Dalam matematika diskret terdapat sebuah alat yang sangat ampuh untuk memanipulasi barisan, yang disebut fungsi pembangkit. Gagasannya adalah sebagai berikut: alih-alih menggunakan suatu barisan tak hingga (misalnya,
\(2, 3, 5, 8, 12, \ldots\)) kita meninjau satu fungsi yang menyandikan barisan tersebut. Namun, fungsi ini bukanlah fungsi yang menghasilkan suku ke-
\(n\) sebagai keluarannya. Sebaliknya, deret pangkat fungsi tersebut (seperti yang dijumpai dalam kalkulus) “menampilkan” suku-suku barisan. Sebagai contoh, kita akan meninjau deret pangkat
\(2 + 3x + 5x^2 + 8x^3 + 12x^4 + \cdots\text{,}\) yang menampilkan barisan
\(2, 3, 5, 8, 12, \ldots\) sebagai koefisiennya.
Deret pangkat tak hingga hanyalah jumlah tak hingga dari suku-suku berbentuk \(c_nx^n\text{,}\) dengan \(c_n\) suatu konstanta. Jadi, kita dapat menuliskan deret pangkat seperti ini:
\begin{equation*}
\sum_{k=0}^\infty c_k x^k\text{.}
\end{equation*}
Atau, jika dijabarkan, seperti ini:
\begin{equation*}
c_0 + c_1x + c_2x^2 + c_3x^3 + c_4x^4 + c_5x^5 + \cdots\text{.}
\end{equation*}
Dalam konteks fungsi pembangkit, deret pangkat semacam ini disebut deret pembangkit. Deret pembangkit tersebut membangkitkan barisan
\begin{equation*}
c_0, c_1, c_2, c_3, c_4, c_5, \ldots\text{.}
\end{equation*}
Dengan kata lain, barisan yang dibangkitkan oleh suatu deret pembangkit hanyalah barisan
koefisien dari deret pangkat formal tersebut.
Contoh 6.1.1.
Barisan apakah yang direpresentasikan oleh deret pembangkit
\(3 + 8x^2 + x^3 + \frac{x^5}{7} + 100x^6 + \cdots\text{?}\)
Penyelesaian.
Kita cukup membaca koefisien setiap suku \(x^n\text{.}\) Jadi, \(a_0 = 3\) karena koefisien \(x^0\) adalah 3 (\(x^0 = 1\text{,}\) sehingga ini merupakan suku konstan). Berapakah \(a_1\text{?}\) Nilainya BUKAN 8 karena 8 merupakan koefisien \(x^2\text{;}\) dengan demikian, 8 adalah suku \(a_2\) pada barisan tersebut. Untuk menemukan \(a_1\text{,}\) kita perlu mencari koefisien \(x^1\text{,}\) yang dalam kasus ini bernilai 0. Jadi, \(a_1 = 0\text{.}\) Dengan melanjutkan cara ini, kita memperoleh \(a_2 = 8\text{,}\) \(a_3 = 1\text{,}\) \(a_4 = 0\text{,}\) dan \(a_5 = \frac{1}{7}\text{.}\) Jadi, kita memperoleh barisan
\begin{equation*}
3, 0, 8, 1, 0, \frac{1}{7}, 100, \ldots\text{.}
\end{equation*}
Perhatikan bahwa ketika membahas fungsi pembangkit, kita selalu memulai barisan dengan
\(a_0\text{.}\)
Anda mungkin bertanya-tanya mengapa kita melakukan hal seperti ini. Salah satu alasannya adalah bahwa menyandikan suatu barisan dengan deret pangkat membantu kita mengetahui indeks setiap suku dalam barisan. Sebagai contoh, jika kita menuliskan barisan
\(1, 3, 4, 6, 9, \ldots, 24, 41,\ldots\text{,}\) mustahil menentukan indeks suku
\(24\) (sekalipun kita sepakat bahwa suku pertama dinyatakan sebagai
\(a_0\)). Namun, jika kita menuliskan deret pembangkitnya, kita memperoleh
\(1 + 3x + 4x^2 + 6x^3 + 9x^4 + \cdots + 24 x^{17} + 41 x^{18} + \cdots\text{.}\) Sekarang jelas bahwa 24 adalah suku berindeks 17 dalam barisan tersebut (yakni,
\(a_{17} = 24\)). Tentu saja, untuk memperoleh manfaat ini kita dapat menampilkan barisan dengan berbagai cara, misalnya
\(\fbox{1}_0 \fbox{3}_1 \fbox{4}_2 \fbox{6}_3 \fbox{9}_4 \cdots \fbox{24}_{17}\fbox{41}_{18}\cdots\text{,}\) tetapi kita tidak melakukannya. Alasannya, deret pembangkit tampak seperti deret pangkat biasa (meskipun kita menafsirkannya secara berbeda), sehingga kita dapat memperlakukannya sebagaimana kita biasa memperlakukan deret pangkat, misalnya dengan menuliskan fungsi yang menjadi tujuan konvergensinya.
