Kita dapat menuliskan beberapa suku pertama barisan \((a_n)_{n \ge 1}\) yang menyatakan banyaknya butir beras yang Anda terima pada hari ke-\(n\text{.}\) Kita memperoleh
\begin{equation*}
1, 3, 7, 15, \ldots\text{,}
\end{equation*}
sebab, misalnya, pada hari ke-4, banyaknya butir beras pada hari ke-3 (ketujuh butir itu) digandakan lalu ditambah 1 sehingga menjadi 15. Pada hari berikutnya Anda akan menerima \(2 \cdot 15 + 1 = 31\) butir.
Dengan menghitung nilai-nilai tersebut, kita segera melihat relasi rekurensinya:
\begin{equation*}
a_n = 2a_{n-1} + 1\text{.}
\end{equation*}
Hal ini sesuai dengan masalah yang dimodelkan oleh barisan: setiap hari kita menggandakan banyaknya butir, lalu menambahkan 1. Relasi rekurensinya dapat langsung dibaca dari masalah tersebut.
Pertanyaan semula menanyakan
\(a_{30}\text{.}\) Kita dapat menentukannya dengan relasi rekurensi, tetapi kita harus terlebih dahulu menentukan
\(a_{29}\text{;}\) untuk itu kita memerlukan
\(a_{28}\text{,}\) yang terlebih dahulu memerlukan
\(a_{27}\text{,}\) dan seterusnya. Kita tentu dapat menelusurinya hingga
\(a_4\text{,}\) yang telah kita peroleh, tetapi pekerjaan itu sangat panjang.
Akan jauh lebih mudah jika kita mempunyai rumus tertutup. Jika kita dapat
menyelesaikan relasi rekurensi dan menemukan rumus tertutup tersebut, kita cukup menyubstitusikan
\(30\) untuk
\(n\text{.}\)
Mari menduga. Barisan ini tampak dekat dengan \(2, 4, 8, 16,\ldots\text{,}\) yang memiliki rumus tertutup \(2^n\text{.}\) Setiap suku barisan itu satu lebih besar daripada suku barisan kita, sehingga kita dapat menduga bahwa
\begin{equation*}
a_n = 2^n - 1\text{.}
\end{equation*}
Perlu ditegaskan bahwa saat ini kita belum mempunyai alasan kuat untuk percaya bahwa dugaan ini benar, tetapi mungkin alasan itu akan kita peroleh nanti dalam bab ini. Namun, jika dugaan tersebut memang benar, masalah kita selesai (dan kita pasti sudah sangat bosan dengan beras):
\begin{equation*}
a_{30} = 2^{30} - 1 = 1,073,741,823\text{.}
\end{equation*}
