Subbagian 3.1.2 Matriks invertibel
Aktivitas pratinjau dimulai dengan jenis persamaan yang sudah dikenal,
\(3x = 5\text{,}\) dan meminta strategi untuk menyelesaikannya. Salah satu jawaban yang mungkin adalah membagi kedua ruas dengan 3. Sebagai gantinya, mari kita nyatakan kembali langkah ini sebagai perkalian dengan
\(3^{-1} = \frac
13\text{,}\) yaitu invers perkalian dari 3.
Karena sekarang kita hendak menyelesaikan persamaan berbentuk
\(A\xvec = \bvec\text{,}\) kita dapat mencoba menemukan pendekatan yang serupa. Adakah matriks
\(A^{-1}\) yang berperan sebagai invers perkalian dari
\(A\text{?}\) Tentu saja, bilangan real
\(0\) tidak memiliki invers perkalian, sehingga kita tidak dapat mengharapkan setiap matriks memiliki invers perkalian. Namun, kita akan melihat bahwa banyak matriks memilikinya.
Definisi 3.1.1.
Matriks
\(n\times n\) \(A\) disebut
invertibel jika terdapat matriks
\(B\) sedemikian sehingga
\(AB = I_n\text{,}\) dengan
\(I_n\) matriks identitas
\(n\times n\text{.}\) Matriks
\(B\) disebut
invers dari
\(A\) dan dinotasikan dengan
\(A^{-1}\text{.}\)
Perhatikan bahwa kita hanya mendefinisikan invertibilitas untuk matriks yang memiliki jumlah baris dan kolom yang sama; dalam hal ini kita mengatakan bahwa matriks tersebut
persegi.
Contoh 3.1.2.
Misalkan \(A\) adalah matriks yang memutar vektor dua dimensi sebesar \(90^\circ\) berlawanan arah jarum jam dan \(B\) memutar vektor sebesar \(-90^\circ\text{.}\) Kita memperoleh
\begin{equation*}
A=\left[\begin{array}{rr}
0 \amp -1 \\
1 \amp 0 \\
\end{array}\right],~~~
B=\left[\begin{array}{rr}
0 \amp 1 \\
-1 \amp 0 \\
\end{array}\right].
\end{equation*}
Kita dapat memeriksa bahwa
\begin{equation*}
AB = \begin{bmatrix}
0 \amp -1 \\
1 \amp 0 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
0 \amp 1 \\
-1 \amp 0 \\
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
1 \amp 0 \\
0 \amp 1 \\
\end{bmatrix}
= I
\end{equation*}
yang menunjukkan bahwa \(A\) invertibel dan \(A^{-1}=B\text{.}\)
Perhatikan bahwa jika kita mengalikan matriks-matriks tersebut dengan urutan yang berlawanan, kita memperoleh
\(BA=I\text{.}\) Hal ini menyatakan bahwa
\(B\) juga invertibel dan
\(B^{-1} = A\text{.}\) Dengan kata lain,
\(A\) dan
\(B\) saling merupakan invers.
Kegiatan 3.1.2.
Aktivitas ini memperagakan suatu prosedur untuk menentukan invers matriks \(A\text{.}\)
-
Misalkan \(A = \begin{bmatrix}
3 \amp -2 \\
1 \amp -1 \\
\end{bmatrix}
\text{.}\) Untuk menentukan invers \(B\text{,}\) kita menuliskan kolom-kolomnya sebagai \(B = \begin{bmatrix}\bvec_1 \amp \bvec_2
\end{bmatrix}\) dan mensyaratkan bahwa
\begin{equation*}
\begin{aligned}
AB \amp = I \\
\begin{bmatrix}
A\bvec_1 \amp A\bvec_2
\end{bmatrix}
\amp =
\begin{bmatrix}
1 \amp 0 \\
0 \amp 1 \\
\end{bmatrix}.
\end{aligned}
\end{equation*}
Dengan kata lain, kita dapat menentukan kolom-kolom \(B\) dengan menyelesaikan persamaan
\begin{equation*}
A\bvec_1 = \twovec10,~~~
A\bvec_2 = \twovec01.
