Lewati ke konten utama
Logo Memahami Aljabar Linear

Memahami Aljabar Linear

David Austin

Subbab 2.3 Rentang linear suatu himpunan vektor

Perkalian matriks memungkinkan kita menuliskan kembali suatu sistem linear dalam bentuk \(A\xvec = \bvec\text{.}\) Selain merupakan cara yang lebih ringkas untuk menyatakan sistem linear, bentuk ini memungkinkan kita memikirkan sistem linear secara geometris karena perkalian matriks didefinisikan melalui kombinasi linear vektor-vektor.
🔗
Sekarang kita kembali ke dua pertanyaan mendasar kita, yang di sini dirumuskan kembali dalam konteks perkalian matriks.
  • Keberadaan: Apakah terdapat solusi untuk persamaan \(A\xvec=\bvec\text{?}\)
    🔗
    🔗
  • Ketunggalan: Jika terdapat solusi untuk persamaan \(A\xvec=\bvec\text{,}\) apakah solusi tersebut tunggal?
    🔗
    🔗
Dalam bagian ini, kita berfokus pada pertanyaan tentang keberadaan dan melihat bagaimana pertanyaan tersebut mengantarkan kita pada konsep rentang linear suatu himpunan vektor.
🔗

Subbagian 2.3.1 Pendahuluan

Aktivitas Pratinjau 2.3.1. Keberadaan solusi.

(a)
Jika persamaan \(A\xvec = \bvec\) tidak konsisten, apa yang dapat kita katakan tentang posisi-posisi pivot pada matriks diperbesar \(\left[\begin{array}{r|r} A \amp \bvec \end{array}\right]\text{?}\)
🔗
🔗
(b)
Perhatikan matriks \(A\)
\begin{equation*} A = \left[ \begin{array}{rrr} 1 \amp 0 \amp -2 \\ -2 \amp 2 \amp 2 \\ 1 \amp 1 \amp -3 \end{array}\right]\text{.} \end{equation*}
Jika \(\bvec=\threevec{2}{2}{5}\text{,}\) apakah persamaan \(A\xvec = \bvec\) konsisten? Jika ya, tentukan suatu solusi.
🔗
🔗
(c)
Jika \(\bvec=\threevec{2}{2}{6}\text{,}\) apakah persamaan \(A\xvec = \bvec\) konsisten? Jika ya, tentukan suatu solusi.
🔗
🔗
(d)
Identifikasilah posisi-posisi pivot pada \(A\text{.}\)
🔗
🔗
(e)
Untuk dua pilihan vektor \(\bvec\) kita, salah satu persamaan \(A\xvec = \bvec\) memiliki solusi dan yang lainnya tidak. Karakteristik apa dari posisi-posisi pivot matriks \(A\) yang membuat kita menduga hal ini?
🔗
🔗
🔗
🔗

Subbagian 2.3.2 Rentang linear suatu himpunan vektor

Dalam Aktivitas Pratinjau, kita memperhatikan matriks \(3\times3\) \(A\) dan menemukan bahwa persamaan \(A\xvec = \bvec\) memiliki solusi untuk beberapa vektor \(\bvec\) di \(\real^3\text{,}\) tetapi tidak memiliki solusi untuk vektor lainnya. Kita akan memperkenalkan konsep yang disebut rentang linear, yang mendeskripsikan vektor-vektor \(\bvec\) yang membuat persamaan tersebut memiliki solusi.
🔗
Kita dapat menuliskan matriks \(m\times n\) \(A\) berdasarkan kolom-kolomnya
\begin{equation*} A = \left[\begin{array}{rrrr} \vvec_1\amp\vvec_2\amp\cdots\amp\vvec_n \end{array}\right]\text{.} \end{equation*}
Ingatlah bahwa Proposisi 2.2.4 menyatakan bahwa persamaan \(A\xvec = \bvec\) konsisten jika dan hanya jika kita dapat menyatakan \(\bvec\) sebagai kombinasi linear dari \(\vvec_1,\vvec_2,\ldots,\vvec_n\text{.}\)
🔗

Definisi 2.3.1.

Rentang linear suatu himpunan vektor \(\vvec_1,\vvec_2,\ldots,\vvec_n\) adalah himpunan semua kombinasi linear yang dapat dibentuk dari vektor-vektor tersebut.
🔗
Dengan kata lain, jika \(A = \begin{bmatrix} \vvec_1 \amp \vvec_2 \amp \cdots \amp \vvec_n \end{bmatrix}\text{,}\) rentang linear vektor-vektor tersebut terdiri atas semua vektor \(\bvec\) yang membuat persamaan \(A\xvec = \bvec\) konsisten.
🔗
🔗

Contoh 2.3.2.

Perhatikan himpunan vektor \(\vvec=\twovec{-2}{1}\) dan \(\wvec = \twovec{8}{-4}\text{.}\) Kita melihat bahwa vektor
\begin{equation*} \bvec = 3\vvec + \wvec = \twovec2{-1} \end{equation*}
merupakan salah satu vektor dalam rentang linear vektor \(\vvec\) dan \(\wvec\) karena vektor tersebut merupakan kombinasi linear dari \(\vvec\) dan \(\wvec\text{.}\)
🔗
Untuk menentukan apakah vektor \(\bvec=\twovec{5}{2}\) berada dalam rentang linear \(\vvec\) dan \(\wvec\text{,}\) kita membentuk matriks
\begin{equation*} A = \begin{bmatrix} \vvec \amp \wvec \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 \amp 8 \\ 1 \amp -4 \\ \end{bmatrix} \end{equation*}
dan memperhatikan persamaan \(A\xvec=\bvec\text{.}\) Kita memperoleh
\begin{equation*} \left[ \begin{array}{rr|r} -2 \amp 8 \amp 5 \\ 1 \amp -4 \amp 2 \\ \end{array} \right] \sim \left[ \begin{array}{rr|r} 1 \amp -4 \amp 0 \\ 0 \amp 0 \amp 1 \\ \end{array} \right], \end{equation*}
yang menunjukkan bahwa persamaan \(A\xvec = \bvec\) tidak konsisten. Oleh karena itu, \(\bvec=\twovec52\) merupakan salah satu vektor yang tidak berada dalam rentang linear \(\vvec\) dan \(\wvec\text{.}\)
🔗
🔗

Kegiatan 2.3.2.

