Komplemen ortogonal dan transpos matriks

Subbab 6.2 Komplemen ortogonal dan transpos matriks

Kita telah melihat bagaimana hasil kali titik memungkinkan kita menentukan sudut antara dua vektor dan, secara lebih khusus, kapan dua vektor saling ortogonal. Selanjutnya, kita akan menyelidiki bagaimana syarat ortogonalitas menyederhanakan banyak tugas umum, seperti menyatakan suatu vektor sebagai kombinasi linear dari himpunan vektor tertentu.

🔗

Bagian ini memperkenalkan gagasan komplemen ortogonal, yaitu himpunan vektor yang masing-masing ortogonal terhadap suatu subruang yang ditentukan. Kita juga akan menemukan cara menyatakan hasil kali titik dengan menggunakan hasil kali matriks. Cara ini memungkinkan kita mempelajari ortogonalitas dengan berbagai perangkat untuk memahami sistem linear yang telah kita kembangkan sebelumnya.

🔗

Subbagian 6.2.1 Pendahuluan

Aktivitas Pratinjau 6.2.1.

(a)

Gambarkan vektor \(\vvec=\twovec{-1}2\) pada Gambar 6.2.1 beserta sebuah vektor yang ortogonal terhadapnya.

🔗

Kontrol papan ketik untuk menjelajahi diagram

Tombol	Tindakan
Enter, A	Aktifkan penjelajahan dengan papan ketik
B	Aktifkan penjelajahan dengan menu
Escape	Keluar dari mode penjelajahan
Panah bawah	Jelajahi tingkat berikutnya di bawah
Panah atas	Jelajahi tingkat berikutnya di atas
Panah kanan	Jelajahi elemen berikutnya pada tingkat ini
Panah kiri	Jelajahi elemen sebelumnya pada tingkat ini
X	Aktifkan atau nonaktifkan mode ahli
W	Tampilkan rincian tambahan jika tersedia
Spasi	Ulangi keluaran suara
M	Aktifkan pembesaran bertahap
Koma	Aktifkan pembesaran langsung
N	Nonaktifkan pembesaran
Z	Tampilkan atau sembunyikan subtitel
C	Gilir pengaturan kontras
T	Gunakan warna monokrom
L	Ganti bahasa jika tersedia
K	Hentikan suara saat ini
Y	Hentikan keluaran suara
O	Mulai atau hentikan sonifikasi
P	Ulangi keluaran sonifikasi

Kisi koordinat baku berukuran \(1\times1\) beserta sepasang sumbu. Rentang horizontal dan vertikal sama-sama membentang dari \(-4\) hingga \(4\text{.}\)

🔗

Gambar 6.2.1. Gambarkan vektor \(\vvec\) dan sebuah vektor yang ortogonal terhadapnya.

🔗

(b)

Jika suatu vektor \(\xvec\) ortogonal terhadap \(\vvec\text{,}\) apa yang kita ketahui tentang hasil kali titik \(\vvec\cdot\xvec\text{?}\)

🔗

(c)

Jika kita menuliskan \(\xvec=\twovec xy\text{,}\) gunakan hasil kali titik untuk menuliskan persamaan bagi vektor-vektor yang ortogonal terhadap \(\vvec\) dalam \(x\) dan \(y\text{.}\)

🔗

(d)

Gunakan persamaan ini untuk menggambarkan himpunan semua vektor yang ortogonal terhadap \(\vvec\) pada Gambar 6.2.1.

🔗

(e)

Subbab 3.5 memperkenalkan ruang kolom \(\col(A)\) dan ruang nol \(\nul(A)\) dari suatu matriks \(A\text{.}\) Jika \(A\) adalah suatu matriks, apa arti ruang nol \(\nul(A)\text{?}\)

🔗

(f)

Apa arti ruang kolom \(\col(A)\text{?}\)

🔗

Subbagian 6.2.2 Komplemen ortogonal

Aktivitas pratinjau menyajikan sebuah vektor \(\vvec\) dan menuntun kita melalui proses mendeskripsikan semua vektor yang ortogonal terhadap \(\vvec\text{.}\) Perhatikan bahwa himpunan kelipatan skalar \(\vvec\) membentuk sebuah garis \(L\text{,}\) yaitu subruang berdimensi 1 dari \(\real^2\text{.}\) Kemudian kita mendeskripsikan garis kedua yang terdiri atas semua vektor yang ortogonal terhadap \(\vvec\text{.}\) Perhatikan bahwa setiap vektor pada garis ini ortogonal terhadap setiap vektor pada garis \(L\text{.}\) Garis baru ini kita sebut komplemen ortogonal dari \(L\) dan kita notasikan dengan \(L^\perp\text{.}\) Garis \(L\) dan \(L^\perp\) digambarkan di sebelah kiri Gambar 6.2.2.

🔗

Sebuah vektor dua dimensi \(\vvec\) dan garis \(L\) yang dibentuknya. Komplemen ortogonal \(L^\perp\text{,}\) yang merupakan garis ortogonal terhadap \(L\text{,}\) juga ditampilkan.

