Definisi 1.4.1.
Posisi pivot dalam matriks \(A\) adalah posisi entri utama dalam matriks eselon baris tereduksi dari \(A\text{.}\)
Subbab 1.4 Pivot dan pengaruhnya terhadap ruang solusi
Sampai di sini, kita telah melihat beberapa contoh yang menggambarkan bagaimana matriks eselon baris tereduksi menghasilkan deskripsi yang mudah digunakan untuk ruang solusi suatu sistem linear. Dalam bagian ini, kita akan menggunakan pemahaman tersebut untuk membuat beberapa pengamatan umum tentang bagaimana sifat-sifat tertentu pada matriks eselon baris tereduksi mencerminkan karakter ruang solusi.
Subbagian 1.4.1 Pengantar
Ingat bahwa entri utama dalam matriks eselon baris tereduksi adalah entri tak nol paling kiri dalam suatu baris matriks tersebut. Seperti yang akan kita lihat, posisi entri-entri utama ini menyimpan banyak informasi tentang ruang solusi sistem linear yang bersesuaian. Karena alasan ini, kita membuat definisi berikut.
Sebagai contoh, dalam matriks eselon baris tereduksi ini, posisi pivot ditunjukkan dengan cetak tebal:
\begin{equation*}
\begin{bmatrix}
{\mathbf 1} \amp \gray{0} \amp \gray{*} \amp \gray{0} \\
\gray{0} \amp {\mathbf 1} \amp \gray{*} \amp \gray{0} \\
\gray{0} \amp \gray{0} \amp \gray{0} \amp {\mathbf 1} \\
\gray{0} \amp \gray{0} \amp \gray{0} \amp \gray{0} \\
\end{bmatrix}.
\end{equation*}
Kita dapat merujuk posisi pivot berdasarkan nomor baris dan kolomnya; misalnya, kita dapat mengatakan bahwa terdapat posisi pivot pada baris ketiga dan kolom keempat.
Aktivitas Pratinjau 1.4.1. Beberapa pengamatan dasar tentang pivot.
(a)
Di bawah ini ditampilkan sebuah matriks dan bentuk eselon baris tereduksinya. Tunjukkan posisi-posisi pivotnya.
\begin{equation*}
\left[
\begin{array}{rrrr}
2 \amp 4 \amp 6 \amp -1 \\
-3 \amp 1 \amp 5 \amp 0 \\
1 \amp 3 \amp 5 \amp 1 \\
\end{array}
\right]
\sim
\left[
\begin{array}{rrrr}
1 \amp 0 \amp -1 \amp 0 \\
0 \amp 1 \amp 2 \amp 0 \\
0 \amp 0 \amp 0 \amp 1 \\
\end{array}
\right]\text{.}
\end{equation*}
(b)
Berapa banyak posisi pivot yang dapat terdapat dalam satu baris? Dalam matriks \(3\times5\text{,}\) berapakah jumlah terbesar posisi pivot yang mungkin? Berikan contoh matriks \(3\times5\) yang memiliki jumlah posisi pivot terbesar yang mungkin.
(c)
Berapa banyak pivot yang dapat terdapat dalam satu kolom? Dalam matriks \(5\times3\text{,}\) berapakah jumlah terbesar posisi pivot yang mungkin? Berikan contoh matriks \(5\times3\) yang memiliki jumlah posisi pivot terbesar yang mungkin.
(d)
Berikan contoh matriks yang memiliki posisi pivot pada setiap baris dan setiap kolom. Apa yang istimewa dari matriks semacam itu?
Ketika mengamati ruang solusi sistem linear, kita sering bertanya apakah terdapat tak berhingga banyak solusi, tepat satu solusi, atau tidak ada solusi. Sekarang kita akan memecah pertanyaan ini menjadi dua pertanyaan terpisah.
Pertanyaan 1.4.2. Dua Pertanyaan Mendasar.
Ketika menjumpai suatu sistem linear, kita sering bertanya
- Keberadaan
-
Apakah terdapat solusi untuk sistem linear tersebut? Jika ada, kita mengatakan bahwa sistem itu konsisten; jika tidak, kita mengatakan bahwa sistem itu tidak konsisten.
- Ketunggalan
-
Jika sistem linear tersebut konsisten, apakah solusinya tunggal atau terdapat tak berhingga banyak solusi?