\end{equation*}
Selesaikan persamaan-persamaan ini untuk menentukan \(\bvec_1\) dan \(\bvec_2\text{.}\) Kemudian tuliskan matriks \(B\) dan verifikasi bahwa \(AB=I\text{.}\) Hal ini cukup untuk menyimpulkan bahwa \(B\) adalah invers dari \(A\text{.}\)
-
Tentukan hasil kali
\(BA\) dan jelaskan mengapa sekarang kita mengetahui bahwa
\(B\) invertibel dan
\(B^{-1}=A\text{.}\)
-
Apa yang terjadi ketika Anda mencoba menentukan invers dari
\(C = \begin{bmatrix}
-2 \amp 1 \\
4 \amp -2 \\
\end{bmatrix}\text{?}\)
-
Sekarang kita akan mengembangkan suatu syarat yang harus dipenuhi oleh matriks invertibel. Misalkan \(A\) adalah matriks \(n\times n\) invertibel dengan invers \(B\text{,}\) dan misalkan \(\bvec\) adalah sembarang vektor berdimensi \(n\text{.}\) Karena \(AB=I\text{,}\) kita memperoleh
\begin{equation*}
A(B\bvec) = (AB)\bvec = I\bvec = \bvec.
\end{equation*}
Hal ini menyatakan bahwa persamaan \(A\xvec = \bvec\) konsisten dan bahwa \(\xvec=B\bvec\) merupakan suatu solusi.
Karena kita mengetahui bahwa
\(A\xvec = \bvec\) konsisten untuk setiap vektor
\(\bvec\text{,}\) apa yang dinyatakan hal ini tentang rentang linear kolom-kolom
\(A\text{?}\)
-
Karena
\(A\) adalah matriks persegi, apa yang dinyatakan hal ini tentang posisi-posisi pivot
\(A\text{?}\) Apa bentuk eselon baris tereduksi dari
\(A\text{?}\)
-
Dalam aktivitas ini, kita telah mempelajari matriks-matriks
\begin{equation*}
A = \begin{bmatrix}
3 \amp -2 \\
1 \amp -1 \\
\end{bmatrix},~~~
C = \begin{bmatrix}
-2 \amp 1 \\
4 \amp -2 \\
\end{bmatrix}.
\end{equation*}
Tentukan bentuk eselon baris tereduksi masing-masing matriks dan jelaskan bagaimana bentuk-bentuk itu memungkinkan kita menyimpulkan bahwa satu matriks invertibel, sedangkan yang lain tidak.
Contoh 3.1.3.
Kita dapat merumuskan kembali prosedur untuk menentukan invers suatu matriks. Agar mudah, misalkan \(A\) adalah matriks invertibel \(2\times2\) dengan invers \(B=\begin{bmatrix} \bvec_1 \amp \bvec_2 \end{bmatrix}\text{.}\) Alih-alih menyelesaikan persamaan
\begin{equation*}
A\bvec_1 = \twovec10,~~~
A\bvec_2 = \twovec01
\end{equation*}
secara terpisah, kita dapat menyelesaikan keduanya sekaligus dengan memperbesar \(A\) menggunakan kedua vektor \(\twovec10\) dan \(\twovec01\text{,}\) lalu menentukan bentuk eselon baris tereduksinya.
Sebagai contoh, jika \(A =
\begin{bmatrix}
1 \amp 2 \\
1 \amp 1 \\
\end{bmatrix}\text{,}\) kita membentuk
\begin{equation*}
\left[
\begin{array}{rr|rr}
1 \amp 2 \amp 1 \amp 0 \\
1 \amp 1 \amp 0 \amp 1 \\
\end{array}
\right]
\sim
\left[
\begin{array}{rr|rr}
1 \amp 0 \amp -1 \amp 2 \\
0 \amp 1 \amp 1 \amp -1 \\
\end{array}
\right].
\end{equation*}
Hal ini menunjukkan bahwa matriks \(B =
\begin{bmatrix}
-1 \amp 2 \\
1 \amp -1 \\
\end{bmatrix}\) adalah invers dari \(A\text{.}\)
Dengan kata lain, mulai dari \(A\text{,}\) kita memperbesarnya dengan matriks identitas dan menentukan bentuk eselon baris tereduksi untuk memperoleh \(A^{-1}\text{:}\)
\begin{equation*}
\left[
\begin{array}{r|r}
A \amp I \\
\end{array}
\right]
\sim
\left[
\begin{array}{r|r}
I \amp A^{-1} \\
\end{array}
\right].
