Bagian ini memuat banyak perincian tentang fungsi, yang sebagian besar seharusnya sudah dikenal dari konteks nondiskret. Saat membaca, pertimbangkan bagaimana cara kita membicarakan fungsi di sini mungkin berbeda dari yang Anda ketahui dari bidang matematika lainnya.
Fungsi adalah aturan yang memasangkan setiap masukan dengan tepat satu keluaran. Kita menyebut keluaran tersebut sebagai
citra dari masukan. Himpunan semua masukan suatu fungsi disebut
domain. Himpunan semua keluaran yang diperbolehkan disebut
kodomain. Kita menulis
\(f:X \to Y\) untuk mendeskripsikan fungsi bernama
\(f\text{,}\) dengan domain
\(X\) dan kodomain
\(Y\text{.}\) Namun, bentuk ini belum memberi tahu kita
fungsi mana yang dinyatakan oleh
\(f\text{.}\) Untuk mendefinisikan fungsi tersebut, kita harus mendeskripsikan aturannya. Hal ini sering dilakukan dengan memberikan rumus untuk menghitung keluaran dari setiap masukan (meskipun tentu saja ini bukan satu-satunya cara untuk mendeskripsikan aturan tersebut).
Sebagai contoh, perhatikan fungsi
\(f:\N \to \N\) yang didefinisikan oleh
\(f(x) = x^2 + 3\text{.}\) Di sini domain dan kodomainnya merupakan himpunan yang sama (bilangan asli). Aturannya: ambil masukan, kalikan dengan dirinya sendiri, lalu tambahkan 3. Aturan ini berlaku karena dapat kita terapkan pada setiap bilangan asli (setiap elemen domain), dan hasilnya selalu berupa bilangan asli (elemen kodomain). Namun, perhatikan bahwa tidak setiap bilangan asli benar-benar menjadi keluaran (tidak ada cara untuk memperoleh 0, 1, 2, 5, dan seterusnya). Himpunan bilangan asli yang
menjadi keluaran disebut
daerah hasil fungsi (dalam kasus ini, daerah hasilnya adalah
\(\{3, 4, 7, 12, 19, 28, \ldots\}\text{,}\) yaitu semua bilangan asli yang nilainya 3 lebih besar daripada suatu kuadrat sempurna).
Hal utama yang menjadikan suatu aturan sebagai
fungsi adalah bahwa setiap masukan memiliki
tepat satu keluaran. Artinya, aturan tersebut harus terdefinisi dengan baik. Keluaran apa yang dipasangkan dengan masukan 7? Untuk suatu fungsi tertentu, hanya boleh ada satu jawaban.
Contoh 5.2.1.
Berikut ini semuanya merupakan contoh fungsi:
-
\(f:\Z \to \Z\) yang didefinisikan oleh
\(f(n) = 3n\text{.}\) Domain dan kodomainnya sama-sama berupa himpunan bilangan bulat. Namun, daerah hasilnya hanya berupa himpunan kelipatan bulat dari 3.
-
\(g: \{1,2,3\} \to \{a,b,c\}\) yang didefinisikan oleh
\(g(1) = c\text{,}\) \(g(2) = a\text{,}\) dan
\(g(3) = a\text{.}\) Domainnya adalah himpunan
\(\{1,2,3\}\text{,}\) kodomainnya adalah himpunan
\(\{a,b,c\}\text{,}\) dan daerah hasilnya adalah himpunan
\(\{a,c\}\text{.}\) Perhatikan bahwa
\(g(2)\) dan
\(g(3)\) merupakan elemen kodomain yang sama. Hal ini tidak menjadi masalah karena setiap elemen domain tetap hanya memiliki satu keluaran.
-
\(h:\{1,2,3,4\} \to \N\) yang didefinisikan oleh tabel berikut:
| \(x\) |
1 |
2 |
3 |
4 |
| \(h(x)\) |
3 |
6 |
9 |
12 |
Di sini domainnya adalah himpunan berhingga
\(\{1,2,3,4\}\text{,}\) sedangkan kodomainnya adalah himpunan bilangan asli,
\(\N\text{.}\) Pada awalnya, Anda mungkin mengira fungsi ini sama dengan
\(f\) yang didefinisikan di atas. Keduanya sama sekali tidak sama. Meskipun aturannya sama, domain dan kodomainnya berbeda, sehingga keduanya merupakan fungsi yang berbeda.
Contoh 5.2.2.
Hanya karena suatu aturan dapat dideskripsikan dengan cara yang sama seperti ketika menulis fungsi, bukan berarti aturan tersebut merupakan fungsi. Berikut ini BUKAN fungsi.
