Lewati ke konten utama
Gambar logo

Matematika Diskret Sebuah Pengantar Terbuka, Edisi Keempat

Oscar Levin

Subbab 1.2 Implikasi

Subbagian Pratinjau Bagian

Selidiki!
Ibu Timmy kecil berkata kepadanya, “Jika kamu tidak menghabiskan brokolimu, kamu tidak akan mendapat es krim.” Tentu saja, Timmy sangat menyukai es krim, sehingga ia segera menghabiskan semua brokolinya (yang ternyata cukup enak).
🔗
Setelah makan malam, ketika Timmy meminta es krimnya, permintaannya ditolak! Apakah Timmy berhak merasa kesal? Mengapa atau mengapa tidak?
🔗
🔗
Sejauh ini, jenis pernyataan yang paling penting dalam matematika adalah implikasi. Implikasi juga merupakan jenis pernyataan majemuk dasar yang paling tidak intuitif. Tujuan kita dalam bagian ini adalah lebih mengenal konsep penting tersebut.
🔗
Untuk memahami mengapa bentuk pernyataan ini begitu umum, perhatikan Teorema Pythagoras. Terlepas dari apa yang mungkin diklaim media sosial, Teorema Pythagoras bukanlah
\begin{equation*} a^2 + b^2 = c^2\text{.} \end{equation*}
Baiklah, persamaan itu memang memiliki variabel, jadi mungkin kita menggunakan konvensi dengan mengambil generalisasi universal,
\begin{equation*} \forall a,b,c \in \R \left( a^2 + b^2 = c^2 \right)\text{.} \end{equation*}
Jadi, \(1^2 + 5^2 = 2^2\text{???}\) Baiklah. Persamaan tersebut benar selama \(a\) dan \(b\) adalah panjang sisi-sisi siku-siku suatu segitiga siku-siku dan \(c\) adalah panjang hipotenusanya. Dengan kata lain:
🔗
Jika \(a\) dan \(b\) adalah panjang sisi-sisi siku-siku suatu segitiga siku-siku dengan hipotenusa sepanjang \(c\text{,}\) maka \(a^2 + b^2 = c^2\text{.}\)
🔗
🔗
Matematika berkaitan dengan pembuatan klaim umum, tetapi suatu klaim jarang berlaku bagi benar-benar setiap objek matematika. Cara kita membatasi klaim pada jenis objek tertentu adalah dengan implikasi: “Ambillah objek apa pun, jika objek itu berjenis tepat, maka hal ini benar tentang objek tersebut.”
🔗
Demikian pula, sebagaimana kita lihat pada subbagian Kuantor dan Predikat, ketika membuat klaim seperti “Setiap persegi adalah persegi panjang,” sebenarnya kita memiliki suatu implikasi: “Jika sesuatu merupakan persegi, maka sesuatu itu merupakan persegi panjang.”
🔗
Berikut adalah pengingat tentang apa yang dimaksud dengan implikasi.
🔗

Definisi 1.2.1. Implikasi.

Suatu implikasi (atau kondisional) adalah pernyataan majemuk berbentuk
\begin{equation*} P \imp Q \end{equation*}
dengan \(P\) dan \(Q\) merupakan pernyataan. Kita mengatakan bahwa
  • \(P\) adalah premis (atau anteseden).
    🔗
  • \(Q\) adalah kesimpulan (atau konsekuen).
    🔗
🔗
Suatu implikasi bernilai benar jika \(P\) salah atau \(Q\) benar (atau keduanya), dan bernilai salah dalam keadaan lainnya. Secara khusus, satu-satunya cara agar \(P \imp Q\) bernilai salah adalah ketika \(P\) benar dan \(Q\) salah.
🔗
🔗
Definisi nilai kebenaran suatu implikasi juga dapat disajikan sebagai tabel kebenaran:
🔗
\(P\) \(Q\) \(P \imp Q\)
B B B
B S S
S B B
S S B
Gambar 1.2.2. Tabel kebenaran untuk \(P \imp Q\text{.}\)
🔗
Apakah tabel kebenaran ini masuk akal? Haruskah kita memercayainya? Perhatikan khususnya baris ketiga: S, B, B, lalu pertimbangkan implikasi “Jika \(5 \lt 3\text{,}\) maka \(5+3 = 8\text{.}\)” Apakah pernyataan itu terasa benar? Menurut tabel kebenaran, pernyataan tersebut memang benar (karena \(5 \lt 3\) salah dan \(5+3 = 8\) benar).
🔗
Sebagian besar pembahasan selanjutnya dalam bagian ini bertujuan meyakinkan kita bahwa tabel kebenaran ini masuk akal.
🔗