\end{equation*}
Sebenarnya, perumusan kembali ini selalu berlaku. Misalkan
\(A\) adalah matriks invertibel
\(n\times n\) dengan invers
\(B\text{.}\) Misalkan pula
\(\bvec\) adalah sembarang vektor berdimensi
\(n\text{,}\) dan perhatikan persamaan
\(A\xvec = \bvec\text{.}\) Kita mengetahui bahwa
\(\xvec=B\bvec\) merupakan solusi karena
\(A(B\bvec) = (AB)\bvec = I\bvec = \bvec.\)
Proposisi 3.1.4.
Jika
\(A\) adalah matriks invertibel dengan invers
\(B\text{,}\) maka setiap persamaan
\(A\xvec = \bvec\) konsisten dan
\(\xvec = B\bvec\) merupakan solusi. Dengan kata lain, solusi persamaan
\(A\xvec = \bvec\) adalah
\(\xvec =
A^{-1}\bvec\text{.}\)
Perhatikan bahwa hal ini serupa dengan menyatakan bahwa solusi
\(3x=5\) adalah
\(x = \frac13\cdot 5\text{,}\) seperti yang kita lihat dalam aktivitas pratinjau.
Karena
\(A\xvec=\bvec\) konsisten untuk setiap vektor
\(\bvec\text{,}\) kolom-kolom
\(A\) harus merentang
\(\real^n\text{,}\) sehingga terdapat posisi pivot pada setiap baris. Karena
\(A\) juga persegi, hal ini berarti bahwa bentuk eselon baris tereduksi dari
\(A\) adalah matriks identitas.
Proposisi 3.1.5.
Matriks \(A\) invertibel jika dan hanya jika bentuk eselon baris tereduksi dari \(A\) adalah matriks identitas: \(A\sim I\text{.}\) Selain itu, kita dapat menentukan inversnya dengan memperbesar \(A\) menggunakan matriks identitas dan menentukan bentuk eselon baris tereduksi:
\begin{equation*}
\left[
\begin{array}{r|r}
A \amp I \\
\end{array}
\right]
\sim
\left[
\begin{array}{r|r}
I \amp A^{-1} \\
\end{array}
\right].
\end{equation*}
Anda mungkin memperhatikan bahwa
Proposisi 3.1.4 menyatakan bahwa
solusi persamaan
\(A\xvec = \bvec\) adalah
\(\xvec =
A^{-1}\bvec\text{.}\) Memang, kita mengetahui bahwa persamaan ini memiliki solusi tunggal karena
\(A\) memiliki posisi pivot pada setiap kolom.
Penting untuk diingat bahwa hasil kali dua matriks bergantung pada urutan perkaliannya. Artinya, jika
\(C\) dan
\(D\) adalah matriks, kadang-kadang berlaku
\(CD \neq DC\text{.}\) Namun, sesuatu yang menguntungkan terjadi ketika kita memperhatikan invertibilitas. Ternyata, jika
\(A\) adalah matriks
\(n\times n\) dan
\(AB=I\text{,}\) maka
\(BA=I\) juga berlaku. Sejauh ini kita telah memverifikasi hal tersebut dalam beberapa contoh, dan
Latihan 3.1.6.12 menjelaskan mengapa hal itu selalu terjadi. Hal ini menghasilkan proposisi berikut.
Proposisi 3.1.6.
Jika \(A\) adalah matriks invertibel \(n\times n\) dengan invers \(B\text{,}\) maka \(BA=I\text{,}\) yang menyatakan bahwa \(B\) invertibel dengan invers \(A\text{.}\) Dengan kata lain,
\begin{equation*}
(A^{-1})^{-1} = A.
\end{equation*}
Subbagian 3.1.3 Menyelesaikan persamaan dengan invers
Jika
\(A\) adalah matriks invertibel, maka
Proposisi 3.1.4 menunjukkan cara menggunakan
\(A^{-1}\) untuk menyelesaikan persamaan yang melibatkan
\(A\text{.}\) Secara khusus, solusi persamaan
\(A\xvec = \bvec\) adalah
\(\xvec = A^{-1}\bvec\text{.}\)
Kegiatan 3.1.3.