Mari kita telaah dua contoh untuk membangun intuisi mengenai konsep rentang linear.
  1. Pertama-tama, kita akan memperhatikan himpunan vektor
    \begin{equation*} \vvec = \twovec{1}{2}, ~~~\wvec = \twovec{-2}{-4}\text{.} \end{equation*}
    🔗
    Terdapat diagram yang menampilkan dua vektor \(\vvec=\twovec{1}{2}\) dan \(\wvec=\twovec{-2}{-4}\) yang terletak pada sebuah garis; garis tersebut juga ditampilkan.
    🔗
    Di bagian atas diagram terdapat dua penggeser yang memungkinkan pembaca mengubah dua skalar \(c\) dan \(d\text{.}\) Kombinasi linear \(c\vvec+d\wvec\) juga ditampilkan. Ketika salah satu penggeser diubah, kombinasi linear yang baru akan ditampilkan.
    🔗
    Petunjuk.
    Diagram di bawah ini dapat digunakan untuk membentuk kombinasi linear dengan bobot \(c\) dan \(d\) yang dapat diubah menggunakan penggeser di bagian atas. Vektor \(\vvec\) dan \(\wvec\) ditampilkan dengan garis tepi, sedangkan kombinasi linear
    \begin{equation*} c\vvec + d\wvec \end{equation*}
    diarsir merah.
    🔗
    🔗
    Gambar 2.3.3. Diagram interaktif untuk membentuk kombinasi linear dari vektor \(\vvec\) dan \(\wvec\text{.}\)
    🔗
    1. Vektor apa yang merupakan kombinasi linear \(\vvec\) dan \(\wvec\) dengan bobot:
      🔗
      🔗
    2. Dapatkah vektor \(\twovec{2}{4}\) dinyatakan sebagai kombinasi linear dari \(\vvec\) dan \(\wvec\text{?}\) Apakah vektor \(\twovec{2}{4}\) berada dalam rentang linear \(\vvec\) dan \(\wvec\text{?}\)
      🔗
      🔗
    3. Dapatkah vektor \(\twovec{3}{0}\) dinyatakan sebagai kombinasi linear dari \(\vvec\) dan \(\wvec\text{?}\) Apakah vektor \(\twovec{3}{0}\) berada dalam rentang linear \(\vvec\) dan \(\wvec\text{?}\)
      🔗
      🔗
    4. Deskripsikan himpunan vektor dalam rentang linear \(\vvec\) dan \(\wvec\text{.}\)
      🔗
      🔗
    5. Untuk vektor \(\bvec\) apa persamaan
      \begin{equation*} \left[\begin{array}{rr} 1 \amp -2 \\ 2 \amp -4 \end{array}\right] \xvec = \bvec \end{equation*}
      memiliki solusi?
      🔗
      🔗
    🔗
    🔗
  2. Sekarang kita akan menelaah contoh dengan
    \begin{equation*} \vvec = \twovec{2}{1}, ~~~\wvec = \twovec{1}{2}\text{.} \end{equation*}
    🔗
    Terdapat diagram yang menampilkan dua vektor \(\vvec=\twovec{2}{1}\) dan \(\wvec=\twovec{1}{2}\) serta sebuah kisi yang terdiri atas dua kumpulan garis sejajar. Satu kumpulan garis sejajar tersebut sejajar dengan \(\vvec\) dan melalui kelipatan bilangan bulat \(\wvec\text{.}\) Kumpulan garis sejajar lainnya sejajar dengan \(\wvec\) dan melalui kelipatan bilangan bulat \(\vvec\text{.}\)
    🔗
    Di bagian atas diagram terdapat dua penggeser yang memungkinkan pembaca mengubah dua skalar \(c\) dan \(d\text{.}\) Kombinasi linear \(c\vvec+d\wvec\) juga ditampilkan. Ketika salah satu penggeser diubah, kombinasi linear yang baru akan ditampilkan.
    🔗
    Petunjuk.
    Dengan cara serupa, diagram di bawah ini dapat digunakan untuk membentuk kombinasi linear
    \begin{equation*} c\vvec + d\wvec. \end{equation*}
    🔗
    🔗
    Gambar 2.3.4. Diagram interaktif untuk membentuk kombinasi linear dari vektor \(\vvec\) dan \(\wvec\text{.}\)
    🔗
    1. Vektor apa yang merupakan kombinasi linear \(\vvec\) dan \(\wvec\) dengan bobot:
      🔗
      🔗
    2. Dapatkah vektor \(\twovec{-2}{2}\) dinyatakan sebagai kombinasi linear dari \(\vvec\) dan \(\wvec\text{?}\) Apakah vektor \(\twovec{-2}{2}\) berada dalam rentang linear \(\vvec\) dan \(\wvec\text{?}\)
      🔗
      🔗
    3. Dapatkah vektor \(\twovec{3}{0}\) dinyatakan sebagai kombinasi linear dari \(\vvec\) dan \(\wvec\text{?}\) Apakah vektor \(\twovec{3}{0}\) berada dalam rentang linear \(\vvec\) dan \(\wvec\text{?}\)
      🔗
      🔗
    4. Deskripsikan himpunan vektor dalam rentang linear \(\vvec\) dan \(\wvec\text{.}\)
      🔗
      🔗
    5. Untuk vektor \(\bvec\) apa persamaan
      \begin{equation*} \left[\begin{array}{rr} 2 \amp 1 \\ 1 \amp 2 \end{array}\right] \xvec = \bvec \end{equation*}
      memiliki solusi?
      🔗
      🔗
    🔗
    🔗
🔗
🔗
Aktivitas ini bertujuan menjelaskan makna geometris rentang linear. Ingatlah bahwa kita dapat memandang kombinasi linear dari dua vektor \(\vvec\) dan \(\wvec\) sebagai petunjuk untuk berjalan pada bidang \(\real^2\text{.}\) Mula-mula kita bergerak sejauh nilai yang ditetapkan dalam arah \(\vvec\text{,}\) lalu bergerak sejauh nilai yang ditetapkan dalam arah \(\wvec\text{.}\) Rentang linear terdiri atas semua tempat yang dapat kita capai.
🔗

Contoh 2.3.5.