Lembar Kerja Aktivitas Pratinjau

1.
Perhatikan pernyataan “Jika Tommy tidak memakan brokolinya, maka ia tidak akan mendapat es krim.” Manakah di antara pernyataan berikut yang memiliki arti sama (yaitu, akan benar dalam situasi yang sama)? Pilih semua yang sesuai.
🔗
  • Jika Tommy memakan brokolinya, maka ia akan mendapat es krim.
    🔗
  • Apakah Anda yakin? Apakah kita menyatakan apa yang terjadi ketika ia memakan brokolinya, atau hanya apa yang terjadi ketika ia tidak memakannya?
  • Jika Tommy mendapat es krim, maka ia telah memakan brokolinya.
    🔗
  • Jika ia mendapat es krim, ia pasti telah memakan brokolinya, sebab jika tidak, ia tidak akan mendapat es krim.
  • Jika Tommy tidak mendapat es krim, maka ia tidak memakan brokolinya.
    🔗
  • Mungkinkah ada alasan lain yang membuat Tommy tidak mendapat es krim meskipun ia telah memakan brokolinya?
  • Tommy memakan brokolinya, tetapi tetap tidak mendapat es krim.
    🔗
  • Ini merupakan kebalikan dari pernyataan semula (pernyataan ini salah tepat ketika pernyataan semula benar).
🔗
2.
Misalkan paman Anda yang mencurigakan menawarkan kesepakatan berikut: Jika Anda meminjamkan mobil kepadanya, maka ia akan membawakan Anda taco. Dalam situasi manakah berikut ini wajar untuk mengatakan bahwa paman Anda berbohong (yaitu, pernyataannya salah)? Pilih semua yang sesuai.
🔗
  • Anda meminjamkan mobil kepadanya. Ia membawakan Anda taco.
    🔗
  • Anda meminjamkan mobil kepadanya. Ia tidak pernah membelikan Anda taco.
    🔗
  • Anda tidak meminjamkan mobil kepadanya. Ia tetap membawakan Anda taco.
    🔗
  • Mungkin ia memang sangat suka memberi Anda taco. Itu belum cukup untuk mengatakan bahwa ia berbohong, bukan?
  • Anda tidak meminjamkan mobil kepadanya. Ia tidak pernah membawakan Anda taco.
    🔗
🔗
3.
Perhatikan kalimat “Jika \(x \ge 10\text{,}\) maka \(x^2 \ge 25\text{.}\)” Kalimat ini menjadi suatu pernyataan ketika kita mengganti \(x\) dengan sebuah nilai, atau “mengikat” \(x\) di dalam cakupan suatu kuantor. Manakah di antara klaim berikut yang benar (pilih semua yang sesuai)?
🔗
  • Jika kita mengganti \(x\) dengan \(15\text{,}\) pernyataan yang dihasilkan bernilai benar. (Perhatikan bahwa \(15^2 = 225\text{.}\))
    🔗
  • Jika kita mengganti \(x\) dengan \(3\text{,}\) pernyataan yang dihasilkan bernilai benar.
    🔗
  • Jika kita mengganti \(x\) dengan \(6\text{,}\) pernyataan yang dihasilkan bernilai benar.
    🔗
  • Generalisasi universal (“untuk semua \(x\text{,}\) jika \(x \ge 10\text{,}\) maka \(x^2 \ge 25\)”) bernilai benar.
    🔗
  • Ada suatu bilangan yang dapat menggantikan \(x\) sehingga pernyataan tersebut bernilai salah.
    🔗
🔗
4.
Perhatikan pernyataan “Jika saya menonton film, maka saya makan berondong jagung” (yang kebetulan benar). Berdasarkan intuisi bahasa sehari-hari semata, manakah di antara pernyataan berikut yang memiliki arti sama? Pilih semua yang sesuai.
🔗
  • Jika saya makan berondong jagung, maka saya menonton film.
    🔗
  • Pernyataan ini tidak ekuivalen dengan pernyataan semula. Mungkin saya juga makan berondong jagung saat menonton televisi? Dalam hal itu, pernyataan semula benar, tetapi pernyataan ini salah.
  • Jika saya tidak makan berondong jagung, maka saya tidak menonton film.
    🔗
  • Benar.
  • Makan berondong jagung merupakan syarat perlu ketika saya menonton film.
    🔗
  • Pernyataan ini ekuivalen dengan pernyataan semula (meskipun kata “perlu” di sini digunakan dalam arti logis).
  • Untuk menonton film, makan berondong jagung merupakan syarat cukup bagi saya.
    🔗
  • Hanya karena saya makan berondong jagung tidak berarti saya menonton film. Saya mungkin makan berondong jagung dalam situasi lain. Jadi, pernyataan ini tidak ekuivalen dengan pernyataan semula.
  • Saya menonton film hanya jika saya makan berondong jagung.
    🔗
  • Cara lain untuk mengatakannya adalah, “Saya menonton film hanya jika saya makan berondong jagung.” Pernyataan ini ekuivalen dengan pernyataan semula.
🔗
🔗
🔗