Kita mulai dengan memperhatikan matriks persegi
\begin{equation*}
A = \begin{bmatrix}
1 \amp 0 \amp 2 \\
2 \amp 2 \amp 1 \\
1 \amp 1 \amp 1 \\
\end{bmatrix}.
\end{equation*}
-
Deskripsikan ruang solusi persamaan
\(A\xvec
= \threevec343\) dengan memperbesar
\(A\) dan menentukan bentuk eselon baris tereduksinya.
-
Dengan menggunakan
Proposisi 3.1.5, jelaskan mengapa
\(A\) invertibel dan tentukan inversnya.
-
Sekarang gunakan invers tersebut untuk menyelesaikan persamaan
\(A\xvec =
\threevec343\) dan verifikasi bahwa hasil Anda sesuai dengan yang Anda peroleh pada bagian a.
-
Jika Anda telah mendefinisikan matriks B dalam Sage, Anda dapat menentukan inversnya sebagai B.inverse() atau B^-1. Gunakan Sage untuk menentukan invers matriks
\begin{equation*}
B = \left[\begin{array}{rrr}
1 \amp -2 \amp -1 \\
-1 \amp 5 \amp 6 \\
5 \amp -4 \amp 6 \\
\end{array}\right]
\end{equation*}
dan gunakan invers tersebut untuk menyelesaikan persamaan \(B\xvec =
\threevec83{36}\text{.}\)
-
Jika
\(A\) dan
\(B\) adalah kedua matriks yang didefinisikan dalam aktivitas ini, tentukan hasil kalinya
\(AB\) dan verifikasi bahwa hasil tersebut invertibel.
-
Hitung hasil kali
\(A^{-1}B^{-1}\) dan
\(B^{-1}A^{-1}\text{.}\) Manakah yang sama dengan
\((AB)^{-1}\text{?}\)
-
Jelaskan temuan Anda dengan memperhatikan hasil kali
\begin{equation*}
(AB)(B^{-1}A^{-1})
\end{equation*}
dan menggunakan sifat asosiatif untuk mengelompokkan kembali hasil kali sehingga kedua suku di tengah dikalikan terlebih dahulu.
Proposisi berikut merangkum banyak hal yang telah kita temukan tentang matriks invertibel.
Proposisi 3.1.7. Sifat-sifat matriks invertibel.
-
Matriks
\(n\times n\) \(A\) invertibel jika dan hanya jika
\(A\sim I\text{.}\)
-
Jika
\(A\) invertibel, maka solusi persamaan
\(A\xvec = \bvec\) diberikan oleh
\(\xvec =
A^{-1}\bvec\text{.}\)
-
Kita dapat menentukan \(A^{-1}\) dengan menentukan bentuk eselon baris tereduksi dari \(\left[\begin{array}{r|r} A \amp I
\end{array}\right]\text{,}\) yaitu
\begin{equation*}
\left[\begin{array}{r|r} A \amp I \end{array}\right]
\sim
\left[\begin{array}{r|r} I \amp A^{-1} \end{array}\right]\text{.}
\end{equation*}
-
Jika
\(A\) dan
\(B\) adalah dua matriks invertibel
\(n\times
n\text{,}\) maka hasil kalinya
\(AB\) juga invertibel dan
\((AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}\text{.}\)
Terdapat rumus sederhana untuk menentukan invers matriks \(2\times2\text{:}\)
\begin{equation*}
\left[\begin{array}{rr}
a \amp b \\
c \amp d \\
\end{array}\right]^{-1}
=
\frac{1}{ad-bc}
\left[\begin{array}{rr}
d \amp -b \\
-c \amp a \\
\end{array}\right]\text{,}
\end{equation*}
yang dapat diperiksa dengan mudah. Dalam hal ini, syarat agar
\(A\) invertibel dapat disederhanakan menjadi
\(ad-bc\neq 0\text{.}\) Kita akan memahami syarat ini dengan lebih baik setelah mempelajari determinan dalam
Subbab 3.4. Terdapat rumus serupa untuk invers matriks
\(3\times
3\text{,}\) tetapi tidak ada alasan yang memadai untuk menuliskannya di sini.
Subbagian 3.1.4 Matriks segitiga dan eliminasi Gauss
Dengan beberapa gagasan yang telah kita kembangkan, kita dapat merumuskan kembali algoritma eliminasi Gauss dalam kerangka perkalian matriks dan invertibilitas. Hal ini akan sangat berguna nanti ketika kita mempelajari
determinan dan
faktorisasi LU. Matriks segitiga akan memainkan peran penting.
