Teorema Spektral telah menjadi landasan beberapa bagian terakhir. Secara khusus, kita menerapkan fakta bahwa matriks simetris dapat didiagonalisasi secara ortogonal untuk menyederhanakan bentuk kuadratik, sehingga kita dapat menggunakan analisis komponen utama untuk mengurangi dimensi suatu himpunan data.
Namun, apa yang dapat kita lakukan terhadap matriks yang tidak simetris atau bahkan tidak persegi? Sebagai contoh, matriks-matriks berikut tidak dapat didiagonalisasi, apalagi didiagonalisasi secara ortogonal:
Dalam bagian ini, kita akan mengembangkan suatu penguraian matriks yang disebut dekomposisi nilai singular dan, dalam banyak hal, serupa dengan diagonalisasi ortogonal. Sebagai contoh, kita telah melihat bahwa setiap matriks simetris dapat ditulis dalam bentuk \(QDQ^T\text{,}\) dengan \(Q\) suatu matriks ortogonal dan \(D\) diagonal. Suatu dekomposisi nilai singular akan berbentuk \(U\Sigma V^T\text{,}\) dengan \(U\) dan \(V\) ortogonal serta \(\Sigma\) diagonal. Yang terpenting, kita akan melihat bahwa setiap matriks mempunyai dekomposisi nilai singular, baik matriks itu simetris maupun tidak.
Mari kita tinjau kembali diagonalisasi ortogonal dan bentuk kuadratik, karena pemahaman kita tentang dekomposisi nilai singular akan bertumpu pada keduanya.
Misalkan \(A = \begin{bmatrix}
1 \amp 2 \\
-2 \amp -1 \\
\end{bmatrix}\text{.}\) Tentukan matriks \(G=A^TA\) dan tuliskan bentuk kuadratik \(q_G\left(\twovec{x_1}{x_2}\right)\) sebagai fungsi dari \(x_1\) dan \(x_2\text{.}\)
Ingat kembali cara membentuk diagonalisasi ortogonal suatu matriks simetris: jika \(A\) simetris, kita menulis \(A = QDQ^T\text{,}\) dengan entri-entri diagonal \(D\) merupakan nilai-nilai eigen \(A\) dan kolom-kolom \(Q\) merupakan vektor-vektor eigen yang bersesuaian. Selain itu, nilai-nilai eigen tersebut berkaitan dengan nilai maksimum dan minimum bentuk kuadratik \(q_A(\uvec)\) yang bersesuaian pada seluruh vektor satuan.
Suatu matriks umum, terutama matriks yang tidak persegi, mungkin tidak mempunyai nilai eigen dan vektor eigen. Namun, kita dapat menemukan unsur-unsur yang serupa, yang disebut nilai singular dan vektor singular, dengan mempelajari sebuah fungsi yang agak menyerupai bentuk kuadratik. Lebih khusus lagi, setiap matriks \(A\) mendefinisikan fungsi
yang mengukur panjang \(A\xvec\text{.}\) Sebagai contoh, matriks diagonal \(D=\begin{bmatrix}
3 \amp 0 \\
0 \amp -2 \\
\end{bmatrix}\) menghasilkan fungsi \(l_D(\xvec) = \sqrt{9x_1^2 + 4x_2^2}\text{.}\) Adanya akar kuadrat berarti fungsi ini bukan bentuk kuadratik. Meskipun demikian, kita dapat mendefinisikan nilai dan vektor singular dengan mencari nilai maksimum dan minimum fungsi \(l_A(\uvec)\) pada seluruh vektor satuan \(\uvec\text{.}\)
Di sebelah kiri bawah penggeser terdapat kisi koordinat dan sumbu \(1\times1\) standar, beserta lingkaran satuan dan vektor satuan \(\xvec\) yang dapat digerakkan mengelilingi lingkaran satuan.
