Kita mengetahui bahwa sistem linear \(A\xvec=\bvec\) tidak konsisten ketika \(\bvec\) tidak berada di \(\col(A)\text{,}\) yaitu ruang kolom \(A\text{.}\) Nanti dalam bab ini, kita akan mengembangkan strategi untuk menangani sistem tak konsisten dengan mencari \(\bhat\text{,}\) yakni vektor di \(\col(A)\) yang meminimalkan jarak terhadap \(\bvec\text{.}\) Dengan demikian, persamaan \(A\xvec=\bhat\) konsisten dan himpunan solusinya dapat memberi kita informasi yang berguna tentang sistem semula \(A\xvec=\bvec\text{.}\)
Dalam bagian ini dan bagian berikutnya, kita akan mengembangkan beberapa teknik untuk menemukan \(\bhat\text{,}\) yakni vektor dalam suatu subruang \(W\) yang paling dekat dengan vektor \(\bvec\) tertentu.
Kita ingin menyatakan \(\bvec\) sebagai kombinasi linear dari \(\wvec_1\) dan \(\wvec_2\text{.}\) Artinya, kita perlu mencari bobot \(c_1\) dan \(c_2\) sedemikian sehingga
Kita sering diminta menuliskan suatu vektor sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor basis tertentu. Sebelumnya, kita melakukannya dengan menyelesaikan sistem linear. Aktivitas pratinjau memperlihatkan bagaimana tugas ini dapat disederhanakan ketika vektor-vektor basis saling ortogonal. Dalam bagian ini, kita akan menyelidiki hal tersebut dan kegunaan lain basis ortogonal.
Aktivitas pratinjau membahas basis \(\real^2\) yang dibentuk oleh dua vektor ortogonal. Secara lebih umum, kita akan membahas suatu himpunan vektor ortogonal, sebagaimana dijelaskan dalam definisi berikut.
membentuk himpunan ortogonal vektor berdimensi 4. Karena hanya terdapat tiga vektor, himpunan ini tidak membentuk basis bagi \(\real^4\text{.}\) Namun, himpunan ini membentuk basis bagi subruang berdimensi 3, \(W\text{,}\) dari \(\real^4\text{.}\)
Sama seperti dalam aktivitas pratinjau, kita dapat mencari bobot \(c_1\) dengan mengambil hasil kali titik kedua ruas dengan \(\wvec_1\) dan menerapkan sifat distributif hasil kali titik:
Dengan menggunakan proposisi ini, kita dapat melihat bahwa himpunan vektor ortogonal harus bebas linear. Misalkan, sebagai contoh, \(\wvec_1,\wvec_2,\ldots,\wvec_n\) adalah himpunan vektor ortogonal tak nol dan salah satu vektornya merupakan kombinasi linear dari vektor lainnya, misalnya
Jika vektor-vektor dalam suatu himpunan ortogonal berdimensi \(m\text{,}\) vektor-vektor itu membentuk himpunan bebas linear dalam \(\real^m\) dan karena itu menjadi basis bagi subruang \(W=\laspan{\wvec_1,\wvec_2,\ldots,\wvec_n}\text{.}\) Jika terdapat \(m\) vektor dalam himpunan ortogonal tersebut, semuanya membentuk basis bagi \(\real^m\text{.}\)
Misalkan \(\bvec=\threevec24{-4}\text{.}\) Carilah bobot \(c_1\text{,}\)\(c_2\text{,}\) dan \(c_3\) yang menyatakan \(\bvec\) sebagai kombinasi linear \(\bvec=c_1\wvec_1 + c_2\wvec_2 + c_3\wvec_3\) dengan menggunakan Proposisi 6.3.4.
Jika kita mengalikan vektor \(\vvec\) dengan skalar positif \(s\text{,}\) panjang \(\vvec\) juga dikalikan dengan \(s\text{;}\) yaitu, \(\len{s\vvec} = s\len{\vvec}\text{.}\)
Dengan menggunakan pengamatan ini, carilah vektor \(\uvec_1\) yang sejajar dengan \(\wvec_1\) dan memiliki panjang 1. Vektor semacam itu disebut vektor satuan.