-
\(f:\N \to \N\) yang didefinisikan oleh
\(f(n) = \frac{n}{2}\text{.}\) Aturan ini bukan fungsi karena tidak setiap masukan memiliki keluaran. Ke mana
\(f\) memetakan 3? Aturannya menyatakan bahwa
\(f(3) = \frac{3}{2}\text{,}\) tetapi
\(\frac{3}{2}\) bukan elemen kodomain.
-
Perhatikan aturan yang memasangkan setiap orang dengan nomor teleponnya. Jika himpunan orang dipandang sebagai domain dan himpunan nomor telepon sebagai kodomain, aturan ini bukan fungsi karena sebagian orang memiliki dua nomor telepon. Menukar himpunan domain dan kodomain juga tidak menyelesaikan masalah karena beberapa nomor telepon dimiliki oleh lebih dari satu orang (dengan asumsi sebagian rumah tangga masih memiliki telepon rumah ketika Anda membaca ini).
Subbagian Mendeskripsikan Fungsi
Kita perlu membedakan fungsi dari deskripsinya. Fungsi adalah objek matematika abstrak yang dalam arti tertentu tetap ada, baik dibicarakan oleh seseorang maupun tidak. Namun, ketika kita
ingin membicarakan fungsi tersebut, kita memerlukan cara untuk mendeskripsikannya. Suatu fungsi tertentu dapat dideskripsikan dengan beberapa cara.
Beberapa buku kalkulus membahas
Aturan Empat, yaitu bahwa setiap fungsi dapat dideskripsikan dengan empat cara: secara aljabar (rumus), secara numerik (tabel), secara grafis, atau dengan kata-kata. Dalam matematika diskret, kita tetap dapat menggunakan semua cara tersebut untuk mendeskripsikan fungsi, tetapi kita juga dapat lebih spesifik karena perhatian utama kita tertuju pada fungsi yang domainnya berupa
\(\N\) atau himpunan bagian berhingga dari
\(\N\text{.}\)
Mendeskripsikan fungsi secara grafis biasanya berarti menggambar grafik fungsi tersebut, yaitu memplot titik-titik pada bidang. Kita dapat melakukannya dan mungkin memperoleh grafik seperti berikut untuk fungsi
\(f:\{1,2,3\} \to \{1,2,3\}\text{.}\)
Menghubungkan titik-titik tersebut atau mencoba menyesuaikannya dengan suatu kurva adalah tindakan yang sama sekali KELIRU. Domainnya hanya memiliki tiga elemen. Adanya kurva akan berarti bahwa domain memuat suatu interval bilangan real secara utuh.
Berikut cara lain untuk merepresentasikan fungsi yang sama:
Gambar ini menunjukkan bahwa fungsi
\(f\) memetakan 1 ke 2, 2 ke 1, dan 3 ke 3: ikuti saja panahnya.
Diagram panah yang digunakan untuk mendefinisikan fungsi di atas dapat sangat membantu dalam memvisualisasikan fungsi. Kita akan sering bekerja dengan fungsi yang domainnya
berhingga, sehingga gambar seperti ini sering lebih berguna daripada grafik fungsi tradisional.
Perhatikan bahwa untuk domain berhingga, sering kali tidak mungkin menemukan rumus aljabar yang memberikan keluaran bagi setiap masukan. Tentu saja, kita dapat menggunakan fungsi yang didefinisikan secara sepotong-sepotong, seperti
\begin{equation*}
f(x) = \begin{cases} x+1 \amp \text{ jika } x = 1 \\ x-1 \amp \text{ jika } x = 2 \\ x \amp \text{ jika } x = 3\end{cases}\text{.}
\end{equation*}
Bentuk ini mendeskripsikan fungsi yang persis sama dengan di atas, tetapi kita semua dapat sepakat bahwa cara tersebut tidak masuk akal.
Karena kita akan sangat sering menggunakan fungsi dengan domain dan kodomain kecil, mari kita gunakan suatu notasi untuk mendeskripsikannya. Kita hanya memerlukan cara yang jelas untuk menyatakan citra setiap elemen domain. Bahkan, tabel nilai dapat digunakan dengan sempurna:
| \(x\) |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
| \(f(x)\) |
3 |
3 |
2 |
4 |
1 |
Kita menyederhanakannya lebih lanjut dengan menulisnya sebagai suatu “matriks”, dengan setiap masukan tepat di atas keluarannya:
\begin{equation*}
f = \twoline{0 \amp 1 \amp 2\amp 3 \amp 4}{3 \amp 3 \amp 2 \amp 4 \amp 1}\text{.}
\end{equation*}
Perhatikan bahwa ini hanyalah notasi, bukan jenis matriks yang dijumpai dalam mata kuliah aljabar linear (misalnya, tidak masuk akal untuk melakukan operasi terhadap matriks-matriks ini atau mereduksi barisnya).
