Transformasi matriks, yang telah kita pelajari pada bagian sebelumnya, memungkinkan kita mendeskripsikan fungsi-fungsi tertentu \(T:\real^n\to\real^m\text{.}\) Pada bagian ini, kita akan menunjukkan bahwa transformasi matriks menyediakan cara yang praktis untuk mendeskripsikan operasi geometri, seperti rotasi, pencerminan, dan penskalaan. Selanjutnya, kita akan mempelajari penggunaan transformasi matriks dalam animasi komputer.
Kita akan mendeskripsikan transformasi matriks \(T\) yang mencerminkan vektor dua dimensi terhadap sumbu horizontal. Sebagai contoh, Gambar 2.6.1 memperlihatkan bagaimana vektor \(\xvec\) dicerminkan menjadi vektor \(T(\xvec)\text{.}\)
Gunakan hasil yang Anda peroleh untuk menuliskan matriks \(A\) sedemikian sehingga \(T(\xvec) = A\xvec\text{.}\) Kemudian, pastikan bahwa \(T\left(\twovec{x}{y}\right)\) sesuai dengan hasil yang Anda peroleh pada bagian b.
Deskripsikan transformasi yang dihasilkan dari komposisi \(T\) dengan dirinya sendiri; yaitu, apakah transformasi \(T\circ T\) itu? Jelaskan bagaimana perkalian matriks dapat digunakan untuk membenarkan jawaban Anda.
Kita telah melihat bagaimana beberapa operasi geometri, seperti rotasi dan pencerminan, dapat dideskripsikan menggunakan transformasi matriks. Secara lebih umum, kegiatan berikut menunjukkan bahwa transformasi matriks dapat melakukan beragam operasi geometri penting.
Di bagian atas diagram terdapat empat penggeser yang disusun dalam larik \(2\times2\text{.}\) Penggeser tersebut memungkinkan pembaca menentukan matriks \(2\times2\)\(A\text{.}\) Transformasi matriks \(T:\real^2\to\real^2\) diberikan oleh \(T(\xvec) = A\xvec\text{.}\)
Bagian bawah diagram terdiri atas dua gambar kecil, satu di kiri dan satu di kanan. Gambar di kiri memuat kisi koordinat \(1\times1\text{,}\) sepasang sumbu berlabel, persegi satuan dengan titik sudut kiri bawah di titik asal, serta vektor \(\xvec=\twovec10\text{.}\)
Gambar di kanan menunjukkan pengaruh \(T\) terhadap unsur-unsur tersebut. Secara khusus, vektor \(T(\xvec)\) ditampilkan bersama kisi koordinat dan persegi satuan yang telah ditransformasikan.
Diagram berikut memperagakan pengaruh transformasi matriks \(T\) terhadap bidang. Anda dapat mengubah matriks \(A=\begin{bmatrix} a \amp b \\ c \amp d
\\ \end{bmatrix}\) yang mendefinisikan \(T\) melalui penggeser di bagian atas.
Karena transformasi matriks menerima vektor sebagai masukan dan menghasilkan vektor sebagai keluaran, kita akan menampilkan masukan dan keluaran pada pasangan sumbu yang terpisah. Secara khusus, sumbu di kiri merepresentasikan masukan, sedangkan sumbu di kanan memperlihatkan bagaimana unsur-unsur masukan ditransformasikan oleh \(T\text{.}\)
Untuk setiap matriks \(2\times2\)\(A\) berikut, gunakan diagram untuk mempelajari pengaruh transformasi matriks yang bersesuaian, \(T(\xvec) =
A\xvec\text{.}\) Untuk setiap transformasi, deskripsikan pengaruh geometrinya terhadap bidang.
Kegiatan sebelumnya menyajikan beberapa contoh yang menunjukkan bahwa transformasi matriks dapat melakukan operasi geometri yang menarik, seperti rotasi, penskalaan, dan pencerminan. Sebelum melanjutkan, kita perlu menjelaskan mengapa operasi-operasi tersebut dapat direpresentasikan oleh transformasi matriks. Secara lebih umum, kita menanyakan: jenis fungsi \(T:\real^n\to\real^m\) apakah yang dapat direpresentasikan sebagai transformasi matriks?