Dengan cara serupa, carilah vektor satuan \(\uvec_2\) yang sejajar dengan \(\wvec_2\) dan vektor satuan \(\uvec_3\) yang sejajar dengan \(\wvec_3\text{.}\)
Bentuklah matriks \(Q=\begin{bmatrix}
\uvec_1 \amp \uvec_2 \amp \uvec_3
\end{bmatrix}\) dan carilah hasil kali \(Q^TQ\text{.}\) Gunakan Proposisi 6.2.8 untuk menjelaskan hasil Anda.
Aktivitas ini memperkenalkan cara penting untuk memodifikasi himpunan ortogonal agar vektor-vektor di dalamnya memiliki panjang satuan. Ingatlah bahwa kita dapat mengalikan sembarang vektor tak nol \(\wvec\) dengan suatu skalar agar vektor baru itu memiliki panjang 1. Sebagai contoh, kita mengetahui bahwa jika \(s\) adalah skalar positif, maka \(\len{s\wvec} = s\len{\wvec}\text{.}\) Untuk memperoleh vektor \(\uvec\) yang panjangnya satuan, kita menginginkan
Jika kolom-kolom matriks \(m\times n\text{,}\)\(Q\text{,}\) membentuk himpunan ortonormal, maka \(Q^TQ = I_n\text{,}\) yaitu matriks identitas \(n\times n\text{.}\)
Sekarang kita beralih ke suatu masalah penting yang akan muncul dalam berbagai bentuk pada penyelidikan berikutnya. Misalkan, seperti diperlihatkan dalam Gambar 6.3.9, kita memiliki subruang \(W\) dari \(\real^m\) dan vektor \(\bvec\) yang tidak berada dalam subruang tersebut. Kita ingin mencari vektor \(\bhat\) dalam \(W\) yang paling dekat dengan \(\bvec\text{,}\) artinya jarak antara \(\bhat\) dan \(\bvec\) sekecil mungkin.
Dua vektor berdimensi tiga, \(\wvec_1\) dan \(\wvec_2\text{,}\) beserta bidang yang keduanya tentukan. Terdapat vektor lain \(\bvec\) yang tidak berada pada bidang tersebut. Proyeksi ortogonal \(\bhat\) dari \(\bvec\) ditampilkan sebagai vektor pada bidang yang paling dekat dengan vektor \(\bvec\text{.}\)
Gambar6.3.9.Diberikan sebuah bidang dalam \(\real^3\) dan vektor \(\bvec\) yang tidak berada pada bidang tersebut, kita ingin mencari vektor \(\bhat\) pada bidang yang paling dekat dengan \(\bvec\text{.}\)
Sebagai permulaan, mari kita bahas masalah yang lebih sederhana: kita memiliki garis \(L\) dalam \(\real^2\) yang ditentukan oleh vektor \(\wvec\text{,}\) dan vektor lain \(\bvec\) yang tidak berada pada garis itu, seperti diperlihatkan di sebelah kiri Gambar 6.3.10. Kita ingin mencari \(\bhat\text{,}\) yakni vektor pada garis yang paling dekat dengan \(\bvec\text{,}\) seperti diilustrasikan di sebelah kanan Gambar 6.3.10.
Vektor berdimensi dua \(\wvec\) menentukan garis \(L\text{.}\) Terdapat vektor \(\bvec\) yang tidak berada pada garis tersebut beserta proyeksi ortogonalnya, \(\bhat\text{,}\) pada garis \(L\text{.}\) Vektor \(\bvec-\bhat\) ditampilkan ortogonal terhadap garis.
