Ketika berjalan melewati sebuah hutan rekaan, Anda bertemu tiga troll yang menjaga sebuah jembatan. Masing-masing adalah seorang kesatria, yang selalu berkata benar, atau seorang penipu, yang selalu berdusta. Para troll tidak akan membiarkan Anda lewat sampai Anda dapat mengidentifikasi dengan tepat mana yang kesatria dan mana yang penipu. Setiap troll membuat satu pernyataan:
Luangkan beberapa menit untuk memikirkan masalah Penyelidikan di atas. Apa yang dapat Anda simpulkan jika Anda mengetahui bahwa Troll 1 memang seorang penipu (yaitu, pernyataannya salah)? Sampaikan pemikiran awal Anda tentang hal ini.
Untuk mengerjakan matematika, kita harus mampu berbicara dan menulis tentang matematika. Mungkin pengalaman Anda dengan matematika sejauh ini sebagian besar berkaitan dengan mencari jawaban numerik atas berbagai soal. Ketika kita mulai memasuki matematika yang lebih lanjut dan abstrak, menulis akan memainkan peran yang lebih menonjol dalam proses matematis.
Sebenarnya, tujuan utama matematika sebagai disiplin akademik tersendiri adalah menetapkan kebenaran-kebenaran matematis yang umum. Bagaimana kita dapat mengetahui apakah fakta-fakta ini, yang mungkin disebut teorema atau proposisi, benar? Kita menyusun argumen yang sahih, yang disebut bukti, untuk menetapkan kebenaran pernyataan tersebut. Di sini, argumen bukanlah pertengkaran seperti yang mungkin Anda alami dengan ibu Anda ketika berbeda pendapat mengenai menu makan malam. Sebaliknya, istilah ini memiliki definisi teknis.
Suatu argumen disebut sahih apabila kesimpulannya pasti benar setiap kali semua premisnya benar. Suatu argumen tidak sahih jika argumen tersebut tidak sahih; artinya, semua premis dapat benar, tetapi kesimpulannya masih mungkin salah.
Suatu argumen disebut kukuh apabila argumen itu sahih dan semua premisnya benar. Sebuah bukti atas suatu pernyataan adalah argumen kukuh yang kesimpulannya merupakan pernyataan tersebut.
Untuk menentukan apakah kita memiliki bukti atas suatu pernyataan, kita harus memutuskan apakah setiap premis benar dan apakah argumennya sahih: apakah kesimpulan mengikuti premis-premis tersebut. Bagaimana kita dapat melakukannya?
Apakah Anda setuju bahwa argumen pertama sahih, sedangkan argumen kedua tidak? Kita akan segera mengembangkan pemahaman yang lebih baik tentang logika dalam analisis ini, tetapi jika intuisi Anda sejalan dengan penilaian tersebut, berarti Anda sudah berada di jalur yang tepat.
Perhatikan bahwa kedua argumen tersebut tampak hampir identik. Edith dan Florence sama-sama memakan sayuran mereka. Dalam kedua kasus, ada hubungan antara memakan sayuran dan memperoleh kue. Namun, kita menyatakan bahwa menyimpulkan Edith mendapat kue itu sahih, sedangkan menyimpulkan Florence mendapat kue tidak sahih. Perbedaannya pasti terletak pada hubungan antara memakan sayuran dan memperoleh kue. Kita perlu terampil membaca dan memahami kalimat-kalimat ini. Apakah kedua kalimat itu memiliki arti yang sama?
Sayangnya, dalam bahasa sehari-hari kita sering kurang cermat, dan Anda mungkin tergoda untuk mengatakan bahwa keduanya ekuivalen. Namun, perhatikan bahwa hanya karena Florence harus memakan sayurannya, kita tidak menyatakan bahwa tindakan tersebut sudah cukup (misalnya, ia mungkin juga perlu membersihkan kamarnya). Dalam praktik sehari-hari (nonmatematis), Anda mungkin tergoda untuk mengatakan bahwa “arah sebaliknya” ini tersirat. Dalam matematika, kita tidak pernah mendapat kemewahan semacam itu.