Mari kita perhatikan vektor \(\vvec=\twovec20\) dan \(\wvec=\twovec{-1}1\) seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2.3.6.
🔗
Kontrol papan ketik untuk menjelajahi diagram
Tombol Tindakan
Enter, A Aktifkan penjelajahan dengan papan ketik
B Aktifkan penjelajahan dengan menu
Escape Keluar dari mode penjelajahan
Panah bawah Jelajahi tingkat berikutnya di bawah
Panah atas Jelajahi tingkat berikutnya di atas
Panah kanan Jelajahi elemen berikutnya pada tingkat ini
Panah kiri Jelajahi elemen sebelumnya pada tingkat ini
X Aktifkan atau nonaktifkan mode ahli
W Tampilkan rincian tambahan jika tersedia
Spasi Ulangi keluaran suara
M Aktifkan pembesaran bertahap
Koma Aktifkan pembesaran langsung
N Nonaktifkan pembesaran
Z Tampilkan atau sembunyikan subtitel
C Gilir pengaturan kontras
T Gunakan warna monokrom
L Ganti bahasa jika tersedia
K Hentikan suara saat ini
Y Hentikan keluaran suara
O Mulai atau hentikan sonifikasi
P Ulangi keluaran sonifikasi
Dua vektor \(\vvec=\twovec20\) dan \(\wvec=\twovec{-1}1\) ditampilkan bersama sumbu-sumbu standar berlabel. Dua kumpulan garis sejajar yang ditentukan oleh vektor-vektor ini juga ditampilkan. Satu kumpulan sejajar dengan \(\vvec\) dan melalui kelipatan bilangan bulat \(\wvec\text{,}\) sedangkan kumpulan lainnya sejajar dengan \(\wvec\) dan melalui kelipatan bilangan bulat \(\vvec\text{.}\)
🔗
Gambar 2.3.6. Vektor \(\vvec\) dan \(\wvec\) beserta beberapa kombinasi linear yang dibentuknya.
🔗
Gambar tersebut menunjukkan bahwa \(\bvec = \vvec + 2\wvec = \twovec02\) merupakan kombinasi linear dari \(\vvec\) dan \(\wvec\text{.}\) Kita dapat memverifikasi hal ini secara aljabar dengan membentuk sistem linear
\begin{equation*} \begin{bmatrix}\vvec \amp \wvec \end{bmatrix} ~ \xvec = \twovec02, \end{equation*}
yang matriks diperbesar terkaitnya memiliki bentuk eselon baris tereduksi
\begin{equation*} \left[ \begin{array}{rr|r} 2 \amp -1 \amp 0 \\ 0 \amp 1 \amp 2 \\ \end{array} \right] \sim \left[ \begin{array}{rr|r} 1 \amp 0 \amp 1 \\ 0 \amp 1 \amp 2 \\ \end{array} \right]. \end{equation*}
Karena sistem ini konsisten, kita mengetahui bahwa \(\bvec=\twovec02\) berada dalam rentang linear \(\vvec\) dan \(\wvec\text{.}\)
🔗
Bahkan, kita dapat mengatakan lebih jauh. Perhatikan bahwa matriks koefisien
\begin{equation*} \begin{bmatrix} 2 \amp -1 \\ 0 \amp 1 \\ \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 \amp 0 \\ 0 \amp 1 \\ \end{bmatrix} \end{equation*}
memiliki posisi pivot pada setiap baris. Ini berarti bahwa untuk sembarang vektor \(\bvec\) lainnya, matriks diperbesar yang bersesuaian dengan persamaan \(\begin{bmatrix}\vvec \amp \wvec \end{bmatrix} ~\xvec = \bvec\) tidak mungkin memiliki posisi pivot pada kolom paling kanannya:
\begin{equation*} \left[ \begin{array}{rr|r} 2 \amp -1 \amp * \\ 0 \amp 1 \amp * \\ \end{array} \right] \sim \left[ \begin{array}{rr|r} 1 \amp 0 \amp * \\ 0 \amp 1 \amp * \\ \end{array} \right]. \end{equation*}
Oleh karena itu, persamaan \(\begin{bmatrix}\vvec \amp \wvec \end{bmatrix} ~\xvec = \bvec\) konsisten untuk setiap vektor berdimensi dua \(\bvec\text{,}\) yang memberi tahu kita bahwa setiap vektor berdimensi dua berada dalam rentang linear \(\vvec\) dan \(\wvec\text{.}\) Dalam kasus ini, kita mengatakan bahwa rentang linear \(\vvec\) dan \(\wvec\) adalah \(\real^2\text{.}\)
🔗
Secara intuitif, hal ini berarti bahwa kita dapat berjalan ke sembarang titik pada bidang dengan bergerak sejauh jarak yang sesuai dalam arah \(\vvec\) dan \(\wvec\text{.}\)
🔗
🔗

Contoh 2.3.7.

Sekarang mari kita perhatikan vektor \(\vvec=\twovec{-1}1\) dan \(\wvec=\twovec2{-2}\) seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2.3.8.
🔗
Kontrol papan ketik untuk menjelajahi diagram
Tombol Tindakan
Enter, A Aktifkan penjelajahan dengan papan ketik
B Aktifkan penjelajahan dengan menu
Escape Keluar dari mode penjelajahan
Panah bawah Jelajahi tingkat berikutnya di bawah
Panah atas Jelajahi tingkat berikutnya di atas
Panah kanan Jelajahi elemen berikutnya pada tingkat ini
Panah kiri Jelajahi elemen sebelumnya pada tingkat ini
X Aktifkan atau nonaktifkan mode ahli
W Tampilkan rincian tambahan jika tersedia
Spasi Ulangi keluaran suara
M Aktifkan pembesaran bertahap
Koma Aktifkan pembesaran langsung
N Nonaktifkan pembesaran
Z Tampilkan atau sembunyikan subtitel
C Gilir pengaturan kontras
T Gunakan warna monokrom
L Ganti bahasa jika tersedia
K Hentikan suara saat ini
Y Hentikan keluaran suara
O Mulai atau hentikan sonifikasi
P Ulangi keluaran sonifikasi
Dua vektor, \(\vvec=\twovec{-1}1\) dan \(\wvec=\twovec{2}{-2}\text{,}\) ditampilkan bersama sumbu-sumbu standar berlabel. Vektor-vektor ini terletak pada sebuah garis; garis tersebut juga ditampilkan.
🔗
Gambar 2.3.8. Vektor \(\vvec\) dan \(\wvec\) beserta beberapa kombinasi linear yang dibentuknya.
🔗
Dari gambar tersebut, kita menduga bahwa \(\bvec = \twovec02\) bukan kombinasi linear dari \(\vvec\) dan \(\wvec\text{.}\) Sekali lagi, kita dapat memverifikasi hal ini secara aljabar dengan membentuk sistem linear
\begin{equation*} \begin{bmatrix}\vvec \amp \wvec \end{bmatrix} ~ \xvec = \twovec02. \end{equation*}
Matriks diperbesarnya memiliki bentuk eselon baris tereduksi
\begin{equation*} \left[ \begin{array}{rr|r} -1 \amp 2 \amp 0 \\ 1 \amp -2 \amp 2 \\ \end{array} \right] \sim \left[ \begin{array}{rr|r} 1 \amp -2 \amp 0 \\ 0 \amp 0 \amp 1 \\ \end{array} \right], \end{equation*}
yang menunjukkan bahwa sistem tersebut tidak konsisten. Oleh karena itu, \(\bvec=\twovec02\) tidak berada dalam rentang linear \(\vvec\) dan \(\wvec\text{.}\)
🔗
Kita dapat menduga perilaku ini dari matriks koefisien
\begin{equation*} \begin{bmatrix} -1 \amp 2 \\ 1 \amp -2 \\ \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 \amp -2 \\ 0 \amp 0 \\ \end{bmatrix}. \end{equation*}
Karena baris kedua matriks koefisien tidak memiliki posisi pivot, suatu sistem linear \(\begin{bmatrix}\vvec \amp \wvec \end{bmatrix} ~\xvec = \bvec\) mungkin memiliki posisi pivot pada kolom paling kanannya:
\begin{equation*} \left[ \begin{array}{rr|r} -1 \amp 2 \amp * \\ 1 \amp -2 \amp * \\ \end{array} \right] \sim \left[ \begin{array}{rr|r} 1 \amp -2 \amp 0 \\ 0 \amp 0 \amp 1 \\ \end{array} \right]. \end{equation*}
🔗
Jika kita memperhatikan bahwa \(\wvec = -2\vvec\text{,}\) kita melihat bahwa sembarang kombinasi linear dari \(\vvec\) dan \(\wvec\text{,}\)
\begin{equation*} c\vvec + d\wvec = c\vvec -2d\vvec = (c-2d)\vvec, \end{equation*}
sebenarnya merupakan kelipatan skalar \(\vvec\text{.}\) Oleh karena itu, rentang linear \(\vvec\) dan \(\wvec\) adalah garis yang ditentukan oleh vektor \(\vvec\text{.}\) Secara intuitif, ini berarti bahwa dengan kedua vektor tersebut kita hanya dapat berjalan ke titik-titik pada garis ini.
🔗
🔗

Notasi 2.3.9.