Kedua pertanyaan ini merupakan dua sisi mata uang yang muncul dalam berbagai bentuk di sepanjang penelusuran kita. Dalam bagian ini, kita akan mempelajari bagaimana letak pivot memengaruhi jawaban atas kedua pertanyaan tersebut. Kita mulai dengan membahas pertanyaan pertama mengenai keberadaan solusi.
Subbagian 1.4.2 Keberadaan solusi
Kegiatan 1.4.2.
-
Di bawah ini ditampilkan tiga matriks diperbesar dalam bentuk eselon baris tereduksi.\begin{equation*} \left[ \begin{array}{rrr|r} 1 \amp 0 \amp 0 \amp 3 \\ 0 \amp 1 \amp 0 \amp 0 \\ 0 \amp 0 \amp 1 \amp -2 \\ 0 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \\ \end{array} \right] \end{equation*}\begin{equation*} \left[ \begin{array}{rrr|r} 1 \amp 0 \amp 2 \amp 3 \\ 0 \amp 1 \amp -1 \amp 0 \\ 0 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \\ 0 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \\ \end{array} \right] \end{equation*}\begin{equation*} \left[ \begin{array}{rrr|r} 1 \amp 0 \amp 2 \amp 0 \\ 0 \amp 1 \amp -1 \amp 0 \\ 0 \amp 0 \amp 0 \amp 1 \\ 0 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \\ \end{array} \right] \end{equation*}Untuk setiap matriks, identifikasi posisi-posisi pivot dan tentukan apakah sistem linear yang bersesuaian konsisten. Jelaskan bagaimana letak pivot menentukan apakah sistem tersebut konsisten atau tidak konsisten.
-
Setiap matriks diperbesar di atas memiliki satu baris yang semua entrinya nol. Informasi apa, jika ada, yang diberikan oleh keberadaan baris semacam itu tentang kekonsistenan sistem linear yang bersesuaian?
-
Berikan contoh matriks diperbesar \(3\times5\) dalam bentuk eselon baris tereduksi yang merepresentasikan sistem konsisten. Tunjukkan posisi-posisi pivot dalam matriks Anda dan jelaskan mengapa posisi-posisi pivot tersebut menjamin bahwa sistem itu konsisten.
-
Berikan contoh matriks diperbesar \(3\times5\) dalam bentuk eselon baris tereduksi yang merepresentasikan sistem tidak konsisten. Tunjukkan posisi-posisi pivot dalam matriks Anda dan jelaskan mengapa posisi-posisi pivot tersebut menjamin bahwa sistem itu tidak konsisten.
-
Tuliskan bentuk eselon baris tereduksi matriks koefisien dari sistem linear yang bersesuaian dalam Butir d? (Ingat bahwa Prinsip Perluasan menyatakan bahwa bentuk eselon baris tereduksi matriks koefisien hanya terdiri atas empat kolom pertama matriks diperbesar.) Apa yang Anda perhatikan tentang posisi-posisi pivot dalam matriks koefisien ini?
-
Misalkan kita memiliki sistem linear dengan matriks koefisien yang mempunyai bentuk eselon baris tereduksi berikut.\begin{equation*} \left[ \begin{array}{rrrrr} 1 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \amp -1 \\ 0 \amp 1 \amp 0 \amp 0 \amp 2 \\ 0 \amp 0 \amp 1 \amp 0 \amp 0 \\ 0 \amp 0 \amp 0 \amp 1 \amp -3 \\ \end{array} \right] \end{equation*}Apa yang dapat Anda katakan tentang kekonsistenan sistem linear tersebut?
Mari kita rangkum hasil kegiatan ini dengan memperhatikan matriks eselon baris tereduksi berikut:
\begin{equation*}
\left[
\begin{array}{rrr|r}
1 \amp * \amp 0 \amp 0 \\
0 \amp 0 \amp 1 \amp 0 \\
0 \amp 0 \amp 0 \amp 1 \\
0 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \\
\end{array}
\right]\text{.}
\end{equation*}
Dalam variabel \(x\text{,}\) \(y\text{,}\) dan \(z\text{,}\) persamaan terakhir menyatakan
\begin{equation*}
0x + 0y + 0z = 0\text{.}
\end{equation*}
Jika kita mengevaluasi ruas kiri dengan sembarang nilai \(x\text{,}\) \(y\text{,}\) dan \(z\text{,}\) kita memperoleh 0, yang berarti bahwa persamaan itu selalu berlaku. Oleh karena itu, keberadaannya tidak berpengaruh terhadap ruang solusi yang ditentukan oleh tiga persamaan lainnya.