Definisi 3.1.8.
Kita mengatakan bahwa matriks
\(A\) adalah
segitiga bawah jika semua entrinya di atas diagonal bernilai nol. Demikian pula,
\(A\) adalah
segitiga atas jika semua entri di bawah diagonal bernilai nol.
Sebagai contoh, matriks \(L\) di bawah ini merupakan matriks segitiga bawah, sedangkan \(U\) merupakan matriks segitiga atas.
\begin{equation*}
L = \left[\begin{array}{rrrr}
* \amp 0 \amp 0 \amp 0 \\
* \amp * \amp 0 \amp 0 \\
* \amp * \amp * \amp 0 \\
* \amp * \amp * \amp * \\
\end{array}\right],
\hspace{24pt}
U =
\left[\begin{array}{rrrr}
* \amp * \amp * \amp * \\
0 \amp * \amp * \amp * \\
0 \amp 0 \amp * \amp * \\
0 \amp 0 \amp 0 \amp * \\
\end{array}\right]\text{.}
\end{equation*}
Kita dapat mengembangkan uji sederhana untuk menentukan apakah suatu matriks segitiga bawah \(n\times n\) invertibel. Mari kita gunakan eliminasi Gauss untuk menentukan bentuk eselon baris tereduksi dari matriks segitiga bawah
\begin{equation*}
\begin{aligned}
\left[\begin{array}{rrr}
1 \amp 0 \amp 0 \\
2 \amp -2 \amp 0 \\
-3 \amp 4 \amp -4 \\
\end{array}\right]
\amp {}\sim{}
\left[\begin{array}{rrr}
1 \amp 0 \amp 0 \\
0 \amp -2 \amp 0 \\
0 \amp 4 \amp -4 \\
\end{array}\right]
\\
\amp {}\sim{}
\left[\begin{array}{rrr}
1 \amp 0 \amp 0 \\
0 \amp -2 \amp 0 \\
0 \amp 0 \amp -4 \\
\end{array}\right]
\sim
\left[\begin{array}{rrr}
1 \amp 0 \amp 0 \\
0 \amp 1 \amp 0 \\
0 \amp 0 \amp 1 \\
\end{array}\right]\text{.}
\end{aligned}
\end{equation*}
Karena entri-entri pada diagonal tidak nol, kita memperoleh posisi pivot pada setiap baris, yang menyatakan bahwa matriks tersebut invertibel.
Namun, jika terdapat entri nol pada diagonal, matriks tersebut tidak mungkin invertibel. Dengan memperhatikan matriks di bawah ini, kita melihat bahwa keberadaan nol pada diagonal menghasilkan baris tanpa posisi pivot.
\begin{equation*}
\left[\begin{array}{rrr}
1 \amp 0 \amp 0 \\
2 \amp 0 \amp 0 \\
-3 \amp 4 \amp -4 \\
\end{array}\right]
\sim
\left[\begin{array}{rrr}
1 \amp 0 \amp 0 \\
0 \amp 0 \amp 0 \\
0 \amp 4 \amp -4 \\
\end{array}\right]
\sim
\left[\begin{array}{rrr}
1 \amp 0 \amp 0 \\
0 \amp 1 \amp -1 \\
0 \amp 0 \amp 0 \\
\end{array}\right]\text{.}
\end{equation*}
Proposisi 3.1.9.
Matriks segitiga
\(n\times n\) invertibel jika dan hanya jika semua entri pada diagonal tidak nol.
Kegiatan 3.1.4. Eliminasi Gauss dan perkalian matriks.
Aktivitas ini menelaah bagaimana operasi baris penskalaan, pertukaran, dan penggantian dapat dilakukan dengan menggunakan perkalian matriks.