Kita akan menyatakan rentang linear himpunan vektor \(\vvec_1,\vvec_2,\ldots,\vvec_n\) dengan \(\laspan{\vvec_1,\vvec_2,\ldots,\vvec_n}\text{.}\)
🔗
🔗
Dalam Contoh 2.3.5, kita melihat bahwa \(\laspan{\vvec,\wvec} = \real^2\text{.}\) Namun, untuk vektor-vektor dalam Contoh 2.3.7, kita melihat bahwa \(\laspan{\vvec,\wvec}\) hanyalah sebuah garis.
🔗
🔗

Subbagian 2.3.3 Posisi pivot dan rentang linear

Suatu himpunan vektor \(\vvec_1,\vvec_2,\ldots,\vvec_n\) secara alami menentukan matriks \(A = \begin{bmatrix}\vvec_1\amp\vvec_2\amp\cdots\vvec_n\end{bmatrix}\) yang kolom-kolomnya adalah vektor-vektor yang diberikan. Seperti yang telah kita lihat, vektor \(\bvec\) berada dalam \(\laspan{\vvec_1,\vvec_2,\ldots,\vvec_n}\) tepat ketika sistem linear \(A\xvec=\bvec\) konsisten.
🔗
Contoh-contoh sebelumnya menunjukkan bahwa rentang linear berkaitan dengan posisi-posisi pivot \(A\text{.}\) Meskipun Subbab 2.4 dan Subbab 3.5 mengembangkan gagasan ini secara lebih lengkap, sekarang kita akan menelaah berbagai kemungkinan dalam \(\real^3\text{.}\)
🔗

Kegiatan 2.3.3.