Namun, persamaan ketiga menyatakan bahwa
\begin{equation*}
0x + 0y + 0z = 1\text{.}
\end{equation*}
Sekali lagi, jika kita mengevaluasi ruas kiri dengan sembarang nilai \(x\text{,}\) \(y\text{,}\) dan \(z\text{,}\) kita memperoleh 0 sehingga persamaan ini tidak dapat dipenuhi untuk \((x,y,z)\) mana pun. Ini berarti bahwa keseluruhan sistem linear tidak memiliki solusi dan oleh karena itu tidak konsisten.
Persamaan seperti ini muncul dalam matriks eselon baris tereduksi sebagai
\begin{equation*}
\left[
\begin{array}{cccc|c}
\vdots \amp \vdots \amp \vdots \amp \vdots \amp \vdots \\
0 \amp 0 \amp \cdots \amp 0 \amp 1 \\
\vdots \amp \vdots \amp \vdots \amp \vdots \amp \vdots \\
\end{array}
\right]\text{.}
\end{equation*}
Posisi-posisi pivot memperjelas kondisi ini: sistem tidak konsisten jika terdapat posisi pivot pada kolom paling kanan matriks diperbesar yang bersesuaian.
Bahkan, kita akan segera melihat bahwa sistem tersebut konsisten jika tidak terdapat pivot pada kolom paling kanan matriks diperbesar yang bersesuaian. Dengan demikian, kita memperoleh pernyataan berikut.
Proposisi 1.4.3.
Suatu sistem linear tidak konsisten jika dan hanya jika terdapat posisi pivot pada kolom paling kanan matriks diperbesar yang bersesuaian.
Hal ini juga memberi tahu kita sesuatu tentang posisi pivot pada matriks koefisien. Perhatikan contoh sistem tidak konsisten yang bersesuaian dengan bentuk eselon baris tereduksi matriks diperbesar berikut
\begin{equation*}
\left[
\begin{array}{ccc|c}
1 \amp 0 \amp * \amp 0 \\
0 \amp 1 \amp * \amp 0 \\
0 \amp 0 \amp 0 \amp 1 \\
\end{array}
\right]\text{.}
\end{equation*}
Prinsip Perluasan menyatakan bahwa bentuk eselon baris tereduksi matriks koefisien adalah
\begin{equation*}
\left[
\begin{array}{ccc}
1 \amp 0 \amp * \\
0 \amp 1 \amp * \\
0 \amp 0 \amp 0 \\
\end{array}
\right],
\end{equation*}
yang menunjukkan bahwa matriks koefisien memiliki satu baris tanpa posisi pivot. Jika pernyataan ini dibalik, kita melihat bahwa jika setiap baris matriks koefisien memiliki posisi pivot, maka sistem tersebut pasti konsisten. Sebagai contoh, jika sistem linear kita memiliki matriks koefisien dengan bentuk eselon baris tereduksi
\begin{equation*}
\left[
\begin{array}{ccc}
1 \amp 0 \amp 0 \\
0 \amp 1 \amp 0 \\
0 \amp 0 \amp 1 \\
\end{array}
\right]\text{,}
\end{equation*}
maka kita dapat menjamin bahwa sistem linear tersebut konsisten karena tidak mungkin diperoleh pivot pada kolom paling kanan matriks diperbesar.
Proposisi 1.4.4.
Jika setiap baris matriks koefisien memiliki posisi pivot, maka sistem persamaan linear yang bersesuaian konsisten.
Subbagian 1.4.3 Ketunggalan solusi
Setelah mempelajari peran posisi pivot dalam keberadaan solusi, mari kita beralih ke pertanyaan tentang ketunggalan.
Kegiatan 1.4.3.