Salah satu kelebihan notasi dua baris dibandingkan diagram panah adalah bahwa dengan notasi dua baris, kita lebih sulit secara tidak sengaja mendefinisikan aturan yang bukan fungsi.
Contoh 5.2.3.
Manakah di antara diagram berikut yang merepresentasikan fungsi? Misalkan
\(X = \{1,2,3,4\}\) dan
\(Y = \{a,b,c,d\}\text{.}\)
Penyelesaian.
\(f\) merupakan fungsi. Demikian pula \(g\text{.}\) Tidak menjadi masalah jika suatu elemen kodomain bukan citra dari masukan mana pun, dan tidak menjadi masalah jika \(a\) dari kodomain merupakan citra dari 2 dan 3 dari domain. Dengan notasi dua baris, kita dapat menuliskan fungsi-fungsi ini sebagai
\begin{equation*}
f= \begin{pmatrix} 1 \amp 2 \amp 3 \amp 4 \\ d \amp a \amp c \amp b \end{pmatrix} \qquad g = \begin{pmatrix} 1 \amp 2 \amp 3 \amp 4 \\ d \amp a \amp a \amp b \end{pmatrix}
\end{equation*}
.
Namun,
\(h\) BUKAN fungsi. Bahkan, aturan ini gagal karena dua alasan. Pertama, elemen 1 dari domain tidak dipetakan ke elemen mana pun dari kodomain. Kedua, elemen 2 dari domain dipetakan ke lebih dari satu elemen kodomain (
\(a\) dan
\(c\)). Perhatikan bahwa salah satu saja dari kedua masalah ini sudah cukup untuk membuat suatu aturan bukan fungsi. Secara umum, kedua pemetaan berikut bukan fungsi:
Mungkin juga bermanfaat untuk memikirkan cara menulis notasi dua baris bagi \(h\text{.}\) Kita akan memperoleh bentuk seperti berikut:
\begin{equation*}
h=\twoline{1 \amp 2 \amp 3 \amp 4}{\amp a,c? \amp d \amp b}\text{.}
\end{equation*}
Tidak ada apa pun di bawah 1 (buruk), dan kita perlu menempatkan lebih dari satu hal di bawah 2 (sangat buruk). Untuk aturan yang benar-benar merupakan fungsi, notasi dua baris selalu dapat “digunakan.”
Kita juga akan mempelajari fungsi dengan domain
\(\N\text{.}\) Dalam hal ini notasi dua baris tidak berguna, tetapi sering kali fungsi dapat dideskripsikan secara aljabar. Bahkan tabel agak kurang praktis karena tidak mendeskripsikan fungsi secara lengkap. Sebagai contoh, perhatikan fungsi
\(f:\N \to \N\) yang diberikan oleh tabel berikut.
| \(x\) |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
\(\ldots\) |
| \(f(x)\) |
0 |
1 |
4 |
9 |
16 |
25 |
\(\ldots\) |
Apakah nilai-nilai yang saya berikan sudah cukup bagi Anda untuk menentukan
\(f(6)\text{?}\) Anda mungkin menduga bahwa
\(f(6) = 36\text{,}\) tetapi tidak ada cara untuk
mengetahuinya dengan pasti. Mungkin saja saya sedang bersikap usil dan sebenarnya menetapkan
\(f(6) = 42\text{.}\) Bahkan, untuk setiap bilangan asli
\(n\text{,}\) terdapat fungsi yang sesuai dengan tabel di atas, tetapi memenuhi
\(f(6) = n\text{.}\)
Baiklah, anggaplah saya memang menetapkan
\(f(6) = 36\) dan aturan yang Anda duga mengatur fungsi tersebut memang benar-benar aturannya. Jika demikian, saya harus menyatakan aturan itu.
\(f(n) = n^2\text{.}\) Sekarang tidak ada lagi kemungkinan salah tafsir.
Memberikan rumus eksplisit yang menghitung citra setiap elemen domain merupakan cara yang sangat baik untuk mendeskripsikan fungsi. Kita akan menyebut aturan eksplisit seperti ini sebagai
rumus tertutup bagi fungsi tersebut.
Ada cara lain yang sangat berguna untuk mendeskripsikan fungsi berdomain
\(\N\text{,}\) yang secara khusus memanfaatkan struktur bilangan asli. Kita dapat mendefinisikan fungsi secara
rekursif!
Contoh 5.2.4.