Di sebelah kanan bawah penggeser terdapat kisi koordinat \(1\times1\) standar beserta sumbu-sumbunya. Lingkaran satuan di sebelah kiri ditransformasikan oleh matriks menjadi elips di sebelah kanan. Ketika vektor \(\xvec\) di sebelah kiri digerakkan mengelilingi lingkaran satuan, vektor \(A\xvec\) bergerak mengelilingi elips. Terdapat vektor kedua, yaitu vektor satuan yang menunjuk ke arah yang sama dengan \(A\xvec\text{.}\) Ditampilkan pula sebuah persegi panjang yang tingginya menyatakan \(\len{A\xvec}\text{,}\) panjang \(A\xvec\text{.}\)
Anda dapat memilih matriks \(2\times2\)\(A=\begin{bmatrix}
a \amp b \\
c \amp d \\
\end{bmatrix}\) menggunakan empat penggeser di bagian atas diagram. Di sebelah kiri, Anda dapat mengubah vektor satuan merah \(\xvec\) dengan mengeklik ujung panah vektor tersebut.
Pilih matriks \(A=\begin{bmatrix}
1 \amp 2 \\
-2 \amp - 1 \\
\end{bmatrix}\text{.}\) Ketika kita mengubah vektor \(\xvec\text{,}\) vektor \(A\xvec\) tampak berwarna abu-abu di sebelah kanan, sedangkan tinggi batang biru di sebelah kanan menyatakan \(l_A(\xvec) =
|A\xvec|\text{.}\)
Nilai singular pertama \(\sigma_1\) adalah nilai maksimum \(l_A(\xvec)\) pada seluruh vektor satuan, dan vektor singular kanan yang bersesuaian \(\vvec_1\) adalah vektor satuan yang menyatakan arah tempat nilai maksimum ini dicapai.
Nilai singular kedua \(\sigma_2\) adalah nilai minimum \(l_A(\xvec)\) pada seluruh vektor satuan, dan sebuah vektor singular kanan yang bersesuaian \(\vvec_2\) adalah vektor satuan yang menyatakan arah tempat nilai minimum ini dicapai.
Berikut cara menentukan nilai singular dan vektor singular kanan tanpa menggunakan diagram. Ingat bahwa \(l_A(\xvec) = \sqrt{q_G(\xvec)}\text{,}\) dengan \(G=A^TA\) adalah matriks Gram yang terkait dengan \(A\text{.}\) Karena \(G\) simetris, matriks ini dapat didiagonalisasi secara ortogonal. Tentukan \(G\) beserta suatu diagonalisasi ortogonalnya.
Berapakah nilai maksimum bentuk kuadratik \(q_G(\xvec)\) pada seluruh vektor satuan, dan pada arah manakah nilai itu dicapai? Berapakah nilai minimum \(q_G(\xvec)\text{,}\) dan pada arah manakah nilai itu dicapai?
Karena \(l_A(\xvec) = \sqrt{q_G(\xvec)}\text{,}\) nilai singular pertama \(\sigma_1\) merupakan akar kuadrat dari nilai maksimum \(q_G(\xvec)\text{,}\) sedangkan \(\sigma_2\) merupakan akar kuadrat dari nilai minimumnya. Verifikasi bahwa nilai-nilai singular yang Anda peroleh dari diagram adalah akar kuadrat dari nilai maksimum dan minimum \(q_G(\xvec)\text{.}\)
Verifikasi bahwa vektor-vektor singular kanan \(\vvec_1\) dan \(\vvec_2\) yang Anda peroleh dari diagram merupakan arah-arah tempat nilai maksimum dan minimum tersebut dicapai.
Terakhir, kita memperkenalkan vektor-vektor singular kiri\(\uvec_1\) dan \(\uvec_2\) dengan mensyaratkan \(A\vvec_1 = \sigma_1\uvec_1\) dan \(A\vvec_2=\sigma_2\uvec_2\text{.}\) Tentukan kedua vektor singular kiri tersebut.