Untuk mencari \(\bhat\text{,}\) kita mensyaratkan agar \(\bvec-\bhat\) ortogonal terhadap \(L\text{.}\) Misalnya, jika \(\yvec\) adalah vektor lain pada garis tersebut, seperti diperlihatkan dalam Gambar 6.3.11, maka teorema Pythagoras menyiratkan bahwa
yang berarti bahwa \(\len{\bvec-\yvec}\geq|\bvec-\bhat|\text{.}\) Dengan demikian, \(\bhat\) lebih dekat dengan \(\bvec\) daripada vektor lain mana pun pada garis \(L\text{.}\)
Sebuah garis \(L\) ditampilkan bersama vektor \(\bvec\) yang tidak berada pada \(L\text{,}\) dan proyeksi ortogonalnya \(\bhat\) yang terletak pada \(L\text{.}\) Terdapat vektor lain \(\yvec\) pada \(L\text{,}\) dan vektor \(\bvec-\bhat\) serta \(\bvec-\yvec\) ditampilkan. Karena \(\bvec-\bhat\) ortogonal terhadap \(L\text{,}\) terbentuk segitiga siku-siku oleh \(\bvec-\bhat\text{,}\)\(\yvec-\bhat\text{,}\) dan \(\bvec-\yvec\text{.}\) Karena \(\bvec-\yvec\) merupakan sisi miring segitiga siku-siku ini, panjangnya lebih besar daripada panjang \(\bvec-\bhat\text{.}\)
Diberikan vektor \(\bvec\) dalam \(\real^m\) dan subruang \(W\) dari \(\real^m\text{,}\)proyeksi ortogonal\(\bvec\) pada \(W\) adalah vektor \(\bhat\) dalam \(W\) yang paling dekat dengan \(\bvec\text{.}\) Proyeksi ini dicirikan oleh sifat bahwa \(\bvec-\bhat\) ortogonal terhadap \(W\text{.}\)
Aktivitas ini memperlihatkan cara menentukan proyeksi ortogonal suatu vektor pada sebuah subruang dari \(\real^m\text{.}\)
Mari kita mulai dengan memperhatikan garis \(L\) yang ditentukan oleh vektor \(\wvec=\twovec21\text{,}\) dan vektor \(\bvec=\twovec24\) yang tidak berada pada \(L\text{,}\) seperti diilustrasikan dalam Gambar 6.3.13.
Vektor berdimensi dua \(\wvec\) menentukan garis \(L\text{.}\) Terdapat vektor \(\bvec\) yang tidak berada pada \(L\text{,}\) beserta proyeksi ortogonalnya \(\bhat\) pada garis tersebut dan selisih \(\bvec-\bhat\text{.}\)
Diagram ini memuat sebagian besar unsur utama yang sama dengan diagram sebelumnya. Terdapat vektor \(\wvec\) yang menentukan garis \(L\text{,}\) vektor \(\bvec\) yang tidak berada pada garis, dan proyeksi ortogonal \(\bvec\) pada \(L\text{.}\) Perbedaan utamanya ialah proyeksi ortogonal \(\bhat\) dituliskan sebagai \(s\wvec\text{,}\) suatu kelipatan skalar dari \(\wvec\text{.}\) Dengan demikian, vektor \(\bvec-\bhat = \bvec-s\wvec\) ortogonal terhadap \(L\text{,}\) sehingga kita memiliki cara untuk mencari \(s\) dan selanjutnya \(\bhat\text{.}\)
Untuk mencari \(\bhat\text{,}\) mula-mula perhatikan bahwa \(\bhat = s\wvec\) untuk suatu skalar \(s\text{.}\) Karena \(\bvec-\bhat = \bvec - s\wvec\) ortogonal terhadap \(\wvec\text{,}\) apa yang kita ketahui tentang hasil kali titik
Terapkan sifat distributif hasil kali titik untuk mencari skalar \(s\text{.}\) Apakah vektor \(\bhat\text{,}\) yaitu proyeksi ortogonal \(\bvec\) pada \(L\text{?}\)
Gagasan yang sama berlaku secara lebih umum. Misalkan kita memiliki himpunan ortogonal vektor \(\wvec_1=\threevec22{-1}\) dan \(\wvec_2=\threevec102\) yang menentukan bidang \(W\) dalam \(\real^3\text{.}\) Jika \(\bvec=\threevec396\) adalah vektor lain dalam \(\real^3\text{,}\) kita mencari vektor \(\bhat\) pada bidang \(W\) yang paling dekat dengan \(\bvec\text{.}\) Seperti sebelumnya, vektor \(\bvec-\bhat\) akan ortogonal terhadap \(W\text{,}\) seperti diilustrasikan dalam Gambar 6.3.14.
