Pada intinya, aljabar linear membahas persamaan linear dan, secara lebih khusus, himpunan yang terdiri atas dua atau lebih persamaan linear. Google secara rutin menangani himpunan yang terdiri atas triliunan persamaan, yang masing-masing memiliki triliunan peubah tak diketahui. Pada akhirnya, kita akan memahami cara menangani kerumitan semacam itu. Namun, sebagai permulaan, kita akan mempelajari situasi yang lebih familier, yaitu situasi dengan sedikit persamaan dan sedikit peubah tak diketahui. Meskipun relatif sederhana, situasi ini cukup kaya untuk memperlihatkan beberapa konsep mendasar yang akan memotivasi sebagian besar penelusuran kita.
Dalam kegiatan ini, kita mempelajari himpunan persamaan linear yang hanya memiliki dua peubah tak diketahui. Dalam kasus ini, kita dapat menggambar grafik himpunan solusi persamaan-persamaan tersebut sehingga berbagai jenis perilakunya dapat kita visualisasikan.
Kisi koordinat dan sumbu dengan koordinat horizontal dan vertikal yang berkisar dari -4 hingga 4. Tidak terdapat unsur lain karena pembaca diminta menggambar dua garis dengan menggunakan gambar ini sebagai panduan.
Kisi koordinat dan sumbu dengan koordinat horizontal dan vertikal yang berkisar dari -4 hingga 4. Tidak terdapat unsur lain karena pembaca diminta menggambar dua garis dengan menggunakan gambar ini sebagai panduan.
Kisi koordinat dan sumbu dengan koordinat horizontal dan vertikal yang berkisar dari -4 hingga 4. Tidak terdapat unsur lain karena pembaca diminta menggambar satu garis dengan menggunakan gambar ini sebagai panduan.
Kisi koordinat dan sumbu dengan koordinat horizontal dan vertikal yang berkisar dari -4 hingga 4. Tidak terdapat unsur lain karena pembaca diminta menggambar tiga garis dengan menggunakan gambar ini sebagai panduan.
Contoh-contoh dalam kegiatan pendahuluan ini memperlihatkan beberapa hasil yang mungkin bagi solusi suatu himpunan persamaan linear. Perhatikan bahwa kita mencari titik-titik yang memenuhi setiap persamaan dalam himpunan tersebut dan bahwa titik-titik itu terlihat sebagai titik potong garis-garis. Seperti pada contoh-contoh yang dipelajari dalam kegiatan tersebut, tiga jenis hasil ditampilkan pada Gambar 1.1.5.
Gambar1.1.5.Tiga himpunan persamaan linear yang memperlihatkan bahwa suatu himpunan dapat memiliki tak berhingga banyak solusi, tepat satu solusi, atau tidak memiliki solusi.
Penambahan persamaan kedua menambahkan syarat lain yang kita berlakukan pada titik-titik \((x,y)\text{,}\) sehingga menghasilkan satu titik yang memenuhi kedua persamaan.
Secara umum, satu persamaan akan memiliki banyak solusi, bahkan tak berhingga banyaknya. Ketika kita menambahkan persamaan, kita menambahkan syarat yang—dalam pengertian yang kelak akan kita rumuskan secara tepat—menghasilkan jumlah solusi yang lebih sedikit. Pada akhirnya, kita memiliki terlalu banyak persamaan dan mendapati bahwa tidak ada titik yang memenuhi semuanya.
Perhatikan bahwa kita dapat melihat sedikit lebih jauh. Pada Gambar 1.1.5, kita mempelajari persamaan dalam dua peubah tak diketahui. Di sini kita melihat bahwa
Satu persamaan memiliki tak berhingga banyak solusi.