Dalam aktivitas ini, kita akan menelaah rentang linear berbagai himpunan vektor dalam \(\real^3\text{.}\)
  1. Misalkan \(\vvec=\threevec{1}{2}{1}\text{.}\) Berikan deskripsi geometris \(\laspan{\vvec}\) dan buatlah sketsa kasar \(\vvec\) beserta rentang linearnya pada Gambar 2.3.10.
    🔗
    Kontrol papan ketik untuk menjelajahi diagram
    Tombol Tindakan
    Enter, A Aktifkan penjelajahan dengan papan ketik
    B Aktifkan penjelajahan dengan menu
    Escape Keluar dari mode penjelajahan
    Panah bawah Jelajahi tingkat berikutnya di bawah
    Panah atas Jelajahi tingkat berikutnya di atas
    Panah kanan Jelajahi elemen berikutnya pada tingkat ini
    Panah kiri Jelajahi elemen sebelumnya pada tingkat ini
    X Aktifkan atau nonaktifkan mode ahli
    W Tampilkan rincian tambahan jika tersedia
    Spasi Ulangi keluaran suara
    M Aktifkan pembesaran bertahap
    Koma Aktifkan pembesaran langsung
    N Nonaktifkan pembesaran
    Z Tampilkan atau sembunyikan subtitel
    C Gilir pengaturan kontras
    T Gunakan warna monokrom
    L Ganti bahasa jika tersedia
    K Hentikan suara saat ini
    Y Hentikan keluaran suara
    O Mulai atau hentikan sonifikasi
    P Ulangi keluaran sonifikasi
    Sumbu-sumbu koordinat berdimensi tiga standar yang diberi label \(x\text{,}\) \(y\text{,}\) dan \(z\text{.}\)
    🔗
    Gambar 2.3.10. Sistem koordinat berdimensi tiga untuk membuat sketsa \(\vvec\) dan rentang linearnya.
    🔗
    🔗
  2. Sekarang perhatikan kedua vektor
    \begin{equation*} \evec_1 = \threevec{1}{0}{0},~~~ \evec_2 = \threevec{0}{1}{0}\text{.} \end{equation*}
    Buatlah sketsa vektor-vektor tersebut di bawah ini. Kemudian berikan deskripsi geometris \(\laspan{\evec_1,\evec_2}\) dan buatlah sketsa kasar rentang linearnya pada Gambar 2.3.11.
    🔗
    Kontrol papan ketik untuk menjelajahi diagram
    Tombol Tindakan
    Enter, A Aktifkan penjelajahan dengan papan ketik
    B Aktifkan penjelajahan dengan menu
    Escape Keluar dari mode penjelajahan
    Panah bawah Jelajahi tingkat berikutnya di bawah
    Panah atas Jelajahi tingkat berikutnya di atas
    Panah kanan Jelajahi elemen berikutnya pada tingkat ini
    Panah kiri Jelajahi elemen sebelumnya pada tingkat ini
    X Aktifkan atau nonaktifkan mode ahli
    W Tampilkan rincian tambahan jika tersedia
    Spasi Ulangi keluaran suara
    M Aktifkan pembesaran bertahap
    Koma Aktifkan pembesaran langsung
    N Nonaktifkan pembesaran
    Z Tampilkan atau sembunyikan subtitel
    C Gilir pengaturan kontras
    T Gunakan warna monokrom
    L Ganti bahasa jika tersedia
    K Hentikan suara saat ini
    Y Hentikan keluaran suara
    O Mulai atau hentikan sonifikasi
    P Ulangi keluaran sonifikasi
    Sumbu-sumbu koordinat berdimensi tiga standar yang diberi label \(x\text{,}\) \(y\text{,}\) dan \(z\text{.}\)
    🔗
    Gambar 2.3.11. Sistem koordinat untuk membuat sketsa \(\evec_1\text{,}\) \(\evec_2\text{,}\) dan \(\laspan{\evec_1,\evec_2}\text{.}\)
    🔗
    🔗
  3. Sekarang mari kita telaah situasi ini secara aljabar dengan menuliskan \(\bvec = \threevec{b_1}{b_2}{b_3}\text{.}\) Tentukan syarat-syarat bagi \(b_1\text{,}\) \(b_2\text{,}\) dan \(b_3\) agar \(\bvec\) berada dalam \(\laspan{\evec_1,\evec_2}\) dengan memperhatikan sistem linear
    \begin{equation*} \left[\begin{array}{rr} \evec_1 \amp \evec_2 \\ \end{array}\right] ~\xvec = \bvec \end{equation*}
    atau
    \begin{equation*} \left[\begin{array}{rr} 1 \amp 0 \\ 0 \amp 1 \\ 0 \amp 0 \\ \end{array}\right] \xvec = \threevec{b_1}{b_2}{b_3}\text{.} \end{equation*}
    Jelaskan hubungan hasil ini dengan sketsa \(\laspan{\evec_1,\evec_2}\) Anda.
    🔗
    🔗
  4. Perhatikan vektor-vektor
    \begin{equation*} \vvec_1 = \threevec{1}{1}{-1},~~ \vvec_2 = \threevec{0}{2}{1}. \end{equation*}
    1. Apakah vektor \(\bvec=\threevec{1}{-2}{4}\) berada dalam \(\laspan{\vvec_1,\vvec_2}\text{?}\)
      🔗
      🔗
    2. Apakah vektor \(\bvec=\threevec{-2}{0}{3}\) berada dalam \(\laspan{\vvec_1,\vvec_2}\text{?}\)
      🔗
      🔗
    3. Berikan deskripsi geometris \(\laspan{\vvec_1,\vvec_2}\text{.}\)
      🔗
      🔗
    🔗
    🔗
  5. Perhatikan vektor-vektor
    \begin{equation*} \vvec_1 = \threevec{1}{1}{-1}, \vvec_2 = \threevec{0}{2}{1}, \vvec_3 = \threevec{1}{-2}{4}\text{.} \end{equation*}
    Bentuklah matriks \(\left[\begin{array}{rrrr} \vvec_1 \amp \vvec_2 \amp \vvec_3 \end{array}\right]\) dan tentukan bentuk eselon baris tereduksinya.
    🔗
    Apa yang disampaikan hasil ini mengenai \(\laspan{\vvec_1,\vvec_2,\vvec_3}\text{?}\)
    🔗
    🔗
  6. Jika rentang linear suatu himpunan vektor \(\vvec_1,\vvec_2,\ldots,\vvec_n\) adalah \(\real^3\text{,}\) apa yang dapat Anda katakan tentang posisi-posisi pivot matriks \(\left[\begin{array}{rrrr} \vvec_1\amp\vvec_2\amp\ldots\amp\vvec_n \end{array}\right]\text{?}\)
    🔗
    🔗
  7. Berapa jumlah minimum vektor sedemikian sehingga \(\laspan{\vvec_1,\vvec_2,\ldots,\vvec_n} = \real^3\text{?}\)
    🔗
    🔗
🔗
🔗
Jenis himpunan yang muncul sebagai rentang linear suatu himpunan vektor dalam \(\real^3\) relatif sederhana.
  • Pertama, untuk satu vektor taknol, semua kombinasi linear hanyalah kelipatan skalar vektor tersebut sehingga rentang linear vektor ini merupakan sebuah garis, seperti ditunjukkan pada Gambar 2.3.12.
    🔗
    Kontrol papan ketik untuk menjelajahi diagram
    Tombol Tindakan
    Enter, A Aktifkan penjelajahan dengan papan ketik
    B Aktifkan penjelajahan dengan menu
    Escape Keluar dari mode penjelajahan
    Panah bawah Jelajahi tingkat berikutnya di bawah
    Panah atas Jelajahi tingkat berikutnya di atas
    Panah kanan Jelajahi elemen berikutnya pada tingkat ini
    Panah kiri Jelajahi elemen sebelumnya pada tingkat ini
    X Aktifkan atau nonaktifkan mode ahli
    W Tampilkan rincian tambahan jika tersedia
    Spasi Ulangi keluaran suara
    M Aktifkan pembesaran bertahap
    Koma Aktifkan pembesaran langsung
    N Nonaktifkan pembesaran
    Z Tampilkan atau sembunyikan subtitel
    C Gilir pengaturan kontras
    T Gunakan warna monokrom
    L Ganti bahasa jika tersedia
    K Hentikan suara saat ini
    Y Hentikan keluaran suara
    O Mulai atau hentikan sonifikasi
    P Ulangi keluaran sonifikasi
    Sebuah vektor berdimensi tiga \(\vvec\) ditampilkan bersama garis yang ditentukannya. Sumbu-sumbu koordinat berdimensi tiga standar juga direpresentasikan.
    🔗
    Gambar 2.3.12. Rentang linear satu vektor taknol merupakan sebuah garis.
    🔗
    Perhatikan bahwa matriks yang dibentuk oleh vektor ini memiliki satu posisi pivot. Sebagai contoh,
    \begin{equation*} \threevec{-2}{3}{1} \sim \threevec{1}{0}{0}\text{.} \end{equation*}
    🔗
    🔗
  • Rentang linear dua vektor dalam \(\real^3\) yang tidak terletak pada garis yang sama akan berupa sebuah bidang, seperti terlihat pada Gambar 2.3.13.
    🔗
    Kontrol papan ketik untuk menjelajahi diagram
    Tombol Tindakan
    Enter, A Aktifkan penjelajahan dengan papan ketik
    B Aktifkan penjelajahan dengan menu
    Escape Keluar dari mode penjelajahan
    Panah bawah Jelajahi tingkat berikutnya di bawah
    Panah atas Jelajahi tingkat berikutnya di atas
    Panah kanan Jelajahi elemen berikutnya pada tingkat ini
    Panah kiri Jelajahi elemen sebelumnya pada tingkat ini
    X Aktifkan atau nonaktifkan mode ahli
    W Tampilkan rincian tambahan jika tersedia
    Spasi Ulangi keluaran suara
    M Aktifkan pembesaran bertahap
    Koma Aktifkan pembesaran langsung
    N Nonaktifkan pembesaran
    Z Tampilkan atau sembunyikan subtitel
    C Gilir pengaturan kontras
    T Gunakan warna monokrom
    L Ganti bahasa jika tersedia
    K Hentikan suara saat ini
    Y Hentikan keluaran suara
    O Mulai atau hentikan sonifikasi
    P Ulangi keluaran sonifikasi
    Dua vektor berdimensi tiga \(\vvec_1\) dan \(\vvec_2\) ditampilkan bersama bidang yang terdiri atas semua kombinasi linear kedua vektor tersebut. Pada bidang ini terdapat kumpulan garis sejajar seperti biasa yang ditentukan oleh kedua vektor tersebut.
    🔗
    Gambar 2.3.13. Rentang linear kedua vektor dalam \(\real^3\) ini merupakan sebuah bidang.
    🔗
    Sebagai contoh, vektor-vektor
    \begin{equation*} \vvec_1=\threevec{-2}{3}{1},~~~ \vvec_2=\threevec{1}{-1}{3} \end{equation*}
    menghasilkan matriks
    \begin{equation*} \left[\begin{array}{rr} -2 \amp 1 \\ 3 \amp -1 \\ 1 \amp 3 \\ \end{array}\right] \sim \left[\begin{array}{rr} 1 \amp 0 \\ 0 \amp 1 \\ 0 \amp 0 \\ \end{array}\right] \end{equation*}
    dengan dua posisi pivot.
    🔗
    🔗
  • Terakhir, suatu himpunan tiga vektor, seperti
    \begin{equation*} \vvec_1=\threevec12{-1},~~~ \vvec_2=\threevec201,~~~ \vvec_3=\threevec{-2}20 \end{equation*}
    dapat membentuk matriks yang memiliki tiga posisi pivot
    \begin{equation*} \left[\begin{array}{rrr} \vvec_1 \amp \vvec_2 \amp \vvec_3 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{rrr} 1 \amp 2 \amp -2 \\ 2 \amp 0 \amp 2 \\ -1 \amp 1 \amp 0 \\ \end{array}\right] \sim \left[\begin{array}{rrr} 1 \amp 0 \amp 0 \\ 0 \amp 1 \amp 0 \\ 0 \amp 0 \amp 1 \\ \end{array}\right], \end{equation*}
    masing-masing satu pada setiap baris. Ketika hal ini terjadi, bagaimanapun kita memperbesar matriks ini, posisi pivot tidak mungkin muncul pada kolom paling kanan:
    \begin{equation*} \left[\begin{array}{rrr|r} 1 \amp 2 \amp -2 \amp *\\ 2 \amp 0 \amp 2 \amp * \\ -1 \amp 1 \amp 0 \amp * \\ \end{array}\right] \sim \left[\begin{array}{rrr|r} 1 \amp 0 \amp 0 \amp *\\ 0 \amp 1 \amp 0 \amp * \\ 0 \amp 0 \amp 1 \amp * \\ \end{array}\right]. \end{equation*}
    Oleh karena itu, setiap sistem linear \(\begin{bmatrix}\vvec_1\amp\vvec_2\amp\vvec_3\end{bmatrix} ~\xvec = \bvec\) konsisten, yang memberi tahu kita bahwa \(\laspan{\vvec_1,\vvec_2,\vvec_3} = \real^3\text{.}\)
    🔗
    🔗
🔗
Sebagai rangkuman, kita menelaah posisi-posisi pivot pada matriks yang kolom-kolomnya merupakan vektor berdimensi tiga \(\vvec_1,\vvec_2,\ldots,\vvec_n\text{.}\) Kita menemukan bahwa dengan
  • satu posisi pivot, rentang linearnya berupa garis.
    🔗
    🔗
  • dua posisi pivot, rentang linearnya berupa bidang.
    🔗
    🔗
  • tiga posisi pivot, rentang linearnya adalah \(\real^3\text{.}\)
    🔗
    🔗
Meskipun kita akan kembali membahas gagasan-gagasan ini nanti, untuk saat ini perhatikan bahwa rentang linear suatu himpunan vektor dalam \(\real^3\) merupakan objek geometris yang relatif sederhana dan tidak asing.
🔗
Penalaran yang menuntun kita pada kesimpulan bahwa rentang linear suatu himpunan vektor adalah \(\real^3\) ketika matriks terkaitnya memiliki posisi pivot pada setiap baris berlaku secara lebih umum.
🔗
Hal ini menyampaikan sesuatu yang penting mengenai jumlah vektor yang diperlukan untuk merentang \(\real^m\text{.}\) Misalkan kita memiliki \(n\) vektor \(\vvec_1,\vvec_2,\ldots,\vvec_n\) yang merentang \(\real^m\text{.}\) Proposisi tersebut menyatakan bahwa matriks \(A = \left[\begin{array}{rrrr} \vvec_1\amp\vvec_2\amp\ldots\amp\vvec_n \end{array}\right]\) memiliki posisi pivot pada setiap baris, seperti pada matriks berbentuk eselon baris tereduksi berikut.
\begin{equation*} \left[\begin{array}{rrrrrr} 1 \amp 0 \amp * \amp 0 \amp * \amp 0 \\ 0 \amp 1 \amp * \amp 0 \amp * \amp 0 \\ 0 \amp 0 \amp 0 \amp 1 \amp * \amp 0 \\ 0 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \amp 1 \\ \end{array}\right]. \end{equation*}
Karena dalam satu kolom suatu matriks paling banyak terdapat satu posisi pivot, jumlah kolom setidaknya harus sama dengan jumlah baris, yang menyiratkan bahwa \(n\geq m\text{.}\) Sebagai contoh, jika kita memiliki suatu himpunan vektor yang merentang \(\real^{632}\text{,}\) himpunan tersebut harus memuat setidaknya 632 vektor.
🔗
Kita telah memandang kombinasi linear suatu himpunan vektor \(\vvec_1,\vvec_2,\ldots,\vvec_n\) sebagai hasil berjalan sejauh jarak tertentu dalam arah \(\vvec_1\text{,}\) lalu berjalan sejauh jarak tertentu dalam arah \(\vvec_2\text{,}\) dan seterusnya. Jika \(\laspan{\vvec_1,\vvec_2,\ldots,\vvec_n} = \real^m\text{,}\) hal ini berarti bahwa kita dapat berjalan ke setiap titik dalam \(\real^m\) menggunakan arah \(\vvec_1,\vvec_2,\ldots,\vvec_n\text{.}\) Secara intuitif, proposisi ini menyatakan bahwa kita memerlukan setidaknya \(m\) arah agar memiliki keluwesan yang diperlukan untuk mencapai setiap titik dalam \(\real^m\text{.}\)
🔗