Argumen-argumen dalam contoh di atas menggambarkan pokok penting lainnya: Sekalipun Anda tidak peduli pada kemajuan pengetahuan manusia di bidang matematika, kemahiran menganalisis argumen tetaplah berguna. Begitu pula sekalipun Anda tidak ingin memberi nenek Anda kue. Jika Anda menggunakan matematika untuk memecahkan masalah dalam disiplin lain, Anda tetap perlu menunjukkan bahwa solusi Anda benar. Anda sebaiknya memiliki argumen yang bagus untuk itu!
Jika kalimat-kalimat dalam suatu argumen tidak dapat bernilai benar atau salah, tidak akan ada cara untuk menentukan apakah argumen itu sahih, karena kesahihan menggambarkan hubungan antara nilai kebenaran premis dan kesimpulan.
Tujuan bagian ini adalah mengeksplorasi berbagai “bentuk” yang dapat dimiliki sebuah pernyataan. Kita akan melihat bahwa pernyataan yang lebih rumit dapat disusun dari pernyataan yang lebih sederhana dengan cara yang sepenuhnya menentukan nilai kebenarannya berdasarkan nilai kebenaran bagian-bagiannya.
Manakah di antara kalimat berikut yang seharusnya dianggap sebagai pernyataan? Dengan kata lain, untuk kalimat mana di bawah ini Anda mungkin dapat menyatakan bahwa kalimat tersebut benar atau salah? Pilih semua yang sesuai.
Anda dan teman sekamar Anda sedang berdebat, dan ia dengan berani menyatakan bahwa nanas enak baik di atas piza maupun dalam smoothie. Manakah tanggapan berikut yang masuk akal terhadap pernyataan ini dari sudut pandang logika?
Jika Anda benar-benar berpendapat bahwa nanas tidak enak di atas piza, Anda harus mengatakan bahwa pernyataan itu salah. Pernyataan tersebut mengklaim bahwa keduanya benar.
Pernyataan tersebut salah karena meskipun nanas enak di atas piza dan nanas enak dalam smoothie, smoothie piza tidak pernah enak.
Klaim bahwa nanas enak baik di atas piza maupun dalam smoothie tidak menyatakan bahwa nanas hanya enak jika keduanya digabungkan. Klaim tersebut justru menyatakan bahwa kedua fakta terpisah ini sama-sama benar.
Pernyataan tersebut setengah benar karena apa pun pendapat Anda tentang nanas di atas piza, setidaknya kita semua dapat sepakat bahwa nanas enak dalam smoothie.
Teman sekamar Anda kini membuat klaim yang lebih keterlaluan lagi: Jika sebuah film pahlawan super merupakan bagian dari Marvel Cinematic Universe, maka film itu bagus. Manakah tanggapan berikut yang masuk akal terhadap klaim ini dari sudut pandang logika?
Pernyataan ini salah karena ada film pahlawan super yang bagus, seperti Wonder Woman dan Dark Knight, yang diangkat dari DC Comics sehingga bukan bagian dari Marvel Cinematic Universe.
Klaim tersebut menyatakan bahwa jika sebuah film merupakan film Marvel, maka film itu bagus. Klaim itu tidak menyatakan bahwa jika sebuah film bagus, maka film tersebut merupakan film Marvel.
Pernyataan tersebut salah karena setidaknya ada satu film pahlawan super yang merupakan bagian dari Marvel Cinematic Universe tetapi tidak bagus.
Sebenarnya, saya belum pernah menonton film itu, tetapi sekalipun film tersebut buruk, hal itu tidak mengatakan apa pun tentang pernyataan semula karena film tersebut bukan film Marvel.
Pernyataan tersebut benar karena lebih dari separuh film Marvel bagus.
Teman sekamar Anda tidak juga berhenti melontarkan klaim yang keterlaluan. Kini ia menyatakan bahwa entah setiap troll adalah penipu, atau setidaknya ada satu troll yang merupakan kesatria. Apa yang dapat Anda katakan tentang hal ini?
Ya, pernyataan ini benar karena setiap troll adalah kesatria atau penipu. Jika tidak semua troll merupakan penipu, maka pasti ada setidaknya satu troll yang merupakan kesatria.
Memang benar bahwa jika seorang troll mengatakan bahwa semua troll adalah penipu, troll itu sendiri haruslah penipu dan dengan demikian pernyataan bahwa semua troll adalah penipu menjadi salah. Namun untungnya ada pilihan lain.