Perhatikan fungsi
\(f:\N \to \N\) yang diberikan oleh
\(f(0) = 0\) dan
\(f(n+1) = f(n) + 2n+1\text{.}\) Tentukan
\(f(6)\text{.}\)
Penyelesaian.
Aturan tersebut menyatakan bahwa
\(f(6) = f(5) + 11\) (kita menggunakan
\(6 = n+1\text{,}\) sehingga
\(n = 5\)). Namun, kita belum mengetahui nilai
\(f(5)\text{.}\) Nah, kita tahu bahwa
\(f(5) = f(4) + 9\text{.}\) Jadi, kita perlu menghitung
\(f(4)\text{,}\) yang mengharuskan kita mengetahui
\(f(3)\text{,}\) yang selanjutnya mengharuskan kita mengetahui
\(f(2)\text{,}\)… apakah proses ini akan berakhir?
Ya! Proses ini selalu berakhir karena domain kita adalah \(\N\text{,}\) yang memiliki elemen terkecil. Selain itu, nilai \(f(0)\) diberikan secara eksplisit, sehingga semuanya dapat dihitung. Kita dapat memilih untuk menghitung naik sampai \(f(6)\text{,}\) alih-alih menghitung turun dari \(f(6)\text{:}\)
\begin{align*}
f(1) = \amp f(0) + 1 = \amp 0 + 1 = 1\\
f(2) = \amp f(1) + 3 = \amp 1 + 3 = 4\\
f(3) = \amp f(2) + 5 = \amp 4 + 5 = 9\\
f(4) = \amp f(3) + 7 = \amp 9 + 7 = 16\\
f(5) = \amp f(4) + 9 = \amp 16 + 9 = 25\\
f(6) = \amp f(5) + 11 = \amp 25 + 11 = 36
\end{align*}
Tampaknya fungsi yang didefinisikan secara rekursif ini sama dengan fungsi yang didefinisikan secara eksplisit oleh
\(f(n) = n^2\text{.}\) Benarkah demikian? Nanti kita akan membuktikannya.
Fungsi yang didefinisikan secara rekursif sering lebih mudah dibentuk dari masalah “dunia nyata” karena fungsi tersebut mendeskripsikan bagaimana nilai-nilainya berubah. Namun, kemudahan ini ada harganya. Citra suatu masukan tunggal lebih sulit dihitung karena Anda perlu mengetahui citra elemen-elemen lain (yang mendahuluinya) dalam domain.
Fungsi yang Didefinisikan secara Rekursif.
Untuk fungsi
\(f:\N \to \N\text{,}\) suatu
definisi rekursif terdiri atas
syarat awal beserta
relasi rekurensi. Syarat awal adalah nilai
\(f(0)\) yang diberikan secara eksplisit. Relasi rekurensi adalah rumus untuk
\(f(n+1)\) dalam hal
\(f(n)\) (dan mungkin juga
\(n\) itu sendiri).
Contoh 5.2.5.
Berikan definisi rekursif bagi fungsi-fungsi yang dideskripsikan berikut.
-
\(f:\N \to \N\) memberikan banyaknya siput dalam terarium Anda
\(n\) tahun setelah terarium tersebut dibuat, dengan asumsi Anda memulai dengan 3 siput dan banyaknya siput berlipat dua setiap tahun.
-
\(g:\N \to \N\) memberikan banyaknya push-up yang Anda lakukan
\(n\) hari setelah memulai tantangan push-up, dengan asumsi Anda mampu melakukan 7 push-up pada hari ke-0 dan setiap hari mampu melakukan 2 push-up lebih banyak daripada hari sebelumnya.
-
\(h:\N \to \N\) yang didefinisikan oleh
\(h(n) = n!\text{.}\) Ingat bahwa
\(n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cdots \cdot (n-1)\cdot n\) adalah hasil kali semua bilangan dari
\(1\) sampai
\(n\text{.}\) Kita juga mendefinisikan
\(0! = 1\text{.}\)
Penyelesaian.