Sifat linearitas perkalian matriks-vektor merupakan kunci untuk menjawab pertanyaan ini. Ingatlah bahwa jika \(A\) adalah matriks, \(\vvec\) dan \(\wvec\) adalah vektor, serta \(c\) adalah skalar, maka
Ternyata, jika \(T:\real^n\to\real^m\) memenuhi kedua sifat linearitas ini, kita dapat menemukan matriks \(A\) sedemikian sehingga \(T(\xvec) = A\xvec\text{.}\) Bahkan, Proposisi 2.5.6 memberi tahu kita cara membentuk \(A\text{;}\) kita cukup menuliskan
Secara sederhana, proposisi ini berarti bahwa jika kita memiliki fungsi \(T:\real^n\to\real^m\) dan dapat memverifikasi kedua sifat linearitas yang dinyatakan dalam proposisi, kita mengetahui bahwa \(T\) merupakan transformasi matriks. Mari kita lihat penerapannya.
Kita akan mempertimbangkan fungsi \(T:\real^2\to\real^2\) yang merotasikan vektor \(\xvec\) sebesar \(45^\circ\) berlawanan arah jarum jam untuk memperoleh \(T(\xvec)\text{,}\) seperti terlihat pada Gambar 2.6.5.
Pertama, kita perlu mengetahui bahwa \(T\) dapat direpresentasikan oleh transformasi matriks. Menurut Proposisi 2.6.3, ini berarti bahwa kita perlu memverifikasi sifat-sifat linearitas:
Dua gambar berikut memperlihatkan mengapa sifat-sifat tersebut berlaku. Sebagai contoh, Gambar 2.6.6 menunjukkan hubungan antara \(T(\vvec)\) dan \(T(c\vvec)\) ketika \(c\) adalah skalar. Secara khusus, menskalakan sebuah vektor lalu merotasikannya memberikan hasil yang sama dengan merotasikannya lalu menskalakannya. Dengan demikian, \(T(c\vvec)
= cT(\vvec)\text{.}\)
Vektor \(T(\vvec)\) dan \(T(c\vvec)\) diperoleh dengan merotasikan \(\vvec\) dan \(c\vvec\) sebesar 45 derajat. Kedua vektor itu kembali terletak pada garis yang sama.
Demikian pula, Gambar 2.6.7 menunjukkan hubungan antara \(T(\vvec+\wvec)\text{,}\)\(T(\vvec)\text{,}\) dan \(T(\wvec)\text{.}\) Ingatlah bahwa jumlah dua vektor direpresentasikan oleh diagonal jajar genjang yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut. Rotasi \(T\) merotasikan jajar genjang yang dibentuk oleh \(\vvec\) dan \(\wvec\) menjadi jajar genjang yang dibentuk oleh \(T(\vvec)\) dan \(T(\wvec)\text{.}\) Hal ini menjelaskan mengapa \(T(\vvec+\wvec) = T(\vvec) + T(\wvec)\text{.}\)
Jajar genjang yang dibentuk oleh vektor \(T(\vvec)\) dan \(T(\wvec)\text{,}\) dengan jumlah kedua vektor sebagai diagonal jajar genjang. Karena jajar genjang ini diperoleh dengan merotasikan jajar genjang semula yang dibentuk oleh \(\vvec\) dan \(\wvec\text{,}\) kita melihat bahwa \(T(\vvec+\wvec) =
T(\vvec)+T(\wvec)\text{.}\)
Gambar2.6.7.Vektor \(T(\vvec+\wvec)\) merupakan jumlah \(T(\vvec)\) dan \(T(\wvec)\text{,}\) sehingga \(T(\vvec + \wvec) = T(\vvec) + T(\wvec)\text{.}\)
Setelah memverifikasi kedua sifat ini, kita kini mengetahui bahwa fungsi \(T\) yang merotasikan vektor sebesar \(45^\circ\) merupakan transformasi matriks. Oleh karena itu, kita dapat menuliskannya sebagai \(T(\xvec) = A\xvec\text{,}\) dengan \(A\) matriks \(2\times2\)\(A=\left[\begin{array}{rr} T(\evec_1) \amp T(\evec_2)
\end{array}\right]\text{.}\) Kolom-kolom matriks ini, yaitu \(T(\evec_1)\) dan \(T(\evec_2)\text{,}\) ditampilkan di sebelah kanan Gambar 2.6.8.