Sebagai contoh, kita perhatikan matriks
\begin{equation*}
A = \left[\begin{array}{rrr}
1 \amp 2 \amp 1 \\
2 \amp 0 \amp -2 \\
-1 \amp 2 \amp -1 \\
\end{array}\right]
\end{equation*}
dan menerapkan operasi penggantian yang mengalikan baris pertama dengan \(-2\) dan menambahkannya ke baris kedua. Alih-alih melakukan operasi ini dengan cara biasa, kita membentuk matriks baru dengan menerapkan operasi penggantian yang diinginkan pada matriks identitas. Sebagai ilustrasi, kita mulai dengan matriks identitas
\begin{equation*}
I = \begin{bmatrix}
1 \amp 0 \amp 0 \\
0 \amp 1 \amp 0 \\
0 \amp 0 \amp 1 \\
\end{bmatrix}
\end{equation*}
dan membentuk matriks baru dengan mengalikan baris pertama dengan \(-2\) dan menambahkannya ke baris kedua sehingga diperoleh
\begin{equation*}
R = \begin{bmatrix}
1 \amp 0 \amp 0 \\
-2 \amp 1 \amp 0 \\
0 \amp 0 \amp 1 \\
\end{bmatrix}.
\end{equation*}
-
Tunjukkan bahwa hasil kali
\(RA\) merupakan hasil penerapan operasi penggantian pada
\(A\text{.}\)
-
Jelaskan mengapa
\(R\) invertibel dan tentukan inversnya
\(R^{-1}\text{.}\)
-
Deskripsikan hubungan antara
\(R\) dan
\(R^{-1}\text{,}\) lalu gunakan kaitannya dengan operasi penggantian untuk menjelaskan mengapa hubungan tersebut berlaku.
-
Operasi baris lainnya dapat dilakukan dengan prosedur serupa. Misalnya, misalkan kita ingin menskalakan baris kedua
\(A\) dengan faktor
\(4\text{.}\) Tentukan matriks
\(S\) sedemikian sehingga
\(SA\) sama dengan matriks yang diperoleh dari operasi penskalaan tersebut. Mengapa
\(S\) invertibel, dan berapakah
\(S^{-1}\text{?}\)
-
Terakhir, misalkan kita ingin mempertukarkan baris pertama dan ketiga dari
\(A\text{.}\) Tentukan matriks
\(P\text{,}\) yang biasanya disebut
matriks permutasi, yang melakukan operasi ini. Berapakah
\(P^{-1}\text{?}\)
-
Matriks semula \(A\) terlihat ekuivalen baris dengan matriks segitiga atas \(U\) setelah melakukan tiga operasi penggantian pada \(A\text{:}\)
\begin{equation*}
A = \left[\begin{array}{rrr}
1 \amp 2 \amp 1 \\
2 \amp 0 \amp -2 \\
-1 \amp 2 \amp -1 \\
\end{array}\right]
\sim
\left[\begin{array}{rrr}
1 \amp 2 \amp 1 \\
0 \amp -4 \amp -4 \\
0 \amp 0 \amp -4 \\
\end{array}\right] = U.
\end{equation*}
Tentukan matriks \(L_1\text{,}\) \(L_2\text{,}\) dan \(L_3\) yang melakukan operasi-operasi penggantian baris ini sehingga \(L_3L_2L_1 A = U\text{.}\)
-
Jelaskan mengapa hasil kali matriks
\(L_3L_2L_1\) invertibel, lalu gunakan fakta ini untuk menuliskan
\(A = LU\text{.}\) Matriks
\(L\) apakah yang Anda peroleh? Menurut Anda, mengapa kita menotasikannya dengan
\(L\text{?}\)
Berikut ini adalah contoh-contoh matriks, yang dikenal sebagai matriks elementer, yang melakukan operasi baris pada matriks yang memiliki tiga baris.
- Penggantian
-
Mengalikan baris kedua dengan 3 dan menambahkannya ke baris ketiga dilakukan oleh
\begin{equation*}
L = \begin{bmatrix}
1 \amp 0 \amp 0 \\
0 \amp 1 \amp 0 \\
0 \amp 3 \amp 1 \\
\end{bmatrix}.
\end{equation*}
Kita sering menggunakan \(L\) untuk mendeskripsikan matriks-matriks ini karena matriks tersebut segitiga bawah.
- Penskalaan
-
Mengalikan baris ketiga dengan 2 dilakukan oleh
\begin{equation*}
S = \begin{bmatrix}
1 \amp 0 \amp 0 \\
0 \amp 1 \amp 0 \\
0 \amp 0 \amp 2 \\
\end{bmatrix}.
