Perhatikan bahwa bagian ini memuat banyak perincian tentang hal-hal yang dapat kita nyatakan mengenai himpunan. Jika Anda belum pernah mempelajari gabungan atau diagram Venn, bagian ini perlu dibaca dengan saksama.
Objek paling mendasar yang akan kita gunakan dalam pembelajaran ini (dan sebenarnya dalam seluruh matematika) adalah
himpunan. Sebagian besar pembahasan berikut mungkin merupakan tinjauan ulang, tetapi sangat penting bagi Anda untuk menguasai bahasa teori himpunan. Sebagian besar notasi yang kita gunakan di bawah ini bersifat baku, meskipun beberapa di antaranya mungkin sedikit berbeda dari yang pernah Anda jumpai.
Bagi kita, sebuah
himpunan hanyalah kumpulan objek yang tidak terurut. Perhatikan dua contoh berikut. Kita dapat meninjau himpunan semua aktor yang pernah memerankan
The Doctor dalam
Doctor Who, atau himpunan bilangan asli dari 1 sampai dengan 10. Dalam kasus pertama, Tom Baker merupakan elemen (atau anggota) himpunan tersebut, sedangkan Idris Elba, di antara banyak orang lainnya, bukan merupakan elemennya. Selain itu, kedua contoh tersebut merupakan himpunan yang berbeda. Dua himpunan sama jika dan hanya jika keduanya memuat elemen-elemen yang persis sama. Sebagai contoh, himpunan yang memuat semua huruf vokal dalam Declaration of Independence sama persis dengan himpunan huruf vokal dalam kata “questionably” (yaitu, semua huruf vokal); urutan dan pengulangan tidak kita perhatikan, yang penting hanyalah apakah suatu elemen terdapat dalam himpunan tersebut.
Subbagian Notasi
Kita memerlukan beberapa notasi agar lebih mudah membicarakan himpunan. Perhatikan,
\begin{equation*}
A = \{1, 2, 3\}\text{.}
\end{equation*}
Ini dibaca, “\(A\) adalah himpunan yang memuat elemen 1, 2, dan 3.” Kita menggunakan kurung kurawal “\(\{,~~ \}\)” untuk mengapit elemen-elemen suatu himpunan. Berikut notasi lainnya:
\begin{equation*}
a \in \{a, b, c\}\text{.}
\end{equation*}
Simbol “\(\in\)” dibaca “terdapat dalam” atau “merupakan elemen dari.” Jadi, pernyataan di atas berarti bahwa \(a\) merupakan elemen himpunan yang memuat huruf \(a\text{,}\) \(b\text{,}\) dan \(c\text{.}\) Perhatikan bahwa pernyataan ini benar. Pernyataan bahwa \(d\) tidak terdapat dalam himpunan tersebut juga benar:
\begin{equation*}
d \not\in \{a, b, c\}\text{.}
\end{equation*}
Perlu diperhatikan: Kita menulis “\(x \in A\)” ketika ingin menyatakan bahwa salah satu elemen himpunan \(A\) adalah \(x\text{.}\) Sebagai contoh, perhatikan himpunan
\begin{equation*}
A = \{1, b, \{x, y, z\}, \emptyset\}\text{.}
\end{equation*}
Himpunan ini memang tidak biasa. Himpunan tersebut memuat empat elemen: bilangan 1, huruf b, himpunan
\(\{x,y,z\}\text{,}\) dan himpunan kosong
\(\emptyset = \{ \}\text{,}\) yaitu himpunan yang tidak memuat elemen apa pun. Apakah
\(x\) terdapat dalam
\(A\text{?}\) Jawabannya tidak. Tidak satu pun dari keempat elemen
\(A\) merupakan huruf
\(x\text{,}\) sehingga harus kita simpulkan bahwa
\(x \notin A\text{.}\) Demikian pula, perhatikan himpunan
\(B = \{1,b\}\text{.}\) Meskipun elemen-elemen
\(B\) merupakan elemen-elemen
\(A\text{,}\) kita tidak dapat mengatakan bahwa
himpunan \(B\) merupakan salah satu elemen
\(A\text{.}\) Oleh karena itu,
\(B \notin A\text{.}\) (Sebentar lagi kita akan melihat bahwa
\(B\) merupakan
himpunan bagian dari
\(A\text{,}\) tetapi hal ini berbeda dengan menjadi
elemen dari
\(A\text{.}\))
