Prakata Tujuan kita
Buku ini merupakan buku teks untuk mata kuliah aljabar linear tahun pertama. Tentu saja, sudah tersedia banyak buku teks aljabar linear yang baik. Sekalipun Anda membaca buku ini secara daring dan gratis, perlu Anda ketahui bahwa ada pula buku teks aljabar linear gratis lainnya yang tersedia secara daring. Anda memiliki pilihan! Jadi, mengapa memilih buku ini?
Buku ini lahir dari keyakinan saya bahwa aljabar linear, sebagaimana disajikan dalam kurikulum sarjana tradisional, sudah terlalu lama hidup di bawah bayang-bayang kalkulus. Banyak program studi matematika saat ini mewajibkan mahasiswanya menempuh sedikitnya tiga semester kalkulus, tetapi hanya satu semester aljabar linear, yang sering kali mensyaratkan dua semester kalkulus sebagai prasyarat.
Selain itu, materi yang dijumpai mahasiswa aljabar linear kerap disajikan dengan cara yang terlalu formal sehingga tidak sepenuhnya mencerminkan ragam pemikiran aljabar linear. Bahkan, banyak program menggunakan mata kuliah pertama aljabar linear sebagai mata kuliah “pengantar pembuktian”. Meskipun aljabar linear merupakan pengantar yang sangat baik bagi penalaran matematis, menekankan aspek ini saja mengabaikan beberapa kebutuhan penting mahasiswa.
Tentu saja, aljabar linear berlandaskan sekumpulan prinsip abstrak. Namun, prinsip-prinsip ini mendasari rentang teknologi yang luar biasa luas dan membentuk masyarakat kita secara mendalam. Interaksi antara prinsip tersebut dan penerapannya memberikan kesempatan unik untuk bekerja bersama mahasiswa. Pertama, pembahasan masalah dunia nyata yang penting memberi pijakan bagi pemikiran matematis abstrak dengan cara yang memperdalam pemahaman mahasiswa. Pada saat yang sama, beragam cara untuk menerapkan prinsip-prinsip abstrak tersebut memperlihatkan dengan jelas kepada mahasiswa kekuatan abstraksi matematis. Aljabar linear memungkinkan mahasiswa mengalami apa yang oleh fisikawan Eugene Wigner disebut “keefektifan matematika yang tak masuk akal dalam ilmu-ilmu alam,” suatu aspek matematika yang sekaligus mendasar dan misterius.
Mengabaikan pengalaman ini tidaklah menguntungkan mahasiswa kita. Misalnya, hanya sekitar 15% mahasiswa jurusan matematika saat ini yang akan melanjutkan ke program pascasarjana. Selebihnya menuju karier yang menuntut mereka menggunakan pendidikan matematikanya dalam bisnis, industri, dan pemerintahan. Seperti apa karier tersebut saat ini? Di antaranya analitika data dan penambangan data, grafika komputer, pengembangan perangkat lunak, keuangan, dan riset operasi. Karier-karier ini jauh lebih bergantung pada aljabar linear daripada pada kalkulus. Selain membantu mahasiswa menghargai perubahan mendalam yang dibawa matematika bagi masyarakat kita, pelatihan aljabar linear yang lebih banyak akan membantu mereka turut berperan dalam perkembangan yang niscaya akan datang.
Gagasan-gagasan ini bukan hanya milik saya dan juga tidak terlalu baru. Linear Algebra Curriculum Study Group, kelompok yang beranggotakan beragam matematikawan dan pendidik matematika serta didanai National Science Foundation, dibentuk untuk memperbaiki pengajaran aljabar linear. Dalam laporan akhirnya, mereka menulis
Semakin banyak pihak merasa khawatir bahwa kurikulum aljabar linear di banyak perguruan tinggi tidak memadai dalam memenuhi kebutuhan mahasiswa yang hendak dilayaninya. Dalam beberapa tahun terakhir, permintaan akan pelatihan aljabar linear meningkat dalam bidang-bidang pengguna seperti teknik, ilmu komputer, riset operasi, ekonomi, dan statistika. Pada saat yang sama, peningkatan perangkat keras dan perangkat lunak dalam ilmu komputer telah memperbesar kemampuan aljabar linear untuk menyelesaikan masalah yang ukurannya beberapa orde magnitudo lebih besar daripada yang dapat dibayangkan beberapa dasawarsa lalu. Namun, dalam banyak mata kuliah, pentingnya aljabar linear bagi bidang terapan tidak disampaikan kepada mahasiswa, dan pengaruh komputer tidak terasa di ruang kelas, baik dalam pemilihan topik maupun cara penyajiannya. Selain itu, penekanan yang berlebihan pada abstraksi dapat membuat mahasiswa pemula kewalahan hingga mereka menyelesaikan mata kuliah dengan sedikit pemahaman atau penguasaan atas konsep-konsep dasar yang mungkin diperlukan dalam mata kuliah berikutnya dan dalam karier mereka.
Selain itu, salah satu rekomendasi mereka adalah sebagai berikut:
Kami percaya bahwa mata kuliah pertama aljabar linear seharusnya diajarkan dengan cara yang mencerminkan peran barunya sebagai alat ilmiah. Hal ini berarti mengurangi penekanan pada abstraksi dan lebih menekankan pemecahan masalah serta penerapan yang memotivasi.