Sebagai contoh, dari kalkulus kita mengetahui bahwa deret pangkat \(1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + \cdots\) konvergen ke fungsi \(e^x\text{.}\) Jadi, kita dapat menggunakan \(e^x\) untuk membicarakan barisan koefisien dari deret pangkat \(e^x\text{.}\) Ketika kita menuliskan suatu fungsi ringkas yang memiliki deret pangkat tak hingga yang kita pandang sebagai deret pembangkit, fungsi tersebut kita sebut fungsi pembangkit. Dalam contoh ini, kita dapat mengatakan
\begin{equation*}
1, 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{6}, \frac{1}{24}, \ldots, \frac{1}{n!}, \ldots \mbox{ memiliki fungsi pembangkit } e^x\text{.}
\end{equation*}
Subbagian Menyusun Fungsi Pembangkit
Contoh
\(e^x\) di atas sangat khusus. Kita mempunyai barisan yang agak tidak lazim, dan satu-satunya alasan kita mengetahui fungsi pembangkitnya adalah karena kita kebetulan mengetahui deret Taylor untuk
\(e^x\text{.}\) Sekarang tujuan kita adalah mengumpulkan beberapa alat untuk menyusun fungsi pembangkit dari suatu barisan tertentu.
Mari kita lihat fungsi pembangkit untuk beberapa barisan yang sangat sederhana. Yang paling sederhana adalah 1, 1, 1, 1, 1, …. Seperti apakah
deret pembangkitnya? Deret tersebut hanyalah
\(1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + \cdots\text{.}\) Dapatkah kita menemukan rumus tertutup untuk deret pangkat ini? Tentu! Deret ini sebenarnya hanyalah deret geometri dengan rasio tetap
\(x\text{.}\) Jadi, jika kita menggunakan teknik “kalikan, geser, lalu kurangkan” dari
Subbab 4.4, kita memperoleh
\begin{align*}
S \amp = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots\\
\underline{-\qquad xS} \amp \underline{\,\, = ~~~~~~ x + x^2 + x^3 + x^4 + \cdots}\\
(1-x)S \amp = 1
\end{align*}
Dengan demikian, kita melihat bahwa
\begin{equation*}
1 + x + x^2 + x^3 + \cdots = \dfrac{1}{1-x}\text{.}
\end{equation*}
Anda mungkin ingat dari kalkulus bahwa identitas ini, jika dipandang sebagai persamaan fungsi analitik, hanya berlaku pada interval konvergensi deret pangkat tersebut, yang dalam kasus ini adalah ketika
\(|x| \lt 1\text{.}\) Di sini kita memandang kedua ruas sebagai deret pangkat formal. Karena itu, kita tidak perlu menyubstitusikan nilai apa pun untuk
\(x\text{:}\) yang diperlukan adalah kesamaan koefisien pada setiap pangkat
\(x\text{.}\) Dalam pengertian formal tersebut, identitas ini berlaku.
\(1,1,1,\ldots\).