Kita telah mendeskripsikan himpunan-himpunan di atas dengan mencantumkan elemen-elemennya. Kadang-kadang hal ini sulit dilakukan, terutama ketika suatu himpunan memiliki sangat banyak elemen (mungkin tak berhingga banyaknya). Sebagai contoh, jika kita ingin \(A\) menjadi himpunan semua bilangan asli genap, kita dapat menulis
\begin{equation*}
A = \{0, 2, 4, 6, \ldots\}\text{,}
\end{equation*}
tetapi cara ini sedikit kurang tepat. Cara yang lebih baik adalah
\begin{equation*}
A = \{x \in \N \st \text{ terdapat }n \in \N \text{ sedemikian sehingga } x = 2 n\}\text{.}
\end{equation*}
Mari kita telaah dengan saksama. Pertama, ada beberapa simbol baru yang perlu dipahami: “\(\N\)” merupakan simbol yang biasanya digunakan untuk menyatakan bilangan asli, yang kita definisikan sebagai himpunan \(\{0, 1, 2, 3, \ldots\}\text{.}\) Selanjutnya, tanda titik dua, “:”, dibaca sedemikian sehingga; tanda ini memisahkan elemen-elemen yang berada dalam himpunan dari syarat yang harus dipenuhi oleh elemen-elemen tersebut. Dengan menggabungkan semua keterangan tersebut, kita membaca himpunan itu sebagai, “himpunan semua \(x\) dalam bilangan asli, sedemikian sehingga terdapat suatu \(n\) dalam bilangan asli yang membuat \(x\) sama dengan dua kali \(n\text{.}\)” Dengan kata lain, himpunan semua bilangan asli genap. Berikut cara lain untuk menuliskan himpunan yang sama.
\begin{equation*}
A = \{x \in \N \st x\text{ genap} \}\text{.}
\end{equation*}
Catatan: Kadang-kadang matematikawan menggunakan
\(|\) atau
\(\backepsilon\) sebagai simbol “sedemikian sehingga” sebagai pengganti tanda titik dua. Selain itu, pendapat matematikawan cukup berimbang mengenai apakah
\(0\) merupakan elemen bilangan asli, jadi berhati-hatilah mengenai hal ini.
Notasi ini biasanya disebut
notasi pembentuk himpunan. Notasi tersebut memberi tahu kita cara
membentuk suatu himpunan dengan menyatakan secara tepat syarat yang harus dipenuhi elemen agar termasuk di dalamnya (syarat itu merupakan pernyataan logis setelah simbol “
\(\st\)”). Membaca dan memahami himpunan yang ditulis dengan cara ini memerlukan latihan. Berikut beberapa contoh lainnya:
Contoh 5.1.1.
Deskripsikan setiap himpunan berikut dengan kata-kata dan dengan mencantumkan cukup banyak elemen untuk melihat polanya.
-
\(\{x \st x + 3 \in \N\}\text{.}\)
-
\(\{x \in \N \st x + 3 \in \N\}\text{.}\)
-
\(\{x \st x \in \N \text{ atau } -x \in \N\}\text{.}\)
-
\(\{x \st x \in \N \text{ dan } -x \in \N\}\text{.}\)
Penyelesaian.
-
Ini merupakan himpunan semua bilangan yang nilainya 3 kurang dari suatu bilangan asli (yaitu, jika ditambah 3, hasilnya merupakan bilangan asli). Himpunan tersebut juga dapat ditulis sebagai
\(\{-3, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\}\) (perhatikan bahwa 0 merupakan bilangan asli, sehingga
\(-3\) berada dalam himpunan ini karena
\(-3 + 3 = 0\)).
-
Ini merupakan himpunan semua bilangan asli yang nilainya 3 kurang dari suatu bilangan asli. Jadi, di sini kita hanya memperoleh
\(\{0, 1, 2, 3, \ldots\}\text{.}\)
-
Ini merupakan himpunan semua bilangan bulat (bilangan bulat positif, bilangan bulat negatif, dan nol, ditulis
\(\Z\)). Dengan kata lain,
\(\{\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\}\text{.}\)
-
Di sini kita menginginkan semua bilangan
\(x\) sedemikian sehingga
\(x\) dan
\(-x\) merupakan bilangan asli. Hanya ada satu bilangan seperti itu: 0. Jadi, kita memperoleh himpunan
\(\{0\}\text{.}\)
Ada pula variasi halus dalam notasi pembentuk himpunan. Meskipun syarat umumnya diberikan setelah “sedemikian sehingga”, terkadang syarat tersebut tersirat dalam bagian pertama. Berikut contohnya.