-
Berikut adalah tiga matriks diperbesar dalam bentuk eselon baris tereduksi yang kita bahas dalam bagian sebelumnya.\begin{equation*} \left[ \begin{array}{rrr|r} 1 \amp 0 \amp 0 \amp 3 \\ 0 \amp 1 \amp 0 \amp 0 \\ 0 \amp 0 \amp 1 \amp -2 \\ 0 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \\ \end{array} \right] \end{equation*}\begin{equation*} \left[ \begin{array}{rrr|r} 1 \amp 0 \amp 2 \amp 3 \\ 0 \amp 1 \amp -1 \amp 0 \\ 0 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \\ 0 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \\ \end{array} \right] \end{equation*}\begin{equation*} \left[ \begin{array}{rrr|r} 1 \amp 0 \amp 2 \amp 0 \\ 0 \amp 1 \amp -1 \amp 0 \\ 0 \amp 0 \amp 0 \amp 1 \\ 0 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \\ \end{array} \right] \end{equation*}Untuk setiap matriks, identifikasi posisi-posisi pivot dan nyatakan apakah sistem linear yang bersesuaian konsisten. Jika sistemnya konsisten, jelaskan apakah solusinya tunggal atau terdapat tak berhingga banyak solusi.
-
Jika mungkin, berikan contoh matriks diperbesar \(3\times5\) yang bersesuaian dengan sistem linear yang memiliki solusi tunggal. Jika tidak mungkin, jelaskan alasannya.
-
Jika mungkin, berikan contoh matriks diperbesar \(5\times3\) yang bersesuaian dengan sistem linear yang memiliki solusi tunggal. Jika tidak mungkin, jelaskan alasannya.
-
Kondisi apa pada posisi-posisi pivot yang menjamin bahwa suatu sistem linear memiliki solusi tunggal?
-
Jika suatu sistem linear memiliki solusi tunggal, apa yang dapat kita katakan tentang hubungan antara jumlah persamaan dan jumlah variabel?
Mari kita perhatikan apa yang telah dipelajari dalam kegiatan ini. Karena kita tertarik pada pertanyaan apakah suatu sistem linear konsisten memiliki solusi tunggal atau tak berhingga banyak solusi, kita hanya akan memperhatikan sistem konsisten. Berdasarkan hasil bagian sebelumnya, ini berarti tidak terdapat pivot pada kolom paling kanan matriks diperbesar. Berikut dua contoh yang mungkin:
\begin{equation*}
\left[
\begin{array}{rrr|r}
1 \amp 0 \amp 0 \amp 4 \\
0 \amp 1 \amp 0 \amp -1 \\
0 \amp 0 \amp 1 \amp 2 \\
\end{array}
\right]
\end{equation*}
\begin{equation*}
\left[
\begin{array}{rrr|r}
1 \amp 0 \amp 2 \amp -2 \\
0 \amp 1 \amp 1 \amp 4 \\
0 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \\
\end{array}
\right]
\end{equation*}
Dalam contoh pertama, kita memiliki persamaan-persamaan
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{4}
x_1 \amp {}={} \amp 4 \\
x_2 \amp {}={} \amp -1 \\
x_3 \amp {}={} \amp 2 \\
\end{alignedat}
\end{equation*}
yang menunjukkan bahwa terdapat solusi tunggal \((x_1,x_2,x_3) = (4,-1,2)\text{.}\)
Dalam contoh kedua, kita memiliki persamaan-persamaan
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{4}
x_1 \amp \amp \amp {}+{} \amp 2x_3\amp {}={} \amp -2 \\
\amp \amp x_2 \amp {}+{} \amp x_3\amp {}={} \amp 4 \\
\end{alignedat}
\end{equation*}
yang dapat kita tuliskan kembali dalam bentuk parametrik sebagai
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{4}
x_1 \amp {}={} \amp -2-2x_3 \\
x_2 \amp {}={} \amp 4-x_3 \\
\end{alignedat}\text{.}
\end{equation*}
Di sini kita melihat bahwa \(x_1\) dan \(x_2\) merupakan variabel dasar yang dapat dinyatakan dalam variabel bebas \(x_3\text{.}\) Dalam kasus ini, keberadaan variabel bebas menghasilkan tak berhingga banyak solusi.
Ingat bahwa setiap kolom matriks koefisien bersesuaian dengan satu variabel dalam sistem linear kita. Dalam contoh pertama, kita melihat bahwa setiap kolom matriks koefisien memuat posisi pivot, yang berarti setiap variabel ditentukan secara tunggal. Dalam contoh kedua, kolom matriks koefisien yang bersesuaian dengan \(x_3\) tidak memuat posisi pivot sehingga \(x_3\) muncul sebagai variabel bebas. Hal ini menggambarkan prinsip berikut.
Prinsip 1.4.5.
Misalkan kita memperhatikan suatu sistem linear konsisten.
-
Jika setiap kolom matriks koefisien memuat posisi pivot, maka sistem tersebut memiliki solusi tunggal.