Fungsi pembangkit untuk
\(1,1,1,1,1,1,\ldots\) adalah
\(\dfrac{1}{1-x}\text{.}\)
Mari kita gunakan fungsi pembangkit dasar ini untuk menemukan fungsi pembangkit bagi lebih banyak barisan. Bagaimana jika kita mengganti \(x\) dengan \(-x\text{?}\) Kita memperoleh
\begin{equation*}
\frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - x^3 + \cdots \mbox{ yang membangkitkan } 1, -1, 1, -1, \ldots\text{.}
\end{equation*}
Jika kita mengganti \(x\) dengan \(3x\text{,}\) kita memperoleh
\begin{equation*}
\frac{1}{1-3x} = 1 + 3x + 9x^2 + 27x^3 + \cdots \mbox{ yang membangkitkan } 1, 3, 9, 27, \ldots\text{.}
\end{equation*}
Dengan mengganti \(x\) pada \(\frac{1}{1-x}\text{,}\) kita dapat memperoleh fungsi pembangkit bagi bermacam-macam barisan, tetapi tidak bagi semuanya. Sebagai contoh, Substitusi sederhana yang hanya menskalakan \(x\) dengan suatu konstanta tidak dapat menghasilkan fungsi pembangkit bagi \(2,2,2,2, \ldots\text{,}\) sebab substitusi semacam itu tidak mengubah suku konstannya yang bernilai 1. Namun, kita masih dapat menanganinya. Perhatikan bahwa setiap suku \(2, 2, 2, 2, \ldots\) diperoleh dengan mengalikan suku-suku \(1, 1, 1, 1, \ldots\) dengan konstanta 2. Jadi, kalikan pula fungsi pembangkitnya dengan 2.
\begin{equation*}
\frac{2}{1-x} = 2 + 2x + 2x^2 + 2x^3 + \cdots \mbox{ yang membangkitkan } 2, 2, 2, 2, \ldots\text{.}
\end{equation*}
Demikian pula, untuk menemukan fungsi pembangkit bagi barisan \(3, 9, 27, 81, \ldots\text{,}\) kita mencatat bahwa barisan ini diperoleh dengan mengalikan setiap suku \(1, 3, 9, 27, \ldots\) dengan 3. Karena kita telah memiliki fungsi pembangkit untuk \(1, 3, 9, 27, \ldots\text{,}\) kita dapat menuliskan
\begin{equation*}
\frac{3}{1-3x} = 3\cdot 1 + 3\cdot 3x + 3\cdot 9x^2 + 3\cdot 27x^3 + \cdots \mbox{ yang membangkitkan } 3, 9, 27, 81, \ldots\text{.}
\end{equation*}
Bagaimana dengan barisan \(2, 4, 10, 28, 82, \ldots\text{?}\) Di sini setiap suku selalu satu lebih besar daripada suatu pangkat dari 3. Artinya, kita telah menjumlahkan barisan \(1,1,1,1,\ldots\) dan \(1,3,9, 27,\ldots\) suku demi suku. Oleh karena itu, kita dapat memperoleh fungsi pembangkitnya dengan menjumlahkan fungsi pembangkit masing-masing:
\begin{align*}
2 + 4x + 10x^2 + 28x^3 + \cdots \amp = (1 + 1) + (1 + 3)x + (1 + 9)x^2 + (1 + 27)x^3 + \cdots\\
\amp = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots + 1 + 3x + 9x^2 + 27x^3 + \cdots\\
\amp = \frac{1}{1-x} + \frac{1}{1-3x}
\end{align*}
Masih ada kemungkinan lain: jika kita mengganti \(x\) dalam fungsi pembangkit semula dengan \(x^2\text{,}\) kita memperoleh
\begin{equation*}
\frac{1}{1-x^2} = 1 + x^2 + x^4 + x^6 + \cdots \mbox{ yang membangkitkan } 1, 0, 1, 0, 1, 0, \ldots\text{.}
\end{equation*}
Bagaimana kita dapat memperoleh \(0,1,0,1,0,1,\ldots\text{?}\) Mulailah dengan barisan sebelumnya, lalu geser barisan itu sejauh 1 posisi. Namun, bagaimana cara melakukannya? Untuk memahami cara kerja pergeseran, mari kita terlebih dahulu mencoba memperoleh fungsi pembangkit bagi barisan \(0, 1, 3, 9, 27, \ldots\text{.}\) Kita mengetahui bahwa \(\frac{1}{1-3x} = 1 + 3x + 9x^2 + 27x^3 + \cdots\text{.}\) Untuk menempatkan nol di awal, deret pembangkitnya harus berbentuk \(x + 3x^2 + 9x^3 + 27x^4+ \cdots\) (sehingga tidak terdapat suku konstan). Perkalian dengan \(x\) memberikan efek ini. Jadi, fungsi pembangkit untuk \(0, 1, 3, 9, 27, \ldots\) adalah \(\frac{x}{1-3x}\text{.}\) Cara ini juga dapat digunakan untuk memperoleh fungsi pembangkit bagi \(0,1,0,1,0,1,\ldots\text{:}\)
\begin{equation*}
\frac{x}{1-x^2} = x + x^3 + x^5 + \cdots \mbox{ yang membangkitkan } 0, 1, 0, 1, 0 , 1 \ldots\text{.}
\end{equation*}
Bagaimana jika kita menjumlahkan barisan \(1,0,1,0,1,0,\ldots\) dan \(0,1,0,1,0,1,\ldots\) suku demi suku? Kita seharusnya memperoleh \(1,1,1,1,1,1\ldots\text{.}\) Apa yang terjadi ketika kita menjumlahkan fungsi pembangkitnya? Hasilnya sesuai (cobalah)!
