Beberapa bagian sebelumnya memperkenalkan perkalian matriks-vektor sebagai sarana untuk memikirkan solusi sistem linear secara geometris. Secara khusus, kita menuliskan kembali suatu sistem linear sebagai persamaan matriks \(A\xvec = \bvec\) dan mengembangkan konsep rentang serta kebebasan linear untuk menjawab dua pertanyaan mendasar kita.
Dalam bagian ini, kita akan menyelidiki bagaimana perkalian matriks-vektor mendefinisikan jenis fungsi tertentu, yang kita sebut transformasi matriks, serupa dengan fungsi yang dijumpai dalam mata kuliah aljabar sebelumnya. Secara khusus, kita akan mengembangkan beberapa alat aljabar untuk memikirkan transformasi matriks dan melihat beberapa contoh yang memotivasi. Dalam bagian berikutnya, kita akan melihat bagaimana transformasi matriks mendeskripsikan operasi geometris penting dan bagaimana transformasi tersebut digunakan dalam animasi komputer.
Kita mulai dengan meninjau situasi yang lebih dikenal, yaitu fungsi \(f(x) = x^2\text{,}\) yang menerima bilangan real \(x\) sebagai masukan dan menghasilkan kuadratnya \(x^2\) sebagai keluaran.
Kisi koordinat dengan setiap petak berukuran \(1\times1\) satuan dan sepasang sumbu berlabel. Rentang horizontal maupun vertikal jendela tampilan adalah dari \(-4\) hingga \(4\text{.}\)
Kisi koordinat dengan setiap petak berukuran \(1\times1\) satuan dan sepasang sumbu berlabel. Rentang horizontal maupun vertikal jendela tampilan adalah dari \(-4\) hingga \(4\text{.}\)
Kisi koordinat dengan setiap petak berukuran \(1\times1\) satuan dan sepasang sumbu berlabel. Rentang horizontal maupun vertikal jendela tampilan adalah dari \(-4\) hingga \(4\text{.}\)
Ingat bahwa mengomposisikan dua fungsi berarti kita menggunakan keluaran satu fungsi sebagai masukan bagi fungsi lainnya; yaitu, \((g\circ h)(x) = g(h(x))\text{.}\) Fungsi apakah yang dihasilkan oleh komposisi \((g\circ h)(x)\text{?}\)
Dalam aktivitas pratinjau, kita meninjau fungsi linear satu variabel yang sudah dikenal, seperti \(g(x) = 2x\text{.}\) Kita membentuk fungsi seperti ini dengan memilih suatu bilangan \(m\text{;}\) ketika diberi masukan \(x\text{,}\) keluaran \(g(x) = mx\) dibentuk dengan mengalikan \(x\) dengan \(m\text{.}\)
Dalam bagian ini, kita akan meninjau fungsi yang masukannya berupa vektor dan keluarannya berupa vektor yang didefinisikan melalui perkalian matriks-vektor. Artinya, jika \(A\) adalah matriks dan \(\xvec\) adalah vektor, fungsi \(T(\xvec) = A\xvec\) menghasilkan hasil kali \(A\xvec\) sebagai keluarannya. Fungsi seperti ini disebut transformasi matriks.