-
Jika terdapat kolom dalam matriks koefisien yang tidak memuat posisi pivot, maka sistem tersebut memiliki tak berhingga banyak solusi.
-
Kolom-kolom yang memuat posisi pivot bersesuaian dengan variabel dasar, sedangkan kolom-kolom yang tidak memuat posisi pivot bersesuaian dengan variabel bebas.
Ketika suatu sistem linear memiliki solusi tunggal, setiap kolom matriks koefisien memiliki posisi pivot. Karena setiap baris memuat paling banyak satu posisi pivot, jumlah baris dalam matriks koefisien harus sekurang-kurangnya sebanyak jumlah kolom. Oleh karena itu, sistem linear tersebut memiliki jumlah persamaan sekurang-kurangnya sebanyak jumlah variabel, sebagaimana telah kita duga secara intuitif dalam Subbab 1.1.
Wajar jika kita bertanya bagaimana memilih variabel bebas. Sebagai contoh, jika kita memiliki satu persamaan
\begin{equation*}
x + 2y = 4\text{,}
\end{equation*}
maka kita dapat menuliskan
\begin{equation*}
x = 4-2y
\end{equation*}
atau, secara ekuivalen,
\begin{equation*}
y = 2 - \frac12 x\text{.}
\end{equation*}
Jelas bahwa dalam kasus ini, masing-masing variabel dapat dipandang sebagai variabel bebas.
Seperti yang akan kita lihat nanti, kita lebih tertarik pada jumlah variabel bebas daripada pilihan variabelnya. Demi kemudahan, kita akan menggunakan kesepakatan bahwa variabel bebas bersesuaian dengan kolom tanpa posisi pivot, sehingga kita dapat mengidentifikasinya dengan cepat. Sebagai contoh, variabel \(x_2\) dan \(x_4\) muncul sebagai variabel bebas dalam sistem linear berikut:
\begin{equation*}
\left[
\begin{array}{rrrr|r}
1 \amp 0 \amp 0 \amp 2 \amp 3 \\
0 \amp 0 \amp 1 \amp -1 \amp 0 \\
\end{array}
\right]\text{.}
\end{equation*}
Subbagian 1.4.4 Ringkasan
Kita telah melihat bagaimana letak posisi pivot, baik dalam matriks diperbesar maupun matriks koefisien, memberikan informasi penting tentang keberadaan dan ketunggalan solusi sistem linear. Lebih khusus,
-
Suatu sistem linear tidak konsisten tepat ketika posisi pivot muncul pada kolom paling kanan matriks diperbesar.
-
Jika suatu sistem linear konsisten, solusinya tunggal ketika setiap kolom matriks koefisien memuat posisi pivot. Terdapat tak berhingga banyak solusi ketika ada kolom matriks koefisien tanpa posisi pivot.
-
Jika suatu sistem linear konsisten, kolom-kolom matriks koefisien yang memuat posisi pivot bersesuaian dengan variabel dasar, sedangkan kolom-kolom tanpa posisi pivot bersesuaian dengan variabel bebas.
Latihan 1.4.5 Latihan
1.
Untuk setiap matriks diperbesar dalam bentuk eselon baris tereduksi yang diberikan di bawah ini, tentukan apakah sistem linear yang bersesuaian konsisten dan, jika demikian, tentukan apakah solusinya tunggal. Jika sistem tersebut konsisten, identifikasi variabel bebas dan variabel dasarnya serta berikan deskripsi ruang solusi dalam bentuk parametrik.
-
\begin{equation*} \left[ \begin{array}{rrrr|r} 0 \amp 1 \amp 0 \amp 0 \amp 2 \\ 0 \amp 0 \amp 1 \amp 0 \amp 3 \\ 0 \amp 0 \amp 0 \amp 1 \amp -2 \\ \end{array} \right]\text{.} \end{equation*}
-
\begin{equation*} \left[ \begin{array}{rrrr|r} 1 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \\ 0 \amp 1 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \\ 0 \amp 0 \amp 1 \amp 1 \amp 0 \\ 0 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \\ \end{array} \right]\text{.} \end{equation*}
-
\begin{equation*} \left[ \begin{array}{rrrr|r} 1 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \\ 0 \amp 1 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \\ 0 \amp 0 \amp 1 \amp 0 \amp 0 \\ 0 \amp 0 \amp 0 \amp 1 \amp 0 \\ 0 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \amp 1 \\ \end{array} \right]\text{.} \end{equation*}
-
\begin{equation*} \left[ \begin{array}{rrr|r} 1 \amp 0 \amp 0 \amp -3 \\ 0 \amp 1 \amp 0 \amp -1 \\ 0 \amp 0 \amp 1 \amp -2 \\ \end{array} \right]\text{.} \end{equation*}
2.