Seperti ditunjukkan aktivitas ini, nilai singular \(A\) adalah nilai maksimum dan minimum \(l_A(\xvec)=|A\xvec|\) pada seluruh vektor satuan, sedangkan vektor singular kanan \(\vvec_1\) dan \(\vvec_2\) adalah arah-arah tempat nilai tersebut dicapai. Kunci untuk menentukan nilai dan vektor singular ialah memanfaatkan matriks Gram \(G\) serta bentuk kuadratik \(q_G(\xvec)\) yang terkait dengannya. Kita akan mengilustrasikannya dengan beberapa contoh lagi.
Kita akan menentukan dekomposisi nilai singular dari matriks \(A=\begin{bmatrix}
1 \amp 2 \\
-1 \amp 2
\end{bmatrix}
\text{.}\) Perhatikan bahwa matriks ini tidak simetris sehingga tidak dapat didiagonalisasi secara ortogonal.
Kita mulai dengan membentuk matriks Gram \(G = A^TA =
\begin{bmatrix}
2 \amp 0 \\
0 \amp 8 \\
\end{bmatrix}\text{.}\) Karena \(G\) simetris, matriks ini dapat didiagonalisasi secara ortogonal dengan
Kini kita mengetahui bahwa nilai maksimum bentuk kuadratik \(q_G(\xvec)\) adalah 8, yang dicapai pada arah \(\twovec01\text{.}\) Karena \(l_A(\xvec) =
\sqrt{q_G(\xvec)}\text{,}\) hal ini menunjukkan bahwa nilai maksimum \(l_A(\xvec)\text{,}\) yaitu nilai singular pertama, adalah \(\sigma_1=\sqrt{8}\) dan dicapai pada arah vektor singular kanan pertama \(\vvec_1=\twovec01\text{.}\)
Dengan cara yang sama, kita juga mengetahui bahwa nilai singular kedua adalah \(\sigma_2=\sqrt{2}\text{,}\) dengan vektor singular kanan yang bersesuaian \(\vvec_2=\twovec10\text{.}\)
Vektor singular kiri pertama \(\uvec_1\) didefinisikan oleh \(A\vvec_1 = \twovec22 = \sigma_1\uvec_1\text{.}\) Karena \(\sigma_1 = \sqrt{8}\text{,}\) diperoleh \(\uvec_1
= \twovec{1/\sqrt{2}}{1/\sqrt{2}}\text{.}\) Perhatikan bahwa \(\uvec_1\) merupakan vektor satuan karena \(\sigma_1 =
|A\vvec_1|\text{.}\)
Dengan cara yang sama, vektor singular kiri kedua didefinisikan oleh \(A\vvec_2 = \twovec1{-1} = \sigma_2\uvec_2\text{,}\) sehingga diperoleh \(\uvec_2 = \twovec{1/\sqrt{2}}{-1/\sqrt{2}}\text{.}\)
Karena vektor-vektor singular kanan, yaitu kolom-kolom \(V\text{,}\) merupakan vektor eigen matriks simetris \(G\text{,}\) vektor-vektor itu membentuk basis ortonormal. Artinya, \(V\) ortogonal. Oleh karena itu, diperoleh \((AV)V^T = A = U\Sigma V^T\text{.}\) Hal ini memberikan dekomposisi nilai singular
Sebagai rangkuman, kita menentukan dekomposisi nilai singular suatu matriks \(A\) dengan cara berikut:
Bentuk matriks Gram \(G=A^TA\) dan tentukan suatu diagonalisasi ortogonal untuk memperoleh nilai-nilai eigen \(\lambda_i\) serta basis ortonormal yang terdiri atas vektor-vektor eigen.