Terminologi.

Karena rentang linear merupakan konsep yang berkaitan dengan suatu himpunan vektor, kita mengatakan, “Rentang linear himpunan vektor \(\vvec_1, \vvec_2, \ldots, \vvec_n\) adalah ....” Meskipun kita mungkin tergoda untuk mengatakan, “Rentang linear matriks \(A\) adalah ...,” seharusnya kita mengatakan “Rentang linear kolom-kolom matriks \(A\) adalah ....”
🔗
🔗
🔗

Subbagian 2.3.4 Ringkasan

Kita telah mendefinisikan rentang linear suatu himpunan vektor dan membangun intuisi tentang konsep ini melalui serangkaian contoh.
  • Rentang linear himpunan vektor \(\vvec_1,\vvec_2,\ldots,\vvec_n\) adalah himpunan semua kombinasi linear dari vektor-vektor tersebut. Kita menotasikan rentang linear ini dengan \(\laspan{\vvec_1,\vvec_2,\ldots,\vvec_n}\text{.}\)
    🔗
    🔗
  • Suatu vektor \(\bvec\) berada dalam \(\laspan{\vvec_1,\vvec_2,\ldots,\vvec_n}\) jika dan hanya jika sistem linear
    \begin{equation*} \left[\begin{array}{rrrr} \vvec_1\amp\vvec_2\amp\ldots\vvec_n \end{array}\right] ~\xvec = \bvec \end{equation*}
    konsisten.
    🔗
    🔗
  • Jika matriks \(m\times n\)
    \begin{equation*} \left[\begin{array}{rrrr} \vvec_1\amp\vvec_2\amp\ldots\vvec_n \end{array}\right] \end{equation*}
    memiliki posisi pivot pada setiap baris, maka rentang linear vektor-vektor tersebut adalah \(\real^m\text{;}\) yaitu,
    \begin{equation*} \laspan{\vvec_1,\vvec_2,\ldots,\vvec_n} = \real^m. \end{equation*}
    🔗
    🔗
  • Setiap himpunan vektor yang merentang \(\real^m\) harus memiliki sekurang-kurangnya \(m\) vektor.
    🔗
    🔗
🔗
🔗

Latihan 2.3.5 Latihan

1.