Transformasi matriks yang terkait dengan matriks \(A\) adalah fungsi yang memetakan vektor \(\xvec\) ke vektor \(A\xvec\text{;}\) yaitu, \(T(\xvec) = A\xvec\text{.}\)
Perhatikan bahwa masukan bagi \(T\) adalah vektor berdimensi dua \(\twovec{x_1}{x_2}\) dan keluarannya adalah vektor berdimensi tiga \(\cthreevec{3x_1 - 2x_2}{x_1 + 2x_2}{3x_2}\text{.}\) Sebagai notasi ringkas, kita akan menuliskan
Hal ini menunjukkan bahwa \(T\) merupakan transformasi matriks \(T(\xvec) = A\xvec\) yang terkait dengan matriks \(A =
\begin{bmatrix}
-4 \amp -1 \amp 2 \\
1 \amp 2 \amp -1 \\
\end{bmatrix}.\)
Jika transformasi ini kita deskripsikan sebagai \(T:\real^n\to\real^m\text{,}\) berapakah nilai \(n\) dan \(m\text{,}\) serta bagaimana keduanya berkaitan dengan ukuran \(A\text{?}\)
Jika \(A\) adalah matriks \(A=\left[\begin{array}{rr} \vvec_1 \amp \vvec_2
\end{array}\right]\text{,}\) nyatakan \(T\left(\twovec10\right)\) dalam bentuk \(\vvec_1\) dan \(\vvec_2\text{.}\) Bagaimana dengan \(T\left(\twovec{0}{1}\right)\text{?}\)
Mari kita bahas beberapa persoalan yang muncul dalam aktivitas ini. Pertama, perhatikan bahwa ukuran matriks \(A\) dan dimensi vektor masukan \(\xvec\) harus bersesuaian agar hasil kali \(A\xvec\) terdefinisi. Secara khusus, jika \(A\) adalah matriks \(m\times n\text{,}\) maka \(\xvec\) harus berupa vektor berdimensi \(n\text{,}\) dan hasil kali \(A\xvec\) berupa vektor berdimensi \(m\text{.}\) Oleh karena itu, untuk transformasi matriks terkait, kita menuliskan \(T:\real^n\to\real^m\text{,}\) yang berarti \(T\) menerima vektor dalam \(\real^n\) sebagai masukan dan menghasilkan vektor dalam \(\real^m\) sebagai keluaran. Sebagai contoh, jika
Kedua, kita sering dapat merekonstruksi matriks \(A\) hanya dengan mengetahui beberapa nilai keluaran transformasi matriks terkait \(T\text{,}\) dengan mengingat bahwa perkalian matriks-vektor membentuk kombinasi linear. Sebagai contoh, jika \(A\) adalah matriks \(m\times2\text{,}\)\(A=\left[\begin{array}{rr} \vvec_1
\amp \vvec_2 \end{array}\right]\text{,}\) maka
Artinya, kita dapat menemukan kolom pertama \(A\) dengan menghitung \(T\left(\twovec{1}{0}\right)\text{.}\) Demikian pula, kolom kedua \(A\) ditemukan dengan menghitung \(T\left(\twovec{0}{1}\right)\text{.}\)
Jika \(T:\real^n\to\real^m\) adalah transformasi matriks yang diberikan oleh \(T(\xvec) = A\xvec\text{,}\) maka kolom-kolom matriks \(A\) adalah \(T(\evec_j)\text{;}\) yaitu,
Mari kita lihat beberapa contoh dan terapkan pengamatan-pengamatan ini.
Sebagai permulaan, misalkan \(T\) adalah transformasi matriks yang menerima vektor berdimensi dua \(\xvec\) sebagai masukan dan menghasilkan \(T(\xvec)\text{,}\) yaitu vektor berdimensi dua yang diperoleh dengan memutar \(\xvec\) sebesar \(90^\circ\) berlawanan arah jarum jam, seperti ditunjukkan dalam Gambar 2.5.7.
Vektor basis standar berdimensi dua \(\evec_1=\twovec10\) dan \(\evec_2=\twovec01\text{,}\) bersama vektor ketiga \(\vvec=\twovec{-2}{-1}=-2\evec_1 -
\evec_2\text{.}\)
Ketiga vektor \(\evec_1\text{,}\)\(\evec_2\text{,}\) dan \(\vvec\) dari diagram sebelumnya telah diputar sebesar \(90^\circ\) berlawanan arah jarum jam oleh transformasi matriks \(T\text{.}\) Vektor \(T(\evec_1)\) mengarah ke atas sepanjang sumbu vertikal positif, sedangkan \(T(\evec_2)\) mengarah mendatar ke kiri. Vektor \(\vvec=\twovec{-2}{-1}\) juga telah diputar menjadi \(T(\vvec)\text{,}\) yang menunjukkan bahwa
Gambar2.5.7.Transformasi matriks \(T\) menerima vektor berdimensi dua di sebelah kiri dan memutarnya sebesar \(90^\circ\) berlawanan arah jarum jam menjadi vektor di sebelah kanan.
Jika \(\vvec=\twovec{-2}{-1}\) seperti ditunjukkan di sebelah kiri dalam Gambar 2.5.7, gunakan matriks Anda untuk menentukan \(T(\vvec)\) dan pastikan bahwa hasilnya sesuai dengan yang ditunjukkan di sebelah kanan dalam Gambar 2.5.7.
Misalkan kita bekerja untuk perusahaan yang membuat produk panggang, termasuk kue, donat, dan eclair. Perusahaan tersebut mengoperasikan dua toko roti, Toko Roti 1 dan Toko Roti 2. Dalam satu jam operasi,
Toko Roti 1 menghasilkan 10 kue, 50 donat, dan 30 eclair.
