Bagian sebelumnya memperkenalkan vektor dan kombinasi linear serta menunjukkan bagaimana keduanya menyediakan cara untuk memikirkan sistem linear secara geometris. Secara khusus, kita melihat bahwa vektor \(\bvec\) merupakan kombinasi linear dari vektor-vektor \(\vvec_1,\vvec_2,\ldots,\vvec_n\) tepat ketika sistem linear yang bersesuaian dengan matriks diperbesar
Tujuan kita dalam bagian ini adalah memperkenalkan perkalian matriks, suatu operasi aljabar lain yang memperdalam kaitan antara sistem linear dan kombinasi linear.
Subbagian2.2.1Perkalian skalar dan penjumlahan matriks
Mula-mula kita memandang matriks sebagai susunan bilangan berbentuk persegi panjang. Jika kita mengatakan bahwa ukuran suatu matriks adalah \(m\times
n\text{,}\) maksudnya matriks tersebut memiliki \(m\) baris dan \(n\) kolom. Sebagai contoh, ukuran matriks di bawah ini adalah \(3\times4\text{:}\)
Ini berarti bahwa kita dapat mendefinisikan operasi perkalian skalar dan penjumlahan matriks menggunakan operasi vektor per kolom yang bersesuaian. Sebagai contoh,
Matriks \(I_n\text{,}\) yang kita sebut matriks identitas, adalah matriks \(n\times n\) yang semua entrinya bernilai nol kecuali entri-entri diagonalnya, yang semuanya bernilai 1. Sebagai contoh,
Seperti ditunjukkan oleh aktivitas pratinjau ini, operasi perkalian skalar dan penjumlahan matriks merupakan perluasan alami dari operasi yang bersesuaian pada vektor. Namun, kita perlu berhati-hati saat menjumlahkan matriks. Karena matriks-matriks yang dijumlahkan harus memuat jumlah vektor yang sama dan vektor-vektor tersebut harus berdimensi sama, dua matriks harus berukuran sama jika kita ingin membentuk jumlahnya.
Subbagian2.2.2Perkalian matriks-vektor dan kombinasi linear
Operasi yang lebih penting adalah perkalian matriks karena operasi ini memungkinkan kita menyatakan sistem linear secara ringkas. Sekarang kita memperkenalkan hasil kali matriks dan vektor melalui sebuah contoh.
Hasil kalinya didefinisikan sebagai kombinasi linear dari kolom-kolom \(A\) dengan menggunakan komponen-komponen \(\xvec\) sebagai bobot. Ini berarti bahwa
Karena \(A\) memiliki dua kolom, kita memerlukan dua bobot untuk membentuk kombinasi linear dari kolom-kolom tersebut, yang berarti bahwa \(\xvec\) harus memiliki dua komponen. Dengan kata lain, banyaknya kolom \(A\) harus sama dengan dimensi vektor \(\xvec\text{.}\)
Dengan demikian, kita melihat bahwa jika \(A\) adalah matriks \(3\times2\text{,}\) maka \(\xvec\) harus berupa vektor berdimensi 2 dan \(A\xvec\) akan berdimensi 3.
Hasil kali suatu matriks \(A\) dengan vektor \(\xvec\) adalah kombinasi linear dari kolom-kolom \(A\) dengan menggunakan komponen-komponen \(\xvec\) sebagai bobot. Lebih tepatnya, jika
Jika \(A\) adalah matriks \(m\times n\text{,}\) maka \(\xvec\) harus berupa vektor berdimensi \(n\text{,}\) dan hasil kali \(A\xvec\) akan berupa vektor berdimensi \(m\text{.}\)
Perkalian suatu matriks \(A\) dengan sebuah vektor didefinisikan sebagai kombinasi linear dari kolom-kolom \(A\text{.}\) Namun, terdapat cara singkat untuk menghitung hasil kali tersebut. Mari kita tinjau kembali contoh sebelumnya dan berfokus pada baris pertama hasil kalinya.