🔗

Sebuah bidang \(W\) dalam tiga dimensi dan komplemen ortogonalnya \(W^\perp\text{,}\) yang merupakan garis ortogonal terhadap \(W\text{.}\)

🔗

Kontrol papan ketik untuk menjelajahi diagram

Tombol	Tindakan
Enter, A	Aktifkan penjelajahan dengan papan ketik
B	Aktifkan penjelajahan dengan menu
Escape	Keluar dari mode penjelajahan
Panah bawah	Jelajahi tingkat berikutnya di bawah
Panah atas	Jelajahi tingkat berikutnya di atas
Panah kanan	Jelajahi elemen berikutnya pada tingkat ini
Panah kiri	Jelajahi elemen sebelumnya pada tingkat ini
X	Aktifkan atau nonaktifkan mode ahli
W	Tampilkan rincian tambahan jika tersedia
Spasi	Ulangi keluaran suara
M	Aktifkan pembesaran bertahap
Koma	Aktifkan pembesaran langsung
N	Nonaktifkan pembesaran
Z	Tampilkan atau sembunyikan subtitel
C	Gilir pengaturan kontras
T	Gunakan warna monokrom
L	Ganti bahasa jika tersedia
K	Hentikan suara saat ini
Y	Hentikan keluaran suara
O	Mulai atau hentikan sonifikasi
P	Ulangi keluaran sonifikasi

Gambar 6.2.2. Di sebelah kiri terdapat sebuah garis \(L\) beserta komplemen ortogonalnya \(L^\perp\text{.}\) Di sebelah kanan terdapat sebuah bidang \(W\) beserta komplemen ortogonalnya \(W^\perp\) di \(\real^3\text{.}\)

🔗

Definisi berikut menempatkan contoh ini dalam konteks yang lebih umum.

🔗

Definisi 6.2.3.

Diberikan suatu subruang \(W\) dari \(\real^m\text{,}\) komplemen ortogonal dari \(W\) adalah himpunan vektor di \(\real^m\) yang masing-masing ortogonal terhadap setiap vektor di \(W\text{.}\) Komplemen ortogonal ini kita notasikan dengan \(W^\perp\text{.}\)

🔗

Sebuah contoh tipikal tampak di sebelah kanan Gambar 6.2.2. Di sini kita melihat sebuah bidang \(W\text{,}\) yaitu subruang berdimensi dua dari \(\real^3\text{,}\) beserta komplemen ortogonalnya \(W^\perp\text{,}\) yang merupakan sebuah garis di \(\real^3\text{.}\)

🔗

Seperti diperlihatkan oleh aktivitas berikut, komplemen ortogonal dari suatu subruang \(W\) juga merupakan subruang dari \(\real^m\text{.}\)

🔗

Kegiatan 6.2.2.

Misalkan \(\wvec_1=\threevec10{-2}\) dan \(\wvec_2=\threevec11{-1}\) membentuk basis bagi \(W\text{,}\) suatu subruang berdimensi dua dari \(\real^3\text{.}\) Kita akan mencari deskripsi komplemen ortogonal \(W^\perp\text{.}\)

Misalkan vektor \(\xvec\) ortogonal terhadap \(\wvec_1\text{.}\) Jika kita menuliskan \(\xvec=\threevec{x_1}{x_2}{x_3}\text{,}\) gunakan fakta bahwa \(\wvec_1\cdot\xvec = 0\) untuk menuliskan persamaan linear dalam \(x_1\text{,}\) \(x_2\text{,}\) dan \(x_3\text{.}\)
🔗

🔗
Misalkan \(\xvec\) juga ortogonal terhadap \(\wvec_2\text{.}\) Dengan cara yang sama, tuliskan persamaan linear dalam \(x_1\text{,}\) \(x_2\text{,}\) dan \(x_3\) yang diperoleh dari fakta bahwa \(\wvec_2\cdot\xvec = 0\text{.}\)
🔗

🔗
Jika \(\xvec\) ortogonal terhadap \(\wvec_1\) dan \(\wvec_2\text{,}\) kedua persamaan ini memberi kita sistem linear \(B\xvec=\zerovec\) untuk suatu matriks \(B\text{.}\) Tentukan matriks \(B\) dan tuliskan deskripsi parametrik ruang solusi persamaan \(B\xvec = \zerovec\text{.}\)
🔗

🔗
Karena \(\wvec_1\) dan \(\wvec_2\) membentuk basis bagi subruang berdimensi dua \(W\text{,}\) setiap vektor \(\wvec\) di \(W\) dapat dituliskan sebagai kombinasi linear

\begin{equation*} \wvec = c_1\wvec_1 + c_2\wvec_2\text{.} \end{equation*}

Jika \(\xvec\) ortogonal terhadap \(\wvec_1\) dan \(\wvec_2\text{,}\) gunakan sifat distributif hasil kali titik untuk menjelaskan mengapa \(\xvec\) ortogonal terhadap \(\wvec\text{.}\)

🔗

🔗
Berikan sebuah basis bagi komplemen ortogonal \(W^\perp\) dan nyatakan dimensinya \(\dim W^\perp\text{.}\)
🔗

🔗
Deskripsikan \((W^\perp)^\perp\text{,}\) yaitu komplemen ortogonal dari \(W^\perp\text{.}\)
🔗

🔗

🔗

Contoh 6.2.4.