-
Syarat awalnya adalah \(f(0) = 3\text{.}\) Untuk memperoleh \(f(n+1)\text{,}\) kita melipatduakan banyaknya siput dalam terarium pada tahun sebelumnya, yang diberikan oleh \(f(n)\text{.}\) Jadi, \(f(n+1) = 2f(n)\text{.}\) Definisi rekursif lengkap memuat kedua hal tersebut dan ditulis sebagai
\begin{equation*}
f(0) = 3;~ f(n+1) = 2f(n)\text{.}
\end{equation*}
-
Diketahui bahwa pada hari ke-0 Anda mampu melakukan 7 push-up, sehingga \(g(0) = 7\text{.}\) Banyaknya push-up yang mampu Anda lakukan pada hari ke-\(n+1\) adalah 2 lebih banyak daripada pada hari ke-\(n\text{,}\) yang diberikan oleh \(g(n)\text{.}\) Jadi,
\begin{equation*}
g(0) = 7;~ g(n+1) = g(n) + 2\text{.}
\end{equation*}
-
Di sini \(h(0) = 1\text{.}\) Untuk memperoleh relasi rekurensinya, pikirkan cara mendapatkan \(h(n+1) = (n+1)!\) dari \(h(n) = n!\text{.}\) Jika keduanya dituliskan sebagai hasil kali, terlihat bahwa \((n+1)!\) sama seperti \(n!\text{,}\) hanya saja hasil kalinya memiliki satu faktor tambahan, yaitu \(n+1\text{.}\) Jadi, kita memperoleh
\begin{equation*}
h(0) = 1;~ h(n+1) = (n+1)\cdot h(n)\text{.}
\end{equation*}
Subbagian Surjeksi, Injeksi, dan Bijeksi
Sekarang kita beralih untuk menyelidiki sifat-sifat khusus yang mungkin dimiliki atau tidak dimiliki suatu fungsi.
Dalam contoh-contoh di atas, Anda mungkin memperhatikan bahwa kadang-kadang terdapat elemen kodomain yang tidak termasuk dalam daerah hasil. Ketika hal semacam ini
tidak terjadi (yaitu ketika semua elemen kodomain termasuk dalam daerah hasil), kita mengatakan bahwa fungsi tersebut merupakan fungsi
pada atau bahwa fungsi tersebut memetakan domain
pada kodomain. Istilah ini seharusnya masuk akal: fungsi tersebut menempatkan seluruh domain pada kodomain. Istilah matematis bagi fungsi pada adalah
surjeksi, dan fungsi pada disebut fungsi
surjektif.
Contoh 5.2.6.
Fungsi manakah yang surjektif (yaitu, pada)?
-
\(f:\Z \to \Z\) yang didefinisikan oleh \(f(n) = 3n\text{.}\)
-
\(g: \{1,2,3\} \to \{a,b,c\}\) yang didefinisikan oleh \(g = \begin{pmatrix}1 \amp 2 \amp 3 \\ c \amp a \amp a \end{pmatrix}\text{.}\)
-
\(h:\{1,2,3\} \to \{1,2,3\}\) yang didefinisikan sebagai berikut:
Penyelesaian.
-
\(f\) tidak surjektif. Terdapat elemen kodomain yang tidak termasuk dalam daerah hasil. Sebagai contoh, tidak ada \(n \in \Z\) yang dipetakan ke bilangan 1 (menurut aturan tersebut, \(\frac{1}{3}\) akan dipetakan ke 1, tetapi \(\frac{1}{3}\) tidak termasuk dalam domain). Bahkan, daerah hasil fungsi tersebut adalah \(3\Z\) (kelipatan bulat dari 3), yang tidak sama dengan \(\Z\text{.}\)
-
\(g\) tidak surjektif. Tidak ada \(x \in \{1,2,3\}\) (domain) yang memenuhi \(g(x) = b\text{,}\) sehingga \(b\text{,}\) yang termasuk dalam kodomain, tidak termasuk dalam daerah hasil. Perhatikan bahwa terdapat elemen kodomain yang “hilang” dari baris bawah matriks.
-
\(h\) surjektif. Setiap elemen kodomain juga termasuk dalam daerah hasil. Tidak ada elemen kodomain yang terlewat.
Agar menjadi fungsi, suatu aturan tidak boleh memasangkan satu elemen domain dengan dua atau lebih elemen kodomain yang berbeda. Namun, kita telah melihat bahwa kebalikannya
diperbolehkan: suatu fungsi dapat memasangkan elemen kodomain yang sama dengan dua atau lebih elemen domain yang berbeda. Ketika hal ini
tidak terjadi (yaitu ketika setiap elemen kodomain merupakan citra dari paling banyak satu elemen domain), kita mengatakan bahwa fungsi tersebut
satu-satu. Sekali lagi, istilah ini masuk akal: setiap elemen kodomain merupakan citra dari paling banyak satu elemen domain. Dengan kata lain, paling banyak satu masukan untuk setiap keluaran. Istilah matematis bagi fungsi satu-satu adalah
injeksi. Fungsi satu-satu disebut fungsi
injektif.
Contoh 5.2.7.
Fungsi manakah yang injektif (yaitu, satu-satu)?
-
\(f:\Z \to \Z\) yang didefinisikan oleh \(f(n) = 3n\text{.}\)
-
\(g: \{1,2,3\} \to \{a,b,c\}\) yang didefinisikan oleh \(g = \begin{pmatrix}1 \amp 2 \amp 3 \\ c \amp a \amp a \end{pmatrix}\text{.}\)
-
\(h:\{1,2,3\} \to \{1,2,3\}\) yang didefinisikan sebagai berikut:
Penyelesaian.