Nilai-nilai singular \(A\) adalah akar kuadrat dari nilai-nilai eigen \(\lambda_i\) milik \(G\text{;}\) yaitu, \(\sigma_i = \sqrt{\lambda_i}\text{.}\) Menurut konvensi, nilai-nilai singular dicantumkan dalam urutan menurun: \(\sigma_1 \geq \sigma_2 \geq \ldots\text{.}\) Vektor-vektor singular kanan \(\vvec_i\) adalah vektor-vektor eigen \(G\) yang bersesuaian.
Vektor-vektor singular kiri \(\uvec_i\) ditentukan melalui \(A\vvec_i = \sigma_i\uvec_i\text{.}\) Karena \(\sigma_i=|A\vvec_i|\text{,}\) kita mengetahui bahwa \(\uvec_i\) merupakan vektor satuan.
Bahkan, vektor-vektor singular kiri juga akan membentuk basis ortonormal. Untuk melihatnya, misalkan nilai-nilai singular yang bersesuaian taknol. Maka diperoleh:
Mari kita tentukan dekomposisi nilai singular untuk matriks simetris \(A=\begin{bmatrix}
1 \amp 2 \\
2 \amp 1
\end{bmatrix}\text{.}\) Matriks Gram yang terkait adalah
Contoh ini istimewa karena \(A\) simetris. Dengan sedikit pemikiran, dekomposisi nilai singular ini dapat dihubungkan dengan diagonalisasi ortogonal \(A\) menggunakan fakta bahwa \(G=A^TA = A^2\text{.}\)
Dalam aktivitas ini, kita akan membentuk dekomposisi nilai singular dari \(A=\begin{bmatrix} 1 \amp 0 \amp -1 \\
1 \amp 1 \amp 1
\end{bmatrix}\text{.}\) Perhatikan bahwa matriks ini tidak persegi sehingga tidak ada nilai eigen dan vektor eigen yang terkait dengannya.
Bentuk matriks Gram \(G=A^TA\) dan tentukan suatu diagonalisasi ortogonalnya.
Tentukan nilai-nilai singular \(A\) dan vektor-vektor singular kanan \(\vvec_1\text{,}\)\(\vvec_2\text{,}\) serta \(\vvec_3\text{.}\) Berapakah dimensi vektor-vektor tersebut? Berapa banyak nilai singular yang taknol?
Tentukan vektor-vektor singular kiri \(\uvec_1\) dan \(\uvec_2\) menggunakan fakta bahwa \(A\vvec_i =
\sigma_i\uvec_i\text{.}\) Berapakah dimensi vektor-vektor ini? Apa yang terjadi jika Anda mencoba menentukan vektor singular kiri ketiga \(\uvec_3\) dengan cara ini?
Seperti sebelumnya, bentuklah matriks-matriks ortogonal \(U\) dan \(V\) dari vektor singular kiri dan kanan. Berapakah ukuran \(U\) dan \(V\text{?}\) Bagaimana ukuran-ukuran tersebut berkaitan dengan jumlah baris dan kolom \(A\text{?}\)
Bagaimana dekomposisi nilai singular \(A=U\Sigma V^T\) ini dapat digunakan untuk menentukan dengan mudah dekomposisi nilai singular dari \(A^T=\begin{bmatrix}
1 \amp 1 \\
0 \amp 1 \\
-1 \amp 1 \\
\end{bmatrix}\text{?}\)
yang menghasilkan nilai-nilai singular \(\sigma_1=\sqrt{144}=12\text{,}\)\(\sigma_2 = \sqrt{9}= 3\text{,}\) dan \(\sigma_3 = 0\text{.}\) Vektor-vektor singular kanan \(\vvec_i\) merupakan kolom-kolom \(Q\text{,}\) sehingga \(V = Q\text{.}\)
Perhatikan bahwa \(U\) merupakan matriks ortogonal \(2\times2\) karena \(A\) mempunyai dua baris, sedangkan \(V\) merupakan matriks ortogonal \(3\times3\) karena \(A\) mempunyai tiga kolom.