Untuk menentukan komponen pertama hasil kali, kita meninjau baris pertama matriks. Kemudian kita mengalikan entri pertama pada baris tersebut dengan komponen pertama vektor, entri kedua dengan komponen kedua vektor, dan seterusnya, lalu menjumlahkan hasilnya. Dengan cara ini, kita melihat bahwa komponen ketiga hasil kali akan diperoleh dari baris ketiga matriks dengan menghitung \(2(3) + 3(1) = 9\text{.}\)
Anda dianjurkan untuk menghitung hasil kali pada Butir a dari aktivitas sebelumnya dengan menggunakan cara singkat ini dan membandingkan hasilnya dengan hasil yang Anda peroleh ketika menyelesaikan aktivitas tersebut.
Subbagian2.2.3Perkalian matriks-vektor dan sistem linear
Sejauh ini, kita memulai dengan suatu matriks \(A\) dan vektor \(\xvec\text{,}\) lalu membentuk hasil kalinya \(A\xvec = \bvec\text{.}\) Sekarang kita ingin membalik persoalan ini: dimulai dengan suatu matriks \(A\) dan vektor \(\bvec\text{,}\) kita akan menanyakan apakah kita dapat menentukan vektor \(\xvec\) sedemikian sehingga \(A\xvec = \bvec\text{.}\) Hal ini secara alami akan membawa kita kembali kepada sistem linear.
Untuk melihat kaitan antara persamaan matriks \(A\xvec =
\bvec\) dan sistem linear, mari kita tuliskan matriks \(A\) berdasarkan kolom-kolomnya \(\vvec_i\) dan \(\xvec\) berdasarkan komponen-komponennya.
Kita mengetahui bahwa hasil kali matriks \(A\xvec\) membentuk kombinasi linear dari kolom-kolom \(A\text{.}\) Oleh karena itu, persamaan \(A\xvec = \bvec\) hanyalah cara ringkas untuk menuliskan persamaan bagi bobot-bobot \(c_i\text{:}\)
Kita telah menjumpai persamaan ini sebelumnya. Ingatlah bahwa Proposisi 2.1.12 menyatakan bahwa solusi-solusi persamaan ini sama dengan solusi-solusi sistem linear yang matriks diperbesarnya adalah
Persamaan \(A\xvec = \bvec\) merupakan notasi ringkas untuk menuliskan suatu sistem linear. Selain itu, notasi ini memungkinkan kita berfokus pada ciri-ciri penting sistem yang menentukan ruang solusinya.
Karena semula kita diminta mendeskripsikan solusi-solusi persamaan \(A\xvec = \bvec\text{,}\) kita akan menyatakan solusi-solusi tersebut dalam bentuk vektor \(\xvec\text{:}\)
Hal ini menunjukkan bahwa solusi-solusi \(\xvec\) dapat dituliskan dalam bentuk \(\vvec + x_3\wvec\text{,}\) untuk vektor-vektor \(\vvec\) dan \(\wvec\) yang sesuai. Secara geometris, ruang solusi merupakan garis dalam \(\real^3\) yang melalui \(\vvec\) dan sejajar dengan \(\wvec\text{.}\)
Jika \(A\) dan \(\bvec\) diberikan seperti di bawah ini, tuliskan sistem linear yang bersesuaian dengan persamaan \(A\xvec=\bvec\) dan deskripsikan ruang solusinya dengan menggunakan deskripsi parametrik jika sesuai:
Dalam bagian ini, kita telah mengembangkan beberapa operasi aljabar pada matriks dengan tujuan menyederhanakan deskripsi sistem linear. Sekarang kita memperkenalkan operasi terakhir, yaitu hasil kali dua matriks, yang akan menjadi penting ketika kita mempelajari transformasi linear dalam Subbab 2.5.