\begin{equation*}
\frac{1}{1-x^2} + \frac{x}{1-x^2} = \frac{1}{1-x}\text{.}
\end{equation*}
Berikutnya, ada satu cara yang tidak langsung: apa yang terjadi jika kita mengambil
turunan dari
\(\frac{1}{1-x}\text{?}\) Kita memperoleh
\(\frac{1}{(1-x)^2}\text{.}\) Di sisi lain, jika kita menurunkan deret pangkat tersebut suku demi suku, kita memperoleh
\((1 + x + x^2 + x^3 + \cdots)' = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \cdots\text{,}\) yang merupakan deret pembangkit bagi
\(1, 2, 3, 4, \ldots\text{.}\) Hal ini memberikan hasil berikut.
\(1,2,3,\ldots\).
Fungsi pembangkit untuk
\(1, 2, 3, 4, 5, \ldots\) adalah
\(\d\frac{1}{(1-x)^2}\text{.}\)
Ambillah turunan kedua:
\(\frac{2}{(1-x)^3} = 2 + 6x + 12x^2 + 20x^3 + \cdots\text{.}\) Jadi,
\(\frac{1}{(1-x)^3} = 1 + 3x + 6x^2 + 10x^3 + \cdots\) merupakan fungsi pembangkit untuk bilangan segitiga,
\(1,3,6,10\ldots\) (meskipun di sini kita menetapkan
\(a_0 = 1\text{,}\) sedangkan biasanya
\(T_0 = 0\)).
Subbagian Pengambilan Selisih
Kita telah melihat cara memperoleh fungsi pembangkit dari
\(\frac{1}{1-x}\) dengan menggunakan perkalian (dengan suatu konstanta atau dengan
\(x\)), substitusi, penjumlahan, dan penurunan. Untuk menggunakan setiap operasi tersebut, Anda harus mengenali suatu cara untuk mengubah barisan
\(1,1,1,1,1\ldots\) menjadi barisan yang diinginkan. Hal ini tidak selalu mudah. Cara tersebut juga tidak sepenuhnya sejalan dengan cara kita menganalisis barisan selama ini. Salah satu hal yang sering kita tinjau adalah barisan selisih antarsuku suatu barisan. Barisan selisih ternyata juga berguna untuk menemukan fungsi pembangkit. Barisan selisih sering kali lebih sederhana daripada barisan semula. Jadi, jika kita mengetahui fungsi pembangkit untuk barisan selisih, kita ingin menggunakannya untuk menemukan fungsi pembangkit bagi barisan semula.
