Bagian sebelumnya memperkenalkan nilai eigen dan vektor eigen, menyajikan intuisi geometris yang mendasari definisinya, serta memperlihatkan penggunaannya untuk memahami perilaku jangka panjang sistem-sistem tertentu. Sekarang kita akan mengembangkan pemahaman yang lebih aljabaris mengenai nilai eigen dan vektor eigen. Secara khusus, kita akan menemukan metode aljabaris untuk menentukan nilai eigen dan vektor eigen suatu matriks persegi.
Misalkan \(A\) adalah matriks persegi dan vektor tak nol \(\xvec\) merupakan solusi persamaan homogen \(A\xvec = \zerovec\text{.}\) Apa yang dapat kita simpulkan tentang invertibilitas \(A\text{?}\)
Pertama-tama, kita akan melihat bahwa nilai-nilai eigen suatu matriks persegi muncul sebagai akar-akar polinomial tertentu. Sebagai langkah awal, perhatikan bahwa mula-mula kita mendefinisikan vektor eigen sebagai vektor tak nol \(\vvec\) yang memenuhi persamaan \(A\vvec = \lambda\vvec\text{.}\) Kita tulis ulang persamaan ini sebagai
Dengan kata lain, vektor eigen \(\vvec\) merupakan solusi persamaan homogen \((A-\lambda I)\vvec=\zerovec\text{.}\) Hal ini membawa kita ke pokok bahasan yang telah dikenal dan akan ditelaah dalam aktivitas berikut.
Nilai-nilai eigen suatu matriks persegi ditentukan oleh syarat bahwa terdapat solusi tak nol untuk persamaan homogen \((A-\lambda I)\vvec=\zerovec\text{.}\)
Jika terdapat solusi tak nol untuk persamaan homogen \((A-\lambda I)\vvec = \zerovec\text{,}\) apa yang dapat kita simpulkan tentang invertibilitas matriks \(A-\lambda I\text{?}\)
Jika terdapat solusi tak nol untuk persamaan homogen \((A-\lambda I)\vvec = \zerovec\text{,}\) apa yang dapat kita simpulkan tentang determinan \(\det(A-\lambda I)\text{?}\)
Tentukan determinan \(\det(A-\lambda I)\text{.}\) Jenis persamaan apa yang Anda peroleh ketika determinan ini disamakan dengan nol sehingga diperoleh \(\det(A-\lambda I) = 0\text{?}\)
Gunakan determinan yang Anda peroleh pada bagian sebelumnya untuk menentukan nilai-nilai eigen \(\lambda\) dengan menyelesaikan persamaan \(\det(A-\lambda I) = 0\text{.}\) Kita telah meninjau matriks ini dalam Kegiatan 4.1.2, sehingga seharusnya kita memperoleh nilai-nilai eigen \(A\) yang sama dengan yang diperoleh melalui penalaran geometris di sana.
Tentukan nilai-nilai eigen matriks segitiga \(\left[\begin{array}{rrr}
3 \amp -1 \amp 4 \\
0 \amp -2 \amp 3 \\
0 \amp 0 \amp 1 \\
\end{array}\right]
\text{.}\) Secara umum, apa yang berlaku bagi nilai-nilai eigen suatu matriks segitiga?
Aktivitas ini memperlihatkan teknik yang memungkinkan kita menentukan nilai-nilai eigen matriks persegi \(A\text{.}\) Karena nilai eigen \(\lambda\) adalah skalar yang membuat persamaan \((A-\lambda I)\vvec = \zerovec\) memiliki solusi tak nol, maka \(A-\lambda I\) tidak invertibel. Oleh karena itu, determinannya sama dengan nol. Dengan demikian, kita memperoleh persamaan
Jika kita menuliskan persamaan karakteristik untuk matriks \(A = \left[\begin{array}{rr}
-4 \amp 4 \\
-12 \amp 10 \\
\end{array}\right]
\text{,}\) kita memperoleh
Secara umum, ekspresi \(\det(A-\lambda I)\) merupakan polinomial dalam \(\lambda\) yang disebut polinomial karakteristik dari \(A\text{.}\) Jika \(A\) adalah matriks \(n\times n\text{,}\) derajat polinomial karakteristiknya adalah \(n\text{.}\) Sebagai contoh, jika \(A\) adalah matriks \(2\times2\text{,}\) maka \(\det(A-\lambda I)\) merupakan polinomial kuadrat; jika \(A\) adalah matriks \(3\times3\text{,}\) maka \(\det(A-\lambda I)\) merupakan polinomial kubik.