Dua vektor ortogonal berdimensi tiga, \(\wvec_1\) dan \(\wvec_2\text{,}\) menentukan bidang \(W\text{.}\) Terdapat vektor \(\bvec\) yang tidak berada pada bidang tersebut beserta proyeksi ortogonalnya \(\bhat\) pada \(W\text{.}\) Vektor \(\bvec-\bhat\) digambarkan sebagai vektor yang ortogonal terhadap \(W\text{.}\)
Gambar6.3.14.Diberikan bidang \(W\) yang ditentukan oleh vektor ortogonal \(\wvec_1\) dan \(\wvec_2\text{,}\) serta vektor lain \(\bvec\text{,}\) kita mencari vektor \(\bhat\) pada \(W\) yang paling dekat dengan \(\bvec\text{.}\)
Vektor \(\bvec-\bhat\) ortogonal terhadap \(W\text{.}\) Apa artinya bagi hasil kali titik \((\bvec-\bhat)\cdot\wvec_1\) dan \((\bvec-\bhat)\cdot\wvec_2\text{?}\)
Karena \(\bhat\) berada pada bidang \(W\text{,}\) kita dapat menuliskannya sebagai kombinasi linear \(\bhat = c_1\wvec_1 + c_2\wvec_2\text{.}\) Dengan demikian,
Carilah bobot \(c_1\) dengan mengambil hasil kali titik \(\bvec-\bhat\) dengan \(\wvec_1\) dan menerapkan sifat distributif hasil kali titik. Dengan cara serupa, carilah bobot \(c_2\text{.}\)
Misalkan \(W\) adalah subruang dari \(\real^m\) dengan basis ortogonal \(\wvec_1,\wvec_2,\ldots,\wvec_n\text{,}\) dan \(\bvec\) adalah vektor dalam \(\real^m\text{.}\) Jelaskan mengapa proyeksi ortogonal \(\bvec\) pada \(W\) adalah vektor
Misalkan \(\uvec_1,\uvec_2,\ldots,\uvec_n\) adalah basis ortonormal bagi \(W\text{;}\) yaitu, vektor-vektornya saling ortogonal dan memiliki panjang satuan. Jelaskan mengapa proyeksi ortogonalnya adalah
Jika \(Q=\begin{bmatrix}
\uvec_1 \amp \uvec_2 \amp \ldots \amp \uvec_n
\end{bmatrix}\) adalah matriks yang kolom-kolomnya membentuk basis ortonormal bagi \(W\text{,}\) gunakan Proposisi 6.2.8 untuk menjelaskan mengapa \(\bhat = QQ^T\bvec\text{.}\)
Dalam semua kasus yang dibahas dalam aktivitas tersebut, kita mencari \(\bhat\text{,}\) yakni vektor dalam subruang \(W\) yang paling dekat dengan vektor \(\bvec\text{.}\) Vektor ini ditemukan dengan mensyaratkan agar \(\bvec-\bhat\) ortogonal terhadap \(W\text{.}\) Artinya, \((\bvec-\bhat)\cdot\wvec = 0\) untuk sembarang vektor \(\wvec\) dalam \(W\text{.}\)
Jika kita memiliki basis ortogonal \(\wvec_1,\wvec_2,\ldots,\wvec_n\) bagi \(W\text{,}\) maka \(\bhat = c_1\wvec_1+c_2\wvec_2+\cdots+c_n\wvec_n\text{.}\) Dengan demikian,
Jika \(W\) adalah subruang dari \(\real^m\) yang memiliki basis ortogonal \(\wvec_1,\wvec_2,\ldots, \wvec_n\) dan \(\bvec\) adalah vektor dalam \(\real^m\text{,}\) maka proyeksi ortogonal \(\bvec\) pada \(W\) adalah