Untuk setiap sistem linear berikut, tentukan apakah sistem tersebut konsisten dan, jika demikian, tentukan apakah terdapat tak berhingga banyak solusi.
-
\begin{equation*} \begin{alignedat}{5} 2x_1\amp{}-{}\amp x_2\amp {}+{}\amp 3x_3 \amp {}{} \amp \amp {}={} \amp 10 \\ -x_1\amp{}+{}\amp x_2\amp \amp \amp {}+{} \amp 3x_4 \amp {}={} \amp 8 \\ \amp{}{}\amp 2x_2\amp {}+{}\amp 2x_3 \amp {}-{} \amp x_4 \amp {}={} \amp -4 \\ 3x_1\amp{}+{}\amp 2x_2\amp {}-{}\amp x_3 \amp {}+{} \amp x_4 \amp {}={} \amp 10 \\ \\ \end{alignedat} \end{equation*}
-
\begin{equation*} \begin{alignedat}{5} 2x_1\amp{}-{}\amp x_2\amp {}+{}\amp 3x_3 \amp {}+{} \amp 3x_4 \amp {}={} \amp 8 \\ -x_1\amp{}+{}\amp x_2\amp \amp \amp {}+{} \amp 2x_4 \amp {}={} \amp -1 \\ \amp{}{}\amp 2x_2\amp {}+{}\amp 2x_3 \amp {}+{} \amp 6x_4 \amp {}={} \amp 4 \\ 3x_1\amp{}+{}\amp 2x_2\amp {}-{}\amp x_3 \amp {}-{} \amp 3x_4 \amp {}={} \amp 1 \\ \\ \end{alignedat} \end{equation*}
-
\begin{equation*} \begin{alignedat}{5} 2x_1\amp{}-{}\amp x_2\amp {}+{}\amp 3x_3 \amp {}+{} \amp 3x_4 \amp {}={} \amp 8 \\ -x_1\amp{}+{}\amp x_2\amp \amp \amp {}+{} \amp 2x_4 \amp {}={} \amp -1 \\ \amp{}{}\amp 2x_2\amp {}+{}\amp 2x_3 \amp {}+{} \amp 6x_4 \amp {}={} \amp 4 \\ 3x_1\amp{}+{}\amp 2x_2\amp {}-{}\amp x_3 \amp {}-{} \amp 3x_4 \amp {}={} \amp 0 \\ \\ \end{alignedat} \end{equation*}
3.
Sertakan contoh matriks yang sesuai ketika Anda memberikan alasan bagi jawaban atas pertanyaan-pertanyaan berikut.
-
Misalkan suatu sistem linear dengan enam persamaan dan tiga variabel konsisten. Dapatkah Anda menjamin bahwa solusinya tunggal? Dapatkah Anda menjamin bahwa terdapat tak berhingga banyak solusi?
-
Misalkan suatu sistem linear dengan tiga persamaan dan enam variabel konsisten. Dapatkah Anda menjamin bahwa solusinya tunggal? Dapatkah Anda menjamin bahwa terdapat tak berhingga banyak solusi?
-
Misalkan suatu sistem linear konsisten dan memiliki solusi tunggal. Apa yang dapat Anda jamin tentang posisi-posisi pivot dalam matriks diperbesar?
4.
Tentukan apakah pernyataan-pernyataan berikut benar atau salah dan berikan alasan bagi jawaban Anda.
-
Jika matriks koefisien suatu sistem linear memiliki pivot pada kolom paling kanan, maka sistem tersebut tidak konsisten.
-
Jika suatu sistem linear memiliki dua persamaan dan empat variabel, maka sistem tersebut pasti konsisten.
-
Jika suatu sistem linear dengan empat persamaan dan tiga variabel konsisten, maka solusinya tunggal.
-
Misalkan suatu sistem linear memiliki empat persamaan dan empat variabel, dan matriks koefisiennya memiliki empat pivot. Maka sistem linear tersebut konsisten dan memiliki solusi tunggal.