Sebagai contoh, perhatikan barisan \(2, 4, 10, 28, 82, \ldots\text{.}\) Bagaimana kita dapat beralih ke barisan selisih pertama \(2, 6, 18, 54,\ldots\text{?}\) Kita ingin mengurangkan 2 dari 4, 4 dari 10, 10 dari 28, dan seterusnya. Jadi, jika kita mengurangkan (suku demi suku) barisan \(0, 2, 4, 10, 28,\ldots\) dari \(2, 4, 10, 28\ldots\text{,}\) kita akan memperoleh barisan yang diinginkan. Fungsi pembangkit untuk \(0,2,4,10,28,\ldots\) dapat diperoleh dari fungsi pembangkit bagi \(2,4,10,28\ldots\) dengan mengalikannya dengan \(x\text{.}\) Gunakan \(A\) untuk menyatakan fungsi pembangkit bagi \(2, 4, 10, 28, 82, \ldots\text{.}\) Dengan demikian,
\begin{align*}
A \amp = 2 + 4x + 10x^2 +28x^3 + 82x^4 + \cdots\\
\underline{-\qquad xA} \amp \underline{\,\,= 0 + 2x + 4x^2 + 10x^3 + 28 x^4 + 82x^5 + \cdots}\\
(1-x)A \amp = 2 + 2x + 6x^2 + 18x^3 + 54x^4 + \cdots
\end{align*}
Meskipun kita tidak memperoleh tepat barisan selisihnya, kita memperoleh sesuatu yang hampir sama. Dalam kasus khusus ini, kita sudah mengetahui fungsi pembangkit
\(A\) (kita menemukannya pada subbagian sebelumnya), tetapi pada umumnya kita akan menggunakan teknik pengambilan selisih ini untuk
menemukan \(A\text{:}\) jika kita mempunyai fungsi pembangkit untuk barisan selisih, kita dapat menyelesaikan persamaan untuk memperoleh
\(A\text{.}\)
Contoh 6.1.2.
Temukan fungsi pembangkit untuk
\(1, 3, 5, 7, 9,\ldots\text{.}\)
Penyelesaian.
Perhatikan bahwa barisan selisihnya konstan. Kita mengetahui cara menemukan fungsi pembangkit bagi sembarang barisan konstan. Jadi, nyatakan fungsi pembangkit untuk \(1, 3, 5, 7, 9, \ldots\) dengan \(A\text{.}\) Kita memperoleh
\begin{align*}
A \amp = 1 + 3x + 5x^2 + 7x^3 + 9x^4 + \cdots\\
\underline{-\qquad xA} \amp \underline{\,\,= 0 + x + 3x^2 + 5x^3 + 7x^4 + 9x^5 + \cdots}\\
(1-x)A \amp = 1 + 2x + 2x^2 + 2x^3 + 2x^4 + \cdots
\end{align*}
Kita mengetahui bahwa \(2x + 2x^2 + 2x^3 + 2x^4 + \cdots = \dfrac{2x}{1-x}\text{.}\) Dengan demikian,
\begin{equation*}
(1-x)A = 1 + \frac{2x}{1-x}\text{.}
\end{equation*}
Sekarang selesaikan persamaan untuk memperoleh \(A\text{:}\)
\begin{equation*}
A = \frac{1}{1-x} + \frac{2x}{(1-x)^2} = \frac{1+x}{(1-x)^2}\text{.}
\end{equation*}
Apakah hasil ini masuk akal? Sebelum menyederhanakan kedua pecahan tersebut menjadi satu, kita menjumlahkan fungsi pembangkit bagi barisan
\(1,1,1,1,\ldots\) dengan fungsi pembangkit bagi barisan
\(0, 2, 4, 6, 8, 10, \ldots\) (ingat bahwa
\(\frac{1}{(1-x)^2}\) membangkitkan
\(1,2,3,4,5, \ldots\text{,}\) sedangkan perkalian dengan
\(2x\) menggesernya, menempatkan nol di awal, dan menggandakan setiap sukunya). Jika kita menjumlahkan keduanya suku demi suku, kita memperoleh barisan yang benar, yaitu
\(1,3,5,7, 9, \ldots\text{.}\)
Setelah memperoleh fungsi pembangkit untuk bilangan ganjil, kita dapat menggunakannya untuk menemukan fungsi pembangkit bagi bilangan kuadrat:
Contoh 6.1.3.
Temukan fungsi pembangkit untuk
\(1, 4, 9, 16, \ldots\text{.}\) Perhatikan bahwa kita menetapkan
\(1 = a_0\text{.}\)
Penyelesaian.