Jika \(\uvec_1,\uvec_2,\ldots,\uvec_n\) adalah basis ortonormal bagi suatu subruang \(W\) dari \(\real^m\text{,}\) maka transformasi matriks yang memproyeksikan vektor dalam \(\real^m\) secara ortogonal pada \(W\) dinyatakan oleh matriks \(P=QQ^T\text{,}\) dengan
Mari kita periksa bahwa cara ini bekerja dengan memperhatikan vektor \(\bvec=\threevec100\) dan mencari \(\bhat\text{,}\) yakni proyeksi ortogonalnya pada bidang \(W\text{.}\) Dalam basis semula \(\wvec_1\) dan \(\wvec_2\text{,}\) rumus proyeksi dari Proposisi 6.3.15 menyatakan bahwa
Bentuklah matriks \(Q = \begin{bmatrix}\uvec\end{bmatrix}\) dan gunakan matriks itu untuk membentuk matriks \(P\) yang memproyeksikan vektor secara ortogonal pada \(L\text{.}\)
Carilah basis ortonormal \(\uvec_1\) dan \(\uvec_2\) bagi \(W\text{,}\) lalu gunakan basis itu untuk membentuk matriks \(P\) yang memproyeksikan vektor secara ortogonal pada \(W\text{.}\) Periksalah bahwa \(P\bvec = \bhat\text{,}\) yaitu proyeksi ortogonal yang Anda temukan pada bagian sebelumnya dalam aktivitas ini.
Aktivitas ini memperlihatkan satu hal penting. Kita menemukan \(\bhat\text{,}\) yaitu proyeksi ortogonal \(\bvec\) pada \(W\text{,}\) dengan mensyaratkan agar \(\bvec-\bhat\) ortogonal terhadap \(W\text{.}\) Dengan kata lain, \(\bvec-\bhat\) adalah vektor dalam komplemen ortogonal \(W^\perp\text{,}\) yang dapat kita nyatakan sebagai \(\bvec^\perp\text{.}\) Hal ini menjelaskan proposisi berikut, yang diilustrasikan dalam Gambar 6.3.19.
Jika \(W\) adalah subruang dari \(\real^n\) dengan komplemen ortogonal \(W^\perp\text{,}\) maka setiap vektor berdimensi \(n\text{,}\)\(\bvec\text{,}\) dapat ditulis secara unik sebagai
dengan \(\bhat\) berada dalam \(W\) dan \(\bvec^\perp\) berada dalam \(W^\perp\text{.}\) Vektor \(\bhat\) adalah proyeksi ortogonal \(\bvec\) pada \(W\text{,}\) sedangkan \(\bvec^\perp\) adalah proyeksi ortogonal \(\bvec\) pada \(W^\perp\text{.}\)
Sebuah garis dua dimensi \(L\) dan komplemen ortogonalnya \(L^\perp\text{,}\) yang juga merupakan garis dua dimensi. Terdapat vektor \(\bvec\text{,}\) proyeksi ortogonalnya \(\bhat\) pada \(L\text{,}\) dan proyeksi ortogonalnya \(\bvec^\perp\) pada \(L^\perp\text{.}\) Hal ini memperlihatkan bahwa \(\bvec=\bhat + \bvec^\perp\text{.}\)
Gambar6.3.19.Sebuah vektor \(\bvec\) bersama \(\bhat\text{,}\) yaitu proyeksi ortogonalnya pada garis \(L\text{,}\) dan \(\bvec^\perp\text{,}\) yaitu proyeksi ortogonalnya pada komplemen ortogonal \(L^\perp\text{.}\)
Mari kita rangkum hasil yang telah kita peroleh. Jika \(Q\) adalah matriks dengan kolom-kolom \(\uvec_1, \uvec_2,\ldots,\uvec_n\) yang membentuk himpunan ortonormal dalam \(\real^m\text{,}\) maka