Wajar jika kita bertanya apakah jumlah solusi bergantung pada apakah jumlah persamaan lebih kecil daripada, sama dengan, atau lebih besar daripada jumlah peubah tak diketahui. Tentu saja, salah satu contoh dalam kegiatan tersebut menunjukkan bahwa terdapat pengecualian terhadap kaidah sederhana ini, sebagaimana terlihat pada Gambar 1.1.6. Misalnya, dua persamaan dalam dua peubah tak diketahui dapat bersesuaian dengan garis-garis sejajar sehingga himpunan persamaan tersebut tidak memiliki solusi. Dapat pula terjadi bahwa himpunan tiga persamaan dalam dua peubah tak diketahui memiliki satu solusi. Namun, tampaknya aman untuk beranggapan bahwa semakin banyak persamaan yang kita miliki, semakin kecil himpunan solusinya.
Ditampilkan tiga garis pada bidang dua dimensi yang berpotongan di satu titik. Hal ini memperlihatkan bahwa himpunan tiga persamaan dalam dua peubah tak diketahui dapat memiliki tepat satu solusi.
Gambar1.1.6.Himpunan dua persamaan dalam dua peubah tak diketahui dapat tidak memiliki solusi, sedangkan himpunan tiga persamaan dapat memiliki satu solusi.
Mari kita pelajari juga beberapa contoh persamaan yang memiliki tiga peubah tak diketahui, yang kita sebut \(x\text{,}\)\(y\text{,}\) dan \(z\text{.}\) Sebagaimana solusi persamaan linear dalam dua peubah tak diketahui membentuk garis lurus, solusi persamaan linear dalam tiga peubah tak diketahui membentuk bidang.
Ketika mempelajari suatu persamaan dalam tiga peubah tak diketahui secara grafis, kita perlu menambahkan sumbu koordinat ketiga, sebagaimana ditampilkan pada Gambar 1.1.7.
Sebagaimana ditampilkan pada Gambar 1.1.8, persamaan linear dalam dua peubah tak diketahui, seperti \(y=0\text{,}\) merupakan garis, sedangkan persamaan linear dalam tiga peubah tak diketahui, seperti \(z=0\text{,}\) merupakan bidang.
Dalam tiga peubah tak diketahui, himpunan solusi satu persamaan linear membentuk bidang. Himpunan solusi sepasang persamaan linear terlihat secara grafis sebagai perpotongan kedua bidang. Seperti pada Gambar 1.1.9, kita biasanya mengharapkan perpotongan ini berupa garis.
Ketika kita menambahkan persamaan ketiga, kita mencari perpotongan tiga bidang, yang kita harapkan membentuk satu titik, seperti di sebelah kiri Gambar 1.1.10. Namun, dalam kasus khusus tertentu, mungkin saja tidak ada solusi, seperti yang terlihat di sebelah kanan.
Himpunan tiga persamaan dalam tiga peubah tak diketahui ini direpresentasikan oleh tiga bidang yang tidak memiliki titik potong bersama. Hal ini memperlihatkan bahwa himpunan tiga persamaan dalam tiga peubah tak diketahui dapat tidak memiliki solusi.
Kegiatan ini mempelajari himpunan persamaan yang memiliki tiga peubah tak diketahui. Dalam kasus ini, kita mengetahui bahwa solusi satu persamaan membentuk bidang. Jika membantu visualisasi, pertimbangkan untuk menggunakan kartu indeks berukuran \(3\times5\) inci sebagai representasi bidang.
Mungkinkah dua persamaan linear dalam tiga peubah tak diketahui tidak memiliki solusi? Buatlah sketsa contoh atau nyatakan alasan mengapa hal itu tidak mungkin terjadi.
Mungkinkah terdapat tepat satu solusi untuk dua persamaan linear dalam tiga peubah tak diketahui? Buatlah sketsa contoh atau nyatakan alasan mengapa hal itu tidak mungkin terjadi.
Mungkinkah solusi empat persamaan dalam tiga peubah tak diketahui membentuk garis? Buatlah sketsa contoh atau nyatakan alasan mengapa hal itu tidak mungkin terjadi.
Misalkan kita memiliki himpunan 500 persamaan linear dalam 10 peubah tak diketahui. Manakah di antara ketiga kemungkinan yang Anda perkirakan akan berlaku?