Seperti akan kita lihat dalam bagian berikutnya, mungkin diperlukan langkah tambahan untuk membentuk vektor-vektor singular kiri \(\uvec_j\) jika lebih banyak nilai singular bernilai nol, tetapi untuk saat ini hal tersebut tidak perlu kita risaukan. Mari kita rangkum hasil kita dalam teorema berikut.
Suatu matriks \(m\times n\)\(A\) dapat ditulis sebagai \(A=U\Sigma V^T\text{,}\) dengan \(U\) matriks ortogonal \(m\times m\text{,}\)\(V\) matriks ortogonal \(n\times n\text{,}\) dan \(\Sigma\) matriks \(m\times n\) yang semua entrinya nol, kecuali nilai-nilai singular \(A\) yang muncul dalam urutan menurun pada diagonal.
Perhatikan bahwa dekomposisi nilai singular \(A\) memberikan dekomposisi nilai singular \(A^T\text{.}\) Lebih khusus lagi, jika \(A=U\Sigma V^T\text{,}\) maka
Jika \(A=U\Sigma V^T\text{,}\) maka \(A^T = V\Sigma^T U^T\text{.}\) Dengan kata lain, \(A\) dan \(A^T\) mempunyai nilai-nilai singular yang sama, dan vektor-vektor singular kiri \(A\) adalah vektor-vektor singular kanan \(A^T\text{,}\) begitu pula sebaliknya.
Seperti telah disebutkan, dekomposisi nilai singular sebaiknya dipandang sebagai generalisasi diagonalisasi ortogonal. Sebagai contoh, Teorema Spektral menyatakan bahwa matriks simetris dapat ditulis sebagai \(QDQ^T\text{.}\) Namun, banyak matriks tidak simetris sehingga tidak dapat didiagonalisasi secara ortogonal. Meskipun demikian, setiap matriks mempunyai dekomposisi nilai singular \(U\Sigma V^T\text{.}\) Konsekuensi dari generalisasi ini ialah bahwa biasanya terdapat dua himpunan vektor singular yang membentuk matriks ortogonal \(U\) dan \(V\text{,}\) sedangkan matriks simetris mempunyai satu himpunan vektor eigen yang membentuk matriks ortogonal \(Q\text{.}\)
Setelah memahami apa itu dekomposisi nilai singular dan cara membentuknya, mari kita telusuri bagaimana dekomposisi nilai singular mengungkap struktur yang mendasari suatu matriks. Seperti akan kita lihat, matriks \(U\) dan \(V\) dalam suatu dekomposisi nilai singular menyediakan basis yang sesuai bagi beberapa subruang penting, seperti ruang kolom dan ruang nol matriks. Pengamatan ini akan menjadi kunci bagi beberapa penggunaan dekomposisi tersebut dalam bagian berikutnya.
Syarat apa yang harus dipenuhi oleh \(c_1\text{,}\)\(c_2\text{,}\) dan \(c_3\) jika \(\xvec\) merupakan solusi persamaan \(A\xvec=40\uvec_1 + 20\uvec_2\text{?}\) Apakah solusinya tunggal, atau terdapat tak hingga banyak solusi?
Dengan mengingat bahwa \(\uvec_1\) dan \(\uvec_2\) bebas linear, syarat apa yang harus dipenuhi oleh \(c_1\text{,}\)\(c_2\text{,}\) dan \(c_3\) jika \(A\xvec = \zerovec\text{?}\)
untuk suatu koefisien \(c_1\) dan \(c_2\text{.}\) Bagaimana vektor-vektor singular kiri \(\uvec_i\) memberikan basis ortonormal bagi \(\col(A)\text{?}\)
Ingat bahwa \(\rank(A)\) adalah dimensi ruang kolom. Berapakah \(\rank(A)\text{,}\) dan bagaimana banyaknya nilai singular taknol menentukan \(\rank(A)\text{?}\)
Aktivitas ini menunjukkan bagaimana dekomposisi nilai singular suatu matriks menyandikan informasi penting tentang ruang nol dan ruang kolomnya. Lebih khusus lagi, vektor-vektor singular kiri dan kanan memberikan basis ortonormal bagi \(\nul(A)\) dan \(\col(A)\text{.}\) Inilah salah satu alasan mengapa dekomposisi nilai singular sangat berguna.