-
\(f\) injektif. Setiap elemen kodomain merupakan citra dari paling banyak satu elemen domain. Jika \(x\) merupakan kelipatan tiga, hanya \(x/3\) yang dipetakan ke \(x\text{.}\) Jika \(x\) bukan kelipatan 3, tidak ada masukan yang bersesuaian dengan keluaran \(x\text{.}\)
-
\(g\) tidak injektif. Kedua masukan \(2\) dan \(3\) dipasangkan dengan keluaran \(a\text{.}\) Perhatikan bahwa terdapat elemen kodomain yang muncul lebih dari sekali pada baris bawah matriks.
-
\(h\) injektif. Setiap keluaran hanya muncul satu kali.
Berhati-hatilah: “surjektif” dan “injektif” BUKAN sifat yang berlawanan. Dari kedua contoh di atas, Anda dapat melihat bahwa ada fungsi yang surjektif tetapi tidak injektif, injektif tetapi tidak surjektif, keduanya sekaligus, atau bukan keduanya. Jika suatu fungsi sekaligus satu-satu dan pada (merupakan injeksi dan surjeksi), kita mengatakan bahwa fungsi tersebut merupakan
bijeksi, atau bahwa fungsi tersebut merupakan fungsi
bijektif.
Untuk menggambarkan perbedaan antara kedua sifat ini, perhatikan definisi yang lebih formal bagi masing-masing sifat secara berdampingan.
Injektif vs. Surjektif.
Suatu fungsi bersifat
injektif jika setiap elemen kodomain merupakan citra dari
paling banyak satu elemen domain.
Suatu fungsi bersifat
surjektif jika setiap elemen kodomain merupakan citra dari
paling sedikit satu elemen domain.
Perhatikan bahwa kedua sifat tersebut ditentukan oleh apa yang terjadi pada elemen-elemen kodomain: elemen tersebut dapat muncul berulang kali sebagai citra, atau dapat “terlewat” (tidak menjadi citra). Fungsi injektif tidak memiliki pengulangan, tetapi mungkin melewatkan elemen atau mungkin juga tidak. Fungsi surjektif tidak melewatkan elemen, tetapi mungkin memiliki pengulangan atau mungkin juga tidak. Fungsi bijektif adalah fungsi yang tidak memiliki pengulangan dan tidak melewatkan elemen.
Subbagian Citra dan Citra Invers
Ketika membahas fungsi, kita memiliki notasi untuk membicarakan suatu elemen domain (misalkan
\(x\)) dan elemen kodomain yang bersesuaian dengannya (kita menulis
\(f(x)\text{,}\) yang
merupakan citra dari
\(x\)). Kadang-kadang kita ingin membicarakan semua elemen yang merupakan citra dari suatu himpunan bagian domain. Akan berguna pula jika kita dapat memulai dari suatu elemen kodomain (misalkan
\(y\)) dan membicarakan elemen mana saja dari domain (jika ada) yang memiliki elemen tersebut sebagai citra. Kita dapat menulis “semua
\(x\) dalam domain yang memenuhi
\(f(x) = y\text{,}\)” tetapi ungkapan ini cukup panjang. Berikut suatu notasi yang memudahkan kita.
Untuk menangani situasi pertama, kita memerlukan cara untuk mendeskripsikan
himpunan citra dari elemen-elemen dalam suatu himpunan bagian domain. Misalkan
\(f:X \to Y\) adalah fungsi dan
\(A \subseteq X\) merupakan suatu himpunan bagian domain (mungkin seluruh domain). Kita akan menggunakan notasi
\(f(A)\) untuk menyatakan
citra \(A\) oleh \(f\), yaitu himpunan elemen dalam
\(Y\) yang merupakan citra dari elemen-elemen dalam
\(A\text{.}\) Dengan kata lain,
\(f(A) = \{f(a) \in Y \st a \in A\}\text{.}\)
Kita juga dapat bergerak ke arah sebaliknya. Kita dapat menanyakan elemen-elemen domain mana yang dipetakan ke suatu himpunan tertentu dalam kodomain. Misalkan
\(f:X \to Y\) adalah fungsi dan
\(B \subseteq Y\) merupakan himpunan bagian kodomain. Kita akan menulis
\(f\inv(B)\) untuk
citra invers \(B\) oleh \(f\), yaitu himpunan elemen dalam
\(X\) yang citranya merupakan elemen dalam
\(B\text{.}\) Dengan kata lain,
\(f\inv(B) = \{x \in X \st f(x) \in B\}\) .