Dalam latihan ini, kita akan meninjau rentang linear beberapa himpunan vektor berdimensi dua dan tiga.
🔗
  1. Perhatikan vektor-vektor
    \begin{equation*} \vvec_1 = \twovec{1}{-2}, \vvec_2 = \twovec{4}{3}\text{.} \end{equation*}
    1. Apakah \(\bvec = \twovec{2}{1}\) berada dalam \(\laspan{\vvec_1,\vvec_2}\text{?}\)
      🔗
      🔗
    2. Berikan deskripsi geometris tentang \(\laspan{\vvec_1,\vvec_2}\text{.}\)
      🔗
      🔗
    🔗
    🔗
  2. Perhatikan vektor-vektor
    \begin{equation*} \vvec_1=\threevec{2}{1}{3}, \vvec_2=\threevec{-2}{0}{2}, \vvec_3=\threevec{6}{1}{-1}\text{.} \end{equation*}
    1. Apakah vektor \(\bvec=\threevec{-10}{-1}{5}\) berada dalam \(\laspan{\vvec_1,\vvec_2,\vvec_3}\text{?}\)
      🔗
      🔗
    2. Apakah vektor \(\vvec_3\) berada dalam \(\laspan{\vvec_1,\vvec_2,\vvec_3}\text{?}\)
      🔗
      🔗
    3. Apakah vektor \(\bvec=\threevec{3}{3}{-1}\) berada dalam \(\laspan{\vvec_1,\vvec_2,\vvec_3}\text{?}\)
      🔗
      🔗
    4. Berikan deskripsi geometris tentang \(\laspan{\vvec_1,\vvec_2,\vvec_3}\text{.}\)
      🔗
      🔗
    🔗
    🔗
🔗
🔗

2.

Berikan alasan bagi jawaban Anda atas pertanyaan-pertanyaan berikut.
  1. Misalkan Anda memiliki suatu himpunan vektor \(\vvec_1,\vvec_2,\ldots,\vvec_n\text{.}\) Dapatkah Anda memastikan bahwa \(\zerovec\) berada dalam \(\laspan{\vvec_1,\vvec_2,\ldots,\vvec_n}\text{?}\)
    🔗
    🔗
  2. Misalkan \(A\) adalah matriks \(m \times n\text{.}\) Dapatkah Anda memastikan bahwa persamaan \(A\xvec = \zerovec\) konsisten?
    🔗
    🔗
  3. Apa hasil \(\laspan{\zerovec,\zerovec,\ldots,\zerovec}\text{?}\)
    🔗
    🔗
🔗
🔗

3.

Untuk kedua bagian latihan ini, berikan deskripsi geometris dari himpunan vektor \(\bvec\) dan sertakan sebuah sketsa.
  1. Untuk vektor \(\bvec\) mana dalam \(\real^2\) persamaan
    \begin{equation*} \left[\begin{array}{rr} 3 \amp -6 \\ -2 \amp 4 \\ \end{array}\right] \xvec = \bvec \end{equation*}
    konsisten?
    🔗
    🔗
  2. Untuk vektor \(\bvec\) mana dalam \(\real^2\) persamaan
    \begin{equation*} \left[\begin{array}{rr} 3 \amp -6 \\ -2 \amp 2 \\ \end{array}\right] \xvec = \bvec \end{equation*}
    konsisten?
    🔗
    🔗
🔗
🔗

4.

Perhatikan matriks-matriks berikut:
\begin{equation*} A = \left[\begin{array}{rrrr} 3 \amp 0 \amp -1 \amp 1 \\ 1 \amp -1 \amp 3 \amp 7 \\ 3 \amp -2 \amp 1 \amp 5 \\ -1 \amp 2 \amp 2 \amp 3 \\ \end{array}\right],~~~ B = \left[\begin{array}{rrrr} 3 \amp 0 \amp -1 \amp 4 \\ 1 \amp -1 \amp 3 \amp -1 \\ 3 \amp -2 \amp 1 \amp 3 \\ -1 \amp 2 \amp 2 \amp 1 \\ \end{array}\right]\text{.} \end{equation*}
Apakah kolom-kolom \(A\) merentang \(\real^4\text{?}\) Apakah kolom-kolom \(B\) merentang \(\real^4\text{?}\)
🔗
🔗

5.

Tentukan apakah pernyataan-pernyataan berikut benar atau salah dan berikan alasan bagi jawaban Anda. Sepanjang latihan ini, kita akan mengasumsikan bahwa matriks \(A\) memiliki kolom-kolom \(\vvec_1,\vvec_2,\ldots,\vvec_n\text{;}\) yaitu,
\begin{equation*} A = \left[\begin{array}{rrrr} \vvec_1\amp\vvec_2\amp\ldots\amp\vvec_n \end{array}\right]\text{.} \end{equation*}
  1. Jika persamaan \(A\xvec = \bvec\) konsisten, maka \(\bvec\) berada dalam \(\laspan{\vvec_1,\vvec_2,\ldots,\vvec_n}\text{.}\)
    🔗
    🔗
  2. Persamaan \(A\xvec = \vvec_1\) konsisten.
    🔗
    🔗
  3. Jika \(\vvec_1\text{,}\) \(\vvec_2\text{,}\) \(\vvec_3\text{,}\) dan \(\vvec_4\) adalah vektor-vektor dalam \(\real^3\text{,}\) maka rentang linearnya adalah \(\real^3\text{.}\)
    🔗
    🔗
  4. Jika \(\bvec\) merupakan kombinasi linear dari \(\vvec_1, \vvec_2,\ldots,\vvec_n\text{,}\) maka \(\bvec\) berada dalam \(\laspan{\vvec_1,\vvec_2,\ldots,\vvec_n}\text{.}\)
    🔗
    🔗
  5. Jika \(A\) adalah matriks \(8032\times 427\text{,}\) maka rentang linear kolom-kolom \(A\) merupakan himpunan vektor dalam \(\real^{427}\text{.}\)
    🔗
    🔗
🔗
🔗

6.

Latihan ini meminta Anda membentuk beberapa matriks yang kolom-kolomnya merentang suatu himpunan yang diberikan.
  1. Bentuklah matriks \(3\times3\) yang kolom-kolomnya merentang \(\real^3\text{.}\)
    🔗
    🔗
  2. Bentuklah matriks \(3\times3\) yang kolom-kolomnya merentang suatu bidang dalam \(\real^3\text{.}\)
    🔗
    🔗
  3. Bentuklah matriks \(3\times3\) yang kolom-kolomnya merentang suatu garis dalam \(\real^3\text{.}\)
    🔗
    🔗
🔗
🔗

7.