Sebuah pernyataan adalah kalimat deklaratif yang bernilai benar atau salah. Suatu pernyataan disebut atomik jika tidak dapat diuraikan menjadi pernyataan-pernyataan yang lebih kecil; jika dapat, pernyataan tersebut disebut molekuler.
Alasan kalimat “\(3 + x = 12\)” bukan merupakan pernyataan adalah karena kalimat tersebut memuat sebuah variabel. Bergantung pada nilai \(x\text{,}\) kalimat itu dapat bernilai benar atau salah, tetapi saat ini tidak bernilai keduanya. Salah satu cara untuk mengubah kalimat tersebut menjadi pernyataan adalah menentukan nilai variabelnya dengan suatu cara. Hal ini dapat dilakukan dengan menetapkan substitusi tertentu, misalnya “\(3+x = 12\) dengan \(x = 9\text{,}\)” yang merupakan pernyataan benar. Atau, Anda dapat mengikat variabel bebas tersebut dengan memberinya kuantor, seperti dalam “Untuk semua nilai \(x\text{,}\)\(3+x = 12\text{,}\)” yang bernilai salah. Kita akan membahas kuantor secara lebih terperinci dalam subbagian Kuantor dan Predikat di bawah ini.
Anda dapat menyusun pernyataan (molekuler) yang lebih rumit dari pernyataan (atomik atau molekuler) yang lebih sederhana dengan menggunakan penghubung logis. Sebagai contoh, berikut ini adalah pernyataan molekuler:
Perhatikan bahwa kita dapat menguraikannya menjadi dua pernyataan yang lebih kecil. Kedua pernyataan yang lebih pendek tersebut dihubungkan oleh kata “dan.” Kita akan membahas 5 penghubung: “dan” (Sam adalah seorang laki-laki, dan Chris adalah seorang perempuan), “atau” (Sam adalah seorang laki-laki, atau Chris adalah seorang perempuan), “jika…, maka…” (jika Sam adalah seorang laki-laki, maka Chris adalah seorang perempuan), “jika dan hanya jika” (Sam adalah seorang laki-laki jika dan hanya jika Chris adalah seorang perempuan), dan “tidak” (Sam bukan seorang laki-laki). Empat penghubung pertama disebut penghubung biner (karena menghubungkan dua pernyataan), sedangkan “tidak” merupakan contoh penghubung uner (karena diterapkan pada satu pernyataan).
Pernyataan molekuler ini tentu saja tetap merupakan pernyataan, sehingga harus bernilai benar atau salah. Pengamatan penting di sini adalah bahwa nilai kebenaran pernyataan molekuler sepenuhnya ditentukan oleh jenis penghubung dan nilai kebenaran bagian-bagiannya. Kita tidak perlu mengetahui apa yang sebenarnya dinyatakan oleh bagian-bagian tersebut atau apakah terdapat hubungan materiil di antara keduanya; kita hanya perlu mengetahui apakah bagian-bagian itu benar atau salah.
Untuk menganalisis penghubung logis, cukup dengan mempertimbangkan variabel proposisional (kadang-kadang disebut variabel kalimat), yang biasanya berupa huruf kapital di bagian tengah alfabet: \(P, Q, R, S, \ldots\text{.}\) Kita memandang variabel-variabel ini sebagai pengganti pernyataan (biasanya atomik), tetapi hanya ada dua nilai yang dapat dimiliki variabel tersebut: benar atau salah. 1
Dalam pemrograman komputer, variabel semacam ini disebut variabel Boolean.
Kita juga memiliki simbol untuk penghubung logis: \(\wedge\text{,}\)\(\vee\text{,}\)\(\imp\text{,}\)\(\iff\text{,}\)\(\neg\text{.}\)
Setiap definisi di atas dapat disajikan dalam sebuah tabel yang disebut tabel kebenaran. Kita cukup mencantumkan nilai kebenaran pernyataan untuk setiap kemungkinan kombinasi nilai kebenaran bagian-bagiannya.
