsial \(f_{x}\) dan \(f_y\text{,}\) lalu gunakan ekspresi tersebut untuk menentukan titik-titik kritis \(f\text{.}\)
Pertama, perhatikan titik kritis \((1,1)\text{.}\) Gunakan pendekatan kuadrat di atas untuk memperoleh ekspresi yang mendekati \(f\) di sekitar titik kritis tersebut.
Ingat bahwa \((x_0,y_0)\) merupakan minimum lokal \(f\) jika \(f(x,y) \gt f(x_0,y_0)\) untuk titik-titik \((x,y)\) di sekitarnya. Jelaskan mengapa pengetahuan kita tentang nilai-nilai eigen \(A\) menunjukkan bahwa \((1,1)\) merupakan minimum lokal \(f\text{.}\)
dengan \(\wvec = \twovec{x-x_0}{y-y_0}\) dan \(A = \frac12
\begin{bmatrix}
f_{xx}(x_0,y_0) \amp f_{xy}(x_0,y_0) \\
f_{yx}(x_0,y_0) \amp f_{yy}(x_0,y_0)
\end{bmatrix}\text{.}\) Jika \(A\) definit positif, maka \(q_A(\wvec) \gt 0\text{,}\) yang menunjukkan bahwa
disebut matriks Hessian dari \(f\text{.}\) Sekarang kita melihat bahwa nilai-nilai eigen matriks simetris ini menentukan sifat titik kritis \((x_0,y_0)\text{.}\) Secara khusus, jika kedua nilai eigennya positif, maka \(q_H\) definit positif dan titik kritis tersebut merupakan minimum lokal.
Kebanyakan buku kalkulus multivariabel mengasumsikan bahwa pembaca belum mengenal aljabar linear. Karena itu, uji turunan kedua untuk fungsi dua variabel biasanya dituliskan dalam \(D=\det(H)\text{.}\) Jika
\(D \gt 0\) dan \(f_{xx}(x_0,y_0) \gt 0\text{,}\) maka \((x_0, y_0)\) merupakan minimum lokal.
Bagian ini membahas bentuk kuadratik, yaitu fungsi-fungsi yang didefinisikan oleh matriks simetris.
Jika \(A\) adalah matriks simetris, bentuk kuadratik yang didefinisikan oleh \(A\) ialah fungsi \(q_A(\xvec) =
\xvec\cdot(A\xvec)\text{.}\) Bentuk kuadratik muncul ketika kita mempelajari varians suatu himpunan data. Jika \(C\) merupakan matriks kovarians, varians pada arah yang ditentukan oleh vektor satuan \(\uvec\) adalah \(q_C(\uvec) =
\uvec\cdot(C\uvec)=V_{\uvec}\text{.}\)
Jika \(\lambda_1\) adalah nilai eigen terbesar matriks simetris \(A\) dan \(\lambda_m\) adalah yang terkecil, maka nilai maksimum \(q_A(\uvec)\) di antara vektor-vektor satuan \(\uvec\) adalah \(\lambda_1\text{.}\) Nilai maksimum ini tercapai pada arah \(\uvec_1\text{,}\) yaitu vektor eigen satuan yang terkait dengan \(\lambda_1\text{.}\)
Demikian pula, nilai minimum \(q_A(\uvec)\) adalah \(\lambda_m\text{,}\) yang tercapai pada arah \(\uvec_m\text{,}\) yaitu vektor eigen yang terkait dengan \(\lambda_m\text{.}\)
Matriks simetris bersifat definit positif jika semua nilai eigennya positif, semidefinit positif jika semua nilai eigennya tak negatif, dan tak definit jika memiliki nilai eigen positif maupun negatif.
Jika matriks Hessian \(H\) suatu fungsi multivariabel \(f\) definit positif pada sebuah titik kritis, maka titik kritis tersebut merupakan minimum lokal. Demikian pula, jika matriks Hessiannya definit negatif, titik kritis tersebut merupakan maksimum lokal.
Tentukan nilai maksimum dan minimum \(q(\uvec)\) di antara semua vektor satuan \(\uvec\text{,}\) serta jelaskan arah-arah tempat nilai tersebut dicapai.
Tentukan matriks \(Q\) sedemikian sehingga perubahan koordinat \(\yvec = Q^T\xvec\) mentransformasikan bentuk kuadratik menjadi bentuk tanpa suku silang. Tuliskan bentuk kuadratik tersebut dalam \(\yvec\text{.}\)
Jika \(A\) adalah matriks simetris \(2\times2\) dan nilai maksimum dan minimum \(q_A(\uvec)\) dicapai pada \(\twovec10\) dan \(\twovec01\text{,}\) maka \(A\) diagonal.
Tentukan titik-titik kritis untuk setiap fungsi berikut. Pada setiap titik kritis, tentukan matriks Hessian \(H\text{,}\) jelaskan sifat definit \(H\text{,}\) dan tentukan apakah titik kritis tersebut merupakan maksimum atau minimum lokal.
