Bab 1 Logika dan Pembuktian
Logika adalah kajian tentang konsekuensi. Jika diberikan beberapa pernyataan atau fakta matematis, kita ingin dapat menarik sejumlah kesimpulan. Sebagai contoh, andaikan saya memberi tahu Anda bahwa suatu fungsi bernilai real kontinu pada interval \([0,1]\text{,}\) dengan \(f(0) = -1\) dan \(f(1) = 5\text{.}\) Dapatkah kita menyimpulkan bahwa terdapat suatu titik dalam \([0,1]\) tempat grafik fungsi tersebut memotong sumbu \(x\text{?}\) Ya, berkat Teorema Nilai Antara dari kalkulus. Dapatkah kita menyimpulkan bahwa terdapat tepat satu titik seperti itu? Tidak. Setiap kali kita menemukan sebuah “jawaban” dalam matematika, sesungguhnya kita memiliki suatu argumen (yang mungkin tersembunyi).
Matematika pada hakikatnya berkenaan dengan menetapkan pernyataan-pernyataan umum (seperti Teorema Nilai Antara). Hal ini dilakukan melalui suatu argumen yang disebut pembuktian. Kita mulai dengan beberapa syarat yang diberikan, yaitu premis argumen kita, lalu dari premis-premis tersebut kita memperoleh konsekuensi yang menjadi perhatian kita, yaitu kesimpulan.
Masalahnya, sebagaimana tentu Anda ketahui dari berdebat dengan teman, tidak semua argumen merupakan argumen yang baik. Argumen yang buruk adalah argumen yang kesimpulannya tidak mengikuti premis-premisnya; dengan kata lain, kesimpulannya bukan konsekuensi dari premis-premis tersebut. Logika mengkaji hal-hal yang membuat suatu argumen baik atau buruk. Dengan kata lain, logika bertujuan menentukan kapan suatu kesimpulan merupakan, atau bukan merupakan, konsekuensi dari sekumpulan premis.
Kita akan memulai di Subbab 1.1 dengan membahas pernyataan, yaitu unsur pembangun argumen. Memahami apa yang tergolong pernyataan dan bentuk apa saja yang dapat dimiliki pernyataan merupakan langkah pertama untuk memahami argumen. Di Subbab 1.2, kita akan mengamati lebih dekat bagaimana pernyataan-pernyataan dapat digabungkan. Kemudian, di Subbab 1.3, kita akan melihat perangkat matematis apa yang dapat kita kembangkan untuk menganalisis pernyataan-pernyataan tersebut dan interaksi di antaranya dengan lebih baik. Terakhir, di Subbab 1.4 dan Subbab 1.5 kita akan menyatukan semuanya untuk melihat bagaimana perangkat-perangkat ini dapat digunakan dalam menyusun argumen dan membuktikan pernyataan.