Matriks dalam Contoh 4.2.1 memiliki polinomial karakteristik dengan dua akar real yang berbeda. Hal ini tidak selalu terjadi, sebagaimana diperlihatkan oleh dua contoh berikut.
Dalam hal ini, polinomial karakteristik memiliki satu akar real, yang berarti bahwa matriks ini memiliki satu nilai eigen real, \(\lambda = 3\text{.}\)
Untuk menentukan nilai-nilai eigen suatu matriks segitiga, ingatlah bahwa determinan matriks segitiga merupakan hasil kali entri-entri pada diagonalnya. Sebagai contoh, matriks segitiga berikut memiliki persamaan karakteristik
Setelah dapat menentukan nilai-nilai eigen matriks persegi \(A\) dengan menyelesaikan persamaan karakteristik \(\det(A-\lambda I) = 0\text{,}\) sekarang kita beralih ke persoalan menentukan vektor-vektor eigen yang terkait dengan nilai eigen \(\lambda\text{.}\) Kuncinya, seperti sebelumnya, adalah memperhatikan bahwa vektor eigen merupakan solusi tak nol dari persamaan homogen \((A-\lambda I)\vvec = \zerovec\text{.}\) Dengan kata lain, vektor-vektor eigen yang terkait dengan nilai eigen \(\lambda\text{,}\) bersama dengan vektor nol, membentuk ruang nol \(\nul(A-\lambda I)\text{.}\)
Hal ini menunjukkan bahwa vektor-vektor eigen yang terkait dengan suatu nilai eigen, bersama dengan vektor nol, membentuk subruang dari \(\real^n\text{.}\) Kita akan menotasikan subruang yang terdiri atas vektor-vektor eigen matriks \(A\) yang terkait dengan nilai eigen \(\lambda\) beserta vektor nol sebagai \(E_\lambda\text{,}\) dan memperhatikan bahwa
Dalam aktivitas ini, kita akan menentukan vektor-vektor eigen suatu matriks melalui ruang nol matriks \(A-\lambda I\text{.}\)
Mari kita mulai dengan matriks \(A = \left[\begin{array}{rr}
1 \amp 2 \\
2 \amp 1 \\
\end{array}\right]
\text{.}\) Kita telah melihat bahwa \(\lambda = 3\) merupakan nilai eigen. Bentuklah matriks \(A-3I\) dan tentukan basis untuk ruang eigen \(E_3 = \nul(A-3I)\text{.}\) Berapakah dimensi ruang eigen ini? Untuk setiap vektor basis \(\vvec\text{,}\) verifikasikan bahwa \(A\vvec = 3\vvec\text{.}\)
Kita juga telah melihat bahwa \(\lambda = -1\) merupakan nilai eigen. Bentuklah matriks \(A-(-1)I\) dan tentukan basis untuk ruang eigen \(E_{-1}\text{.}\) Berapakah dimensi ruang eigen ini? Untuk setiap vektor basis \(\vvec\text{,}\) verifikasikan bahwa \(A\vvec = -\vvec\text{.}\)
Sekarang tinjau matriks \(A = \left[\begin{array}{rr}
3 \amp 0 \\
0 \amp 3 \\
\end{array}\right]
\text{.}\) Tuliskan persamaan karakteristik untuk \(A\) dan gunakan persamaan itu untuk menentukan nilai-nilai eigen \(A\text{.}\) Untuk setiap nilai eigen, tentukan basis untuk ruang eigennya \(E_\lambda\text{.}\) Apakah mungkin membentuk basis untuk \(\real^2\) yang terdiri atas vektor-vektor eigen \(A\text{?}\)
Selanjutnya, tinjau matriks \(A = \left[\begin{array}{rr}
2 \amp 1 \\
0 \amp 2 \\
\end{array}\right]
\text{.}\) Tuliskan persamaan karakteristik untuk \(A\) dan gunakan persamaan itu untuk menentukan nilai-nilai eigen \(A\text{.}\) Untuk setiap nilai eigen, tentukan basis untuk ruang eigennya \(E_\lambda\text{.}\) Apakah mungkin membentuk basis untuk \(\real^2\) yang terdiri atas vektor-vektor eigen \(A\text{?}\)
Terakhir, tentukan nilai-nilai eigen dan vektor-vektor eigen dari matriks diagonal \(A = \left[\begin{array}{rr}