Kita sering tertarik pada elemen-elemen yang citranya merupakan suatu elemen tertentu
\(y\) dalam kodomain. Notasi di atas dapat digunakan:
\(f\inv(\{y\})\) adalah himpunan semua elemen domain yang dipetakan oleh
\(f\) ke
\(y\text{.}\) Masuk akal untuk memandangnya sebagai himpunan: mungkin tidak ada apa pun yang dipetakan ke
\(y\) (jika
\(y\) tidak termasuk dalam daerah hasil), sehingga
\(f\inv(\{y\}) = \emptyset\text{.}\) Atau,
\(f\) mungkin memetakan beberapa elemen ke
\(y\) (jika
\(f\) tidak injektif). Untuk memudahkan penulisan, biasanya kita menghilangkan kurung kurawal himpunan di sekitar
\(y\) dan menulis
\(f\inv(y)\) untuk himpunan tersebut.
PERINGATAN:
\(f\inv(y)\) bukan fungsi invers! Fungsi invers hanya ada bagi bijeksi, tetapi
\(f\inv(y)\) terdefinisi bagi sembarang fungsi
\(f\text{.}\) Intinya:
\(f\inv(y)\) merupakan
himpunan, bukan
elemen domain. Bentuk ini hanyalah notasi ringkas untuk
\(f\inv(\{y\})\text{.}\) Untuk memperjelas perbedaan tersebut, kita menyebut
\(f\inv(y)\) sebagai
citra invers lengkap \(y\) oleh \(f\). Bentuk itu bukan citra
\(y\) oleh
\(f\inv\) (karena fungsi
\(f\inv\) mungkin tidak ada).
Contoh 5.2.8.
Perhatikan fungsi \(f:\{1,2,3,4,5,6\} \to \{a,b,c,d\}\) yang diberikan oleh
\begin{equation*}
f = \begin{pmatrix}1 \amp 2 \amp 3 \amp 4 \amp 5 \amp 6 \\ a \amp a \amp b \amp b \amp b \amp c\end{pmatrix}\text{.}
\end{equation*}
Tentukan \(f(\{1,2,3\})\text{,}\) \(f\inv(\{a,b\})\text{,}\) dan \(f\inv(d)\text{.}\)
Penyelesaian.
\(f(\{1,2,3\}) = \{a,b\}\) karena
\(a\) dan
\(b\) merupakan elemen kodomain yang dituju oleh
\(f\) ketika memetakan
\(1\text{,}\) \(2\text{,}\) dan
\(3\text{.}\)
\(f\inv(\{a,b\}) = \{1,2,3,4,5\}\) karena tepat elemen-elemen inilah yang dipetakan oleh
\(f\) ke
\(a\) dan
\(b\text{.}\)
\(f\inv(d) = \emptyset\) karena
\(d\) tidak termasuk dalam daerah hasil
\(f\text{.}\)
Contoh 5.2.9.
Perhatikan fungsi
\(g:\Z \to \Z\) yang didefinisikan oleh
\(g(n) = n^2 + 1\text{.}\) Tentukan
\(g(1)\) dan
\(g(\{1\})\text{.}\) Kemudian tentukan
\(g\inv(1)\text{,}\) \(g\inv(2)\text{,}\) dan
\(g\inv(3)\text{.}\)
Penyelesaian.
Perhatikan bahwa
\(g(1) \ne g(\{1\})\text{.}\) Yang pertama merupakan elemen:
\(g(1) = 2\text{.}\) Yang kedua merupakan himpunan:
\(g(\{1\}) = \{2\}\) .
Untuk menentukan
\(g\inv(1)\text{,}\) kita perlu mencari semua bilangan bulat
\(n\) yang memenuhi
\(n^2 + 1 = 1\text{.}\) Jelas bahwa hanya 0 yang memenuhi, sehingga
\(g\inv(1) = \{0\}\) (perhatikan bahwa meskipun hanya terdapat satu elemen, kita tetap menuliskannya sebagai himpunan yang memuat satu elemen).
Untuk menentukan
\(g\inv(2)\text{,}\) kita perlu mencari semua
\(n\) yang memenuhi
\(n^2 + 1 = 2\text{.}\) Kita memperoleh
\(g\inv(2) = \{-1,1\}\text{.}\)
Terakhir, jika
\(n^2 + 1 = 3\text{,}\) kita mencari
\(n\) yang memenuhi
\(n^2 = 2\text{.}\) Tidak ada bilangan bulat semacam itu, sehingga
\(g\inv(3) = \emptyset\text{.}\)
Karena
\(f\inv(y)\) merupakan himpunan, masuk akal untuk menanyakan
\(\card{f\inv(y)}\text{,}\) yaitu banyaknya elemen domain yang dipetakan ke
\(y\text{.}\)
Contoh 5.2.10.