Subbagian Memahami Tabel Kebenaran

Nilai kebenaran suatu implikasi ditentukan oleh nilai kebenaran kedua bagiannya. Definisi kita mengenai syarat kebenaran implikasi menyatakan bahwa hanya ada satu cara agar implikasi bernilai salah: ketika premis benar dan kesimpulan salah.
🔗

Contoh 1.2.3.

Perhatikan pernyataan berikut:
🔗
Jika Bob mendapat nilai 90 pada ujian akhir, maka Bob akan lulus mata kuliah tersebut.
🔗
🔗
Ini jelas merupakan implikasi: \(P\) adalah pernyataan “Bob mendapat nilai 90 pada ujian akhir,” dan \(Q\) adalah pernyataan “Bob akan lulus mata kuliah tersebut.”
🔗
Misalkan saya mengatakan pernyataan tersebut kepada Bob. Dalam keadaan apa saya pantas disebut berbohong? Bagaimana jika Bob benar-benar mendapat nilai 90 pada ujian akhir, dan ia lulus mata kuliah tersebut? Dalam hal itu, saya tidak berbohong; pernyataan saya benar. Namun, jika Bob mendapat nilai 90 pada ujian akhir tetapi tidak lulus mata kuliah tersebut, maka saya berbohong sehingga pernyataan itu salah. Kasus yang rumit adalah ini: Bagaimana jika Bob tidak mendapat nilai 90 pada ujian akhir? Mungkin ia lulus, mungkin juga tidak. Apakah saya berbohong dalam salah satu kasus itu? Menurut saya, tidak. Dalam dua kasus terakhir ini, \(P\) salah dan pernyataan \(P \imp Q\) benar. Dalam kasus pertama, \(Q\) benar, demikian pula \(P \imp Q\text{.}\) Jadi, \(P \imp Q\) benar ketika \(P\) salah atau \(Q\) benar.
🔗
🔗
Untuk memperjelas, meskipun kadang-kadang kita membaca \(P \imp Q\) sebagai “\(P\) mengimplikasikan \(Q\)”, kita tidak mensyaratkan adanya hubungan kausal antara pernyataan \(P\) dan \(Q\) (meskipun hubungan itu mungkin ada). “Jika \(x \lt y\text{,}\) maka \(x+1 \lt y+1\text{,}\)” merupakan pernyataan yang benar (atau setidaknya generalisasi universalnya benar). Kita tahu pernyataan itu benar karena memahami interaksi kedua bagiannya. Jika Anda menambahkan 1 pada dua bilangan \(x\) dan \(y\text{,}\) urutannya tidak berubah. Namun, pernyataan “jika \(1 \lt 2\text{,}\) maka Euklides mempelajari geometri” juga merupakan implikasi yang benar.
🔗

Contoh 1.2.4.