Sebagai contoh, kita dapat menggunakan tabel kebenaran untuk \(P \imp Q\) guna menentukan apakah pernyataan “Jika 5 genap, maka 6 genap” benar atau salah. Di sini \(P\) adalah pernyataan “5 genap”, dan \(Q\) adalah pernyataan “6 genap.” Karena 5 tidak genap, pernyataan \(P\) salah. Karena 6 genap, pernyataan \(Q\) benar. Tabel kebenaran memberi tahu kita bahwa pernyataan \(P \imp Q\) benar ketika \(P\) salah dan \(Q\) benar (baris ke-3). Jadi, pernyataan “Jika 5 genap, maka 6 genap” benar. (Jika Anda kurang berkenan dengan kenyataan bahwa pernyataan itu benar, simpan dahulu pikiran tersebut; semoga kita segera dapat menjelaskannya.)
Perhatikan bahwa bagi kita, atau adalah atau inklusif (dan bukan atau eksklusif yang kadang-kadang digunakan), yang berarti bahwa \(P \vee Q\) benar ketika \(P\) atau \(Q\)atau baik \(P\) maupun \(Q\) benar. Untuk penghubung lainnya, “dan” berperilaku seperti yang Anda harapkan, demikian pula negasi. Bikondisional (jika dan hanya jika) mungkin tampak sedikit aneh, tetapi Anda sebaiknya memandangnya sebagai pernyataan bahwa kedua bagian tersebut ekuivalen karena memiliki nilai kebenaran yang sama.
Dengan demikian, hanya tersisa implikasi \(P \imp Q\text{,}\) yang dalam matematika memiliki arti sedikit berbeda dari penggunaannya dalam bahasa sehari-hari. Namun, implikasi begitu umum dan berguna dalam matematika sehingga kita perlu mengembangkan kelancaran dalam penggunaannya; karena itulah topik ini layak mendapat satu bagian penuh (Subbab 1.2).
Benar. Bagian pertama benar, sehingga seluruh pernyataan benar. Begitu menemukan satu pernyataan benar dalam suatu disjungsi, kita dapat berhenti memeriksa dan menyatakan bahwa seluruh pernyataan benar.
Benar. Jangan khawatir bahwa tidak ada alasan kuat mengapa keprimaan 17 menyebabkan keprimaan 19. Bukan itu yang kita maksud dengan pernyataan kondisional. Karena bagian “maka” benar, kita mengetahui bahwa pernyataan secara keseluruhan benar.
Benar. Bagian “jika” dari pernyataan tersebut salah. Hanya itu yang kita perlukan. Saya yakin Anda bahkan tidak mengetahui bilangan favorit saya, dan Anda juga tidak perlu mengetahuinya. Pernyataan tersebut benar.
Cara kita mendefinisikan penghubung logis dan nilai kebenarannya sangat presisi dan teknis. Bahasa sering kali tidak demikian. Bagian dari belajar mengomunikasikan matematika adalah mempelajari kaidah bahasa matematika dan cara menerjemahkan pernyataan dalam bahasa sehari-hari menjadi pernyataan teknis tersebut. Hal ini akan menjadi lebih mudah dengan latihan, jadi pastikan Anda banyak berbicara dengan orang lain tentang matematika yang sedang Anda pelajari.
Apakah Anda setuju bahwa ini sama dengan pernyataan “4 adalah bilangan prima, dan 5 adalah bilangan prima”? Perhatikan bahwa menuliskannya sebagai \(P \wedge Q\text{,}\) dengan \(P\) adalah “4” dan \(Q\) adalah “5 adalah bilangan prima”, tidaklah masuk akal. Namun, jika kita menetapkan \(P\) sebagai pernyataan “4 adalah bilangan prima”, maka kedua bagian konjungsi merupakan pernyataan.
Sekali lagi, kita tidak dapat begitu saja menjadikan apa yang berada di salah satu sisi kata “atau” sebagai pernyataan. Namun, jika kita menetapkan \(P\) sebagai “4 adalah bilangan prima” dan \(Q\) sebagai “5 adalah bilangan prima”, kita dapat menuliskannya sebagai \((P \vee Q) \wedge \neg (P \wedge Q)\text{.}\) Artinya, 4 adalah bilangan prima atau 5 adalah bilangan prima, dan tidak benar bahwa baik 4 maupun 5 keduanya bilangan prima.