Penting untuk diperhatikan bahwa kita hanya dapat mengalikan matriks jika ukuran matriks-matriks tersebut kompatibel. Lebih tepatnya, ketika membentuk hasil kali \(AB\text{,}\) matriks \(A\) mengalikan kolom-kolom \(B\text{.}\) Oleh karena itu, banyaknya kolom \(A\) harus sama dengan banyaknya baris \(B\text{.}\) Ketika syarat ini terpenuhi, banyaknya baris \(AB\) sama dengan banyaknya baris \(A\text{,}\) dan banyaknya kolom \(AB\) sama dengan banyaknya kolom \(B\text{.}\)
Sebelum menghitung, jelaskan terlebih dahulu mengapa ukuran \(A\) dan \(B\) memungkinkan kita membentuk hasil kali \(AB\text{.}\) Kemudian deskripsikan ukuran \(AB\text{.}\)
Sage dapat mengalikan matriks dengan menggunakan operator *. Definisikan matriks \(A\) dan \(B\) dalam sel Sage di bawah ini, lalu periksa pekerjaan Anda dengan menghitung \(AB\text{.}\)
Apakah kita dapat membentuk hasil kali matriks \(BA\text{?}\) Jika dapat, gunakan sel Sage di atas untuk menentukan \(BA\text{.}\) Apakah \(AB = BA\) berlaku secara umum?
Dalam bagian ini, kita telah menemukan cara yang sangat sederhana untuk menyatakan sistem linear dengan menggunakan perkalian matriks.
Jika \(A\) adalah matriks \(m\times n\) dan \(\xvec\) adalah vektor berdimensi \(n\text{,}\) maka \(A\xvec\) merupakan kombinasi linear dari kolom-kolom \(A\) dengan menggunakan komponen-komponen \(\xvec\) sebagai bobot. Vektor \(A\xvec\) berdimensi \(m\text{.}\)
Ruang solusi persamaan \(A\xvec =
\bvec\) sama dengan ruang solusi sistem linear yang bersesuaian dengan matriks diperbesar \(\left[ \begin{array}{r|r} A \amp \bvec \end{array}\right]\text{.}\)
Jika \(A\) adalah matriks \(m\times n\) dan \(B\) adalah matriks \(n\times p\text{,}\) kita dapat membentuk hasil kali \(AB\text{,}\) yaitu matriks \(m\times p\) yang kolom-kolomnya merupakan hasil kali \(A\) dengan kolom-kolom \(B\text{.}\)
Misalkan \(A\) adalah matriks \(135\times2201\text{,}\) dan \(\xvec\) adalah sebuah vektor. Jika \(A\xvec\) terdefinisi, berapakah dimensi \(\xvec\text{?}\) Berapakah dimensi \(A\xvec\text{?}\)
Nyatakan hasil kali \(A\twovec{1}{0}\) sebagai kombinasi linear dari \(\vvec_1\) dan \(\vvec_2\text{.}\) Berapakah hasil kali \(A\twovec{0}{1}\text{?}\) Berapakah hasil kali \(A\twovec{2}{3}\text{?}\)
Misalkan matriks \(A = \left[\begin{array}{rr}
\vvec_1 \amp \vvec_2
\end{array}\right]\) dengan \(\vvec_1\) dan \(\vvec_2\) ditampilkan pada Gambar 2.2.9.
Dua vektor \(\vvec_1\) dan \(\vvec_2\) yang membentuk kolom-kolom matriks \(A\text{,}\) beserta kisi yang merepresentasikan kombinasi linearnya dan sebuah vektor ketiga \(\bvec\text{.}\)
Operasi-operasi yang kita lakukan dalam eliminasi Gauss dapat dilaksanakan dengan menggunakan perkalian matriks. Pengamatan ini menjadi dasar suatu teknik penting yang akan kita pelajari dalam bab berikutnya.
Verifikasi bahwa \(SA\) adalah matriks yang dihasilkan ketika baris kedua \(A\) diskalakan dengan faktor 7. Matriks \(S\) manakah yang akan menskalakan baris ketiga dengan faktor -3?