Tentukan manakah di antara pernyataan berikut yang benar dan manakah yang salah. Jelaskan secara singkat.
  1. Jika \(1=1\text{,}\) maka sebagian besar kuda memiliki 4 kaki.
    🔗
    🔗
  2. Jika \(0=1\text{,}\) maka \(1=1\text{.}\)
    🔗
    🔗
  3. Jika 8 adalah bilangan prima, maka digit ke-7624 dari \(\pi\) adalah 8.
    🔗
    🔗
  4. Jika digit ke-7624 dari \(\pi\) adalah 8, maka \(2+2 = 4\text{.}\)
    🔗
    🔗
🔗
Penyelesaian.
Keempat pernyataan tersebut benar. Ingat, satu-satunya cara agar suatu implikasi bernilai salah adalah ketika bagian jika benar dan bagian maka salah.
  1. Di sini premis dan kesimpulan keduanya benar, sehingga implikasinya benar. Tidak menjadi masalah bahwa tidak ada hubungan bermakna antara fakta matematika yang benar dan fakta tentang kuda.
    🔗
    🔗
  2. Di sini premis salah dan kesimpulan benar, sehingga implikasinya benar.
    🔗
    🔗
  3. Saya tidak tahu digit ke-7624 dari \(\pi\text{,}\) tetapi hal itu tidak penting. Karena premisnya salah, implikasinya otomatis benar.
    🔗
    🔗
  4. Terlepas dari nilai kebenaran premisnya, kesimpulannya benar sehingga implikasinya benar.
    🔗
    🔗
🔗
🔗
🔗
Ini merupakan contoh yang aneh dan sebenarnya bukan cara kita menggunakan implikasi. Namun, keanehan ini bukan sekadar akibat matematikawan bersikap keras kepala. Syarat kebenaran implikasi harus demikian agar matematika masuk akal. Mari kita lihat alasannya.
🔗

Contoh 1.2.5.

Perhatikan pernyataan “Semua persegi adalah persegi panjang,” yang juga dapat dirumuskan sebagai “Untuk semua bangun, jika bangun tersebut adalah persegi, maka bangun tersebut adalah persegi panjang.” Apakah pernyataan ini benar atau salah? Apakah kita yakin? Bagaimana dengan tiga bangun berikut?
🔗
tiga bangun: sebuah persegi, sebuah persegi panjang yang bukan persegi, dan sebuah segitiga.
Penyelesaian.
Tentu saja pernyataan itu benar. Persegi adalah bangun datar bersisi 4 dengan 4 sudut siku-siku dan 4 sisi yang sama panjang, sedangkan persegi panjang adalah bangun datar bersisi 4 dengan 4 sudut siku-siku.
🔗
Namun, ketika mempertimbangkan pernyataan universal seperti ini, yang kita maksud adalah bahwa apa pun yang kita “substitusikan” untuk variabel (“bangun tersebut” dalam kasus ini), pernyataan yang dihasilkan bernilai benar. Ketika pernyataan itu membahas suatu bangun tertentu, kita memiliki implikasi \(P \imp Q\text{.}\) Artinya, harus benar bahwa jika bangun di sebelah kiri merupakan persegi, maka bangun itu merupakan persegi panjang. Bagus. Bangun itu merupakan persegi (\(P\) benar) dan merupakan persegi panjang (\(Q\) benar), jadi implikasinya memang benar.
🔗
Apakah implikasi tersebut benar untuk persegi panjang di tengah? Bangun itu bukan persegi (\(P\) salah), dan bangun itu merupakan persegi panjang (\(Q\) benar). Namun, kita meyakini bahwa semua persegi adalah persegi panjang, sehingga pernyataan tersebut harus benar, bahkan untuk sebuah persegi panjang. Hal ini hanya mungkin jika “salah mengimplikasikan benar” bernilai benar!
🔗
Demikian pula, semua persegi adalah persegi panjang merupakan pernyataan yang benar, bahkan ketika kita melihat sebuah segitiga. \(P\) salah (segitiga bukan persegi), dan \(Q\) salah (segitiga bukan persegi panjang). Untungnya, kita mendefinisikan implikasi sebagai benar dalam kasus ini juga.
🔗
Kita telah memberikan bangun-bangun yang menggambarkan baris 1, 3, dan 4 pada tabel kebenaran implikasi (Gambar 1.2.2). Bangun apa yang menggambarkan baris 2? Bangun itu harus merupakan persegi tetapi bukan persegi panjang.... Tentu saja kita tidak dapat menemukannya, tepat karena pernyataan tersebut benar!
🔗
🔗
🔗
🔗