Berikut cara lain untuk mengungkapkan pernyataan yang sama: Jika Anda lulus mata kuliah ini, maka Anda pasti hadir setiap hari dan mengerjakan pekerjaan rumah. Jika kita sepakat bahwa ini hanyalah cara yang lebih jelas untuk menyatakan pernyataan semula, kita dapat menggambarkan strukturnya sebagai \(P \imp (Q \wedge R)\text{.}\)
Perhatikan bahwa ini tidak sama dengan mengatakan “Setiap bilangan adalah genap, atau setiap bilangan adalah ganjil.” Tentu saja, mengatakan “3 adalah genap atau ganjil” sama dengan mengatakan “3 adalah genap, atau 3 adalah ganjil.” Bahasa memang membingungkan!
Kita belum memiliki perangkat logika untuk menerjemahkan pernyataan ini menjadi sesuatu yang lebih dari \(P\text{,}\) dengan \(P\) sebagai pernyataan “Setiap bilangan adalah genap atau ganjil.” Untungnya, perangkat itu tersedia, mulai... sekarang!
Tahukah Anda bahwa semua mamalia memiliki rambut? Bahwa setiap bilangan bulat adalah genap atau ganjil? Bahwa beberapa bilangan ganjil bukan bilangan prima?
Untuk itu, kita perlu mempertimbangkan jenis kalimat dasar baru yang disebut predikat, yang menyerupai pernyataan tetapi memuat variabel bebas. Ketika Anda mengganti variabel tersebut dengan suatu konstanta, kalimat itu menjadi pernyataan yang sesungguhnya. Anggaplah predikat sebagai klaim tentang nilai-nilai yang disubstitusikan untuk variabel “penampung” tersebut.
Predikat dapat dijadikan pernyataan (benar atau salah) dengan mengevaluasinya pada konstanta tertentu, atau kita dapat mengklaim bahwa sebagian atau semua konstanta yang mungkin akan membuat pernyataan yang dihasilkan benar atau salah. Hal ini dilakukan dengan menggunakan kuantor.
Kita biasanya menulis predikat dengan cara yang serupa dengan penulisan fungsi, tetapi menggunakan huruf kapital. Sebagai contoh, kita dapat menggunakan predikat \(P(x)\) untuk menyatakan “\(x\) adalah bilangan prima”. Kemudian kita dapat mengatakan bahwa \(P(7)\) benar (karena 7 adalah bilangan prima) dan \(P(8)\) salah. Atau, dengan menggunakan kuantor, kita dapat menyatakan (secara keliru) bahwa semua bilangan adalah prima dengan menulis \(\forall x P(x)\text{,}\) atau menyatakan (secara benar) bahwa terdapat setidaknya satu bilangan prima dengan menulis \(\exists x P(x)\text{.}\)
Bahkan sebelum mulai menggunakan simbol, akan membantu jika kita menyatakannya kembali dengan cara yang menangkap struktur logis pernyataan tersebut. Apa yang dinyatakan oleh klaim ini? Untuk sembarang bilangan, bilangan tersebut genap atau ganjil. Secara khusus, kita tidak menyatakan bahwa semua bilangan genap atau bahwa semua bilangan ganjil.
Mari kita gunakan \(E(x)\) untuk menyatakan bahwa \(x\) genap, dan \(O(x)\) untuk menyatakan bahwa \(x\) ganjil. Kemudian kita dapat menulis,
\begin{equation*}
E(x) \vee O(x)
\end{equation*}
untuk menyatakan bahwa \(x\) genap atau \(x\) ganjil. Untuk nilai \(x\) mana pernyataan itu benar (menurut klaim tersebut)? Untuk semuanya. Jadi, kita menulis pernyataan itu sebagai,
\begin{equation*}
\forall x (O(x) \vee E(x))\text{.}
\end{equation*}
Kita menambahkan tanda kurung untuk menegaskan bahwa cakupan kuantor universal mencakup kedua predikat.
Perhatikan bahwa jika kita secara keliru menafsirkan pernyataan itu sebagai klaim bahwa semua bilangan genap atau semua bilangan ganjil, kita dapat menuliskannya sebagai \(\forall x O(x) \vee \forall x E(x)\text{.}\) Ini tidak sama!
Sama seperti yang kita lakukan untuk logika proposisional dan penghubung logis, kita perlu menentukan apa artinya predikat berkuantor bernilai benar atau salah. Kita mengatakan \(\forall x P(x)\) benar jika \(P(a)\) benar untuk setiap konstanta \(a\) yang kita substitusikan bagi \(x\text{.}\) Demikian pula, \(\exists x P(x)\) benar jika terdapat setidaknya satu nilai \(a\) yang membuat \(P(a)\) benar.