Yang mungkin mengejutkan adalah bahwa pernyataan ini ditulis pada 1993; yakni sebelum diperkenalkannya algoritma PageRank Google, sebelum Toy Story karya Pixar, dan sebelum bangkitnya apa yang sering disebut sains data atau pembelajaran mesin membuat pernyataan tersebut semakin relevan.
Dengan mempertimbangkan gagasan-gagasan tersebut, buku ini bertujuan memfasilitasi pengalaman aljabar linear yang lebih utuh dan kaya bagi semua mahasiswa. Tujuan itu mendasari keputusan-keputusan berikut.
-
Buku ini ditulis tanpa mengasumsikan bahwa mahasiswa telah menempuh mata kuliah kalkulus. Dengan keputusan ini, saya berharap mahasiswa memperoleh pengalaman matematika yang lebih autentik melalui aljabar linear pada tahap yang lebih awal dalam perjalanan akademiknya.Prasyarat bertingkat yang relatif tinggi dan berpuncak pada mata kuliah yang sering disebut “Prakalkulus” merupakan salah satu penghalang umum bagi keberhasilan mahasiswa dalam kalkulus. Sebaliknya, aljabar linear berawal dari asumsi yang jauh lebih sederhana mengenai bekal mahasiswa: ekspresi yang dipelajari bersifat linear dan dapat dievaluasi hanya dengan empat operasi aritmetika dasar.Penjelasan yang paling sering saya dengar untuk mensyaratkan kalkulus sebelum aljabar linear adalah bahwa kalkulus menumbuhkan “kematangan matematis” yang bermanfaat pada diri mahasiswa. Namun, mengingat kesulitan mahasiswa dalam kalkulus yang terus berlangsung, sama masuk akalnya untuk mengembangkan kemampuan mereka bernalar secara matematis melalui aljabar linear.
-
Teks ini memuat sejumlah penerapan penting dari konsep-konsep utama aljabar linear, seperti animasi komputer, algoritma kompresi JPEG, dan algoritma PageRank Google. Berdasarkan pengalaman saya, mahasiswa menganggap penerapan-penerapan ini lebih autentik dan menarik daripada penerapan yang lazim disajikan dalam mata kuliah kalkulus. Penerapan tersebut juga memberikan alasan yang kuat bagi abstraksi matematis, yang dapat terasa tidak perlu bagi mahasiswa pemula, serta memperlihatkan bagaimana matematika membentuk dunia kita saat ini.
-
Setiap bagian diawali dengan aktivitas pratinjau dan memuat sejumlah aktivitas yang dapat digunakan untuk memfasilitasi pembelajaran aktif di ruang kelas. Kini, efektivitas pembelajaran aktif dalam membantu mahasiswa mengembangkan pemahaman mendalam atas konsep-konsep matematis penting tidak lagi diragukan. Aktivitas-aktivitas di sini dirancang untuk memperkuat gagasan yang sudah dijumpai, menunjukkan mengapa gagasan berikutnya diperlukan, dan membantu mahasiswa mengenali berbagai perwujudan dari tema-tema sederhana yang mendasarinya. Sedapat mungkin, mahasiswa diminta mengembangkan gagasan baru dan menjadikannya milik mereka sendiri.
-
Aktivitas-aktivitas tersebut menekankan rentang pemikiran matematis yang luas. Alih-alih menyajikan siklus tradisional Definisi–Teorema–Bukti, Memahami Aljabar Linear bertujuan menumbuhkan apresiasi terhadap gagasan yang muncul sebagai tanggapan atas kebutuhan yang dirasakan mahasiswa. Dengan meniru cara kerja matematikawan peneliti, mahasiswa diminta menelaah contoh-contoh yang memperlihatkan pentingnya konsep kunci sehingga definisi muncul sebagai label alami untuk mengenali konsep-konsep tersebut. Kembali menggunakan contoh sebagai motivasi, mahasiswa diminta bernalar secara matematis dan menjelaskan gejala umum yang mereka amati, yang kemudian dicatat sebagai teorema dan proposisi. Namun, buku ini tidak dimaksudkan untuk mengembangkan kemampuan mahasiswa menulis bukti formal.
-
Terdapat banyak sel Sage tertanam yang membantu mengembangkan kecakapan komputasi mahasiswa. Dampak aljabar linear terhadap masyarakat kita terikat erat dengan peningkatan luar biasa pada daya komputasi selama setengah abad terakhir. Bahkan, Carl Cowen, mantan presiden Mathematical Association of America, mengatakan, “Tidak ada penerapan aljabar linear yang serius tanpa komputer.” Artinya, pemahaman aljabar linear belum lengkap tanpa memahami bagaimana gagasan-gagasan aljabar linear diterapkan dalam lingkungan komputasi.
-
Teks ini bertujuan memanfaatkan intuisi geometris untuk memperkuat cara berpikir aljabar. Meskipun gejala dalam ribuan dimensi mungkin sulit divisualisasikan, banyak konsep aljabar linear dapat digambarkan secara efektif dalam dua atau tiga dimensi, lalu intuisi yang dihasilkan diterapkan secara lebih umum. Bahkan, interaksi yang berguna antara geometri dan aljabar ini menggambarkan satu lagi hubungan matematis misterius di antara bidang-bidang yang tampak terpisah.
Saya berharap Memahami Aljabar Linear berguna bagi Anda, baik sebagai mahasiswa yang sedang mengikuti mata kuliah aljabar linear, seseorang yang sekadar tertarik belajar mandiri, maupun pengajar yang mencari gagasan untuk digunakan bersama mahasiswa. Saya akan sangat senang menerima masukan Anda.