Nilai eigen dan vektor eigen

Lewati ke konten utama

\(\newcommand{\avec}{{\mathbf a}} \newcommand{\bvec}{{\mathbf b}} \newcommand{\cvec}{{\mathbf c}} \newcommand{\dvec}{{\mathbf d}} \newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}} \newcommand{\evec}{{\mathbf e}} \newcommand{\fvec}{{\mathbf f}} \newcommand{\nvec}{{\mathbf n}} \newcommand{\pvec}{{\mathbf p}} \newcommand{\qvec}{{\mathbf q}} \newcommand{\svec}{{\mathbf s}} \newcommand{\tvec}{{\mathbf t}} \newcommand{\uvec}{{\mathbf u}} \newcommand{\vvec}{{\mathbf v}} \newcommand{\wvec}{{\mathbf w}} \newcommand{\xvec}{{\mathbf x}} \newcommand{\yvec}{{\mathbf y}} \newcommand{\zvec}{{\mathbf z}} \newcommand{\rvec}{{\mathbf r}} \newcommand{\mvec}{{\mathbf m}} \newcommand{\zerovec}{{\mathbf 0}} \newcommand{\onevec}{{\mathbf 1}} \newcommand{\real}{{\mathbb R}} \newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]} \newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]} \newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]} \newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]} \newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]} \newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]} \newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]} \newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]} \newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]} \newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\left\{#1\right\}} \newcommand{\bcal}{{\cal B}} \newcommand{\ccal}{{\cal C}} \newcommand{\scal}{{\cal S}} \newcommand{\wcal}{{\cal W}} \newcommand{\ecal}{{\cal E}} \newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}} \newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}} \newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\row}{\text{Row}} \newcommand{\col}{\text{Col}} \renewcommand{\row}{\text{Row}} \newcommand{\nul}{\text{Nul}} \newcommand{\var}{\text{Var}} \newcommand{\corr}{\text{corr}} \newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|} \newcommand{\xbar}{\bar{\xvec}} \newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}} \newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}} \newcommand{\bperp}{\bvec^\perp} \newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}} \newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}} \newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}} \newcommand{\what}{\widehat{\wvec}} \newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}} \newcommand{\basis}[2]{#1_1,#1_2,\ldots,#1_{#2}} \newcommand{\lt}{<} \newcommand{\gt}{>} \newcommand{\amp}{&} \definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9} \newcommand{\fillinmath}[1]{\mathchoice{\colorbox{fillinmathshade}{$\displaystyle \phantom{\,#1\,}$}}{\colorbox{fillinmathshade}{$\textstyle \phantom{\,#1\,}$}}{\colorbox{fillinmathshade}{$\scriptstyle \phantom{\,#1\,}$}}{\colorbox{fillinmathshade}{$\scriptscriptstyle\phantom{\,#1\,}$}}} \)

Bab 4 Nilai eigen dan vektor eigen

Hingga saat ini, perhatian utama kita adalah mengembangkan pemahaman mengenai solusi sistem linear \(A\xvec=\bvec\text{.}\) Dengan demikian, dua pertanyaan mendasar mengenai keberadaan dan ketunggalan solusi membawa kita pada konsep rentang linear dan kebebasan linear.

Kita telah melihat bahwa beberapa sistem linear lebih mudah dipahami daripada sistem lainnya. Sebagai contoh, jika diberikan kedua matriks

\begin{equation*} A = \left[\begin{array}{rr} 3 \amp 0 \\ 0 \amp -1 \\ \end{array}\right], \qquad B = \left[\begin{array}{rr} 1 \amp 2 \\ 2 \amp 1 \\ \end{array}\right]\text{,} \end{equation*}

kita tentu lebih memilih bekerja dengan matriks diagonal \(A\text{.}\) Solusi sistem linear \(A\xvec=\bvec\) mudah ditentukan, dan geometri transformasi matriks yang didefinisikan oleh \(A\) mudah dideskripsikan.

Namun, dalam bab sebelumnya kita melihat bahwa beberapa masalah menjadi lebih sederhana jika ditinjau dalam basis baru. Mungkinkah pertanyaan mengenai matriks tak diagonal \(B\) menjadi lebih sederhana jika ditinjau dalam basis yang berbeda? Kita akan melihat bahwa jawabannya adalah “ya” dan bahwa teori nilai eigen serta vektor eigen yang dikembangkan dalam bab ini memberikan kuncinya. Kita akan melihat bagaimana teori ini menghasilkan perubahan basis yang sesuai, sehingga pertanyaan mengenai matriks tak diagonal \(B\) ekuivalen dengan pertanyaan mengenai matriks diagonal \(A\text{.}\) Bahkan, kita akan melihat bahwa kedua matriks ini, dalam pengertian tertentu, ekuivalen satu sama lain.