Namun, kita harus berhati-hati di sini. Perhatikan pernyataan
\begin{equation*}
\forall x \exists y (y \lt x)\text{.}
\end{equation*}
Pernyataan ini dibaca, “Untuk setiap \(x\text{,}\) terdapat suatu \(y\) sedemikian sehingga \(y\) lebih kecil daripada \(x\text{.}\)” Perhatikan bahwa \(\lt\) adalah predikat dengan dua variabel bebas; kita memilih menuliskannya dengan simbol di antara kedua variabel, alih-alih bentuk \(L(y,x)\) atau \(\lt\!(y,x)\) yang tampak ganjil.
Apakah pernyataan ini benar? Jawabannya bergantung pada semesta pembicaraan kita. Ketika mengatakan “untuk semua” \(x\text{,}\) apakah yang kita maksud semua bilangan bulat positif, semua bilangan real, semua gajah, atau...? Biasanya, informasi ini tersirat dari konteks pernyataan. Dalam matematika diskret, kita hampir selalu memberikan kuantor atas bilangan asli, \(0, 1, 2,\ldots \text{,}\) jadi mari kita gunakan himpunan tersebut sebagai semesta pembicaraan di sini.
Agar pernyataan itu benar, untuk setiap bilangan asli yang kita pilih, harus ada suatu bilangan asli yang benar-benar lebih kecil. Mungkin kita dapat menetapkan \(y\) sebagai \(x-1\text{?}\) Namun, inilah masalahnya: bagaimana jika \(x = 0\text{?}\) Maka \(y = -1\text{,}\) dan itu bukan bilangan! (dalam semesta pembicaraan kita). Dengan demikian, kita melihat bahwa pernyataan tersebut salah karena ada suatu bilangan yang kurang dari atau sama dengan semua bilangan lainnya. Dalam simbol,
\begin{equation*}
\exists x \forall y (y \ge x)\text{.}
\end{equation*}
Kita akan mengeksplorasi beberapa aturan untuk bekerja dengan kuantor dan penghubung lainnya dalam Subbab 1.3. Untuk saat ini, kita akan berfokus pada penerjemahan antara pernyataan informal dalam bahasa sehari-hari dan bahasa logika yang lebih presisi. Tidak ada algoritma sempurna untuk melakukan penerjemahan ini, tetapi berikut beberapa pedoman praktis yang berguna.
Contoh: semua mamalia memiliki rambut menjadi \(\forall x (M(x) \imp H(x))\text{,}\) dengan \(M(x)\) berarti \(x\) adalah mamalia, dan \(H(x)\) berarti \(x\) memiliki rambut.
Untuk memahaminya, pikirkan makna pernyataan semacam ini dalam konteks himpunan. Kita menyatakan bahwa himpunan mamalia termuat dalam, atau merupakan himpunan bagian dari, himpunan objek yang berambut. Makna “\(A\) adalah himpunan bagian dari \(B\)” tepatnya adalah bahwa setiap elemen \(A\) merupakan elemen \(B\text{.}\) Hal ini juga dapat dinyatakan dengan mengatakan bahwa “jika \(x\) adalah elemen \(A\text{,}\) maka \(x\) juga merupakan elemen \(B\text{.}\)”
Contoh: Beberapa kucing dapat berenang menjadi \(\exists x (C(x) \wedge S(x))\text{,}\) dengan \(C(x)\) berarti \(x\) adalah kucing, dan \(S(x)\) berarti \(x\) dapat berenang.
Sekali lagi, akan membantu jika kita memikirkan cara menyatakan pernyataan semacam itu dalam konteks himpunan. Mengatakan bahwa beberapa kucing dapat berenang berarti mengatakan bahwa ada objek yang termasuk baik dalam himpunan kucing maupun dalam himpunan objek yang dapat berenang. Hewan semacam itu termasuk dalam irisan kedua himpunan, yang dapat Anda gambarkan sebagai keanggotaan dalam himpunan pertama dan himpunan kedua. Pernyataan eksistensial berbentuk ini menyatakan bahwa irisan kedua himpunan tersebut tidak kosong.