4 \amp 0 \\
0 \amp -1 \\
\end{array}\right]
\text{.}\) Jelaskan hasil Anda dengan meninjau efek geometris transformasi matriks yang didefinisikan oleh \(A\text{.}\)
Setelah menemukan nilai eigen suatu matriks \(A\text{,}\) mendeskripsikan ruang eigen terkait \(E_\lambda\) sama dengan menjalankan tugas yang telah dikenal, yaitu mendeskripsikan ruang nol \(\nul(A-\lambda I)\text{.}\)
Dengan meninjau kembali matriks \(A = \left[\begin{array}{rr}
-4 \amp 4 \\
-12 \amp 10 \\
\end{array}\right]\) dari Contoh 4.2.1, kita mengingat bahwa kita memperoleh nilai eigen \(\lambda = 4\) dan \(\lambda =
2\text{.}\)
Karena vektor-vektor eigen \(\vvec = \twovec{v_1}{v_2}\) merupakan solusi persamaan \((A-4I)\vvec=\zerovec\text{,}\) kita melihat bahwa vektor-vektor tersebut ditentukan oleh satu persamaan \(v_1-\frac12 v_2 = 0\text{,}\) atau \(v_1 = \frac12v_2\text{.}\) Oleh karena itu, vektor-vektor eigen dalam \(E_4\) berbentuk
Dengan kata lain, \(E_4\) merupakan subruang berdimensi satu dari \(\real^2\) dengan vektor basis \(\ctwovec{1/2}{1}\text{,}\) atau vektor basis \(\twovec12\text{.}\) Dengan cara yang sama, kita memperoleh bahwa basis untuk ruang eigen \(E_2\) adalah \(\twovec23\text{.}\)
yang menunjukkan bahwa setiap vektor berdimensi dua \(\vvec\) memenuhi \((A-(-1)I)\vvec = \zerovec\text{.}\) Oleh karena itu, setiap vektor tak nol merupakan vektor eigen, sehingga \(E_{-1} =
\real^2\text{.}\) Ruang eigen ini berdimensi dua.
Kita dapat melihat hal ini dengan cara lain. Transformasi matriks yang didefinisikan oleh \(A\) merotasi vektor sebesar \(180^\circ\text{,}\) yang berarti bahwa \(A\xvec = -\xvec\) untuk setiap vektor \(\xvec\text{.}\) Dengan kata lain, setiap vektor tak nol berdimensi dua merupakan vektor eigen dengan nilai eigen terkait \(\lambda=-1\text{.}\)
Dua contoh terakhir ini memperlihatkan dua jenis perilaku ketika hanya terdapat satu nilai eigen. Dalam satu kasus, kita dapat membentuk basis untuk \(\real^2\) menggunakan vektor-vektor eigen; dalam kasus lainnya, kita tidak dapat melakukannya. Kita akan menelaah perilaku ini lebih lanjut dalam subbagian berikut.
Ketika menentukan nilai-nilai eigen dan vektor-vektor eigen terkait dengan cara ini, pertama-tama kita menentukan nilai eigen \(\lambda\) dengan menyelesaikan persamaan karakteristik. Jika \(\lambda\) merupakan solusi persamaan karakteristik, maka \(A-\lambda I\) tidak invertibel. Akibatnya, \(A-\lambda I\) harus memuat baris tanpa posisi pivot.
Hal ini berfungsi sebagai pemeriksaan hasil kerja kita. Jika kita mereduksi baris \(A-\lambda I\) dan memperoleh matriks identitas, berarti kita telah membuat kesalahan, baik ketika menyelesaikan persamaan karakteristik maupun ketika menentukan \(\nul(A-\lambda I)\text{.}\)
Subbagian4.2.4Polinomial karakteristik dan dimensi ruang eigen
Untuk suatu matriks persegi \(n\times n\)\(A\text{,}\) pada bagian sebelumnya kita telah melihat manfaat dari kemampuan menyatakan sembarang vektor dalam \(\real^n\) sebagai kombinasi linear vektor-vektor eigen \(A\text{.}\) Oleh karena itu, Pertanyaan 4.1.8 menanyakan kapan kita dapat membentuk basis untuk \(\real^n\) yang terdiri atas vektor-vektor eigen. Sekarang kita akan menelaah pertanyaan ini secara lebih lengkap.