Jika \(L\) adalah garis yang dibentuk oleh \(\vvec=\threevec1{-2}3\) di \(\real^3\text{,}\) kita akan mendeskripsikan komplemen ortogonal \(L^\perp\text{,}\) yaitu himpunan vektor yang ortogonal terhadap \(L\text{.}\)

🔗

Jika \(\xvec\) ortogonal terhadap \(L\text{,}\) vektor ini harus ortogonal terhadap \(\vvec\text{,}\) sehingga kita memperoleh

\begin{equation*} \vvec\cdot\xvec = x_1-2x_2+3x_3 = 0\text{.} \end{equation*}

🔗

Kita dapat mendeskripsikan solusi persamaan ini secara parametrik sebagai

\begin{equation*} \xvec=\threevec{x_1}{x_2}{x_3} = \cthreevec{2x_2-3x_3}{x_2}{x_3} = x_2\threevec210+x_3\threevec{-3}01\text{.} \end{equation*}

Oleh karena itu, komplemen ortogonal \(L^\perp\) adalah sebuah bidang, yaitu subruang berdimensi dua dari \(\real^3\text{,}\) yang direntang oleh vektor \(\threevec210\) dan \(\threevec{-3}01\text{.}\)

🔗

Contoh 6.2.5.

Misalkan \(W\) adalah subruang berdimensi \(2\) dari \(\real^5\) dengan basis

\begin{equation*} \wvec_1=\fivevec{-1}{-2}23{-4},\hspace{24pt} \wvec_2=\fivevec24202\text{.} \end{equation*}

Kita akan memberikan deskripsi komplemen ortogonal \(W^\perp\text{.}\)

🔗

Jika \(\xvec\) berada di \(W^\perp\text{,}\) kita mengetahui bahwa \(\xvec\) ortogonal terhadap \(\wvec_1\) dan \(\wvec_2\text{.}\) Oleh karena itu,

\begin{align*} \wvec_1\cdot\xvec \amp {}={}-x_1-2x_2+2x_3+3x_4-4x_5 \amp {}={} 0\\ \wvec_2\cdot\xvec \amp {}={} 2x_1+4x_2+2x_3+0x_4+2x_5 \amp {}={} 0 \end{align*}

Dengan kata lain, \(B\xvec=\zerovec\text{,}\) dengan

\begin{equation*} B = \begin{bmatrix} -1 \amp -2 \amp 2 \amp 3 \amp -4 \\ 2 \amp 4 \amp 2 \amp 0 \amp 2 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 \amp 2 \amp 0 \amp -1 \amp 2 \\ 0 \amp 0 \amp 1 \amp 1 \amp -1 \end{bmatrix}\text{.} \end{equation*}

Solusinya dapat dideskripsikan secara parametrik sebagai

\begin{equation*} \xvec=\fivevec{x_1}{x_2}{x_3}{x_4}{x_5} =x_2\fivevec{-2}1000 + x_4\fivevec10{-1}10 + x_5\fivevec{-2}0101\text{.} \end{equation*}

Sifat distributif hasil kali titik menyiratkan bahwa setiap vektor yang ortogonal terhadap \(\wvec_1\) dan \(\wvec_2\) juga ortogonal terhadap setiap kombinasi linear dari \(\wvec_1\) dan \(\wvec_2\) karena

\begin{equation*} (c_1\wvec_1 + c_2\wvec_2)\cdot\xvec = c_1\wvec_1\cdot\xvec + c_2\wvec_2\cdot\xvec = 0\text{.} \end{equation*}

Oleh karena itu, \(W^\perp\) adalah subruang berdimensi \(3\) dari \(\real^5\) dengan basis

\begin{equation*} \vvec_1=\fivevec{-2}1000, \hspace{24pt} \vvec_2=\fivevec10{-1}10, \hspace{24pt} \vvec_3=\fivevec{-2}0101\text{.} \end{equation*}

Dapat diperiksa bahwa vektor \(\vvec_1\text{,}\) \(\vvec_2\text{,}\) dan \(\vvec_3\) masing-masing ortogonal terhadap \(\wvec_1\) dan \(\wvec_2\text{.}\)

🔗

Subbagian 6.2.3 Transpos matriks

Aktivitas dan contoh sebelumnya menunjukkan bagaimana kita dapat mendeskripsikan komplemen ortogonal suatu subruang sebagai himpunan solusi sistem linear tertentu. Kita akan memperjelas hubungan ini dengan mendefinisikan operasi matriks baru yang disebut transpos.

🔗

Definisi 6.2.6.

Transpos dari matriks \(m\times n\) \(A\) adalah matriks \(n\times m\) \(A^T\) yang baris-barisnya merupakan kolom-kolom \(A\text{.}\)

🔗

Contoh 6.2.7.

Jika \(A=\begin{bmatrix} 4 \amp -3 \amp 0 \amp 5 \\ -1 \amp 2 \amp 1 \amp 3 \\ \end{bmatrix} \text{,}\) maka \(A^T=\begin{bmatrix} 4 \amp -1 \\ -3 \amp 2 \\ 0 \amp 1 \\ 5 \amp 3 \\ \end{bmatrix}\)

🔗

Kegiatan 6.2.3.

Aktivitas ini menggambarkan bagaimana perkalian suatu vektor dengan \(A^T\) berkaitan dengan perhitungan hasil kali titik dengan kolom-kolom \(A\text{.}\) Anda akan memahami hubungan ini dengan lebih baik jika menghitung hasil kali titik dan hasil kali matriks dalam aktivitas ini tanpa menggunakan teknologi.