Pertanyaan Bacaan Pertanyaan Bacaan

1.

Kebetulan benar bahwa semua mamalia memiliki rambut. Manakah di antara pernyataan berikut yang juga benar?
🔗
  • Memiliki rambut merupakan syarat perlu untuk menjadi mamalia.
    🔗
  • Memiliki rambut merupakan syarat cukup untuk menjadi mamalia.
    🔗
  • Ini berarti bahwa begitu sesuatu memiliki rambut, sesuatu itu merupakan mamalia. Namun... tarantula!
  • Jika seekor hewan tidak memiliki rambut, maka hewan itu bukan mamalia.
    🔗
  • Ini merupakan kontraposisi dari pernyataan semula.
  • Seekor hewan merupakan mamalia hanya jika hewan itu memiliki rambut.
    🔗
  • Ini sama dengan mengatakan bahwa jika seekor hewan merupakan mamalia, maka hewan itu memiliki rambut.
🔗

2.

Berikan contoh suatu implikasi benar (dituliskan dengan kata-kata) yang memiliki konvers salah. Jelaskan mengapa implikasi Anda benar dan mengapa konversnya salah.
🔗
🔗

3.

Pertanyaan apa yang Anda miliki setelah membaca bagian ini? Tuliskan setidaknya satu pertanyaan mengenai isi bagian ini yang membuat Anda ingin tahu.
🔗
🔗
🔗

Latihan Soal Latihan

1.

Di dalam brankas saya terdapat selembar kertas yang memuat dua bangun yang digambar dengan krayon berwarna. Bangun yang satu merupakan belah ketupat dan bangun yang lain merupakan lingkaran. Setiap bangun digambar dengan satu warna. Misalkan Anda memercayai pernyataan saya, "Jika bangun belah ketupat berwarna ungu, maka bangun lingkaran berwarna biru."
🔗
Berdasarkan informasi tersebut, apa yang Anda ketahui tentang nilai kebenaran pernyataan-pernyataan berikut?
🔗
  1. Jika bangun lingkaran berwarna biru, maka bangun belah ketupat berwarna ungu.
    🔗
    🔗
  2. Bangun belah ketupat dan bangun lingkaran sama-sama berwarna biru.
    🔗
    🔗
  3. Bangun belah ketupat dan bangun lingkaran sama-sama berwarna ungu.
    🔗
    🔗
  4. Jika bangun lingkaran tidak berwarna biru, maka bangun belah ketupat tidak berwarna ungu.
    🔗
    🔗
  5. Bangun belah ketupat tidak berwarna ungu, atau bangun lingkaran berwarna biru.
    🔗
    🔗
🔗
🔗

2.

Misalkan pernyataan "Jika bangun lingkaran berwarna jingga, maka bangun persegi berwarna ungu" benar. Anggap pula bahwa konversnya salah. Klasifikasikan setiap pernyataan di bawah ini sebagai benar atau salah (jika mungkin).
🔗
  1. Bangun lingkaran berwarna jingga.
    🔗
    🔗
  2. Bangun persegi berwarna ungu.
    🔗
    🔗
  3. Bangun lingkaran berwarna jingga jika dan hanya jika bangun persegi tidak berwarna ungu.
    🔗
    🔗
  4. Bangun lingkaran berwarna jingga jika dan hanya jika bangun persegi berwarna ungu.
    🔗
    🔗
🔗
🔗

3.