Bersikap presisi dalam matematika selalu merupakan gagasan yang baik. Namun, kadang-kadang kita dapat sedikit longgar selama kita semua menyepakati suatu konvensi. Salah satu contoh konvensi semacam itu adalah menganggap bahwa kalimat yang memuat predikat dengan variabel bebas dimaksudkan sebagai pernyataan, dengan variabel-variabel tersebut diberi kuantor universal.
Sebagai contoh, apakah Anda percaya bahwa jika suatu bangun merupakan persegi, maka bangun itu merupakan persegi panjang? Namun, bagaimana kalimat itu dapat benar jika bukan pernyataan? Agar sedikit lebih presisi, kita memiliki dua predikat: \(S(x)\) untuk “\(x\) adalah persegi” dan \(R(x)\) untuk “\(x\) adalah persegi panjang”. Kalimat yang sedang kita tinjau adalah
Untuk suatu kalimat dengan variabel bebas, generalisasi universal kalimat tersebut adalah pernyataan yang diperoleh dengan menambahkan kuantor universal secukupnya pada awal kalimat sehingga semua variabel bebas menjadi terikat.
Demikian pula, kita akan sering sedikit longgar dalam membedakan predikat dan pernyataan. Sebagai contoh, kita mungkin menulis, misalkan \(P(n)\) adalah pernyataan “\(n\) adalah bilangan prima”, yang secara teknis tidak tepat. Secara implisit, yang kita maksud adalah mendefinisikan \(P(n)\) sebagai predikat yang untuk setiap \(n\) menjadi pernyataan \(n\) adalah bilangan prima.
Satu-satunya hal yang membuat kalimat tersebut belum menjadi pernyataan adalah variabel bebas \(x\text{.}\) Generalisasi universal memberi kuantor pada variabel bebas ini.
Jika Anda menyubstitusikan \(10\) untuk \(x\text{,}\) pernyataan yang dihasilkan benar.
Klasifikasikan setiap kalimat di bawah ini sebagai pernyataan atomik, pernyataan molekuler, atau bukan pernyataan. Jika kalimat tersebut merupakan pernyataan molekuler, tentukan jenisnya (konjungsi, disjungsi, implikasi, bikondisional, atau negasi).
Tentukan apakah setiap pernyataan molekuler di bawah ini benar atau salah, atau apakah nilai kebenarannya tidak mungkin ditentukan. Anggaplah Anda tidak mengetahui bilangan favorit saya (tetapi Anda mengetahui bilangan mana yang prima).
Teman Anda percaya bahwa Anda tidak dapat memperdaya semua orang pada waktu yang sama. Apa cara lain untuk menyatakan hal ini, dan bagaimana Anda menuliskannya dalam simbol (dengan menggunakan \(P(x,y)\) untuk menyatakan bahwa Anda dapat memperdaya \(x\) pada waktu \(y\))?
Terlepas dari keyakinan Anda tentang berapa banyak orang yang dapat diperdaya pada berbagai waktu, apa yang dapat Anda simpulkan jika kita menafsirkan ulang \(P(x,y)\) sebagai \(x \lt y\) dan hanya melakukan kuantifikasi atas bilangan asli (sehingga \(\forall x\) berarti “untuk setiap bilangan asli” dan \(\exists x\) berarti “terdapat bilangan asli”)? Pilih semua pilihan yang berlaku.
Apa pun arti \(P(x,y)\text{,}\) kita dapat menyimpulkan bahwa \(\forall x \exists y P(x,y)\) dan \(\exists y \forall x P(x,y)\) TIDAK ekuivalen secara logis.
Perhatikan kalimat \(\exists x P(x,y) \imp \forall x P(x,y)\text{.}\) Apa yang dapat kita katakan tentang kalimat ini? Pilih semua pilihan yang berlaku.
Misalkan \(P(x,y)\) adalah suatu predikat biner yang didefinisikan pada semesta pembicaraan yang sangat kecil, yaitu bilangan bulat 1, 2, 3, dan 4. Untuk masing-masing dari 16 pasangan bilangan tersebut, \(P(x,y)\) bernilai benar atau salah menurut tabel berikut (nilai \(x\) terletak pada baris dan nilai \(y\) terletak pada kolom).