-
Misalkan suatu sistem linear memiliki lima persamaan dan tiga variabel, dan matriks koefisiennya memiliki posisi pivot pada setiap kolom. Maka sistem linear tersebut konsisten dan memiliki solusi tunggal.
5.
Kita memulai penelusuran dalam Subbab 1.1 dengan mengamati bahwa ruang solusi sistem linear yang memiliki lebih banyak persamaan tampaknya lebih kecil. Mari kita periksa kembali gagasan ini dengan menggunakan pengetahuan kita tentang posisi pivot.
-
Ingat bahwa ruang solusi satu persamaan linear dalam tiga variabel adalah sebuah bidang. Dapatkah dua bidang berpotongan tepat pada satu titik? Apa saja kemungkinan cara dua bidang berpotongan? Bagaimana pemahaman kita tentang posisi pivot dapat membantu menjawab pertanyaan-pertanyaan ini?
-
Misalkan suatu sistem linear konsisten memiliki lebih banyak variabel daripada persamaan. Dengan memperhatikan posisi-posisi pivot yang mungkin, apa yang dapat Anda katakan dengan pasti tentang ruang solusinya?
-
Jika suatu sistem linear memiliki jauh lebih banyak persamaan daripada variabel, mengapa wajar untuk menduga bahwa sistem tersebut tidak konsisten?
6.
Sistem-sistem linear berikut memuat satu atau dua parameter.
-
Untuk nilai parameter \(k\) berapakah sistem berikut konsisten? Untuk nilai mana di antaranya solusi tersebut tunggal?\begin{equation*} \begin{alignedat}{3} -x_1 \amp {}+{} \amp 2x_2 \amp {}={} \amp 3 \\ 2x_1 \amp {}-{} \amp 4x_2 \amp {}={} \amp k \\ \end{alignedat}\text{.} \end{equation*}
-
Untuk nilai parameter \(k\) dan l berapakah sistem berikut konsisten? Untuk nilai mana di antaranya solusi tersebut tunggal?\begin{equation*} \begin{alignedat}{3} 2x_1 \amp {}+{} \amp 4x_2 \amp {}={} \amp 3 \\ -x_1 \amp {}+{} \amp kx_2 \amp {}={} \amp l \\ \end{alignedat}\text{.} \end{equation*}
7.
Perhatikan sistem linear yang dideskripsikan oleh matriks diperbesar berikut.
\begin{equation*}
\left[
\begin{array}{ccc|c}
1 \amp 2 \amp 3 \amp 1 \\
4 \amp 5 \amp 6 \amp 4 \\
a \amp b \amp c \amp 9 \\
\end{array}
\right]\text{.}
\end{equation*}
-
Temukan pilihan parameter \(a\text{,}\) \(b\text{,}\) dan \(c\) yang menyebabkan sistem linear tersebut tidak konsisten. Jelaskan mengapa pilihan Anda memiliki sifat ini.
-
Temukan pilihan parameter \(a\text{,}\) \(b\text{,}\) dan \(c\) yang menyebabkan sistem linear tersebut memiliki solusi tunggal. Jelaskan mengapa pilihan Anda memiliki sifat ini.
-
Temukan pilihan parameter \(a\text{,}\) \(b\text{,}\) dan \(c\) yang menyebabkan sistem linear tersebut memiliki tak berhingga banyak solusi. Jelaskan mengapa pilihan Anda memiliki sifat ini.
8.
Sistem linear yang ruas kanan setiap persamaannya 0 disebut homogen. Sebagai contoh, matriks diperbesar suatu sistem homogen memiliki bentuk berikut:
\begin{equation*}
\left[
\begin{array}{cccc|c}
* \amp * \amp * \amp * \amp 0 \\
* \amp * \amp * \amp * \amp 0 \\
* \amp * \amp * \amp * \amp 0 \\
\end{array}
\right]\text{.}
\end{equation*}
-
Dengan menggunakan konsep-konsep yang telah kita lihat dalam bagian ini, jelaskan mengapa suatu sistem linear homogen pasti konsisten.
-
Nilai-nilai apa untuk variabel-variabelnya yang dijamin menghasilkan solusi? Gunakan hal ini untuk memberikan penjelasan lain tentang mengapa suatu sistem linear homogen konsisten.
-
Misalkan suatu sistem linear homogen memiliki solusi tunggal.
-
Berikan contoh sistem semacam itu dengan menuliskan matriks diperbesarnya dalam bentuk eselon baris tereduksi.