Perhatikan pernyataan "Jika Anda memberi saya kacang ajaib, maka saya akan memberi Anda seekor sapi." Tentukan apakah setiap pernyataan di bawah ini merupakan konvers, kontraposisi, atau bukan keduanya.
🔗
  1. Jika Anda tidak memberi saya kacang ajaib, maka saya tidak akan memberi Anda seekor sapi.
    🔗
    🔗
  2. Jika Anda memberi saya kacang ajaib, maka saya tidak akan memberi Anda seekor sapi.
    🔗
    🔗
  3. Anda akan memberi saya kacang ajaib, dan saya tidak akan memberi Anda seekor sapi.
    🔗
    🔗
  4. Jika saya memberi Anda seekor sapi, maka Anda akan memberi saya kacang ajaib.
    🔗
    🔗
  5. Jika saya tidak memberi Anda seekor sapi, maka Anda tidak akan memberi saya kacang ajaib.
    🔗
    🔗
  6. Jika saya memberi Anda seekor sapi, maka Anda tidak akan memberi saya kacang ajaib.
    🔗
    🔗
🔗
🔗

4.

Anda menemukan sebuah makalah lama tentang teori graf yang membahas viskositas suatu graf (sejauh yang Anda ketahui, istilah tersebut mungkin sepenuhnya diciptakan oleh penulisnya). Sebuah teorema dalam makalah itu menyatakan, “jika suatu graf memenuhi kondisi (V), maka graf tersebut bersifat viskos.” Manakah di antara pernyataan berikut yang ekuivalen dengan klaim tersebut? Manakah yang ekuivalen dengan konvers klaim tersebut?
🔗
  1. Memenuhi kondisi (V) merupakan syarat perlu agar suatu graf bersifat viskos.
    🔗
    🔗
  2. Terpenuhinya kondisi (V) merupakan syarat cukup bagi suatu graf untuk bersifat viskos.
    🔗
    🔗
  3. Suatu graf bersifat viskos hanya jika graf tersebut memenuhi kondisi (V).
    🔗
    🔗
  4. Setiap graf yang bersifat viskos memenuhi kondisi (V).
    🔗
    🔗
  5. Agar suatu graf bersifat viskos, graf tersebut harus memenuhi kondisi (V).
    🔗
    🔗
🔗
🔗

5.

Manakah di antara pernyataan berikut yang ekuivalen dengan implikasi "jika Anda memenangi lotre, maka Anda akan menjadi kaya," dan manakah yang ekuivalen dengan konvers implikasi tersebut?
🔗
  1. Anda akan memenangi lotre jika Anda kaya.
    🔗
    🔗
  2. Anda akan menjadi kaya jika memenangi lotre.
    🔗
    🔗
  3. Anda akan menjadi kaya hanya jika memenangi lotre.
    🔗
    🔗
  4. Memenangi lotre merupakan syarat cukup untuk menjadi kaya.
    🔗
    🔗
  5. Anda tidak memenangi lotre, atau Anda kaya.
    🔗
    🔗
🔗
🔗
🔗

Latihan Latihan Tambahan

1.

Terjemahkan ke dalam bahasa Indonesia:
  1. \(\forall x (E(x) \imp E(x +2))\text{.}\)
    🔗
  2. \(\forall x \exists y (\sin(x) = y)\text{.}\)
    🔗
  3. \(\forall y \exists x (\sin(x) = y)\text{.}\)
    🔗
  4. \(\forall x \forall y (x^3 = y^3 \imp x = y)\text{.}\)
    🔗
🔗
🔗

2.

Perhatikan pernyataan berikut: “Jika Oscar makan makanan Tionghoa, maka ia minum susu.”
  1. Tulislah konvers pernyataan tersebut.
    🔗
    🔗
  2. Tulislah kontraposisi pernyataan tersebut.
    🔗
    🔗
  3. Mungkinkah kontraposisinya salah? Jika demikian, apa yang dapat Anda simpulkan?
    🔗
    🔗
  4. Misalkan pernyataan asal benar dan Oscar minum susu. Dapatkah Anda menyimpulkan sesuatu (tentang apakah ia makan makanan Tionghoa)? Jelaskan.
    🔗
    🔗
  5. Misalkan pernyataan asal benar dan Oscar tidak minum susu. Dapatkah Anda menyimpulkan sesuatu (tentang apakah ia makan makanan Tionghoa)? Jelaskan.
    🔗
    🔗
🔗
🔗

3.