yang menyatakan bahwa \(\bvec\) merupakan kombinasi linear \(\uvec_1\text{,}\)\(\uvec_2\text{,}\) dan \(\uvec_3\text{.}\) Oleh karena itu, ketiga vektor tersebut membentuk basis bagi \(\col(A)\text{.}\) Bahkan, karena ketiganya merupakan kolom-kolom matriks ortogonal \(U\text{,}\) ketiganya membentuk basis ortonormal bagi \(\col(A)\text{.}\)
Dengan mengingat bahwa \(\rank(A)=\dim\col(A)\text{,}\) kita melihat bahwa \(\rank(A) = 3\text{,}\) yang berasal dari tiga nilai singular taknol. Secara umum, rank \(r\) suatu matriks \(A\) sama dengan banyaknya nilai singular taknol, dan \(\uvec_1, \uvec_2,
\ldots,\uvec_r\) membentuk basis ortonormal bagi \(\col(A)\text{.}\)
yang mengakibatkan \(c_1=0\text{,}\)\(c_2=0\text{,}\) dan \(c_3=0\text{.}\) Oleh karena itu, \(\xvec = c_4\vvec_4+c_5\vvec_5\text{,}\) sehingga \(\vvec_4\) dan \(\vvec_5\) membentuk basis ortonormal bagi \(\nul(A)\text{.}\)
Secara lebih umum, jika \(A\) adalah matriks \(m\times n\) dan \(\rank(A) = r\text{,}\) maka \(n-r\) vektor singular kanan terakhir membentuk basis ortonormal bagi \(\nul(A)\text{.}\)
Ingat bahwa Proposisi 7.4.6 menyatakan bahwa \(A\) dan transposenya \(A^T\) mempunyai nilai-nilai singular yang sama. Karena rank suatu matriks sama dengan banyaknya nilai singular taknol, hal ini berarti \(\rank(A)=\rank(A^T)\text{,}\) suatu fakta yang telah kita sebutkan dalam Subbab 6.2.
Jika kita mempunyai dekomposisi nilai singular matriks \(m\times n\)\(A=U\Sigma V^T\text{,}\)Proposisi 7.4.6 juga menyatakan bahwa vektor-vektor singular kiri \(A\) adalah vektor-vektor singular kanan \(A^T\text{.}\) Oleh karena itu, \(U\) merupakan matriks \(m\times m\) yang kolom-kolomnya adalah vektor singular kanan \(A^T\text{.}\) Artinya, \(m-r\) vektor terakhir membentuk basis ortonormal bagi \(\nul(A^T)\text{.}\) Dengan demikian, kolom-kolom \(U\) memberikan basis ortonormal bagi \(\col(A)\) dan \(\nul(A^T)\text{:}\)
Dengan cara yang sama, \(V\) merupakan matriks \(n\times n\) yang kolom-kolomnya adalah vektor singular kiri \(A^T\text{.}\) Artinya, \(r\) vektor pertama membentuk basis ortonormal bagi \(\col(A^T)\text{.}\) Karena kolom-kolom \(A^T\) adalah baris-baris \(A\text{,}\) subruang ini kadang-kadang disebut ruang baris\(A\) dan dinotasikan dengan \(\row(A)\text{.}\) Walaupun kita belum berkesempatan menggunakan \(\row(A)\text{,}\) ada kalanya basis ortonormal bagi ruang tersebut penting, dan dekomposisi nilai singular menyediakannya. Sebagai rangkuman, kolom-kolom \(V\) memberikan basis ortonormal bagi \(\col(A^T)\) dan \(\nul(A)\text{:}\)
Secara keseluruhan, subruang \(\col(A)\text{,}\)\(\nul(A)\text{,}\)\(\col(A^T)\text{,}\) dan \(\nul(A^T)\) disebut empat subruang fundamental yang terkait dengan \(A\text{.}\) Selain memberikan rank suatu matriks, dekomposisi nilai singular memberikan basis ortonormal bagi keempat subruang fundamental tersebut.