\(Q^TQ = I_n\text{,}\) yaitu matriks identitas \(n\times n\text{,}\) karena hasil kali ini menghitung hasil kali titik antar-kolom \(Q\text{.}\)
\(QQ^T\) adalah matriks yang memproyeksikan vektor secara ortogonal pada \(W\text{,}\) yaitu subruang dari \(\real^m\) yang direntang oleh \(\uvec_1,\ldots,\uvec_n\text{.}\)
Karena \(Q^TQ=I\text{,}\) kita mungkin tergoda untuk menyatakan bahwa \(Q\) invertibel. Namun, biasanya hal itu tidak benar. Ingatlah bahwa matriks invertibel harus merupakan matriks persegi, sedangkan matriks \(Q\) hanya akan persegi jika \(n=m\text{.}\) Dalam kasus ini, terdapat \(m\) vektor dalam himpunan ortonormal, sehingga subruang \(W\) yang direntang oleh vektor \(\uvec_1,\uvec_2,\ldots,\uvec_m\) adalah \(\real^m\text{.}\) Jika \(\bvec\) adalah vektor dalam \(\real^m\text{,}\) maka \(\bhat=QQ^T\bvec\) adalah proyeksi ortogonal \(\bvec\) pada \(\real^m\text{.}\) Dengan kata lain, \(QQ^T\bvec\) adalah vektor dalam \(\real^m\) yang paling dekat dengan \(\bvec\text{,}\) dan vektor terdekat itu tentulah \(\bvec\) sendiri. Karena itu, \(QQ^T\bvec = \bvec\text{,}\) yang berarti \(QQ^T=I\text{.}\) Dalam kasus ini, \(Q\) merupakan matriks invertibel.
Dalam kasus ini, \(\uvec_1\) dan \(\uvec_2\) merentang sebuah bidang, yaitu subruang berdimensi 2 dari \(\real^3\text{.}\) Kita mengetahui bahwa \(Q^TQ = I_2\) dan \(QQ^T\) memproyeksikan vektor secara ortogonal pada bidang tersebut. Namun, \(Q\) bukan matriks persegi sehingga tidak invertibel.
Di sini, \(\uvec_1\text{,}\)\(\uvec_2\text{,}\) dan \(\uvec_3\) membentuk basis bagi \(\real^3\text{,}\) sehingga \(Q^TQ=I_3\) dan \(QQ^T=I_3\text{.}\) Karena itu, \(Q\) merupakan matriks persegi dan invertibel.
Selain itu, karena \(Q^TQ = I\text{,}\) kita melihat bahwa \(Q^{-1} = Q^T\text{,}\) sehingga mencari invers \(Q\) cukup dengan menuliskan transposenya. Matriks dengan sifat ini sangat istimewa dan akan memegang peranan penting dalam pembahasan berikutnya. Oleh karena itu, kita akan memberinya nama khusus.
Terminologi ini dapat sedikit membingungkan. Kita menyebut sebuah basis ortogonal jika vektor-vektor basisnya saling ortogonal. Namun, sebuah matriks disebut ortogonal jika kolom-kolomnya saling ortogonal dan memiliki panjang satuan. Hal ini perlu diingat ketika membaca pernyataan mengenai basis ortogonal dan matriks ortogonal. Sementara itu, kita catat proposisi berikut.
Bagian ini memperkenalkan himpunan ortogonal dan rumus proyeksi yang memungkinkan kita memproyeksikan vektor secara ortogonal pada suatu subruang.