Verifikasi bahwa \(PA\) adalah matriks yang dihasilkan dengan mempertukarkan baris pertama dan kedua. Matriks \(P\) manakah yang akan mempertukarkan baris pertama dan ketiga?
Verifikasi bahwa \(L_1A\) adalah matriks yang dihasilkan dengan mengalikan baris pertama \(A\) dengan \(-2\) dan menambahkannya ke baris kedua. Matriks \(L_2\) manakah yang akan mengalikan baris pertama dengan 3 dan menambahkannya ke baris ketiga?
Ketika melakukan eliminasi Gauss, tujuan pertama kita adalah melakukan operasi baris yang membawa matriks ke bentuk segitiga. Untuk matriks \(A\text{,}\) tentukan operasi-operasi baris yang diperlukan untuk memperoleh matriks ekuivalen baris \(U\) dalam bentuk segitiga. Dengan menyatakan operasi-operasi baris ini dalam perkalian matriks, tentukan matriks \(L\) sedemikian sehingga \(LA = U\text{.}\)
Dalam latihan ini, Anda akan membentuk invers suatu matriks, topik yang akan kita pelajari lebih mendalam dalam bab berikutnya. Misalkan \(A\) adalah matriks \(2\times2\text{:}\)
Secara umum, \(AB = BA\) tidak selalu berlaku. Namun, periksalah bahwa kesamaan tersebut berlaku untuk \(A\) dan \(B\) tertentu yang muncul dalam soal ini.
Misalkan kita ingin menyelesaikan persamaan \(A\xvec =
\bvec\text{.}\) Kita sudah mengetahui cara menyelesaikannya dengan eliminasi Gauss; sekarang mari gunakan matriks \(B\) untuk menemukan cara lain:
Perhatikan persamaan \(A\xvec = \twovec{5}{-2}\text{.}\) Tentukan solusinya dengan dua cara berbeda, pertama menggunakan eliminasi Gauss dan kemudian dengan menggunakan \(\xvec = B\bvec\text{,}\) lalu verifikasi bahwa kedua cara tersebut memberikan hasil yang sama.
Ruang solusi persamaan \(A\xvec = \bvec\) ekuivalen dengan ruang solusi sistem linear yang matriks diperbesarnya adalah \(\left[\begin{array}{r|r} A \amp \bvec
\end{array}\right]\text{.}\)
Jika suatu sistem persamaan linear memiliki 8 persamaan dan 5 peubah tak diketahui, maka ukuran matriks \(A\) dalam persamaan \(A\xvec = \bvec\) yang bersesuaian adalah \(5\times8\text{.}\)
Misalkan \(A=\left[\begin{array}{rrrr}
\vvec_1 \amp \vvec_2 \amp \vvec_3 \amp \vvec_4
\end{array}\right]\text{.}\) Jelaskan mengapa setiap vektor berdimensi empat dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor \(\vvec_1\text{,}\)\(\vvec_2\text{,}\)\(\vvec_3\text{,}\) dan \(\vvec_4\) dengan tepat satu cara.
Deskripsikan ruang solusi persamaan homogen \(A\xvec = \zerovec\) dengan deskripsi parametrik, jika sesuai. Secara geometris, apa yang direpresentasikan oleh ruang solusi ini?
Deskripsikan ruang solusi persamaan \(A\xvec=\bvec\) dengan \(\bvec = \threevec{-3}{-4}{1}\text{.}\) Secara geometris, apa yang direpresentasikan oleh ruang solusi ini dan bagaimana perbandingannya dengan ruang solusi sebelumnya?