Ketika sebelumnya kita menguraikan prosedur untuk menentukan dekomposisi singular suatu matriks \(m\times n\)\(A\text{,}\) kita menentukan vektor singular kiri \(\uvec_j\) menggunakan ekspresi \(A\vvec_j = \sigma_j\uvec_j\text{.}\) Cara ini menghasilkan vektor singular kiri \(\uvec_1, \uvec_2,\ldots,\uvec_r\text{,}\) dengan \(r=\rank(A)\text{.}\) Namun, jika \(r\lt m\text{,}\) kita masih perlu menentukan vektor singular kiri \(\uvec_{r+1},\ldots,\uvec_m\text{.}\)Teorema 7.4.9 memberi tahu caranya: karena vektor-vektor tersebut membentuk basis ortonormal bagi \(\nul(A^T)\text{,}\) kita dapat menentukannya dengan menyelesaikan \(A^T\xvec = \zerovec\) untuk memperoleh basis bagi \(\nul(A^T)\text{,}\) lalu menerapkan algoritma Gram--Schmidt.
Meskipun demikian, kita tidak perlu terlalu merisaukan persoalan ini karena kita akan sering menggunakan perangkat lunak untuk menentukan dekomposisi nilai singular.
Subbagian7.4.4Dekomposisi nilai singular tereduksi
Seperti akan kita lihat dalam bagian berikutnya, adakalanya dekomposisi nilai singular lebih bermanfaat jika dinyatakan dalam bentuk yang sedikit berbeda.
Jika \(A = U\Sigma V^T\text{,}\) jelaskan mengapa \(A=U_r\Sigma_rV_r^T\text{,}\) dengan kolom-kolom \(U_r\) membentuk basis ortonormal bagi \(\col(A)\text{,}\)\(\Sigma_r\) merupakan matriks persegi diagonal yang dapat diinvers, dan kolom-kolom \(V_r\) membentuk basis ortonormal bagi \(\col(A^T)\text{.}\)
Bagian ini telah membahas dekomposisi nilai singular, cara menentukannya, serta cara dekomposisi tersebut menata informasi penting tentang suatu matriks.
Dekomposisi nilai singular suatu matriks \(A\) adalah faktorisasi \(A=U\Sigma V^T\text{.}\) Matriks \(\Sigma\) berukuran sama dengan \(A\text{,}\) dan satu-satunya entri taknolnya adalah nilai-nilai singular \(A\) yang muncul dalam urutan menurun pada diagonal. Matriks \(U\) dan \(V\) ortogonal, dan kolom-kolomnya masing-masing memuat vektor singular kiri dan vektor singular kanan.