Contoh 5.1.2.
Cantumkan beberapa elemen dari himpunan-himpunan di bawah ini dan deskripsikan dengan kata-kata. Himpunan \(\Z\) merupakan himpunan bilangan bulat, yaitu bilangan bulat positif, bilangan bulat negatif, dan nol.
-
\(\displaystyle A = \{x \in \Z \st x^2 \in \N\}\)
-
\(\displaystyle B = \{x^2 \st x \in \N\}\)
Penyelesaian.
-
Himpunan bilangan bulat yang memenuhi syarat bahwa kuadratnya merupakan bilangan asli. Setiap bilangan bulat, ketika dikuadratkan, menghasilkan bilangan bulat taknegatif, sehingga merupakan bilangan asli. Jadi,
\(A = \Z = \{\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\}\text{.}\)
-
Di sini kita mencari himpunan semua
\(x^2\) dengan
\(x\) suatu bilangan asli. Jadi, himpunan ini tidak lain adalah himpunan kuadrat sempurna.
\(B = \{0, 1, 4, 9, 16, \ldots\}\text{.}\)
Dengan notasi pembentuk himpunan yang lebih ketat, himpunan ini juga dapat ditulis sebagai
\(B = \{x \in \N \st x = n^2 \text{ untuk suatu } n \in \N\}\text{.}\)
Kita sudah memiliki banyak notasi, dan masih ada lagi. Di bawah ini terdapat tabel simbol yang berguna. Beberapa simbol tersebut akan dibahas lebih terperinci dalam pembahasan selanjutnya.
Himpunan Khusus.
-
\(\emptyset\)
Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memuat elemen apa pun.
-
\(\N\)
Himpunan bilangan asli. Yaitu,
\(\N = \{0, 1, 2, 3, \ldots\}\text{.}\)
-
\(\Z\)
Himpunan bilangan bulat. Yaitu,
\(\Z = \{\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\}\text{.}\)
-
\(\Q\)
Himpunan bilangan rasional.
-
\(\R\)
-
\(\pow(A)\)
Himpunan kuasa dari sembarang himpunan
\(A\) adalah himpunan semua himpunan bagian
\(A\text{.}\)
Notasi Teori Himpunan.
-
\(\{, \}\)
Kita menggunakan
kurung kurawal ini untuk mengapit elemen-elemen suatu himpunan. Jadi,
\(\{1,2,3\}\) merupakan himpunan yang memuat 1, 2, dan 3.
-
\(\st\)
\(\{x \st x > 2\}\) merupakan himpunan semua
\(x\) sedemikian sehingga \(x\) lebih besar dari 2.
-
\(\in\)
\(2 \in \{1,2,3\}\) menyatakan bahwa 2
merupakan elemen dari himpunan
\(\{1,2,3\}\text{.}\)
-
\(\not\in\)
\(4 \notin \{1,2,3\}\) karena 4
bukan merupakan elemen dari himpunan
\(\{1,2,3\}\text{.}\)
-
\(\subseteq\)
\(A \subseteq B\) menyatakan bahwa
\(A\) merupakan himpunan bagian dari \(B\): Setiap elemen
\(A\) juga merupakan elemen
\(B\text{.}\)
-
\(\subset\)
\(A \subset B\) menyatakan bahwa
\(A\) merupakan himpunan bagian sejati dari \(B\): Setiap elemen
\(A\) juga merupakan elemen
\(B\text{,}\) tetapi
\(A \ne B\text{.}\)
-
\(\cap\)
\(A \cap B\) merupakan
irisan \(A\) dan \(B\): himpunan yang memuat semua elemen yang sekaligus merupakan elemen
\(A\) dan
\(B\text{.}\)
-
\(\cup\)
\(A \cup B\) merupakan
gabungan \(A\) dan \(B\): himpunan yang memuat semua elemen yang merupakan elemen
\(A\) atau
\(B\text{,}\) atau keduanya.
-
\(\times\)
\(A \times B\) merupakan
hasil kali Kartesius \(A\) dan \(B\): himpunan semua pasangan terurut
\((a,b)\) dengan
\(a \in A\) dan
\(b \in B\text{.}\)
-
\(\setminus\)
\(A \setminus B\) merupakan
selisih himpunan \(A\) dan \(B\): himpunan yang memuat semua elemen
\(A\) yang bukan merupakan elemen
\(B\text{.}\)
-
\(\bar{A}\)
Komplemen \(A\) adalah himpunan segala sesuatu yang bukan merupakan elemen
\(A\text{.}\)
-
\(\card{A}\)
Kardinalitas (atau ukuran) \(A\) adalah banyaknya elemen dalam
\(A\text{.}\)
Selidiki!