Seperti yang telah kita lihat, nilai-nilai eigen \(A\) merupakan solusi persamaan karakteristik \(\det(A-\lambda I) = 0\text{.}\) Contoh-contoh yang telah kita tinjau memperlihatkan beberapa jenis perilaku yang berbeda. Sebagai contoh, kita telah melihat persamaan-persamaan karakteristik
\((4-\lambda)(-2-\lambda)(3-\lambda) = 0\text{,}\) yang memiliki akar-akar real yang berbeda,
Jika \(A\) adalah matriks \(n\times n\text{,}\) maka polinomial karakteristiknya berderajat \(n\text{,}\) yang berarti bahwa polinomial itu memiliki \(n\) akar. Oleh karena itu, persamaan karakteristik dapat dituliskan sebagai
yang memberikan nilai-nilai eigen \(\lambda_1,
\lambda_2,\ldots,\lambda_n\text{.}\) Seperti yang telah kita lihat, beberapa nilai eigen mungkin kompleks. Selain itu, beberapa nilai eigen mungkin muncul lebih dari sekali dalam daftar ini. Namun, kita selalu dapat menuliskan persamaan karakteristik dalam bentuk
Kita telah melihat bahwa matriks \(A = \left[\begin{array}{rr}
1 \amp 1 \\
-1 \amp 3 \\
\end{array}\right]\) memiliki persamaan karakteristik \((2-\lambda)^2 =
0\text{.}\) Matriks ini memiliki satu nilai eigen \(\lambda = 2\) dengan multiplisitas \(2\text{.}\)
maka matriks tersebut memiliki empat nilai eigen: \(\lambda=4\) dengan multiplisitas 2; \(\lambda=-5\) dengan multiplisitas 1; \(\lambda=1\) dengan multiplisitas 7; dan \(\lambda=3\) dengan multiplisitas 2. Derajat polinomial karakteristik adalah jumlah multiplisitasnya, yaitu \(2+1+7+2 = 12\text{,}\) sehingga matriks ini harus berukuran \(12\times12\text{.}\)
Multiplisitas nilai-nilai eigen penting karena memengaruhi dimensi ruang-ruang eigen. Kita mengetahui bahwa dimensi ruang eigen sekurang-kurangnya satu; proposisi berikut juga menyatakan bahwa dimensi ruang eigen tidak dapat melebihi multiplisitas nilai eigen yang terkait dengannya.
Matriks diagonal \(\left[\begin{array}{rr}
-1 \amp 0 \\
0 \amp -1 \\
\end{array}\right]\) memiliki persamaan karakteristik \((-1-\lambda)^2 =
0\text{.}\) Terdapat satu nilai eigen \(\lambda = -1\) dengan multiplisitas \(m = 2\text{,}\) dan sebelumnya kita telah melihat bahwa \(\dim E_{-1} = 2 \leq m = 2\text{.}\)
Matriks \(\left[\begin{array}{rr}
1 \amp 1 \\
-1 \amp 3 \\
\end{array}\right]\) memiliki persamaan karakteristik \((2-\lambda)^2 =
0\text{.}\) Hal ini menunjukkan bahwa terdapat satu nilai eigen \(\lambda = 2\) dengan multiplisitas \(m = 2\text{.}\) Berbeda dengan contoh sebelumnya, kita memiliki \(\dim~ E_2 = 1 \leq m = 2\text{.}\)
Sebelumnya kita telah melihat bahwa matriks \(\left[\begin{array}{rrr}
4 \amp 2 \amp 3 \\
0 \amp -2 \amp -1 \\
0 \amp 0 \amp 3 \\
\end{array}\right]\) memiliki persamaan karakteristik
Terdapat tiga nilai eigen \(\lambda=4,-2,3\text{,}\) masing-masing dengan multiplisitas \(1\text{.}\) Berdasarkan proposisi tersebut, dimensi setiap ruang eigen dijamin sama dengan \(1\text{;}\) yaitu,
kita mengetahui bahwa terdapat empat nilai eigen \(\lambda=4,-5,1,3\text{.}\) Tanpa informasi tambahan, yang dapat kita nyatakan mengenai dimensi ruang-ruang eigennya hanyalah
dengan \(n\) nilai eigen real yang berbeda, masing-masing bermultiplisitas \(1\text{.}\) Dalam hal ini, dimensi setiap ruang eigen adalah \(\dim E_{\lambda_j} = 1\text{.}\) Dengan sedikit usaha, dapat dilihat bahwa memilih satu vektor basis \(\vvec_j\) dari setiap ruang eigen menghasilkan basis untuk \(\real^n\text{.}\) Oleh karena itu, kita memiliki proposisi berikut.