Perhatikan bahwa \(T(\evec_1)\) membentuk segitiga siku-siku sama kaki, seperti ditampilkan pada Gambar 2.6.9. Karena panjang \(\evec_1\) adalah 1, panjang \(T(\evec_1)\text{,}\) yaitu sisi miring segitiga tersebut, juga 1. Menurut teorema Pythagoras, panjang setiap kaki segitiga adalah \(1/\sqrt{2}\text{.}\)
Vektor \(T(\evec_1)\text{,}\) dengan \(\evec_1=\twovec10\text{,}\) direpresentasikan oleh panah yang berawal di titik asal, memiliki panjang satu, dan membentuk sudut 45 derajat terhadap sumbu horizontal positif. Vektor ini, sumbu horizontal, dan ruas garis vertikal dari ujung vektor ke sumbu horizontal membentuk sebuah segitiga siku-siku. Setiap kaki segitiga siku-siku ini memiliki panjang \(1/\sqrt{2}\text{.}\)
Dari sini diperoleh \(T(\evec_1) = \twovec{\frac1{\sqrt{2}}}
{\frac1{\sqrt{2}}}\text{.}\) Dengan cara yang sama, kita memperoleh \(T(\evec_2) = \twovec{-\frac1{\sqrt{2}}}
{\frac1{\sqrt{2}}}\text{,}\) sehingga matriks \(A\) adalah
Dalam contoh ini, kita mengetahui bahwa \(T\text{,}\) yaitu fungsi yang mendeskripsikan rotasi pada bidang, memang merupakan transformasi matriks dengan memeriksa bahwa
Penalaran yang sama dapat diterapkan secara lebih umum untuk menunjukkan bahwa rotasi, pencerminan, dan penskalaan merupakan transformasi matriks. Demikian pula, kita dapat meninjau kembali fungsi-fungsi dalam Kegiatan 2.5.3 dan memverifikasi bahwa fungsi-fungsi tersebut merupakan transformasi matriks.
Dalam kegiatan ini, kita akan mendeskripsikan berbagai transformasi matriks dengan mencari matriks yang menghasilkan transformasi yang diinginkan. Semua transformasi yang kita pelajari di sini berbentuk \(T:\real^2\to\real^2\text{.}\)
Tentukan matriks transformasi yang tidak mengubah vektor; yaitu, \(T(\xvec) = \xvec\text{.}\)
Apa hasil komposisi pencerminan yang Anda peroleh pada bagian sebelumnya dengan dirinya sendiri; yaitu, apakah pengaruh mencerminkan terhadap garis \(y=x\) lalu mencerminkan kembali terhadap garis yang sama? Berikan penjelasan geometri untuk hasil Anda, dan juga penjelasan aljabar yang diperoleh melalui perkalian matriks.
Bandingkan hasil rotasi sebesar \(90^\circ\) yang kemudian dicerminkan terhadap garis \(y=x\) dengan hasil pencerminan terlebih dahulu terhadap \(y=x\) yang kemudian dirotasikan sebesar \(90^\circ\text{.}\)
Tentukan matriks yang dihasilkan dengan mengomposisikan rotasi \(90^\circ\) dengan dirinya sendiri sebanyak empat kali; yaitu, jika \(T\) adalah transformasi matriks yang merotasikan vektor sebesar \(90^\circ\text{,}\) tentukan matriks untuk \(T\circ T\circ T \circ
T\text{.}\) Jelaskan mengapa hasil Anda masuk akal secara geometri.