-
Tentukan kardinalitas setiap himpunan di bawah ini.
-
\(A = \{3,4,\ldots, 15\}\text{.}\)
-
\(B = \{n \in \N \st 2 \lt n \le 200\}\text{.}\)
-
\(C = \{n \in \N \st n \le 100 \text{ dan untuk suatu } m \in \N, (n = 2m+1)\}\text{.}\)
-
Carilah dua himpunan
\(A\) dan
\(B\) yang memenuhi
\(|A| = 5\text{,}\) \(|B| = 6\text{,}\) dan
\(|A\cup B| = 9\text{.}\) Berapakah
\(|A \cap B|\text{?}\)
-
Carilah himpunan
\(A\) dan
\(B\) dengan
\(|A| = |B|\) sedemikian sehingga
\(|A\cup B| = 7\) dan
\(|A \cap B| = 3\text{.}\) Berapakah
\(|A|\text{?}\)
-
Misalkan
\(A = \{1,2,\ldots, 10\}\text{.}\) Definisikan
\(\mathcal{B}_2 = \{B \subseteq A \st |B| = 2\}\text{.}\) Tentukan
\(|\mathcal{B}_2|\text{.}\)
-
Untuk sembarang himpunan \(A\) dan \(B\text{,}\) definisikan \(AB = \{ab \st a\in A \text{ dan } b \in B\}\text{.}\) Jika \(A = \{1,2\}\) dan \(B = \{2,3,4\}\text{,}\) berapakah \(|AB|\text{?}\) Berapakah \(|A \times B|\text{?}\)
Subbagian Hubungan Antarhimpunan
Kita telah menjelaskan arti kesamaan dua himpunan: Keduanya memiliki elemen-elemen yang persis sama. Jadi, sebagai contoh,
\begin{equation*}
\{1, 2, 3\} = \{2, 1, 3\}\text{.}
\end{equation*}
(Ingatlah, urutan penulisan elemen-elemen tidaklah penting.) Selain itu,
\begin{equation*}
\{1, 2, 3\} = \{1, 1+1, 1+1+1\} = \{I, II, III\} = \{1, 2, 3, 1+2\}
\end{equation*}
karena semua bentuk tersebut merupakan cara untuk menuliskan himpunan yang memuat tiga bilangan bulat positif pertama (cara penulisannya tidak penting; yang penting adalah nilai elemen-elemennya).
Bagaimana dengan himpunan
\(A = \{1, 2, 3\}\) dan
\(B = \{1, 2, 3, 4\}\text{?}\) Jelas bahwa
\(A \ne B\text{,}\) tetapi perhatikan bahwa setiap elemen
\(A\) juga merupakan elemen
\(B\text{.}\) Karena itu, kita mengatakan bahwa
\(A\) merupakan
himpunan bagian dari
\(B\text{,}\) atau dalam simbol,
\(A \subset B\) atau
\(A \subseteq B\text{.}\) Kedua simbol tersebut dibaca “merupakan himpunan bagian dari.” Perbedaannya adalah bahwa terkadang kita ingin menyatakan bahwa
\(A\) sama dengan atau merupakan himpunan bagian dari
\(B\text{,}\) dan dalam kasus ini kita menggunakan
\(\subseteq\text{.}\) Hal ini serupa dengan perbedaan antara
\(\lt\) dan
\(\le\text{.}\)
Contoh 5.1.3.
Misalkan
\(A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\text{,}\) \(B = \{2, 4, 6\}\text{,}\) \(C = \{1, 2, 3\}\text{,}\) dan
\(D = \{7, 8, 9\}\text{.}\) Tentukan apakah masing-masing pernyataan berikut benar, salah, atau tidak bermakna.
-
\(A \subset B\text{.}\)
-
\(B \subset A\text{.}\)
-
\(B \in C\text{.}\)
-
\(\emptyset \in A\text{.}\)
-
\(\emptyset \subset A\text{.}\)
-
\(A \lt D\text{.}\)
-
\(3 \in C\text{.}\)
-
\(3 \subset C\text{.}\)
-
\(\{3\} \subset C\text{.}\)
Penyelesaian.
-
Salah. Sebagai contoh,
\(1\in A\text{,}\) tetapi
\(1 \notin B\text{.}\)
-
Benar. Setiap elemen
\(B\) merupakan elemen
\(A\text{.}\)
-
Salah. Elemen-elemen
\(C\) adalah 1, 2, dan 3.