Tentukan fungsi
\(f:\{1,2,3,4,5\} \to \N\) yang memenuhi
\(\card{f\inv(7)} = 5\text{.}\)
Penyelesaian.
Hanya ada satu fungsi semacam itu. Kita memerlukan lima elemen domain yang dipetakan ke bilangan \(7 \in \N\text{.}\) Karena domain hanya memiliki lima elemen, semuanya harus dipetakan ke 7. Jadi,
\begin{equation*}
f = \begin{pmatrix}1 \amp 2 \amp 3 \amp 4 \amp 5 \\ 7 \amp 7 \amp 7 \amp 7 \amp 7\end{pmatrix}
\end{equation*}
.
Definisi Fungsi.
Berikut rangkuman semua konsep dan definisi utama yang kita gunakan ketika bekerja dengan fungsi.
-
Fungsi adalah aturan yang memasangkan setiap elemen suatu himpunan, yang disebut
domain, dengan tepat satu elemen himpunan kedua, yang disebut
kodomain.
-
Notasi:
\(f:X \to Y\) merupakan cara kita menyatakan bahwa fungsi tersebut bernama
\(f\text{,}\) domainnya adalah himpunan
\(X\text{,}\) dan kodomainnya adalah himpunan
\(Y\text{.}\)
-
Untuk menetapkan aturan bagi fungsi dengan domain kecil, gunakan notasi dua baris dengan menulis matriks yang menempatkan setiap keluaran tepat di bawah masukan yang bersesuaian, seperti berikut:
\begin{equation*}
f = \begin{pmatrix}1 \amp 2 \amp 3 \amp 4 \\ 2 \amp 1 \amp 3 \amp 1 \end{pmatrix}
\end{equation*}
.
-
\(f(x) = y\) berarti bahwa elemen
\(x\) dalam domain (masukan) dipasangkan dengan elemen
\(y\) dalam kodomain. Kita mengatakan bahwa
\(y\) merupakan keluaran. Sebagai alternatif, kita menyebut
\(y\) sebagai
citra \(x\) oleh \(f\) .
-
Daerah hasil merupakan himpunan bagian dari kodomain. Daerah hasil adalah himpunan semua elemen yang menjadi citra dari paling sedikit satu elemen domain. Dengan kata lain, daerah hasil adalah himpunan semua keluaran.
-
Suatu fungsi bersifat
injektif (merupakan
injeksi atau fungsi
satu-satu) jika setiap elemen kodomain merupakan citra dari
paling banyak satu elemen domain.
-
Suatu fungsi bersifat
surjektif (merupakan
surjeksi atau fungsi
pada) jika setiap elemen kodomain merupakan citra dari
paling sedikit satu elemen domain.
-
Bijeksi adalah fungsi yang sekaligus merupakan injeksi dan surjeksi. Dengan kata lain, setiap elemen kodomain merupakan citra dari
tepat satu elemen domain.
-
Citra suatu elemen
\(x\) dalam domain adalah elemen
\(y\) dalam kodomain yang menjadi tujuan pemetaan
\(x\text{.}\) Dengan kata lain, citra
\(x\) oleh
\(f\) adalah
\(f(x)\text{.}\)
-
Citra invers lengkap suatu elemen
\(y\) dalam kodomain, yang ditulis
\(f\inv(y)\text{,}\) adalah
himpunan semua elemen domain yang dipetakan oleh fungsi ke
\(y\text{.}\)
-
Citra suatu himpunan bagian
\(A\) dari domain adalah himpunan
\(f(A) = \{f(a) \in Y \st a \in A\}\text{.}\)
-
Citra invers suatu himpunan bagian
\(B\) dari kodomain adalah himpunan
\(f\inv(B) = \{x \in X \st f(x) \in B\}\text{.}\)
Pertanyaan Bacaan Pertanyaan Bacaan
1.
Jelaskan dengan kata-kata Anda sendiri hubungan antara kodomain suatu fungsi dan daerah hasil fungsi tersebut.
2.
Jika suatu fungsi memiliki domain dan kodomain yang sama besar, apakah fungsi tersebut harus
surjektif? Apakah harus
injektif? Mungkinkah hanya salah satu sifat tersebut yang terpenuhi? Jelaskan secara singkat pemikiran Anda.
3.
Pertanyaan apa yang Anda miliki? Tuliskan sedikitnya satu pertanyaan tentang isi bagian ini yang mungkin membuat Anda atau teman sekelas penasaran setelah membacanya.