Jika \(B = \begin{bmatrix} 3 \amp 4 \\ -1 \amp 2 \\ 0 \amp -2 \\ \end{bmatrix} \text{,}\) tuliskan matriks \(B^T\text{.}\)
🔗

🔗
Misalkan

\begin{equation*} \vvec_1=\threevec20{-2},\hspace{24pt} \vvec_2=\threevec112,\hspace{24pt} \wvec=\threevec{-2}23\text{.} \end{equation*}

Tentukan hasil kali titik \(\vvec_1\cdot\wvec\) dan \(\vvec_2\cdot\wvec\text{.}\)

🔗

🔗
Sekarang tuliskan matriks \(A = \begin{bmatrix} \vvec_1 \amp \vvec_2 \end{bmatrix}\) dan transposnya \(A^T\text{.}\) Tentukan hasil kali \(A^T\wvec\) dan jelaskan bagaimana hasil kali ini menghitung kedua hasil kali titik \(\vvec_1\cdot\wvec\) dan \(\vvec_2\cdot\wvec\text{.}\)
🔗

🔗
Misalkan \(\xvec\) adalah vektor yang ortogonal terhadap \(\vvec_1\) dan \(\vvec_2\text{.}\) Apa artinya ini bagi hasil kali titik \(\vvec_1\cdot\xvec\) dan \(\vvec_2\cdot\xvec\text{?}\) Apa artinya ini bagi hasil kali \(A^T\xvec\text{?}\)
🔗

🔗
Gunakan matriks \(A^T\) untuk memberikan deskripsi parametrik semua vektor \(\xvec\) yang ortogonal terhadap \(\vvec_1\) dan \(\vvec_2\text{.}\)
🔗

🔗
Ingat bahwa \(\nul(A^T)\text{,}\) yaitu ruang nol \(A^T\text{,}\) adalah himpunan solusi persamaan \(A^T\xvec=\zerovec\text{.}\) Jika \(\xvec\) merupakan vektor di \(\nul(A^T)\text{,}\) jelaskan mengapa \(\xvec\) harus ortogonal terhadap \(\vvec_1\) dan \(\vvec_2\text{.}\)
🔗

🔗
Ingat bahwa \(\col(A)\text{,}\) yaitu ruang kolom \(A\text{,}\) adalah himpunan kombinasi linear kolom-kolom \(A\text{.}\) Oleh karena itu, setiap vektor di \(\col(A)\) dapat dituliskan sebagai \(c_1\vvec_1+c_2\vvec_2\text{.}\) Jika \(\xvec\) merupakan vektor di \(\nul(A^T)\text{,}\) jelaskan mengapa \(\xvec\) ortogonal terhadap setiap vektor di \(\col(A)\text{.}\)
🔗

🔗

🔗

Aktivitas sebelumnya memperlihatkan hubungan penting antara transpos matriks dan hasil kali titik. Secara lebih khusus, komponen-komponen hasil kali \(A^T\xvec\) adalah hasil kali titik kolom-kolom \(A\) dengan \(\xvec\text{.}\) Kita akan sering menggunakan pengamatan ini, sehingga kita catat sebagai proposisi.

🔗

Proposisi 6.2.8.

Jika \(A\) adalah matriks yang kolom-kolomnya \(\vvec_1,\vvec_2,\ldots,\vvec_n\text{,}\) maka

\begin{equation*} A^T\xvec = \begin{bmatrix} \vvec_1\cdot\xvec \\ \vvec_2\cdot\xvec \\ \vdots \\ \vvec_n\cdot\xvec \\ \end{bmatrix} \end{equation*}

🔗

Contoh 6.2.9.

Misalkan \(W\) adalah subruang dari \(\real^4\) yang memiliki basis

\begin{equation*} \wvec_1=\fourvec1021,\hspace{24pt} \wvec_2=\fourvec2134\text{,} \end{equation*}

dan kita ingin mendeskripsikan komplemen ortogonal \(W^\perp\text{.}\)

🔗

Jika \(A\) adalah matriks \(A = \begin{bmatrix}\wvec_1 \amp \wvec_2\end{bmatrix}\) dan \(\xvec\) berada di \(W^\perp\text{,}\) kita memperoleh

\begin{equation*} A^T\xvec = \twovec{\wvec_1\cdot\xvec}{\wvec_2\cdot\xvec} = \twovec00\text{.} \end{equation*}

Dengan demikian, mendeskripsikan vektor \(\xvec\) yang ortogonal terhadap \(\wvec_1\) dan \(\wvec_2\) ekuivalen dengan tugas yang lebih dikenal, yakni mendeskripsikan himpunan solusi \(A^T\xvec = \zerovec\text{.}\) Untuk itu, kita mencari bentuk eselon baris tereduksi dari \(A^T\) dan menuliskan himpunan solusinya secara parametrik sebagai

\begin{equation*} \xvec = x_3\fourvec{-2}{1}10 + x_4\fourvec{-1}{-2}01\text{.} \end{equation*}

Sekali lagi, sifat distributif hasil kali titik menyatakan bahwa vektor semacam ini juga ortogonal terhadap setiap kombinasi linear dari \(\wvec_1\) dan \(\wvec_2\text{,}\) sehingga himpunan solusi ini memang merupakan komplemen ortogonal \(W^\perp\text{.}\) Kita melihat bahwa vektor

\begin{equation*} \vvec_1=\fourvec{-2}110,\hspace{24pt} \vvec_2=\fourvec{-1}{-2}01 \end{equation*}

membentuk basis bagi \(W^\perp\text{,}\) yang merupakan subruang berdimensi dua dari \(\real^4\text{.}\)

