Selidiki!
Kubus merupakan contoh polihedron konveks. Kubus memiliki 6 persegi identik sebagai mukanya, 8 simpul, dan 12 sisi. Kubus merupakan
polihedron beraturan (juga dikenal sebagai
bangun ruang Platonik) karena setiap muka berupa poligon beraturan yang identik dan setiap simpul mempertemukan jumlah muka yang sama.
Terdapat tepat empat polihedron beraturan lainnya: tetrahedron, oktahedron, dodekahedron, dan ikosahedron, yang masing-masing memiliki 4, 8, 12, dan 20 muka. Berapa banyak simpul dan sisi yang dimiliki masing-masing polihedron tersebut?
Cabang matematika lain yang menggunakan istilah “simpul,” “sisi,” dan “muka” adalah geometri.
Polihedron adalah bangun ruang geometris yang tersusun atas muka-muka poligonal datar yang bertemu pada sisi dan simpul. Kita terutama tertarik pada polihedron
konveks, yaitu polihedron yang setiap ruas garis penghubung dua titik di bagian dalamnya seluruhnya terletak di dalam polihedron tersebut.
Perhatikan bahwa karena
\(8 - 12 + 6 = 2\text{,}\) simpul, sisi, dan muka kubus memenuhi rumus Euler untuk graf planar. Hal ini bukan suatu kebetulan. Kubus dapat direpresentasikan sebagai graf planar dengan memproyeksikan simpul dan sisinya ke bidang. Salah satu proyeksi tersebut tampak seperti berikut:
Bahkan,
setiap polihedron konveks dapat diproyeksikan ke bidang tanpa sisi yang berpotongan. Bayangkan polihedron ditempatkan di dalam sebuah bola, dengan sumber cahaya di pusat bola. Sisi dan simpul polihedron membentuk bayangan pada permukaan bagian dalam bola. Kemudian, lubangi bola di tengah salah satu muka yang diproyeksikan dan “rentangkan” bola hingga terhampar rata pada bidang. Muka yang dilubangi menjadi muka “luar” pada graf planar.
Intinya, pengetahuan kita tentang graf (khususnya graf planar) dapat diterapkan pada polihedron konveks. Karena setiap polihedron konveks dapat direpresentasikan sebagai graf planar, rumus Euler untuk graf planar juga berlaku bagi semua polihedron konveks. Kita juga dapat menerapkan jenis penalaran yang digunakan untuk graf dalam konteks lain pada polihedron konveks. Sebagai contoh, tidak ada polihedron konveks dengan 11 simpul yang semuanya berderajat 3 karena hal itu akan menghasilkan 33/2 sisi.
Bukti.
Ingatlah bahwa semua muka polihedron beraturan merupakan poligon beraturan yang identik dan setiap simpul memiliki derajat yang sama. Perhatikan empat kasus berdasarkan jenis poligon beraturannya.
Kasus 1: Setiap muka merupakan segitiga. Misalkan \(f\) adalah jumlah muka. Dengan demikian, terdapat \(3f/2\) sisi. Dengan menggunakan rumus Euler, diperoleh \(v - 3f/2 + f = 2\text{,}\) sehingga \(v = 2 + f/2\text{.}\) Setiap simpul memiliki derajat yang sama, misalkan \(k\text{.}\) Jadi, jumlah sisi juga sama dengan \(kv/2\text{.}\) Dengan menggabungkan hasil-hasil ini, diperoleh
\begin{equation*}
e = \frac{3f}{2} = \frac{k(2+f/2)}{2}\text{,}
\end{equation*}
yang berarti
\begin{equation*}
k = \frac{6f}{4+f}\text{.}
\end{equation*}
\(k\) dan
\(f\) harus berupa bilangan bulat positif. Perhatikan bahwa
\(\frac{6f}{4+f}\) merupakan fungsi naik untuk
\(f\) positif, yang dibatasi dari atas oleh asimtot horizontal
\(k=6\text{.}\) Jadi, nilai
\(k\) yang mungkin hanyalah 3, 4, dan 5. Ketiga nilai tersebut dapat dicapai. Untuk memperoleh
\(k = 3\text{,}\) diperlukan
\(f = 4\) (polihedron ini adalah tetrahedron). Untuk
\(k = 4\text{,}\) ambil
\(f = 8\) (oktahedron). Untuk
\(k = 5\text{,}\) ambil
\(f = 20\) (ikosahedron). Dengan demikian, terdapat tepat tiga polihedron beraturan bermuka segitiga.
Kasus 2: Setiap muka merupakan persegi. Sekarang berlaku \(e = 4f/2 = 2f\text{.}\) Dengan menggunakan rumus Euler, diperoleh \(v = 2 + f\text{,}\) dan penghitungan sisi menggunakan derajat \(k\) setiap simpul menghasilkan
\begin{equation*}
e = 2f = \frac{k(2+f)}{2}\text{.}
\end{equation*}
Penyelesaian untuk \(k\) memberikan
\begin{equation*}
k = \frac{4f}{2+f} = \frac{8f}{4+2f}\text{.}
\end{equation*}
Sekali lagi, ini merupakan fungsi naik, tetapi kali ini asimtot horizontalnya adalah
\(k = 4\text{,}\) sehingga satu-satunya nilai yang mungkin bagi
\(k\) adalah 3. Nilai ini menghasilkan 6 muka, sehingga diperoleh kubus. Hanya terdapat satu polihedron beraturan bermuka persegi.
Kasus 3: Setiap muka merupakan segilima. Lakukan perhitungan yang sama seperti di atas. Kali ini diperoleh \(e = 5f/2\text{,}\) sehingga \(v = 2 + 3f/2\text{.}\) Selanjutnya,
\begin{equation*}
e = \frac{5f}{2} = \frac{k(2+3f/2)}{2}\text{,}
\end{equation*}
sehingga
\begin{equation*}
k = \frac{10f}{4+3f}\text{.}
\end{equation*}
Sekarang asimtot horizontalnya adalah
\(\frac{10}{3}\text{.}\) Nilai ini kurang dari 4, sehingga satu-satunya kemungkinan adalah
\(k = 3\text{.}\) Nilai tersebut dapat dicapai dengan menggunakan 12 segilima, sehingga diperoleh dodekahedron. Inilah satu-satunya polihedron beraturan bermuka segilima.
Kasus 4: Setiap muka merupakan segi-\(n\) dengan \(n \ge 6\text{.}\) Dengan mengikuti prosedur yang sama seperti di atas, diperoleh
\begin{equation*}
k = \frac{2nf}{4+(n-2)f}\text{,}
\end{equation*}
yang merupakan fungsi naik menuju asimtot horizontal \(\frac{2n}{n-2}\text{.}\) Ketika \(n = 6\text{,}\) asimtot ini berada pada \(k = 3\text{.}\) Setiap nilai \(n\) yang lebih besar menghasilkan asimtot yang lebih kecil lagi. Oleh karena itu, tidak ada polihedron beraturan dengan muka yang memiliki lebih dari lima sisi.