Tulislah setiap pernyataan berikut dalam bentuk “Jika …, maka ….” Berhati-hatilah: beberapa pernyataan mungkin salah (hal itu tidak menjadi masalah untuk tujuan pertanyaan ini).
  1. Untuk menurunkan berat badan, Anda harus berolahraga.
    🔗
    🔗
  2. Untuk menurunkan berat badan, Anda hanya perlu berolahraga.
    🔗
    🔗
  3. Setiap orang Amerika bersifat patriotik.
    🔗
    🔗
  4. Anda bersifat patriotik hanya jika Anda orang Amerika.
    🔗
    🔗
  5. Himpunan bilangan rasional merupakan himpunan bagian dari bilangan real.
    🔗
    🔗
  6. Suatu bilangan prima jika bilangan tersebut tidak genap.
    🔗
    🔗
  7. Broncos akan memenangi Super Bowl, atau mereka tidak akan bermain dalam Super Bowl.
    🔗
    🔗
🔗
🔗

4.

Perhatikan implikasi berikut: “Jika Anda membersihkan kamar, maka Anda boleh menonton televisi.” Nyatakan kembali implikasi tersebut dalam sebanyak mungkin bentuk. Kemudian lakukan hal yang sama untuk konversnya.
🔗
Petunjuk.
Tentu terdapat banyak jawaban. Akan membantu jika Anda mengasumsikan bahwa pernyataan tersebut benar dan konversnya tidak benar. Pikirkan maknanya dalam dunia nyata, lalu mulailah menyatakannya dengan berbagai cara. Beberapa gagasan: gunakan bahasa “perlu dan cukup”, gunakan “hanya jika”, pertimbangkan negasi, dan gunakan ungkapan “atau jika tidak”.
🔗
🔗
🔗

5.

Ingat kembali dari kalkulus: jika suatu fungsi terdiferensialkan di titik \(c\text{,}\) maka fungsi tersebut kontinu di \(c\text{,}\) tetapi konvers pernyataan ini tidak benar (misalnya, \(f(x) = |x|\) di titik 0). Nyatakan kembali fakta ini dengan menggunakan bahasa “perlu dan cukup”.
🔗
🔗

6.

Perhatikan pernyataan berikut: “Untuk setiap bilangan asli \(n\text{,}\) jika \(n\) prima, maka \(n\) soliter.” Untuk soal ini, Anda tidak perlu mengetahui arti soliter; cukup ketahui bahwa soliter merupakan sifat yang dimiliki sebagian bilangan tetapi tidak dimiliki bilangan lainnya.
  1. Tulislah konvers dan kontraposisi pernyataan tersebut, serta tandai masing-masing. Catatan: pernyataan asal mengklaim bahwa suatu implikasi benar untuk setiap \(n\text{,}\) dan implikasi itulah yang kita ambil konvers dan kontraposisinya.
    🔗
    🔗
  2. Tulislah negasi pernyataan asal. Apa yang perlu Anda tunjukkan untuk membuktikan bahwa pernyataan tersebut salah?
    🔗
    🔗
  3. Walaupun Anda tidak mengetahui apakah 10 soliter (bahkan, tidak seorang pun mengetahuinya), apakah pernyataan “Jika 10 prima, maka 10 soliter” benar atau salah? Jelaskan.
    🔗
    🔗
  4. Ternyata 8 soliter. Apakah fakta ini memberi tahu Anda sesuatu tentang benar atau salahnya pernyataan asal, konversnya, atau kontraposisinya? Jelaskan.
    🔗
    🔗
  5. Dengan mengasumsikan bahwa pernyataan asal benar, apa yang dapat Anda katakan tentang hubungan antara himpunan \(P\) bilangan prima dan himpunan \(S\) bilangan soliter? Jelaskan.
    🔗
    🔗
🔗
🔗
🔗
🔗
SblmTopLnjt
Umpan Balik