Himpunan \(B\) tidak sama dengan 1, 2, ataupun 3.
-
Salah.
\(A\) memiliki tepat 6 elemen, dan tidak satu pun merupakan himpunan kosong.
-
Benar. Semua yang berada dalam himpunan kosong (tidak ada) juga merupakan elemen
\(A\text{.}\) Perhatikan bahwa himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan.
-
Tidak bermakna. Suatu himpunan tidak dapat bernilai kurang dari himpunan lain.
-
Benar.
\(3\) merupakan salah satu elemen himpunan
\(C\text{.}\)
-
Tidak bermakna.
\(3\) bukanlah suatu himpunan, sehingga tidak mungkin merupakan himpunan bagian dari himpunan lain.
-
Benar.
\(3\) merupakan satu-satunya elemen himpunan
\(\{3\}\) dan merupakan elemen
\(C\text{,}\) sehingga setiap elemen
\(\{3\}\) merupakan elemen
\(C\text{.}\)
Dalam contoh di atas,
\(B\) merupakan himpunan bagian dari
\(A\text{.}\) Anda mungkin bertanya-tanya himpunan lain apa saja yang merupakan himpunan bagian dari
\(A\text{.}\) Jika semua himpunan bagian
\(A\) tersebut kita kumpulkan ke dalam suatu himpunan baru, kita memperoleh suatu himpunan yang elemen-elemennya juga berupa himpunan. Himpunan semua himpunan bagian
\(A\) disebut
himpunan kuasa dari
\(A\text{,}\) dan ditulis
\(\pow(A)\text{.}\)
Contoh 5.1.4.
Misalkan
\(A = \{1,2,3\}\text{.}\) Tentukan
\(\pow(A)\text{.}\)
Penyelesaian.
\(\pow(A)\) merupakan himpunan yang elemen-elemennya juga berupa himpunan, dan semuanya merupakan himpunan bagian dari \(A\text{.}\) Jadi,
\begin{equation*}
\pow(A) = \{ \emptyset, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{1,2\}, \{1, 3\}, \{2,3\}, \{1,2,3\}\}\text{.}
\end{equation*}
Perhatikan bahwa meskipun
\(2 \in A\text{,}\) penulisan
\(2 \in \pow(A)\) salah karena tidak satu pun elemen
\(\pow(A)\) berupa bilangan! Di sisi lain, kita memang memiliki
\(\{2\} \in \pow(A)\) karena
\(\{2\} \subseteq A\text{.}\)
Seperti apakah himpunan bagian dari
\(\pow(A)\text{?}\) Perhatikan bahwa
\(\{2\} \not\subseteq \pow(A)\) karena tidak semua yang berada dalam
\(\{2\}\) berada dalam
\(\pow(A)\text{.}\) Namun, kita memang memiliki
\(\{ \{2\} \} \subseteq \pow(A)\text{.}\) Satu-satunya elemen
\(\{\{2\}\}\) adalah himpunan
\(\{2\}\text{,}\) yang juga merupakan elemen
\(\pow(A)\text{.}\) Kita dapat mengambil kumpulan semua himpunan bagian
\(\pow(A)\) dan menyebutnya
\(\pow(\pow(A))\text{.}\) Kita bahkan dapat mengambil himpunan kuasa dari himpunan yang elemen-elemennya berupa himpunan yang elemen-elemennya juga berupa himpunan.
Cara lain untuk membandingkan himpunan adalah berdasarkan
ukurannya. Perhatikan bahwa dalam contoh sebelumnya,
\(A\) memiliki 6 elemen, sedangkan
\(B\text{,}\) \(C\text{,}\) dan
\(D\) masing-masing memiliki 3 elemen. Ukuran suatu himpunan disebut
kardinalitas himpunan tersebut. Kita menulis
\(|A| = 6\text{,}\) \(|B| = 3\text{,}\) dan seterusnya. Untuk himpunan yang memiliki elemen berhingga banyaknya, kardinalitas himpunan tersebut tidak lain adalah banyaknya elemen di dalamnya. Perhatikan bahwa kardinalitas
\(\{ 1, 2, 3, 2, 1\}\) adalah 3. Kita tidak menghitung pengulangan (bahkan,
\(\{1, 2, 3, 2, 1\}\) merupakan himpunan yang persis sama dengan
\(\{1, 2, 3\}\)). Ada himpunan-himpunan dengan kardinalitas tak berhingga, seperti
\(\N\text{,}\) himpunan bilangan rasional (ditulis
\(\mathbb Q\)), himpunan bilangan asli genap, dan himpunan bilangan real (
\(\mathbb R\)). Kita dapat membedakan berbagai kardinalitas tak berhingga, tetapi pembahasan itu berada di luar cakupan buku ini. Bagi kita, suatu himpunan dapat bersifat tak berhingga atau berhingga; jika berhingga, kardinalitasnya dapat kita tentukan dengan menghitung elemen-elemennya.