Jika \(A\) adalah matriks \(n\times n\) yang memiliki \(n\) nilai eigen real yang berbeda, maka terdapat basis untuk \(\real^n\) yang terdiri atas vektor-vektor eigen \(A\text{.}\)
Identifikasikan nilai-nilai eigen beserta multiplisitasnya dari matriks \(n\times n\) yang polinomial karakteristiknya adalah \((2-\lambda)^3(-3-\lambda)^{10}(5-\lambda)\text{.}\) Apa yang dapat Anda simpulkan tentang dimensi ruang-ruang eigennya? Berapa ukuran matriks tersebut? Apakah Anda memiliki cukup informasi untuk menjamin adanya basis untuk \(\real^n\) yang terdiri atas vektor-vektor eigen?
Tentukan nilai-nilai eigen dari \(\left[\begin{array}{rr}
0 \amp -1 \\
4 \amp -4 \\
\end{array}\right]\) dan nyatakan multiplisitasnya. Dapatkah Anda menentukan basis untuk \(\real^2\) yang terdiri atas vektor-vektor eigen matriks ini?
Subbagian4.2.5Menggunakan Sage untuk menentukan nilai eigen dan vektor eigen
Kita dapat menggunakan Sage untuk menentukan polinomial karakteristik, nilai-nilai eigen, dan vektor-vektor eigen suatu matriks. Namun, seperti yang akan kita lihat, diperlukan kehati-hatian ketika menangani matriks yang entri-entrinya berupa bilangan desimal.
Kita akan menggunakan Sage untuk menentukan nilai-nilai eigen dan vektor-vektor eigen suatu matriks. Mari kita mulai dengan matriks \(A = \left[\begin{array}{rr}
-3 \amp 1 \\
0 \amp -3 \\
\end{array}\right]
\text{.}\)
Kita dapat menentukan polinomial karakteristik \(A\) dengan menuliskan A.charpoly('lambda'). Perhatikan bahwa kita harus memberikan kepada Sage sebuah variabel yang akan digunakan untuk menuliskan polinomial; di sini kita menggunakan lambda, meskipun x juga dapat digunakan.
Bentuk terfaktorkan dari polinomial karakteristik mungkin lebih berguna karena memberikan nilai-nilai eigen beserta multiplisitasnya. Polinomial karakteristik terfaktorkan diperoleh dengan A.fcp('lambda').
Terakhir, kita dapat menentukan vektor-vektor eigen dengan A.eigenvectors_right(). (Kita mencari vektor eigen kanan karena vektor \(\vvec\) berada di sebelah kanan \(A\) dalam definisi \(A\vvec=\lambda \vvec\text{.}\))
Sekilas, hasil perintah ini mungkin agak membingungkan untuk ditafsirkan. Yang kita lihat adalah daftar dengan satu entri untuk setiap nilai eigen. Untuk setiap nilai eigen terdapat rangkap tiga yang terdiri atas (i) nilai eigen \(\lambda\text{,}\) (ii) basis untuk \(E_\lambda\text{,}\) dan (iii) multiplisitas \(\lambda\text{.}\)
Ketika bekerja dengan entri desimal, yang dalam ilmu komputer disebut bilangan titik mengambang, kita harus mengingat bahwa komputer hanya melakukan aritmetika hampiran. Hal ini menjadi masalah ketika kita ingin menentukan vektor-vektor eigen matriks semacam itu. Sebagai ilustrasi, tinjau matriks \(A=\left[\begin{array}{rr}
0.4 \amp 0.3 \\
0.6 \amp 0.7 \\
\end{array}\right]
\text{.}\)
Tanpa menggunakan Sage, tentukan nilai-nilai eigen matriks ini.