-
Tuliskan hanya matriks koefisien untuk contoh yang Anda berikan pada bagian sebelumnya. Apa yang dapat Anda katakan tentang posisi-posisi pivot dalam matriks koefisien? Jelaskan mengapa pengamatan Anda pasti berlaku untuk setiap sistem homogen yang memiliki solusi tunggal.
-
Jika suatu sistem persamaan homogen memiliki solusi tunggal, apa yang dapat Anda katakan tentang jumlah persamaan dibandingkan dengan jumlah variabel?
-
9.
Dalam mata pelajaran matematika yang pernah Anda ikuti, Anda mungkin telah mengetahui bahwa jika diberikan dua titik yang berbeda pada bidang, terdapat tepat satu garis yang melalui keduanya. Dalam soal ini, kita akan memulai dengan empat titik di sebelah kiri bawah dan mencari polinom yang melalui keempat titik tersebut, seperti ditampilkan di sebelah kanan.
Empat titik pada bidang ditampilkan bersama sepasang sumbu dan sebuah kisi koordinat. Titik-titik tersebut adalah \((0,2)\text{,}\) \((1,3)\text{,}\) \((2,0)\text{,}\) dan \((3,1)\text{.}\)
Empat titik pada bidang ditampilkan bersama sepasang sumbu dan sebuah kisi koordinat. Titik-titik tersebut adalah \((0,2)\text{,}\) \((1,3)\text{,}\) \((2,0)\text{,}\) dan \((3,1)\text{.}\) Ditampilkan pula grafik polinom derajat tiga yang melalui keempat titik.
Kontrol papan ketik untuk menjelajahi diagram
Polinom derajat tiga dapat dituliskan sebagai
\begin{equation*}
p(x) = a + bx + cx^2 + dx^3
\end{equation*}
dengan \(a\text{,}\) \(b\text{,}\) \(c\text{,}\) dan \(d\) merupakan koefisien-koefisien yang hendak kita tentukan. Karena kita ingin polinom tersebut melalui titik \((3,1)\text{,}\) kita harus mensyaratkan bahwa
\begin{equation*}
p(3) = a + 3b + 9c + 27d = 1\text{.}
\end{equation*}
Dengan cara ini, kita memperoleh persamaan linear untuk koefisien \(a\text{,}\) \(b\text{,}\) \(c\text{,}\) dan \(d\text{.}\)
-
Tuliskan empat persamaan linear bagi koefisien-koefisien yang diperoleh dengan mensyaratkan bahwa grafik polinom \(p(x)\) melalui keempat titik di atas.
-
Tuliskan matriks diperbesar yang bersesuaian dengan sistem persamaan ini dan gunakan sel Sage di bawah untuk menentukan koefisien-koefisiennya.
-
Tuliskan polinom \(p(x)\) yang Anda temukan dan periksa pekerjaan Anda dengan menggambarnya dalam sel Sage di bawah serta memverifikasi bahwa grafiknya melalui keempat titik. Untuk menggambar suatu fungsi pada sebuah rentang, Anda dapat menggunakan perintah seperti
plot(1 + x- 2*x^2, xmin = -1, xmax = 4). -
Alih-alih mencari polinom derajat tiga, misalkan kita ingin menemukan polinom yang melalui keempat titik tersebut dan berderajat dua, seperti\begin{equation*} p(x) = a + bx + cx^2\text{.} \end{equation*}Selesaikan sistem linear untuk koefisien-koefisiennya. Apa yang dapat Anda katakan tentang keberadaan dan ketunggalan polinom derajat dua yang melalui keempat titik tersebut?
-
Alih-alih mencari polinom derajat tiga, misalkan kita ingin menemukan polinom yang melalui keempat titik tersebut dan berderajat empat, seperti\begin{equation*} p(x) = a + bx + cx^2 + dx^3 + ex^4\text{.} \end{equation*}Selesaikan sistem linear untuk koefisien-koefisiennya. Apa yang dapat Anda katakan tentang keberadaan dan ketunggalan polinom derajat empat yang melalui keempat titik tersebut?
-
Misalkan Anda memiliki 10 titik dengan koordinat-x yang semuanya berbeda dan ingin mencari polinom yang melalui setiap titik tersebut. Berapakah derajat maksimum polinom itu agar dijamin terdapat tepat satu polinom semacam itu? Jelaskan jawaban Anda.