Contoh 5.1.5.
-
Tentukan kardinalitas
\(A = \{23, 24, \ldots, 37, 38\}\text{.}\)
-
Tentukan kardinalitas
\(B = \{1, \{2, 3, 4\}, \emptyset\}\text{.}\)
-
Jika
\(C = \{1,2,3\}\text{,}\) berapakah kardinalitas
\(\pow(C)\text{?}\)
Penyelesaian.
-
Karena
\(38 - 23 = 15\text{,}\) kita dapat menyimpulkan bahwa kardinalitas himpunan tersebut adalah
\(|A| = 16\) (Anda perlu menambahkan satu karena 23 juga disertakan).
-
Di sini
\(|B| = 3\text{.}\) Ketiga elemennya adalah bilangan 1, himpunan
\(\{2,3,4\}\text{,}\) dan himpunan kosong.
-
Di atas kita telah mencantumkan elemen-elemen himpunan kuasa
\(\pow(C)\text{,}\) dan terdapat 8 elemen (yang masing-masing merupakan suatu himpunan). Jadi,
\(\card{\pow(C)} = 8\text{.}\) (Anda mungkin bertanya-tanya apakah terdapat hubungan antara
\(\card{A}\) dan
\(\card{\pow(A)}\) untuk semua himpunan
\(A\text{.}\) Pertanyaan ini menarik dan akan kita kaji dalam
Bab 3.)
Subbagian Operasi pada Himpunan
Dapatkah kita menjumlahkan dua himpunan? Sebenarnya tidak, tetapi ada operasi yang serupa. Jika kita ingin menggabungkan dua himpunan untuk memperoleh kumpulan objek yang terdapat dalam salah satu himpunan, kita dapat mengambil gabungan kedua himpunan tersebut. Secara simbolis,
\begin{equation*}
C = A \cup B\text{,}
\end{equation*}
dibaca, “\(C\) merupakan gabungan \(A\) dan \(B\text{,}\)” berarti bahwa elemen-elemen \(C\) tepat merupakan elemen yang berada dalam \(A\) atau dalam \(B\) (atau dalam keduanya). Sebagai contoh, jika \(A = \{1, 2, 3\}\) dan \(B = \{2, 3, 4\}\text{,}\) maka \(A \cup B = \{1, 2, 3, 4\}\text{.}\)
Operasi umum lainnya pada himpunan adalah irisan. Kita menulis,
\begin{equation*}
C = A \cap B
\end{equation*}
dan mengatakan, “\(C\) merupakan irisan \(A\) dan \(B\text{,}\)” apabila elemen-elemen \(C\) tepat merupakan elemen yang sekaligus berada dalam \(A\) dan \(B\text{.}\) Jadi, jika \(A = \{1, 2, 3\}\) dan \(B = \{2, 3, 4\}\text{,}\) maka \(A \cap B = \{2, 3\}\text{.}\)
Ketika membahas himpunan, kita sering memiliki pemahaman tertentu mengenai apa yang dimaksud dengan “segala sesuatu”. Mungkin kita hanya memperhatikan bilangan asli. Dalam hal ini, kita mengatakan bahwa semesta kita adalah \(\N\text{.}\) Terkadang kita menyatakan semesta ini dengan \(\U\text{.}\) Dalam konteks tersebut, kita mungkin ingin membicarakan semua elemen yang tidak berada dalam suatu himpunan tertentu. Kita mengatakan bahwa \(B\) merupakan komplemen dari \(A\text{,}\) dan menulis,
\begin{equation*}
B = \bar A
\end{equation*}
apabila \(B\) memuat setiap elemen yang tidak termuat dalam \(A\text{.}\) Jadi, jika semesta kita adalah \(\{1, 2,\ldots, 9, 10\}\text{,}\) dan \(A = \{2, 3, 5, 7\}\text{,}\) maka \(\bar A = \{1, 4, 6, 8, 9,10\}\text{.}\)
Tentu saja, kita dapat melakukan lebih dari satu operasi sekaligus. Sebagai contoh, perhatikan
\begin{equation*}
A \cap \bar B\text{.}
\end{equation*}
Ini merupakan himpunan semua elemen yang berada dalam \(A\) sekaligus tidak berada dalam \(B\text{.}\) Apa yang telah kita lakukan? Kita memulai dengan \(A\) lalu menghapus semua elemen yang berada dalam \(B\text{.}\) Cara lain untuk menuliskan hal ini adalah menggunakan selisih himpunan:
\begin{equation*}
A \cap \bar B = A \setminus B\text{.}
\end{equation*}
Penting untuk diingat bahwa operasi-operasi pada himpunan ini (gabungan, irisan, komplemen, dan selisih) menghasilkan himpunan lain. Jangan mencampuradukkannya dengan simbol-simbol dari bagian sebelumnya (elemen dari dan himpunan bagian dari).