🔗

Untuk menempatkan contoh ini dalam konteks yang sedikit lebih umum, perhatikan bahwa \(\wvec_1\) dan \(\wvec_2\text{,}\) yaitu kolom-kolom \(A\text{,}\) membentuk basis bagi \(W\text{.}\) Karena \(\col(A)\text{,}\) ruang kolom \(A\text{,}\) adalah subruang kombinasi linear kolom-kolom \(A\text{,}\) kita memperoleh \(W=\col(A)\text{.}\)

🔗

Contoh ini juga menunjukkan bahwa komplemen ortogonal \(W^\perp = \col(A)^\perp\) dideskripsikan oleh himpunan solusi \(A^T\xvec = \zerovec\text{.}\) Himpunan solusi ini kita sebut \(\nul(A^T)\text{,}\) yaitu ruang nol \(A^T\text{.}\) Dengan demikian, kita memperoleh proposisi berikut, yang digambarkan secara visual dalam Gambar 6.2.11.

🔗

Proposisi 6.2.10.

Untuk setiap matriks \(A\text{,}\) komplemen ortogonal dari \(\col(A)\) adalah \(\nul(A^T)\text{;}\) yaitu,

\begin{equation*} \col(A)^\perp = \nul(A^T)\text{.} \end{equation*}

🔗

Kontrol papan ketik untuk menjelajahi diagram

Tombol	Tindakan
Enter, A	Aktifkan penjelajahan dengan papan ketik
B	Aktifkan penjelajahan dengan menu
Escape	Keluar dari mode penjelajahan
Panah bawah	Jelajahi tingkat berikutnya di bawah
Panah atas	Jelajahi tingkat berikutnya di atas
Panah kanan	Jelajahi elemen berikutnya pada tingkat ini
Panah kiri	Jelajahi elemen sebelumnya pada tingkat ini
X	Aktifkan atau nonaktifkan mode ahli
W	Tampilkan rincian tambahan jika tersedia
Spasi	Ulangi keluaran suara
M	Aktifkan pembesaran bertahap
Koma	Aktifkan pembesaran langsung
N	Nonaktifkan pembesaran
Z	Tampilkan atau sembunyikan subtitel
C	Gilir pengaturan kontras
T	Gunakan warna monokrom
L	Ganti bahasa jika tersedia
K	Hentikan suara saat ini
Y	Hentikan keluaran suara
O	Mulai atau hentikan sonifikasi
P	Ulangi keluaran sonifikasi

Ruang kolom \(\col(A)\) suatu matriks digambarkan sebagai bidang dalam tiga dimensi. Ruang nol transposnya \(\nul(A^T)\) ditampilkan sebagai garis yang ortogonal terhadap \(\col(A)\text{,}\) sehingga memperlihatkan bahwa \(\col(A)\) dan \(\nul(A^T)\) saling menjadi komplemen ortogonal.

🔗

Gambar 6.2.11. Komplemen ortogonal ruang kolom \(A\) adalah ruang nol \(A^T\text{.}\)

🔗

Subbagian 6.2.4 Sifat-sifat transpos matriks

Transpos adalah operasi aljabar sederhana yang dilakukan pada suatu matriks. Aktivitas berikut menyelidiki beberapa sifatnya.

🔗

Kegiatan 6.2.4.

Dalam Sage, transpos matriks A diberikan oleh A.T. Definisikan matriks-matriks

\begin{equation*} A = \begin{bmatrix} 1 \amp 0 \amp -3 \\ 2 \amp -2 \amp 1 \\ \end{bmatrix}, \hspace{6pt} B = \begin{bmatrix} 3 \amp -4 \amp 1 \\ 0 \amp 1 \amp 2 \\ \end{bmatrix}, \hspace{6pt} C= \begin{bmatrix} 1 \amp 0 \amp -3 \\ 2 \amp -2 \amp 1 \\ 3 \amp 2 \amp 0 \\ \end{bmatrix}\text{.} \end{equation*}

🔗

Hitung \((A+B)^T\) dan \(A^T+B^T\text{.}\) Apa yang Anda perhatikan tentang hubungan antara kedua matriks ini?
🔗

🔗
Apa yang terjadi jika suatu matriks ditranspos dua kali; yaitu, apa hasil dari \((A^T)^T\text{?}\)
🔗

🔗
Tentukan \(\det(C)\) dan \(\det(C^T)\text{.}\) Apa yang Anda perhatikan tentang hubungan antara kedua determinan ini?
🔗

🔗
1. Tentukan hasil kali \(AC\) dan transposnya \((AC)^T\text{.}\)
  🔗
  
  🔗
2. Apakah hasil kali \(A^TC^T\) dapat dihitung? Jelaskan mengapa dapat atau tidak.
  🔗
  
  🔗
3. Tentukan hasil kali \(C^TA^T\) dan bandingkan dengan \((AC)^T\text{.}\) Apa yang Anda perhatikan tentang hubungan antara kedua matriks ini?
  🔗
  
  🔗
🔗
🔗
Apa transpos dari matriks identitas \(I\text{?}\)
🔗

🔗
Jika matriks persegi \(D\) invertibel, jelaskan mengapa kita dapat menjamin bahwa \(D^T\) invertibel dan mengapa \((D^T)^{-1} = (D^{-1})^T\text{.}\)
🔗

🔗

🔗

Meskipun kita meninjau beberapa contoh khusus, aktivitas ini memperlihatkan sifat-sifat umum transpos berikut, yang dapat diverifikasi dengan sedikit upaya.