Subbagian2.6.3Transformasi matriks dan animasi komputer
Aljabar linear berperan penting dalam animasi komputer. Sekarang kita akan mengilustrasikan bagaimana transformasi matriks dan beberapa gagasan yang telah kita kembangkan pada bagian ini digunakan oleh animator komputer untuk menciptakan ilusi gerak pada karakter mereka.
Gambar 2.6.10 mendeskripsikan perbandingan antara pose awal dan pose yang telah diubah dari sebuah karakter uji animasi. Agar karakter tampak bergerak, animator membuat rangkaian bingkai dengan pose yang sedikit diubah dari satu bingkai ke bingkai berikutnya, sering kali menggunakan transformasi matriks.
Kontras pedagogis yang semula ditunjukkan oleh pasangan gambar dapat dipahami sebagai berikut: pada pose acuan, karakter tiga dimensi berdiri tegak dengan kedua lengan direntangkan ke samping dan tubuhnya dikendalikan oleh jaring titik; pada pose berikutnya, titik-titik pada jaring tersebut dipindahkan sehingga karakter condong ke satu sisi, sementara hubungan bagian-bagian tubuh tetap terjaga. Perubahan kecil semacam ini dari satu bingkai ke bingkai berikutnya menghasilkan ilusi gerak.
Tentu saja, karakter realistis digambar dalam tiga dimensi. Namun, agar pembahasan lebih sederhana, kita akan mengamati karakter dua dimensi ini dan merancang transformasi matriks yang memindahkannya ke berbagai pose.
Figur batang dua dimensi sederhana yang dapat mewakili karakter dalam film animasi komputer ditampilkan pada kisi koordinat dan sepasang sumbu. Kaki karakter berada di titik \((-1/2,0)\) dan \((1/2,0)\text{.}\) Kakinya memanjang dari kedua titik tersebut dan menyatu dengan tubuh di \((0,1/2)\text{.}\) Kepala karakter berupa elips berpusat di \((0,2)\text{,}\) dengan rentang vertikal satu satuan dan rentang horizontal setengah satuan. Kedua lengan digambar sebagai satu garis dari \((-1/2,1/2)\) ke \((1/2,3/2)\text{.}\)
Tentu saja, hal pertama yang mungkin ingin kita lakukan adalah memindahkannya ke posisi lain pada bidang, seperti ditampilkan pada Gambar 2.6.11. Gerak seperti ini disebut translasi.
Hal ini menimbulkan masalah karena transformasi matriks \(T:\real^2\to\real^2\) memiliki sifat \(T(\zerovec) = A\zerovec = \zerovec\text{.}\) Artinya, transformasi matriks tidak dapat memindahkan titik asal bidang koordinat. Untuk mengatasi batasan ini, animator menggunakan koordinat homogen, yang dibentuk dengan menempatkan bidang koordinat dua dimensi di dalam \(\real^3\) sebagai bidang \(z=1\text{,}\) seperti ditampilkan pada Gambar 2.6.12.
Diagram tiga dimensi dengan sumbu koordinat berlabel \(x\text{,}\)\(y\text{,}\) dan \(z\text{.}\) Bidang koordinat dua dimensi, termasuk karakter figur batang, disertakan sebagai bidang \(z=1\) sehingga tampak sebagai bidang horizontal satu satuan di atas titik asal.
Akibatnya, alih-alih mendeskripsikan titik pada bidang sebagai vektor \(\twovec{x}{y}\text{,}\) kita mendeskripsikannya sebagai vektor tiga dimensi \(\threevec{x}{y}{1}\text{.}\) Seperti akan kita lihat pada kegiatan berikut, hal ini memungkinkan kita mentranslasikan karakter pada bidang.