Diberikan himpunan ortogonal \(\wvec_1,\wvec_2,\ldots,\wvec_n\) yang merentang subruang berdimensi \(n\text{,}\)\(W\text{,}\) dari \(\real^m\text{,}\) proyeksi ortogonal \(\bvec\) pada \(W\) adalah vektor dalam \(W\) yang paling dekat dengan \(\bvec\) dan dapat ditulis sebagai
Jika \(\uvec_1,\uvec_2,\ldots,\uvec_n\) adalah basis ortonormal bagi \(W\) dan \(Q\) adalah matriks yang kolom-kolomnya \(\uvec_i\text{,}\) maka matriks \(P=QQ^T\) memproyeksikan vektor secara ortogonal pada \(W\text{.}\)
Matriks ortogonal \(Q\) adalah matriks persegi yang kolom-kolomnya membentuk basis ortonormal. Dalam kasus ini, \(QQ^T=Q^TQ = I\text{,}\) sehingga \(Q^{-1} = Q^T\text{.}\)
Tentukan matriks \(P\) yang merepresentasikan transformasi matriks yang memproyeksikan vektor dalam \(\real^3\) secara ortogonal ke \(W\text{.}\) Verifikasikan bahwa \(\bhat =
P\bvec\text{.}\)
Misalkan \(A=\begin{bmatrix} \wvec_1 \amp \wvec_2 \amp \wvec_3
\end{bmatrix}\text{.}\) Hitung hasil kali \(A^TA\text{.}\) Mengapa hasil kali ini berupa matriks diagonal, dan apa arti entri-entri diagonalnya?
Kalikan vektor-vektor \(\wvec_1\text{,}\)\(\wvec_2\text{,}\)\(\wvec_3\) dengan skalar yang sesuai untuk menentukan basis ortonormal \(\uvec_1\text{,}\)\(\uvec_2\text{,}\)\(\uvec_3\) bagi \(\real^3\text{.}\)
Jika \(L\) adalah garis yang ditentukan oleh vektor \(\wvec_1\text{,}\) tentukan vektor dalam \(L\) yang paling dekat dengan \(\bvec\text{.}\) Namai vektor ini \(\bhat_1\text{.}\)
Jika \(W\) adalah subruang yang direntang oleh \(\wvec_1\) dan \(\wvec_2\text{,}\) tentukan vektor dalam \(W\) yang paling dekat dengan \(\bvec\text{.}\) Namai vektor ini \(\bhat_2\text{.}\)
Gunakan Proposisi 2.5.6 untuk menjelaskan mengapa kolom-kolom \(P\) berkaitan dengan proyeksi ortogonal yang Anda tentukan pada bagian pertama latihan ini.
Jelaskan mengapa vektor \(\zvec = \bvec-\yvec\) harus berada dalam \(W\text{,}\) dan tuliskan \(\zvec\) sebagai kombinasi linear dari \(\vvec_1\) dan \(\vvec_2\text{.}\)
Tentukan apakah pernyataan-pernyataan berikut benar atau salah, dan jelaskan alasan Anda.
Jika kolom-kolom \(Q\) membentuk basis ortonormal bagi subruang \(W\) dan \(\wvec\) adalah vektor dalam \(W\text{,}\) maka \(QQ^T\wvec = \wvec\text{.}\)
Jika \(\bhat\) adalah proyeksi ortogonal \(\bvec\) ke suatu subruang \(W\text{,}\) maka \(\bvec-\bhat\) adalah proyeksi ortogonal \(\bvec\) ke \(W^\perp\text{.}\)
Latihan ini membahas matriks ortogonal \(2\times2\text{.}\)
Dalam Subbab 2.6, kita melihat bahwa matriks \(\begin{bmatrix}
\cos\theta \amp -\sin\theta \\
\sin\theta \amp \cos\theta
\end{bmatrix}\) merepresentasikan rotasi sebesar sudut \(\theta\text{.}\) Jelaskan mengapa matriks ini merupakan matriks ortogonal.
Kita juga melihat bahwa matriks \(\begin{bmatrix}
\cos\theta \amp \sin\theta \\
\sin\theta \amp -\cos\theta
\end{bmatrix}\) merepresentasikan pencerminan terhadap sebuah garis. Jelaskan mengapa matriks ini merupakan matriks ortogonal.
Misalkan \(\uvec_1=\twovec{\cos\theta}{\sin\theta}\) adalah vektor satuan dua dimensi. Gunakan sketsa untuk menunjukkan semua kemungkinan vektor \(\uvec_2\) sedemikian sehingga \(\uvec_1\) dan \(\uvec_2\) membentuk basis ortonormal bagi \(\real^2\text{.}\)
