1.
Perhatikan teka-teki berikut:
Anda memiliki sebatang cokelat berbentuk persegi panjang yang tersusun atas \(n\) petak cokelat identik. Anda dapat mematahkan batang tersebut sepanjang garis di antara sembarang baris atau kolom. Berapa kali Anda harus mematahkan batang itu agar terurai menjadi \(n\) petak cokelat tunggal?
Pada awalnya, pertanyaan ini mungkin tampak mustahil dijawab. Mungkin yang dimaksud adalah jumlah paling sedikit pematahan yang diperlukan. Mari kita selidiki.
(a)
Misalkan Anda memulai dengan batang berukuran \(1\times 3\text{.}\) Berapa kali Anda perlu mematahkannya agar terurai menjadi petak-petak tunggal?
(b)
Jika Anda memiliki batang berukuran \(1\times 4\text{,}\) berapa kali pematahan yang diperlukan?
Jika Anda memiliki 4 petak yang tersusun sebagai persegi \(2\times 2\text{,}\) pematahan pertama akan membagi cokelat menjadi dua batang berukuran \(1 \times 2\text{.}\) Kemudian masing-masing batang memerlukan kali pematahan lagi, sehingga diperlukan total kali pematahan untuk menguraikan persegi \(2\times 2\) menjadi petak-petak tunggal.
(c)
Batang yang terdiri atas \(6\) petak dapat berukuran \(1 \times 6\text{,}\) yang memerlukan kali pematahan, atau berukuran \(2 \times 3\text{.}\)
Sekarang ada dua cara untuk melanjutkan.
-
Patahkan batang menjadi dua batang berukuran \(1 \times 3\text{.}\) Masing-masing memerlukan kali pematahan lagi, sehingga semuanya memerlukan kali pematahan.
-
Patahkan batang menjadi satu batang berukuran \(1\times 2\) dan satu batang berukuran \(2 \times 2\text{.}\) Batang \(1 \times 2\) memerlukan kali pematahan lagi dan batang \(2 \times 2\) memerlukan kali pematahan lagi, sehingga semuanya memerlukan kali pematahan.
(d)
Berdasarkan data di atas, apa dugaan kita mengenai jumlah pematahan yang diperlukan untuk menguraikan batang yang terdiri atas \(n\) petak menjadi petak-petak tunggal, jika dinyatakan dalam \(n\text{?}\)
Diperlukan kali pematahan untuk menguraikan batang yang terdiri atas \(n\) petak menjadi petak-petak tunggal.
(e)
Apakah kita memercayai dugaan ini? Misalkan satu pematahan membagi batang menjadi dua batang yang lebih kecil, masing-masing terdiri atas \(a\) dan \(b\) petak. Jika dugaan tersebut benar, berapa kali pematahan lagi yang diperlukan untuk menguraikan batang berukuran \(a\text{?}\)
Berapa kali pematahan lagi yang diperlukan untuk menguraikan batang berukuran \(b\text{?}\)
Dengan menyertakan pematahan pertama, berapa jumlah seluruh pematahan tersebut jika dinyatakan dalam \(a\) dan \(b\text{?}\)
Namun, berapakah \(a+b\text{?}\) Kita memperoleh \(a\) dan \(b\) dengan membagi \(n\) petak menjadi dua bagian, sehingga \(a+b =\). Jadi, jumlah seluruh pematahan adalah .