Karena kita menganggap karakter kita berada di \(\real^3\text{,}\) kita akan mempertimbangkan transformasi matriks yang didefinisikan oleh matriks
\begin{equation*}
\left[\begin{array}{rrr}
a \amp b \amp c \\
d \amp e \amp f \\
0 \amp 0 \amp 1 \\
\end{array}\right]\text{.}
\end{equation*}
Tunjukkan bahwa transformasi matriks tersebut memetakan titik pada bidang \(z=1\) ke titik pada bidang yang sama; yaitu,
\begin{equation*}
\left[\begin{array}{rrr}
a \amp b \amp c \\
d \amp e \amp f \\
0 \amp 0 \amp 1 \\
\end{array}\right]
\threevec{x}{y}{1} = \threevec{x'}{y'}{1}\text{.}
\end{equation*}
Nyatakan koordinat titik hasil \(x'\) dan \(y'\) dalam koordinat titik semula \(x\) dan \(y\text{.}\)
Diagram interaktif ini memiliki enam penggeser di bagian atas. Baris atas memuat tiga penggeser berlabel \(a\text{,}\)\(b\text{,}\) dan \(c\text{.}\) Baris bawah memuat tiga penggeser berlabel \(d\text{,}\)\(e\text{,}\) dan \(f\text{.}\) Pembaca dapat menggerakkan penggeser-penggeser ini untuk menentukan transformasi matriks yang didefinisikan oleh matriks \(\begin{bmatrix}a \amp b \amp c \\
d \amp e \amp f \\
0 \amp 0 \amp 1 \\
\end{bmatrix}\text{.}\)
Di bawah keenam penggeser terdapat dua diagram. Diagram kiri menampilkan karakter figur batang yang diperkenalkan sebelumnya. Diagram kanan menampilkan hasil penerapan transformasi matriks pada figur batang tersebut.
Diagram berikut memungkinkan Anda memilih parameter \(a, b, \ldots, f\) untuk menentukan matriks \(\begin{bmatrix}
a \amp b \amp c \\
d \amp e \amp f \\
0 \amp 0 \amp 1 \\
\end{bmatrix}\text{.}\) Pengaruh transformasi pada karakter kita ditampilkan di sebelah kanan.
Pada gambar semula, karakter kita melambaikan salah satu tangannya. Dalam salah satu adegan film, kita ingin karakter tersebut melambaikan tangan yang lain, seperti ditampilkan pada Gambar 2.6.15. Tentukan transformasi matriks yang memindahkannya ke pose ini.
Selanjutnya, karakter kita melakukan gerakan meroda dengan melewati rangkaian pose yang ditampilkan pada Gambar 2.6.16. Tentukan transformasi matriks yang menghasilkan pose-pose tersebut.
Berikutnya, kita ingin menentukan transformasi yang memperbesar tampilan wajah karakter, seperti ditampilkan pada Gambar 2.6.17. Untuk melakukannya, pikirkan komposisi transformasi matriks. Pada diagram, hal ini dapat dilakukan dengan menggunakan tombol Komposisikan, yang menjadikan pose saat ini di sebelah kanan sebagai pose awal baru di sebelah kiri. Transformasi matriks apakah yang memindahkan karakter dari pose semula di kiri atas ke pose akhir di kanan bawah?
Karakter figur batang telah ditranslasikan satu satuan lagi ke bawah, sehingga kepalanya berpusat di titik asal dan kedua kakinya berada setengah satuan di kedua sisi \((0,-2)\text{.}\)
Dari posisi terakhir, karakter diperbesar dengan faktor dua. Kepalanya tetap berpusat di titik asal, tetapi kedua kakinya kini berada satu satuan di kedua sisi \((0,-4)\text{.}\)
Kita juga ingin membuat bayangan karakter, yang ditampilkan dalam rangkaian pose pada Gambar 2.6.18. Tentukan rangkaian transformasi matriks yang menghasilkan bayangan tersebut. Secara khusus, tentukan transformasi matriks yang memindahkan karakter dari pose semula ke bayangannya di kanan bawah.
Kedua kaki karakter tetap berjarak setengah satuan horizontal di kedua sisi titik asal. Namun, tubuhnya membentuk garis dengan sudut 45 derajat dari sumbu horizontal positif, dan kepalanya berpusat di sekitar titik \((2,2)\text{.}\)
Dari posisi sebelumnya, karakter dimampatkan secara vertikal dengan faktor dua. Kedua kakinya tetap berjarak setengah satuan horizontal di kedua sisi titik asal, tetapi kepalanya kini berpusat di \((2,1)\text{.}\)
Dari posisi sebelumnya, karakter kembali dimampatkan secara vertikal dengan faktor dua. Kedua kakinya tetap berjarak setengah satuan horizontal di kedua sisi titik asal, tetapi kepalanya kini berpusat di \((2,1/2)\text{.}\)
Untuk setiap operasi geometri berikut pada bidang, tentukan matriks \(2\times 2\) yang mendefinisikan transformasi matriks yang melakukan operasi tersebut.