Karena aritmetika yang dilakukan Sage terhadap entri titik mengambang hanya bersifat hampiran, kita tidak dapat menentukan ruang eigen \(E_1\text{.}\) Dalam bab berikutnya, kita akan mempelajari cara menangani persoalan ini. Untuk sementara, kita dapat mengatasi masalah tersebut dengan menuliskan entri-entri matriks sebagai bilangan rasional:
Dalam bagian ini, kita mengembangkan teknik untuk menentukan nilai-nilai eigen dan vektor-vektor eigen suatu matriks \(n\times n\)\(A\text{.}\)
Ekspresi \(\det(A-\lambda I)\) merupakan polinomial berderajat \(n\) yang dikenal sebagai polinomial karakteristik dari \(A\text{.}\) Nilai-nilai eigen \(A\) adalah akar-akar polinomial karakteristik yang diperoleh dengan menyelesaikan persamaan karakteristik \(\det(A-\lambda I) = 0\text{.}\)
Himpunan vektor-vektor eigen yang terkait dengan nilai eigen \(\lambda\text{,}\) bersama dengan vektor nol, membentuk subruang dari \(\real^n\text{,}\) yaitu ruang eigen \(E_\lambda =
\nul(A-\lambda I)\text{.}\)
Jika faktor \((\lambda_j - \lambda)\) muncul sebanyak \(m_j\) kali dalam polinomial karakteristik, kita mengatakan bahwa nilai eigen \(\lambda_j\) memiliki multiplisitas \(m_j\) dan memperhatikan bahwa
Jika setiap nilai eigen bersifat real dan memiliki multiplisitas \(1\text{,}\) maka kita dapat membentuk basis untuk \(\real^n\) yang terdiri atas vektor-vektor eigen \(A\text{.}\)
Kita dapat menggunakan Sage untuk menentukan nilai-nilai eigen dan vektor-vektor eigen suatu matriks. Namun, kita harus berhati-hati ketika bekerja dengan bilangan titik mengambang karena aritmetika titik mengambang hanya merupakan hampiran.
Untuk suatu matriks \(n\times n\)\(A\text{,}\) sebuah pertanyaan penting, Pertanyaan 4.1.8, menanyakan apakah kita dapat menentukan basis untuk \(\real^n\) yang terdiri atas vektor-vektor eigen \(A\text{.}\) Untuk setiap matriks pada latihan sebelumnya, tentukan basis untuk \(\real^n\) yang terdiri atas vektor-vektor eigen, atau nyatakan mengapa basis semacam itu tidak ada.
Misalkan \(D\) adalah matriks diagonal \(3\times 3\text{.}\) Mengapa Anda dapat menjamin adanya basis untuk \(\real^3\) yang terdiri atas vektor-vektor eigen \(D\text{?}\)
Jika \(A\) adalah matriks \(3\times 3\) yang nilai-nilai eigennya adalah \(\lambda = -1,3,5\text{,}\) dapatkah Anda menjamin adanya basis untuk \(\real^3\) yang terdiri atas vektor-vektor eigen \(A\text{?}\)
Apa saja nilai eigen \(A\text{?}\) Apakah \(A\) invertibel? Apakah terdapat basis untuk \(\real^n\) yang terdiri atas vektor-vektor eigen \(A\text{?}\)
Untuk setiap matriks berikut, gunakan Sage untuk menentukan nilai-nilai eigennya, multiplisitasnya, dan basis untuk setiap ruang eigen. Untuk matriks mana kita dapat membentuk basis untuk \(\real^3\) yang terdiri atas vektor-vektor eigen?
Terdapat hubungan antara determinan suatu matriks dan hasil kali nilai-nilai eigennya.
Kita telah melihat bahwa nilai-nilai eigen matriks \(A = \left[\begin{array}{rr}
1 \amp 2 \\
2 \amp 1 \\
\end{array}\right]\) adalah \(\lambda = 3,-1\text{.}\) Berapakah \(\det A\text{?}\) Berapakah hasil kali nilai-nilai eigen \(A\text{?}\)