🔗

Sifat-sifat transpos.

Berikut adalah beberapa sifat transpos matriks, yang dinyatakan dalam matriks umum \(A\text{,}\) \(B\text{,}\) dan \(C\text{.}\) Kita mengasumsikan bahwa \(C\) adalah matriks persegi.

Jika \(A+B\) terdefinisi, maka \((A+B)^T = A^T+B^T\text{.}\)
🔗

🔗
\((sA)^T = sA^T\text{.}\)
🔗

🔗
\((A^T)^T = A\text{.}\)
🔗

🔗
\(\det(C) = \det(C^T)\text{.}\)
🔗

🔗
Jika \(AB\) terdefinisi, maka \((AB)^T = B^TA^T\text{.}\) Perhatikan bahwa urutan perkaliannya dibalik.
🔗

🔗
Jika \(C\) invertibel, maka \((C^T)^{-1} = (C^{-1})^T\text{.}\)
🔗

🔗

🔗

Ada satu sifat terakhir yang ingin kita catat, meskipun kita akan menunggu hingga Subbab 7.4 untuk menjelaskan mengapa sifat tersebut benar.

🔗

Proposisi 6.2.12.

Untuk setiap matriks \(A\text{,}\) berlaku

\begin{equation*} \rank(A) = \rank(A^T)\text{.} \end{equation*}

🔗

Proposisi ini penting karena menyiratkan hubungan antara dimensi suatu subruang dan komplemen ortogonalnya. Sebagai contoh, jika \(A\) adalah matriks \(m\times n\text{,}\) kita telah melihat dalam Subbab 3.5 bahwa \(\dim\col(A) = \rank(A)\) dan \(\dim\nul(A) = n-\rank(A)\text{.}\)

🔗

Sekarang misalkan \(W\) adalah subruang berdimensi \(n\) dari \(\real^m\) dengan basis \(\wvec_1,\wvec_2,\ldots,\wvec_n\text{.}\) Jika kita membentuk matriks \(m\times n\) \(A=\begin{bmatrix}\wvec_1 \amp \wvec_2 \amp \ldots \amp \wvec_n\end{bmatrix}\text{,}\) maka \(\col(A) = W\text{,}\) sehingga

\begin{equation*} \rank(A) = \dim\col(A) = \dim W = n\text{.} \end{equation*}

🔗

Transpos \(A^T\) adalah matriks \(n\times m\) yang memenuhi \(\rank(A^T) = \rank(A)= n\text{.}\) Karena \(W^\perp = \nul(A^T)\text{,}\) kita memperoleh

\begin{equation*} \dim W^\perp = \dim\nul(A^T) = m - \rank(A^T) = m-n = m-\dim W\text{.} \end{equation*}

Hal ini menjelaskan proposisi berikut.

🔗

Proposisi 6.2.13.

Jika \(W\) adalah subruang dari \(\real^m\text{,}\) maka

\begin{equation*} \dim W + \dim W^\perp = m\text{.} \end{equation*}

🔗

Contoh 6.2.14.

Dalam Contoh 6.2.4, kita membangun komplemen ortogonal suatu garis di \(\real^3\text{.}\) Dimensi komplemen ortogonal tersebut haruslah \(3 - 1 = 2\text{,}\) yang menjelaskan mengapa kita memperoleh bidang sebagai komplemen ortogonalnya.

🔗

Contoh 6.2.15.

Dalam Contoh 6.2.5, kita meninjau \(W\text{,}\) suatu subruang berdimensi \(2\) dari \(\real^5\text{,}\) dan memperoleh komplemen ortogonalnya \(W^\perp\) sebagai subruang berdimensi \(5-2=3\) dari \(\real^5\text{.}\)

🔗

Kegiatan 6.2.5.

Misalkan \(W\) adalah subruang berdimensi \(5\) dari \(\real^9\) dan \(A\) adalah matriks yang kolom-kolomnya membentuk basis bagi \(W\text{;}\) yaitu, \(\col(A) = W\text{.}\)
1. Berapakah ukuran \(A\text{?}\)
  🔗
  
  🔗
2. Berapakah rank \(A\text{?}\)
  🔗
  
  🔗
3. Berapakah ukuran \(A^T\text{?}\)
  🔗
  
  🔗
4. Berapakah rank \(A^T\text{?}\)
  🔗
  
  🔗
5. Berapakah \(\dim\nul(A^T)\text{?}\)
  🔗
  
  🔗
6. Berapakah \(\dim W^\perp\text{?}\)
  🔗
  
  🔗
7. Bagaimana hubungan antara dimensi \(W\) dan \(W^\perp\text{?}\)
  🔗
  
  🔗
🔗
🔗
Misalkan \(W\) adalah subruang dari \(\real^4\) yang memiliki basis

\begin{equation*} \wvec_1 = \fourvec102{-1},\hspace{24pt} \wvec_2 = \fourvec{-1}2{-6}3. \end{equation*}
1. Tentukan dimensi \(\dim W\) dan \(\dim W^\perp\text{.}\)
  🔗
  
  🔗
2. Tentukan sebuah basis bagi \(W^\perp\text{.}\) Perlu diketahui bahwa perintah Sage A.right_kernel() menghasilkan basis bagi \(\nul(A)\text{.}\)
  🔗
  
  🔗
3. Verifikasikan bahwa setiap vektor basis yang Anda peroleh bagi \(W^\perp\) ortogonal terhadap vektor-vektor basis bagi \(W\text{.}\)
  🔗
  
  🔗
🔗
🔗

🔗

Subbagian 6.2.5 Ringkasan

Bagian ini memperkenalkan transpos matriks, hubungannya dengan hasil kali titik, dan penggunaannya untuk mendeskripsikan komplemen ortogonal suatu subruang.