Latihan ini menyelidiki komposisi pencerminan pada bidang.
Tentukan hasil pencerminan yang mula-mula dilakukan terhadap garis \(y=0\text{,}\) lalu terhadap \(y=x\text{.}\) Operasi apa yang sudah dikenal yang merupakan efek keseluruhan komposisi ini?
Apa yang terjadi jika kedua operasi dikomposisikan dalam urutan sebaliknya; yaitu, apa yang terjadi jika pencerminan mula-mula dilakukan terhadap \(y=x\text{,}\) lalu terhadap \(y=0\text{?}\) Operasi apa yang sudah dikenal yang dihasilkan?
Operasi geometri apa yang sudah dikenal yang dihasilkan jika pencerminan mula-mula dilakukan terhadap garis \(y=x\text{,}\) lalu terhadap \(y=-x\text{?}\)
Operasi geometri apa yang sudah dikenal yang dihasilkan jika mula-mula dilakukan rotasi sebesar \(90^\circ\text{,}\) lalu pencerminan terhadap garis \(y=x\text{?}\)
Secara umum, komposisi dua pencerminan menghasilkan rotasi sebesar dua kali sudut dari garis pencerminan pertama ke garis pencerminan kedua. Hal ini akan diselidiki secara lebih umum dalam Latihan 2.6.5.8
Tiga sumbu koordinat dalam ruang tiga dimensi. Setiap sumbu koordinat memuat vektor dengan panjang satu yang menunjuk ke arah pertambahan koordinat. Secara khusus, \(\evec_1=\threevec100\text{,}\)\(\evec_2=\threevec010\text{,}\) dan \(\evec_3=\threevec001\text{.}\)
Bayangkan ibu jari tangan kanan Anda menunjuk ke arah \(\evec_1\text{.}\) Rotasi positif terhadap sumbu \(x\) sesuai dengan arah tekukan jari-jari Anda. Tentukan matriks yang mendefinisikan transformasi matriks \(T\) yang merotasikan vektor sebesar \(90^\circ\) terhadap sumbu \(x\text{.}\)
Apa efek keseluruhan dari rotasi sebesar \(90^\circ\) terhadap sumbu \(x\text{,}\) yang diikuti rotasi \(90^\circ\) terhadap sumbu \(y\text{,}\) lalu diikuti rotasi \(-90^\circ\) terhadap sumbu \(x\text{?}\)
Jika suatu transformasi matriks melakukan sebuah operasi geometri, kita ingin menentukan transformasi matriks yang membatalkan operasi tersebut.
Misalkan \(T:\real^2\to\real^2\) adalah transformasi matriks yang merotasikan vektor sebesar \(90^\circ\text{.}\) Tentukan transformasi matriks \(S:\real^2\to\real^2\) yang membatalkan rotasi tersebut; yaitu, \(S\) membawa \(T(\xvec)\) kembali menjadi \(\xvec\) sehingga \((S\circ T)(\xvec) = \xvec\text{.}\) Tentukan secara geometris bagaimana transformasi \(S\) seharusnya bekerja, lalu verifikasi secara aljabar.
Verifikasikan secara aljabar bahwa pencerminan \(R:\real^2\to\real^2\) terhadap garis \(y=x\) merupakan invers dirinya sendiri; yaitu, \(R^{-1} = R\text{.}\)
melakukan rotasi sebesar sudut \(\theta\) terhadap titik asal. Sekarang, misalkan kita ingin melakukan rotasi sebesar \(90^\circ\) terhadap titik \((1,2)\text{.}\) Dengan menggunakan koordinat homogen, kita akan menyusun matriks yang melakukan operasi ini.