Sekarang kita akan menjelaskan hubungan antara dua ruang solusi sebelumnya. Misalkan \(\xvec_h\) adalah solusi persamaan homogen; yaitu \(A\xvec_h=\zerovec\text{.}\) Misalkan pula \(\xvec_p\) adalah solusi persamaan \(A\xvec =
\bvec\text{;}\) yaitu, \(A\xvec_p=\bvec\text{.}\)
Gunakan Prinsip Linearitas yang dinyatakan dalam Proposisi 2.2.3 untuk menjelaskan mengapa \(\xvec_h+\xvec_p\) merupakan solusi persamaan \(A\xvec
= \bvec\text{.}\) Anda dapat melakukannya dengan menghitung \(A(\xvec_h+\xvec_p)\text{.}\)
Artinya, jika kita menemukan satu solusi \(\xvec_p\) untuk persamaan \(A\xvec = \bvec\text{,}\) kita dapat menjumlahkan sembarang solusi persamaan homogen dengan \(\xvec_p\) dan tetap memperoleh solusi persamaan \(A\xvec = \bvec\text{.}\) Dengan kata lain, ruang solusi persamaan \(A\xvec = \bvec\) diperoleh dengan mentranslasikan ruang solusi persamaan homogen dengan vektor \(\xvec_p\text{.}\)
Misalkan sebuah kota memulai program berbagi sepeda dengan sepeda-sepeda yang ditempatkan di lokasi \(B\) dan \(C\text{.}\) Sepeda yang disewa di satu lokasi dapat dikembalikan ke salah satu lokasi tersebut pada akhir hari. Seiring waktu, kota itu mendapati bahwa 80% sepeda yang disewa di lokasi \(B\) dikembalikan ke \(B\text{,}\) sedangkan 20% lainnya dikembalikan ke \(C\text{.}\) Demikian pula, 50% sepeda yang disewa di lokasi \(C\) dikembalikan ke \(B\) dan 50% ke \(C\text{.}\)
dengan \(B_k\) menyatakan jumlah sepeda di lokasi \(B\) pada awal hari ke-\(k\) dan \(C_k\) menyatakan jumlah sepeda di \(C\text{.}\) Informasi di atas memberi tahu kita cara menentukan distribusi sepeda pada hari berikutnya:
Misalkan terdapat 1000 sepeda di lokasi \(B\) dan tidak ada sepeda di \(C\) pada hari pertama. Ini berarti \(\xvec_1 = \twovec{1000}{0}\text{.}\) Tentukan jumlah sepeda di kedua lokasi pada hari kedua dengan menghitung \(\xvec_2 = A\xvec_1\text{.}\)
Misalkan terdapat 1000 sepeda di lokasi \(C\) dan tidak ada sepeda di \(B\) pada hari pertama. Bentuklah vektor \(\xvec_1\) dan tentukan jumlah sepeda di kedua lokasi pada hari berikutnya dengan menentukan \(\xvec_2 = A\xvec_1\text{.}\)
Misalkan pada suatu hari terdapat 1050 sepeda di lokasi \(B\) dan 450 sepeda di lokasi \(C\text{.}\) Berapa banyak sepeda yang terdapat di setiap lokasi pada hari sebelumnya?
Misalkan terdapat 500 sepeda di lokasi \(B\) dan 500 sepeda di lokasi \(C\) pada hari Senin. Berapa banyak sepeda yang terdapat di kedua lokasi pada hari Selasa? Pada hari Rabu? Pada hari Kamis?
Misalkan \(\xvec_1 = c_1 \vvec_1 + c_2 \vvec_2\) dengan \(c_1\) dan \(c_2\) skalar. Gunakan Prinsip Linearitas yang dinyatakan dalam Proposisi 2.2.3 untuk menjelaskan mengapa
Misalkan pada awalnya terdapat 500 sepeda di lokasi \(B\) dan 500 sepeda di lokasi \(C\text{.}\) Tuliskan vektor \(\xvec_1\) dan tentukan skalar \(c_1\) dan \(c_2\) sedemikian sehingga \(\xvec_1=c_1\vvec_1 + c_2\vvec_2\text{.}\)