Sekali lagi, kita menyatakan fungsi pembangkit barisan tersebut dengan \(A\text{.}\) Dengan mengambil selisih, kita memperoleh
\begin{align*}
A \amp = 1 + 4x + 9x^2 + 16x^3 + \cdots\\
\underline{-\qquad xA} \amp \underline{\,\, = 0 + x + 4x^2 + 9x^3 + 16x^4 + \cdots}\\
(1-x)A \amp = 1 + 3x + 5x^2 + 7x^3 + \cdots
\end{align*}
Karena
\(1 + 3x + 5x^2 + 7x^3 + \cdots = \d\frac{1+x}{(1-x)^2}\text{,}\) kita memperoleh
\(A = \d\frac{1+x}{(1-x)^3}\text{.}\)
Dalam setiap contoh di atas, kita menemukan selisih antarsuku berurutan sehingga memperoleh barisan selisih yang fungsi pembangkitnya telah kita ketahui. Kita dapat memperumum cara ini untuk hubungan antarsuku barisan yang lebih rumit. Sebagai contoh, misalkan kita mengetahui bahwa mulai dari indeks 2 suatu barisan memenuhi relasi rekurensi
\(a_n = 3a_{n-1} - 2a_{n-2}\text{.}\) Dengan kata lain, jika dari suatu suku barisan kita mengurangkan 3 kali suku sebelumnya lalu menambahkan 2 kali suku sebelum itu, kita memperoleh 0 (karena
\(a_n - 3a_{n-1} + 2a_{n-2} = 0\)). Hal ini berlaku untuk semua suku kecuali dua suku pertama barisan tersebut. Jadi, setelah dua suku pertama, barisan hasil perhitungan tersebut adalah barisan nol, yang fungsi pembangkitnya tentu kita ketahui.
Contoh 6.1.4.
Mulai dari indeks 2, barisan
\(1, 3, 7, 15, 31, 63, \ldots\) memenuhi relasi rekurensi
\(a_n = 3a_{n-1} - 2a_{n-2}\text{.}\) Temukan fungsi pembangkit barisan tersebut.
Penyelesaian.
Nyatakan fungsi pembangkit barisan tersebut dengan \(A\text{.}\) Kita memperoleh
\begin{align*}
A \amp = 1 + 3x + 7x^2 + 15x^3 + 31x^4 + \cdots + a_nx^n + \cdots\\
-3xA \amp = 0 - 3x - 9x^2 - 21x^3 - 45x^4 - \cdots - 3a_{n-1}x^n - \cdots\\
\underline{+~~~2x^2A_{~}^{~^{~}}} \amp \underline{\,\, = 0 + 0x + 2x^2 + 6x^3 + 14x^4 + \cdots + 2a_{n-2}x^n + \cdots}\\
(1-3x+2x^2)A \amp = 1
\end{align*}
Kita mengalikan
\(A\) dengan
\(-3x\text{,}\) yang menggeser setiap suku sejauh satu posisi dan mengalikannya dengan
\(-3\text{.}\) Pada baris ketiga, kita mengalikan
\(A\) dengan
\(2x^2\text{,}\) yang menggeser setiap suku sejauh dua posisi dan mengalikannya dengan 2. Ketika menjumlahkan suku-suku yang bersesuaian, kita mengambil setiap suku, mengurangkan 3 kali suku sebelumnya, lalu menambahkan 2 kali suku sebelum itu. Hal ini terjadi untuk setiap suku setelah
\(a_1\) karena
\(a_n - 3a_{n-1} + 2a_{n-2} = 0\text{.}\) Secara umum, mungkin masih tersisa dua suku dari awal deret pembangkit, meskipun dalam kasus ini suku keduanya kebetulan juga bernilai 0.