\(A \cap B\) merupakan suatu himpunan, sedangkan
\(A \subseteq B\) bernilai benar atau salah. Perbedaan ini sama seperti perbedaan antara
\(3 + 2\) (yang merupakan suatu bilangan) dan
\(3 \le 2\) (yang bernilai salah).
Contoh 5.1.6.
Misalkan \(A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\text{,}\) \(B = \{2, 4, 6\}\text{,}\) \(C = \{1, 2, 3\}\text{,}\) dan \(D = \{7, 8, 9\}\text{.}\) Jika semestanya adalah \(\U = \{1, 2, \ldots, 10\}\text{,}\) tentukan:
-
\(A \cup B\text{.}\)
-
\(A \cap B\text{.}\)
-
\(B \cap C\text{.}\)
-
\(A \cap D\text{.}\)
-
\(\bar{B \cup C}\text{.}\)
-
\(A \setminus B\text{.}\)
-
\((D \cap \bar C) \cup \bar{A \cap B}\text{.}\)
-
\(\emptyset \cup C\text{.}\)
-
\(\emptyset \cap C\text{.}\)
Penyelesaian.
-
\(A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} = A\) karena semua yang berada dalam \(B\) sudah berada dalam \(A\text{.}\)
-
\(A \cap B = \{2, 4, 6\} = B\) karena semua yang berada dalam \(B\) juga berada dalam \(A\text{.}\)
-
\(B \cap C = \{2\}\) karena satu-satunya elemen yang sekaligus berada dalam \(B\) dan \(C\) adalah 2.
-
\(A \cap D = \emptyset\) karena \(A\) dan \(D\) tidak memiliki elemen yang sama.
-
\(\bar{B \cup C} = \{5, 7, 8, 9, 10\}\text{.}\) Pertama, kita memperoleh \(B \cup C = \{1, 2, 3, 4, 6\}\text{,}\) lalu mengambil segala sesuatu yang tidak berada dalam himpunan tersebut.
-
\(A \setminus B = \{1, 3, 5\}\) karena elemen 1, 3, dan 5 berada dalam \(A\text{,}\) tetapi tidak dalam \(B\text{.}\) Himpunan ini sama dengan \(A \cap \bar B\text{.}\)
-
\((D \cap \bar C) \cup \bar{A \cap B} = \{1, 3, 5, 7, 8, 9, 10\}\text{.}\) Himpunan tersebut memuat semua elemen yang berada dalam \(D\text{,}\) tetapi tidak dalam \(C\) (yaitu, \(\{7,8,9\}\)), atau tidak sekaligus berada dalam \(A\) dan \(B\) (yaitu, \(\{1,3,5,7,8,9,10\}\)).
-
\(\emptyset \cup C = C\) karena himpunan kosong tidak menambahkan apa pun.
-
\(\emptyset \cap C = \emptyset\) karena tidak ada sesuatu yang sekaligus dapat berada dalam suatu himpunan dan dalam himpunan kosong.
Notasi seperti ini berguna. Kita akan sering ingin menambahkan atau menghapus elemen dari suatu himpunan, dan notasi kita memungkinkan hal tersebut dilakukan secara tepat.
Contoh 5.1.7.
Jika
\(A = \{1,2,3\}\text{,}\) kita dapat mendeskripsikan himpunan yang diperoleh dengan menambahkan bilangan 4 sebagai
\(A \cup \{4\}\text{.}\) Jika ingin menyatakan himpunan yang diperoleh dengan menghapus bilangan 2 dari
\(A\text{,}\) kita dapat menulis
\(A \setminus \{2\}\text{.}\)
Namun, berhati-hatilah. Jika Anda menambahkan suatu elemen ke sebuah himpunan, Anda memperoleh himpunan baru! Jadi, Anda akan memiliki
\(B = A \cup \{4\}\) dan dapat mengatakan dengan benar bahwa
\(B\) memuat 4, tetapi
\(A\) tidak.