Berikan alasan bagi jawaban Anda atas pertanyaan-pertanyaan berikut.
  1. Misalkan kita memiliki vektor-vektor dalam \(\real^8\text{,}\) \(\vvec_1,\vvec_2,\ldots,\vvec_{10}\text{,}\) yang rentang linearnya adalah \(\real^8\text{.}\) Dapatkah setiap vektor \(\bvec\) dalam \(\real^8\) dituliskan sebagai kombinasi linear dari \(\vvec_1,\vvec_2,\ldots,\vvec_{10}\text{?}\)
    🔗
    🔗
  2. Misalkan kita memiliki vektor-vektor dalam \(\real^8\text{,}\) \(\vvec_1,\vvec_2,\ldots,\vvec_{10}\text{,}\) yang rentang linearnya adalah \(\real^8\text{.}\) Dapatkah setiap vektor \(\bvec\) dalam \(\real^8\) dituliskan secara tunggal sebagai kombinasi linear dari \(\vvec_1,\vvec_2,\ldots,\vvec_{10}\text{?}\)
    🔗
    🔗
  3. Apakah vektor-vektor
    \begin{equation*} \evec_1=\threevec{1}{0}{0}, \evec_2=\threevec{0}{1}{0}, \evec_3=\threevec{0}{0}{1} \end{equation*}
    merentang \(\real^3\text{?}\)
    🔗
    🔗
  4. Misalkan \(\vvec_1,\vvec_2,\ldots,\vvec_n\) merentang \(\real^{438}\text{.}\) Apa yang dapat Anda pastikan tentang nilai \(n\text{?}\)
    🔗
    🔗
  5. Dapatkah 17 vektor dalam \(\real^{20}\) merentang \(\real^{20}\text{?}\)
    🔗
    🔗
🔗
🔗

8.

Pengamatan berikut akan membantu dalam latihan ini. Jika kita ingin mencari solusi persamaan \(AB\xvec = \bvec\text{,}\) kita dapat terlebih dahulu mencari solusi persamaan \(A\yvec = \bvec\text{,}\) lalu mencari solusi persamaan \(B\xvec = \yvec\text{.}\)
🔗
Misalkan \(A\) adalah matriks \(3\times 4\) yang kolom-kolomnya merentang \(\real^3\) dan \(B\) adalah matriks \(4\times 5\text{.}\) Dalam hal ini, kita dapat membentuk hasil kali \(AB\text{.}\)
  1. Apa ukuran hasil kali \(AB\text{?}\)
    🔗
    🔗
  2. Dapatkah Anda memastikan bahwa kolom-kolom \(AB\) merentang \(\real^3\text{?}\)
    🔗
    🔗
  3. Jika selain itu Anda mengetahui bahwa rentang linear kolom-kolom \(B\) adalah \(\real^4\text{,}\) dapatkah Anda memastikan bahwa kolom-kolom \(AB\) merentang \(\real^3\text{?}\)
    🔗
    🔗
🔗
🔗

9.

Misalkan \(A\) adalah matriks \(12\times12\) dan, untuk suatu vektor \(\bvec\text{,}\) persamaan \(A\xvec=\bvec\) memiliki solusi tunggal.
  1. Apa yang dapat Anda simpulkan tentang posisi-posisi pivot dari \(A\text{?}\)
    🔗
    🔗
  2. Apa yang dapat Anda simpulkan tentang rentang linear kolom-kolom \(A\text{?}\)
    🔗
    🔗
  3. Jika \(\cvec\) adalah vektor lain dalam \(\real^{12}\text{,}\) apa yang dapat Anda simpulkan tentang persamaan \(A\xvec = \cvec\text{?}\)
    🔗
    🔗
  4. Apa yang dapat Anda simpulkan tentang ruang solusi persamaan \(A\xvec =\zerovec\text{?}\)
    🔗
    🔗
🔗
🔗

10.

Misalkan
\begin{equation*} \vvec_1 = \fourvec{3}{1}{3}{-1}, \vvec_2 = \fourvec{0}{-1}{-2}{2}, \vvec_3 = \fourvec{-3}{-3}{-7}{5}\text{.} \end{equation*}
  1. Apakah \(\vvec_3\) merupakan kombinasi linear dari \(\vvec_1\) dan \(\vvec_2\text{?}\) Jika ya, tentukan bobot-bobot sedemikian sehingga \(\vvec_3 = a\vvec_1+b\vvec_2\text{.}\)
    🔗
    🔗
  2. Tunjukkan bahwa kombinasi linear
    \begin{equation*} a\vvec_1 + b\vvec_2 + c\vvec_3 \end{equation*}
    dapat dituliskan kembali sebagai kombinasi linear dari \(\vvec_1\) dan \(\vvec_2\text{.}\)
    🔗
    🔗
  3. Jelaskan mengapa \(\laspan{\vvec_1,\vvec_2,\vvec_3} = \laspan{\vvec_1,\vvec_2}\text{.}\)
    🔗
    🔗
🔗
🔗

11.

Sebagaimana didefinisikan dalam bagian ini, rentang linear suatu himpunan vektor dihasilkan dengan membentuk semua kombinasi linear yang mungkin dari vektor-vektor tersebut. Latihan ini akan menunjukkan bahwa rentang linear juga dapat direalisasikan sebagai ruang solusi suatu sistem linear.
🔗
Kita akan meninjau vektor-vektor
\begin{equation*} \vvec_1=\threevec{1}{0}{-2}, \vvec_2=\threevec{2}{1}{0}, \vvec_3=\threevec{1}{1}{2} \end{equation*}
  1. Apakah setiap vektor dalam \(\real^3\) berada dalam \(\laspan{\vvec_1,\vvec_2,\vvec_3}\text{?}\) Jika tidak, deskripsikan rentang linearnya.
    🔗
    🔗
  2. Untuk mendeskripsikan \(\laspan{\vvec_1,\vvec_2,\vvec_3}\) sebagai ruang solusi suatu sistem linear, kita akan menulis
    \begin{equation*} \bvec=\threevec{a}{b}{c}\text{.} \end{equation*}
    Jika \(\bvec\) berada dalam \(\laspan{\vvec_1,\vvec_2,\vvec_3}\text{,}\) maka sistem linear yang bersesuaian dengan matriks diperbesar
    \begin{equation*} \left[\begin{array}{rrr|r} 1 \amp 2 \amp 1 \amp a \\ 0 \amp 1 \amp 1 \amp b \\ -2\amp 0 \amp 2 \amp c \\ \end{array}\right] \end{equation*}
    harus konsisten. Ini berarti posisi pivot tidak boleh muncul pada kolom paling kanan. Lakukan operasi baris untuk mengubah matriks diperbesar ini menjadi bentuk segitiga. Selanjutnya, tentukan persamaan dalam \(a\text{,}\) \(b\text{,}\) dan \(c\) yang menyatakan kapan tidak terdapat posisi pivot pada kolom paling kanan. Ruang solusi persamaan ini mendeskripsikan \(\laspan{\vvec_1,\vvec_2,\vvec_3}\text{.}\)
    🔗
    🔗
  3. Dalam contoh ini, matriks yang dibentuk oleh vektor-vektor \(\left[\begin{array}{rrr} \vvec_1\amp\vvec_2\amp\vvec_3 \\ \end{array}\right]\) memiliki dua posisi pivot. Misalkan kita meninjau contoh lain yang matriksnya hanya memiliki satu posisi pivot. Bagaimana hal ini akan mengubah sistem linear yang mendeskripsikan \(\laspan{\vvec_1,\vvec_2,\vvec_3}\text{?}\)
    🔗
    🔗
🔗
🔗
🔗
🔗
SblmTopLnjt