Gambar2.6.20.Urutan transformasi matriks yang, jika dibaca dari kiri ke kanan dan dari atas ke bawah, merotasikan sebuah vektor terhadap titik \((1,2)\text{.}\)
Tinjau transformasi matriks \(T:\real^2\to\real^2\) yang memetakan vektor \(\xvec\) ke vektor terdekat pada sumbu horizontal seperti diperlihatkan dalam Gambar 2.6.21. Transformasi ini disebut proyeksi pada sumbu horizontal. \(T(\xvec)\) dapat dibayangkan sebagai bayangan yang dibentuk oleh \(\xvec\) akibat lampu senter yang berada jauh pada bagian positif sumbu \(y\text{.}\)
Secara umum, komposisi transformasi matriks bergantung pada urutan komposisinya. Namun, hal ini tidak berlaku untuk transformasi-transformasi tersebut. Periksalah dengan memverifikasi bahwa
Vektor \(\twovec ab\) digambarkan sebagai panah yang berawal di titik asal dan berakhir di titik berkoordinat a dan b. Panjang vektor dinyatakan dengan \(r\text{,}\) sedangkan sudut terhadap sumbu horizontal positif dinyatakan dengan \(\theta\text{.}\)
Misalkan terdapat transformasi matriks \(T\) yang didefinisikan oleh matriks \(A\) dan transformasi lain \(S\) yang didefinisikan oleh \(B\text{,}\) dengan
\begin{equation*}
A= \left[\begin{array}{rr}
a \amp -b \\
b \amp a \\
\end{array}\right],~~~
B= \left[\begin{array}{rr}
c \amp -d \\
d \amp c \\
\end{array}\right]\text{.}
\end{equation*}
Jelaskan efek geometri komposisi \(S\circ
T\) dalam bentuk \(a\text{,}\)\(b\text{,}\)\(c\text{,}\) dan \(d\text{.}\)
Akan dicari bentuk serupa bagi matriks yang merepresentasikan pencerminan \(P_\theta\) terhadap \(L_\theta\text{,}\) yaitu garis yang melalui titik asal dan membentuk sudut \(\theta\) terhadap bagian positif sumbu \(x\text{,}\) seperti diperlihatkan dalam Gambar 2.6.23.
Garis \(L_\theta\) membentuk sudut \(\theta\) terhadap sumbu horizontal positif, dan ditampilkan bersama vektor \(\xvec\text{.}\) Hasil pencerminan \(\xvec\) terhadap garis \(L_\theta\) ditampilkan dan dinyatakan dengan \(P_\theta(\xvec)\text{.}\)
Perhatikan bahwa pencerminan ini dapat diperoleh dengan mengomposisikan tiga transformasi terpisah seperti diperlihatkan dalam Gambar 2.6.24. Dimulai dengan vektor \(\xvec\text{,}\) transformasi \(R\) diterapkan untuk merotasikannya sebesar \(-\theta\) sehingga diperoleh \(R(\xvec)\text{.}\) Selanjutnya diterapkan \(S\text{,}\) yaitu pencerminan terhadap sumbu horizontal, diikuti oleh \(T\text{,}\) yaitu rotasi sebesar \(\theta\text{.}\) Terlihat bahwa \(T(S(R(\xvec)))=P_\theta(\xvec)\) merupakan hasil pencerminan \(\xvec\) terhadap garis semula \(L_\theta\text{.}\)
Terakhir, garis dan vektor dirotasikan berlawanan arah jarum jam sebesar \(\theta\) sehingga diperoleh vektor \(P_\theta(\xvec)=T(S(R(\xvec)))\text{.}\)
Setelah diperoleh matriks yang menyatakan pencerminan terhadap garis \(L_\theta\text{,}\) tunjukkan bahwa komposisi pencerminan terhadap sumbu horizontal yang diikuti oleh pencerminan terhadap \(L_\theta\) merupakan rotasi berlawanan arah jarum jam sebesar sudut \(2\theta\text{.}\) Beberapa contohnya telah dilihat sebelumnya dalam Latihan 2.6.5.2.