Kolom-kolom matriks \(A\) adalah baris-baris matriks transpos \(A^T\text{.}\)
🔗

🔗
Komponen-komponen hasil kali \(A^T\xvec\) adalah hasil kali titik \(\xvec\) dengan kolom-kolom \(A\text{.}\)
🔗

🔗
Komplemen ortogonal ruang kolom \(A\) sama dengan ruang nol \(A^T\text{;}\) yaitu, \(\col(A)^\perp = \nul(A^T)\text{.}\)
🔗

🔗
Jika \(W\) adalah subruang dari \(\real^p\text{,}\) maka

\begin{equation*} \dim W + \dim W^\perp = p. \end{equation*}

🔗

🔗

🔗

Uji Pemahaman 6.2.16. Vektor di \(W\) dan \(W^\perp\).

Dapatkah suatu vektor tak nol berada di \(W\) sekaligus \(W^\perp\text{?}\) Jelaskan penalaran Anda.

🔗

Latihan 6.2.6 Latihan

1.

Misalkan \(W\) adalah subruang dari \(\real^4\) dengan basis

\begin{equation*} \wvec_1=\fourvec{-2}22{-4},\hspace{24pt} \wvec_2=\fourvec{-2}35{-5}. \end{equation*}

Berapakah dimensi \(\dim W\) dan \(\dim W^\perp\text{?}\)
🔗

🔗
Tentukan sebuah basis bagi \(W^\perp\text{.}\)
🔗

🔗
Verifikasikan bahwa setiap vektor basis bagi \(W^\perp\) ortogonal terhadap \(\wvec_1\) dan \(\wvec_2\text{.}\)
🔗

🔗

🔗

2.

Perhatikan matriks \(A = \begin{bmatrix} -1 \amp -2 \amp -2 \\ 1 \amp 3 \amp 4 \\ 2 \amp 1 \amp -2 \end{bmatrix}\text{.}\)

Tentukan \(\rank(A)\) dan sebuah basis bagi \(\col(A)\text{.}\)
🔗

🔗
Tentukan dimensi \(\col(A)^\perp\) dan carilah sebuah basis baginya.
🔗

🔗

🔗

3.

Misalkan \(W\) adalah subruang dari \(\real^4\) yang didefinisikan sebagai himpunan solusi persamaan

\begin{equation*} x_1 - 3x_2 + 5x_3 - 2x_4 = 0. \end{equation*}

Berapakah dimensi \(\dim W\) dan \(\dim W^\perp\text{?}\)
🔗

🔗
Tentukan sebuah basis bagi \(W\text{.}\)
🔗

🔗
Tentukan sebuah basis bagi \(W^\perp\text{.}\)
🔗

🔗
Secara umum, bagaimana cara mudah mencari sebuah basis bagi \(W^\perp\) ketika \(W\) didefinisikan oleh

\begin{equation*} Ax_1+Bx_2+Cx_3+Dx_4 = 0? \end{equation*}

🔗

🔗

🔗

4.

Tentukan apakah pernyataan-pernyataan berikut benar atau salah, dan jelaskan penalaran Anda.

Jika \(A=\begin{bmatrix} 2 \amp 1 \\ 1 \amp 1 \\ -3 \amp 1 \end{bmatrix}\text{,}\) maka \(\xvec=\threevec{4}{-5}1\) berada di \(\col(A)^\perp\text{.}\)
🔗

🔗
Jika \(A\) adalah matriks \(2\times3\) dan \(B\) adalah matriks \(3\times4\text{,}\) maka \((AB)^T = A^TB^T\) adalah matriks \(4\times2\text{.}\)
🔗

🔗
Jika kolom-kolom \(A\) adalah \(\vvec_1\text{,}\) \(\vvec_2\text{,}\) dan \(\vvec_3\text{,}\) serta \(A^T\xvec = \threevec{2}01\text{,}\) maka \(\xvec\) ortogonal terhadap \(\vvec_2\text{.}\)
🔗

🔗
Jika \(A\) adalah matriks \(4\times 4\) dengan \(\rank(A) = 3\text{,}\) maka \(\col(A)^\perp\) adalah sebuah garis di \(\real^4\text{.}\)
🔗

🔗
Jika \(A\) adalah matriks \(5\times 7\) dengan \(\rank(A) = 5\text{,}\) maka \(\rank(A^T) = 7\text{.}\)
🔗

🔗

🔗

5.

Terapkan sifat-sifat operasi matriks untuk menyederhanakan ekspresi-ekspresi berikut.

\(\displaystyle A^T(BA^T)^{-1} \)
🔗

🔗
\(\displaystyle (A+B)^T(A+B) \)
🔗

🔗
\(\displaystyle [A(A+B)^T]^T \)
🔗

🔗
\(\displaystyle (A + 2I)^T \)
🔗

🔗

🔗

6.