Untuk menentukan dekomposisi nilai singular suatu matriks, kita membentuk matriks Gram \(G=A^TA\text{,}\) yang simetris. Nilai-nilai singular \(A\) adalah akar kuadrat dari nilai-nilai eigen \(G\text{,}\) sedangkan vektor-vektor singular kanan \(\vvec_j\) adalah vektor-vektor eigen \(G\) yang bersesuaian. Vektor-vektor singular kiri \(\uvec_j\) ditentukan dari hubungan \(A\vvec_j=\sigma_j\uvec_j\text{.}\)
Dekomposisi nilai singular mengungkap informasi fundamental tentang suatu matriks. Sebagai contoh, banyaknya nilai singular taknol adalah rank \(r\) matriks tersebut. \(r\) vektor singular kiri pertama membentuk basis ortonormal bagi \(\col(A)\text{,}\) sedangkan vektor-vektor singular kiri yang tersisa membentuk basis ortonormal bagi \(\nul(A^T)\text{.}\)\(r\) vektor singular kanan pertama membentuk basis ortonormal bagi \(\col(A^T)\text{,}\) sedangkan vektor-vektor singular kanan yang tersisa membentuk basis ortonormal bagi \(\nul(A)\text{.}\)
Jika \(A\) adalah matriks ber-rank \(r\text{,}\) kita dapat menulis dekomposisi nilai singular tereduksi sebagai \(A=U_r\Sigma_rV_r^T\text{,}\) dengan kolom-kolom \(U_r\) membentuk basis ortonormal bagi \(\col(A)\text{,}\) kolom-kolom \(V_r\) membentuk basis ortonormal bagi \(\col(A^T)\text{,}\) dan \(\Sigma_r\) merupakan matriks diagonal \(r\times r\) yang dapat diinvers.
Tentukan suatu dekomposisi nilai singular dari \(A\text{,}\) lalu verifikasi bahwa dekomposisi tersebut juga merupakan diagonalisasi ortogonal dari \(A\text{.}\)
Jika \(A\) adalah matriks simetris semidefinit positif, jelaskan mengapa suatu dekomposisi nilai singular dari \(A\) merupakan diagonalisasi ortogonal dari \(A\text{.}\)
Bentuklah matriks Gram \(G\) dan gunakan matriks tersebut untuk menentukan nilai-nilai singular serta vektor-vektor singular kanan \(\vvec_1\text{,}\)\(\vvec_2\text{,}\) dan \(\vvec_3\) dari \(A\text{.}\) Apa matriks \(\Sigma\) dan \(V\) dalam suatu dekomposisi nilai singular?
Perhatikan matriks \(B=\begin{bmatrix}
1 \amp 0 \\
2 \amp -1 \\
1 \amp 2
\end{bmatrix}\text{.}\) Perhatikan bahwa \(B=A^T\text{,}\) dengan \(A\) sebagai matriks pada Latihan 7.4.6.1.
Misalkan \(\bvec=\threevec{-3}47\text{.}\) Gunakan basis-basis yang diperoleh pada bagian sebelumnya untuk menulis \(\bvec=\bhat+\bvec^\perp\text{,}\) dengan \(\bhat\) berada dalam \(\col(B)\) dan \(\bvec^\perp\) berada dalam \(\col(B)^\perp\text{.}\)
Jika \(A=U\Sigma V^T\) adalah dekomposisi nilai singular dari matriks persegi \(A\text{,}\) jelaskan mengapa \(|\det A|\) sama dengan hasil kali nilai-nilai singular \(A\text{.}\)
Jika \(A\) simetris, jelaskan mengapa nilai-nilai singular \(A\) sama dengan nilai absolut dari nilai-nilai eigennya: \(\sigma_j = |\lambda_j|\text{.}\)
Tentukan apakah pernyataan-pernyataan berikut benar atau salah, lalu jelaskan alasan Anda.
Jika \(A=U\Sigma V^T\) adalah dekomposisi nilai singular \(A\text{,}\) maka \(G=V(\Sigma^T\Sigma)V^T\) merupakan diagonalisasi ortogonal dari matriks Gramnya.
Jika \(A=U\Sigma V^T\) adalah dekomposisi nilai singular dari matriks \(A\) berperingkat 2, maka \(\vvec_1\) dan \(\vvec_2\) membentuk basis ortonormal untuk ruang kolom \(\col(A)\text{.}\)
Misalkan \(A=U\Sigma V^T\) adalah dekomposisi nilai singular dari matriks \(m\times n\)\(A\text{.}\) Jika \(\sigma_1,\ldots,\sigma_r\) adalah nilai-nilai singular taknol, bentuk umum matriks \(\Sigma\) adalah