Misalkan kita memiliki himpunan 10 persamaan linear dalam 500 peubah tak diketahui. Manakah di antara ketiga kemungkinan yang Anda perkirakan akan berlaku?
Setelah melihat beberapa contoh sederhana, mari kita menyepakati beberapa istilah yang akan membantu kita berpikir secara lebih tepat tentang himpunan persamaan.
Pertama, kita mempelajari persamaan linear yang berbentuk
\begin{equation*}
y = 2x - 1\text{.}
\end{equation*}
Akan lebih mudah jika kita menuliskannya kembali sehingga semua peubah tak diketahui berada di satu sisi persamaan:
\begin{equation*}
-2x + y = -1\text{.}
\end{equation*}
Secara lebih umum, persamaan suatu garis selalu dapat dinyatakan dalam bentuk
\begin{equation*}
ax + by = c,
\end{equation*}
yang memberi kita keleluasaan untuk mendeskripsikan semua garis. Misalnya, garis vertikal, seperti \(x=3\text{,}\) dapat direpresentasikan dalam bentuk ini.
Perhatikan bahwa setiap suku di ruas kiri merupakan hasil kali suatu konstanta dengan pangkat pertama suatu peubah tak diketahui. Kelak, kita akan mempelajari persamaan yang memiliki jauh lebih banyak peubah tak diketahui, yang kadang-kadang akan kita lambangkan sebagai \(x_1, x_2, \ldots, x_n\text{.}\) Hal ini menghasilkan definisi berikut:
dengan \(a_1,a_2,\ldots,a_n\) berupa bilangan real yang disebut koefisien. Kita juga mengatakan bahwa \(x_1,x_2,\ldots,x_n\) merupakan variabel dalam persamaan tersebut.
Yang dimaksud dengan sistem persamaan linear atau sistem linear adalah himpunan persamaan linear yang ditulis menggunakan kumpulan peubah tak diketahui yang sama.
Tujuan bagian ini adalah membangun intuisi mengenai perilaku solusi sistem linear dengan mempelajari beberapa contoh sederhana. Dalam penelusuran selanjutnya, kita akan mengembangkan pemahaman yang lebih mendalam dan lebih tepat mengenai fenomena-fenomena ini.
Sistem linear merupakan himpunan persamaan linear, dan solusi merupakan sekumpulan nilai yang diberikan kepada peubah tak diketahui sehingga setiap persamaan bernilai benar.
Berikan penjelasan singkat untuk jawaban Anda atas pertanyaan-pertanyaan berikut.
Misalkan kita memiliki sistem 500 persamaan linear dalam 10 peubah tak diketahui. Menurut perkiraan yang wajar, manakah di antara ketiga kemungkinan bagi himpunan solusi yang akan berlaku?
Misalkan kita memiliki sistem 10 persamaan linear dalam 500 peubah tak diketahui. Menurut perkiraan yang wajar, manakah di antara ketiga kemungkinan bagi himpunan solusi yang akan berlaku?
Latihan ini membahas sistem persamaan yang memiliki tiga peubah tak diketahui. Dalam kasus ini, kita mengetahui bahwa ruang solusi satu persamaan merupakan bidang. Jika membantu visualisasi, pertimbangkan untuk menggunakan kartu indeks berukuran \(3\times5\) inci sebagai representasi bidang.
Mungkinkah ruang solusi suatu sistem empat persamaan dalam tiga peubah tak diketahui merupakan garis? Buatlah sketsa contoh atau berikan alasan mengapa hal itu tidak mungkin terjadi.
Mungkinkah suatu sistem dua persamaan dalam tiga peubah tak diketahui tidak memiliki solusi? Buatlah sketsa contoh atau berikan alasan mengapa hal itu tidak mungkin terjadi.
Mungkinkah suatu sistem dua persamaan dalam tiga peubah tak diketahui memiliki tepat satu solusi? Buatlah sketsa contoh atau berikan alasan mengapa hal itu tidak mungkin terjadi.