Matriks simetris \(A\) adalah matriks yang memenuhi \(A=A^T\text{.}\)

Jelaskan mengapa matriks simetris harus berbentuk persegi.
🔗

🔗
Jika \(A\) dan \(B\) adalah matriks umum, sedangkan \(D\) adalah matriks diagonal persegi, manakah di antara matriks berikut yang dapat dijamin simetris?
1. \(\displaystyle D\)
  🔗
  
  🔗
2. \(\displaystyle BAB^{-1} \)
  🔗
  
  🔗
3. \(AA^T\text{.}\)
  🔗
  
  🔗
4. \(\displaystyle BDB^T\)
  🔗
  
  🔗
🔗
🔗

🔗

7.

Jika \(A\) adalah matriks persegi, ingat bahwa polinom karakteristik \(A\) adalah \(\det(A-\lambda I)\) dan akar-akar polinom karakteristik tersebut merupakan nilai eigen dari \(A\text{.}\)

Jelaskan mengapa \(A\) dan \(A^T\) memiliki polinom karakteristik yang sama.
🔗

🔗
Jelaskan mengapa \(A\) dan \(A^T\) memiliki himpunan nilai eigen yang sama.
🔗

🔗
Misalkan \(A\) dapat didiagonalkan dengan diagonalisasi \(A=PDP^{-1}\text{.}\) Jelaskan mengapa \(A^T\) dapat didiagonalkan dan tentukan suatu diagonalisasinya.
🔗

🔗

🔗

8.

Latihan ini memperkenalkan suatu bentuk teorema Pythagoras yang akan kita gunakan kemudian.

Misalkan \(\vvec\) dan \(\wvec\) saling ortogonal. Gunakan hasil kali titik untuk menjelaskan mengapa

\begin{equation*} \len{\vvec+\wvec}^2 = \len{\vvec}^2 + \len{\wvec}^2. \end{equation*}

🔗

🔗
Misalkan \(W\) adalah subruang dari \(\real^m\) dan \(\zvec\) adalah vektor di \(\real^m\) yang memenuhi

\begin{equation*} \zvec = \xvec + \yvec, \end{equation*}

dengan \(\xvec\) berada di \(W\) dan \(\yvec\) berada di \(W^\perp\text{.}\) Jelaskan mengapa

\begin{equation*} \len{\zvec}^2 = \len{\xvec}^2 + \len{\yvec}^2, \end{equation*}

yang merupakan salah satu bentuk teorema Pythagoras.

🔗

🔗

🔗

9.

Dalam bab berikut, matriks simetris---yaitu matriks yang memenuhi \(A=A^T\)---memegang peranan penting. Ternyata, vektor-vektor eigen suatu matriks simetris yang berkaitan dengan nilai eigen berbeda saling ortogonal. Kita akan menjelaskan fakta ini dalam latihan ini.

Dengan memandang vektor sebagai matriks yang memiliki satu kolom, kita dapat menuliskan \(\xvec\cdot\yvec = \xvec^T\yvec\text{.}\) Jika \(A\) adalah suatu matriks, jelaskan mengapa \(\xvec\cdot (A\yvec) = (A^T\xvec) \cdot \yvec\text{.}\)
🔗

🔗
Kita telah melihat bahwa matriks \(A=\begin{bmatrix} 1 \amp 2 \\ 2 \amp 1 \end{bmatrix}\) memiliki vektor eigen \(\vvec_1=\twovec11\) dengan nilai eigen terkait \(\lambda_1=3\text{,}\) serta \(\vvec_2 = \twovec{1}{-1}\) dengan nilai eigen terkait \(\lambda_2 = -1\text{.}\) Verifikasikan bahwa \(A\) simetris dan bahwa \(\vvec_1\) serta \(\vvec_2\) saling ortogonal.
🔗

🔗
Misalkan \(A\) adalah matriks simetris umum, \(\vvec_1\) merupakan vektor eigen yang berkaitan dengan nilai eigen \(\lambda_1\text{,}\) dan \(\vvec_2\) merupakan vektor eigen yang berkaitan dengan nilai eigen berbeda \(\lambda_2\text{.}\) Dengan memulai dari \(\vvec_1\cdot (A\vvec_2)\text{,}\) terapkan identitas dari bagian pertama latihan ini untuk menjelaskan mengapa \(\vvec_1\) dan \(\vvec_2\) saling ortogonal.
🔗

🔗

🔗

10.

Diberikan matriks \(m\times n\) \(A\text{,}\) ruang baris dari \(A\) adalah ruang kolom \(A^T\text{;}\) yaitu, \(\row(A) = \col(A^T)\text{.}\)

Misalkan \(A\) adalah matriks \(7\times 15\text{.}\) Untuk nilai \(p\) berapakah \(\row(A)\) merupakan subruang dari \(\real^p\text{?}\)
🔗

🔗
Bagaimana Proposisi 6.2.10 dapat membantu kita mendeskripsikan \(\row(A)^\perp\text{?}\)
🔗

🔗
Misalkan \(A = \begin{bmatrix} -1 \amp -2 \amp 2 \amp 1 \\ 2 \amp 4 \amp -1 \amp 5 \\ 1 \amp 2 \amp 0 \amp 3 \end{bmatrix}\text{.}\) Tentukan basis bagi \(\row(A)\) dan \(\row(A)^\perp\text{.}\)
🔗

🔗

🔗

Sblm Top Lnjt