Sekarang kita hanya perlu menyelesaikan persamaan untuk memperoleh \(A\text{:}\)
\begin{equation*}
A = \frac{1}{1 - 3x + 2x^2}\text{.}
\end{equation*}
Subbagian Perkalian dan Jumlah Parsial
Apa yang terjadi pada barisan ketika Anda mengalikan dua fungsi pembangkit? Mari kita lihat: \(A = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots\) dan \(B = b_0 + b_1x + b_2x^2 + \cdots\text{.}\) Untuk mengalikan \(A\) dan \(B\text{,}\) kita harus berulang kali menggunakan sifat distributif (metode FOIL tak hingga?), tetapi ingatlah bahwa kita akan mengelompokkan suku-suku sejenis dan hanya perlu menuliskan beberapa suku pertama untuk melihat polanya. Suku konstannya adalah \(a_0b_0\text{.}\) Koefisien \(x\) adalah \(a_0b_1 + a_1b_0\text{.}\) Demikian seterusnya. Kita memperoleh
\begin{equation*}
AB = a_0b_0 + (a_0b_1 + a_1b_0)x + (a_0b_2 + a_1b_1 + a_2b_0)x^2 + (a_0b_3 + a_1b_2 + a_2b_1 + a_3b_0)x^3 + \cdots\text{.}
\end{equation*}
Contoh 6.1.5.
“Kalikan” barisan
\(1, 2, 3, 4, \ldots\) dengan barisan
\(1, 2, 4, 8, 16, \ldots\text{.}\)
Penyelesaian.
Suku konstan yang baru hanyalah \(1 \cdot 1\text{.}\) Suku berikutnya adalah \(1\cdot 2 + 2 \cdot 1 = 4\text{.}\) Suku selanjutnya adalah \(1 \cdot 4 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 1 = 11\text{.}\) Satu suku lagi adalah \(1 \cdot 8 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 2 + 4 \cdot 1 = 26\text{.}\) Barisan yang dihasilkan ialah
\begin{equation*}
1, 4, 11, 26, 57, \ldots\text{.}
\end{equation*}
Karena fungsi pembangkit untuk
\(1,2,3,4, \ldots\) adalah
\(\frac{1}{(1-x)^2}\) dan fungsi pembangkit untuk
\(1,2,4,8, 16, \ldots\) adalah
\(\frac{1}{1-2x}\text{,}\) fungsi pembangkit untuk
\(1,4, 11, 26, 57, \ldots\) adalah
\(\frac{1}{(1-x)^2(1-2x)}\text{.}\)
Perhatikan kasus khusus ketika Anda mengalikan suatu barisan dengan
\(1, 1, 1, \ldots\text{.}\) Sebagai contoh, kalikan
\(1,1,1,\ldots\) dengan
\(1, 2, 3, 4, 5\ldots\text{.}\) Suku pertamanya adalah
\(1\cdot 1 = 1\text{.}\) Kemudian,
\(1\cdot 2 + 1 \cdot 1 = 3\text{.}\) Setelah itu,
\(1\cdot 3 + 1\cdot 2 + 1 \cdot 1 = 6\text{.}\) Suku berikutnya adalah 10. Kita memperoleh bilangan segitiga. Lebih tepatnya, kita memperoleh barisan jumlah parsial dari
\(1,2,3,4,5, \ldots\text{.}\) Dalam bentuk fungsi pembangkit, kita mengambil
\(\frac{1}{1-x}\) (yang membangkitkan
\(1,1,1,1,1\ldots\)) lalu mengalikannya dengan
\(\frac{1}{(1-x)^2}\) (yang membangkitkan
\(1,2,3,4,5,\ldots\)), sehingga diperoleh
\(\frac{1}{(1-x)^3}\text{.}\) Hasil ini tidak mengherankan karena sebelumnya kita menemukan fungsi pembangkit yang sama untuk bilangan segitiga.
Intinya, jika Anda perlu menemukan fungsi pembangkit untuk jumlah
\(n+1\) suku pertama suatu barisan yang diindeks mulai dari 0 dan Anda mengetahui fungsi pembangkit bagi barisan
tersebut, Anda dapat mengalikannya dengan
\(\frac{1}{1-x}\text{.}\) Untuk kembali dari barisan jumlah parsial ke barisan semula, pertahankan suku pertama lalu ambil selisih antarsuku berurutan. Ketika memperoleh barisan selisih, pada akhirnya Anda mengalikan dengan
\(1-x\text{,}\) atau, secara ekuivalen, membagi dengan
\(\frac{1}{1-x}\text{.}\) Perkalian dengan
\(\frac{1}{1-x}\) menghasilkan jumlah parsial, sedangkan pembagian dengan
\(\frac{1}{1-x}\) menghasilkan selisih.