Ada satu cara lagi untuk menggabungkan himpunan yang akan berguna bagi kita:
hasil kali Kartesius,
\(A \times B\text{.}\) Istilah ini terdengar rumit, tetapi konsepnya sudah pernah Anda jumpai. Ketika menggambar grafik suatu fungsi dalam kalkulus, Anda menggambarnya pada bidang Kartesius. Bidang ini merupakan himpunan semua pasangan terurut bilangan real
\((x,y)\text{.}\) Kita dapat melakukan hal yang sama untuk
sembarang pasangan himpunan, bukan hanya bilangan real dengan dirinya sendiri.
Dengan kata lain,
\(A \times B = \{(a,b) \st a \in A \text{ dan } b \in B\}\text{.}\) Koordinat pertama berasal dari himpunan pertama, dan koordinat kedua berasal dari himpunan kedua. Terkadang kita ingin mengambil hasil kali Kartesius suatu himpunan dengan dirinya sendiri, dan hal ini tidak bermasalah:
\(A \times A = \{(a,b) \st a, b \in A\}\) (kita juga dapat menulis
\(A^2\) untuk himpunan ini). Perhatikan bahwa dalam
\(A \times A\text{,}\) kita tetap menginginkan
semua pasangan terurut, bukan hanya pasangan dengan koordinat pertama dan kedua yang sama. Kita juga dapat mengambil hasil kali 3 himpunan atau lebih, sehingga memperoleh tripel terurut, kuadrupel terurut, dan seterusnya.
Contoh 5.1.8.
Misalkan
\(A = \{1,2\}\) dan
\(B = \{3,4,5\}\text{.}\) Tentukan
\(A \times B\) dan
\(A \times A\text{.}\) Menurut dugaan Anda, berapa banyak elemen dalam
\(B \times B\text{?}\)
Penyelesaian.
\(A \times B = \{(1,3), (1,4), (1,5), (2,3), (2,4), (2,5)\}\text{.}\)
\(A \times A = A^2 = \{(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)\}\text{.}\)
\(|B\times B| = 9\text{.}\) Terdapat 3 pasangan dengan koordinat pertama
\(3\text{,}\) tiga pasangan lagi dengan koordinat pertama
\(4\text{,}\) dan tiga pasangan terakhir dengan koordinat pertama
\(5\text{.}\)
Subbagian Diagram Venn
Ada alat visual yang sangat baik untuk merepresentasikan operasi pada himpunan.
Diagram Venn menampilkan himpunan sebagai lingkaran-lingkaran yang beririsan. Kita dapat mengarsir daerah yang sedang dibicarakan ketika menjalankan suatu operasi. Kardinalitas suatu himpunan tertentu juga dapat direpresentasikan dengan menempatkan bilangannya pada daerah yang bersesuaian.
Setiap lingkaran merepresentasikan suatu himpunan. Persegi panjang yang memuat lingkaran-lingkaran tersebut merepresentasikan semesta. Untuk merepresentasikan kombinasi himpunan-himpunan ini, kita mengarsir daerah yang bersesuaian. Sebagai contoh, kita dapat menggambarkan
\(A \cap B\) sebagai berikut:
Berikut representasi
\(A \cap \bar B\text{,}\) atau secara ekuivalen
\(A \setminus B\text{:}\)
Contoh yang lebih rumit adalah
\((B \cap C) \cup (C \cap \bar A)\text{,}\) seperti terlihat di bawah ini.
Perhatikan bahwa daerah-daerah yang diarsir di atas juga dapat diperoleh dengan cara lain. Kita dapat memulai dengan seluruh \(C\text{,}\) lalu mengecualikan daerah tempat \(C\) dan \(A\) bertumpang tindih di luar \(B\text{.}\) Daerah tersebut adalah \((A \cap C) \cap \bar B\text{.}\) Jadi, diagram Venn di atas juga merepresentasikan \(C \cap \bar{\left((A\cap C)\cap \bar B\right)}\text{.}\) Dengan hanya menggunakan gambar, kita telah menentukan bahwa
\begin{equation*}
(B \cap C) \cup (C \cap \bar A) = C \cap \bar{\left((A\cap C)\cap \bar B\right)}\text{.}
\end{equation*}