\end{equation*}
- Pertukaran
-
Mempertukarkan dua baris pertama dilakukan oleh
\begin{equation*}
P = \begin{bmatrix}
0 \amp 1 \amp 0 \\
1 \amp 0 \amp 0 \\
0 \amp 0 \amp 1 \\
\end{bmatrix}.
\end{equation*}
Contoh 3.1.10.
Misalkan kita memiliki
\begin{equation*}
A = \left[\begin{array}{rrr}
1 \amp 3 \amp -2 \\
-3 \amp -6 \amp 3 \\
2 \amp 0 \amp -2 \\
\end{array}\right].
\end{equation*}
Untuk tahap substitusi maju dalam eliminasi Gauss, kita melakukan serangkaian tiga operasi penggantian. Operasi penggantian pertama mengalikan baris pertama dengan \(3\) dan menambahkan hasilnya ke baris kedua. Kita dapat melakukan operasi ini dengan mengalikan \(A\) dengan matriks segitiga bawah \(L_1\text{,}\) yaitu
\begin{equation*}
L_1A =
\left[\begin{array}{rrr}
1 \amp 0 \amp 0 \\
3 \amp 1 \amp 0 \\
0 \amp 0 \amp 1 \\
\end{array}\right]
\left[\begin{array}{rrr}
1 \amp 3 \amp -2 \\
-3 \amp -6 \amp 3 \\
2 \amp 0 \amp -2 \\
\end{array}\right]
=
\left[\begin{array}{rrr}
1 \amp 3 \amp -2 \\
0 \amp 3 \amp -3 \\
2 \amp 0 \amp -2 \\
\end{array}\right].
\end{equation*}
Dua operasi penggantian berikutnya dilakukan oleh matriks
\begin{equation*}
L_2 = \left[\begin{array}{rrr}
1 \amp 0 \amp 0 \\
0 \amp 1 \amp 0 \\
-2 \amp 0 \amp 1 \\
\end{array}\right],
\hspace{24pt}
L_3 = \left[\begin{array}{rrr}
1 \amp 0 \amp 0 \\
0 \amp 1 \amp 0 \\
0 \amp 2 \amp 1 \\
\end{array}\right]
\end{equation*}
sehingga
\begin{equation*}
L_3L_2L_1A = U = \begin{bmatrix}
1 \amp 3 \amp -2 \\
0 \amp 3 \amp -3 \\
0 \amp 0 \amp -4 \\
\end{bmatrix}.
\end{equation*}
Perhatikan bahwa invers dari \(L_1\) memiliki bentuk sederhana:
\begin{equation*}
L_1 = \left[\begin{array}{rrr}
1 \amp 0 \amp 0 \\
3 \amp 1 \amp 0 \\
0 \amp 0 \amp 1 \\
\end{array}\right],
\hspace{24pt}
L_1^{-1} = \left[\begin{array}{rrr}
1 \amp 0 \amp 0 \\
-3 \amp 1 \amp 0 \\
0 \amp 0 \amp 1 \\
\end{array}\right]\text{.}
\end{equation*}
Hal ini menyatakan bahwa jika kita ingin membatalkan operasi mengalikan baris pertama dengan \(3\) dan menambahkannya ke baris kedua, kita harus mengalikan baris pertama dengan \(-3\) dan menambahkannya ke baris kedua. Itulah pengaruh \(L_1^{-1}\text{.}\)
Perhatikan bahwa sekarang kita memiliki \(L_3L_2L_1A = U\text{,}\) yang menghasilkan
\begin{equation*}
\begin{aligned}
(L_3L_2L_1)A \amp = U \\
(L_3L_2L_1)^{-1}(L_3L_2L_1)A \amp =
(L_3L_2L_1)^{-1}U \\
A \amp = (L_3L_2L_1)^{-1}U = LU\\
\end{aligned}
\end{equation*}
dengan \(L\) merupakan matriks segitiga bawah
\begin{equation*}
L = (L_3L_2L_1)^{-1}=\begin{bmatrix}
1 \amp 0 \amp 0 \\
-3 \amp 1 \amp 0 \\
2 \amp -2 \amp 1 \\
\end{bmatrix}.
\end{equation*}
Cara menuliskan
\(A=LU\) sebagai hasil kali matriks segitiga bawah dan matriks segitiga atas ini dikenal sebagai faktorisasi
\(LU\) dari
\(A\text{,}\) dan kegunaannya akan dipelajari dalam
Subbab 5.1.