Jika Toko Roti 1 beroperasi selama \(x_1\) jam dan Toko Roti 2 selama \(x_2\) jam, kita akan menggunakan vektor \(\xvec=\twovec{x_1}{x_2}\) untuk mendeskripsikan operasi kedua toko roti tersebut.
Kita ingin mendeskripsikan transformasi matriks \(T\text{,}\) dengan \(\xvec\) menyatakan jumlah jam operasi kedua toko roti dan \(T(\xvec)\) menyatakan jumlah keseluruhan kue, donat, serta eclair yang dihasilkan. Artinya, \(T(\xvec) = \threevec{y_1}{y_2}{y_3}\text{,}\) dengan \(y_1\) menyatakan jumlah kue, \(y_2\) jumlah donat, dan \(y_3\) jumlah eclair yang dihasilkan.
Jika \(T:\real^n\to\real^m\text{,}\) berapakah nilai \(m\) dan \(n\text{,}\) serta berapakah ukuran matriks terkait \(A\text{?}\)
Kita dapat menentukan matriks \(A\) menggunakan Proposisi 2.5.6. Sebagai contoh, \(T\left(\twovec10\right)\) akan mendeskripsikan jumlah kue, donat, dan eclair yang dihasilkan ketika Toko Roti 1 beroperasi selama satu jam dan Toko Roti 2 tidak beroperasi. Tentukan vektor ini.
Misalkan perusahaan menerima pesanan untuk sejumlah kue, donat, dan eclair tertentu. Dapatkah Anda menjamin bahwa pesanan tersebut dapat dipenuhi tanpa menyisakan produk?
Dalam contoh-contoh ini, kita mengabaikan sementara satu hal penting: bagaimana kita mengetahui bahwa fungsi-fungsi \(T:\real^n\to\real^m\) dapat dinyatakan sebagai transformasi matriks? Kita akan membahas pertanyaan ini secara terperinci dalam bagian berikutnya dan tidak perlu mempersoalkannya sekarang.
Terkadang kita ingin menggabungkan transformasi matriks dengan melakukan satu transformasi lalu transformasi lainnya. Sebagai contoh, dalam aktivitas terakhir kita meninjau transformasi matriks dengan \(T(\xvec)\) sebagai hasil pemutaran vektor berdimensi dua \(\xvec\) sebesar \(90^\circ\text{.}\) Sekarang misalkan kita ingin memutar vektor tersebut dua kali; artinya, kita mengambil vektor \(\xvec\text{,}\) memutarnya sebesar \(90^\circ\) untuk memperoleh \(T(\xvec)\text{,}\) lalu memutar hasilnya sebesar \(90^\circ\) lagi untuk memperoleh \(T(T(\xvec))\text{.}\)
Proses ini disebut komposisi fungsi dan mungkin telah dijumpai dalam mata kuliah aljabar sebelumnya. Sebagai contoh, jika \(g(x) = 2x + 1\) dan \(h(x) = x^2\text{,}\) komposisi fungsi yang diperoleh dengan terlebih dahulu menerapkan \(g\) lalu \(h\) dinotasikan dengan
Mengomposisikan transformasi matriks dilakukan dengan cara serupa. Misalkan kita memiliki dua transformasi matriks, \(T:\real^n\to\real^m\) dan \(S:\real^m\to\real^p\text{.}\) Matriks-matriks terkaitnya dinotasikan dengan \(A\) dan \(B\text{,}\) sehingga \(T(\xvec) = A\xvec\) dan \(S(\xvec) = B\xvec\text{.}\) Jika kita menerapkan \(T\) pada vektor \(\xvec\) untuk memperoleh \(T(\xvec)\text{,}\) lalu menerapkan \(S\) pada hasilnya, kita memperoleh
Perhatikan bahwa hal ini menyiratkan bahwa komposisi \((S\circ T)\) itu sendiri merupakan transformasi matriks dengan matriks terkait berupa hasil kali \(BA\text{.}\)
Jika \(T:\real^n\to\real^m\) dan \(S:\real^m\to\real^p\) adalah transformasi matriks dengan matriks terkait masing-masing \(A\) dan \(B\text{,}\) maka komposisi \((S\circ T)\) juga merupakan transformasi matriks dengan matriks terkait berupa hasil kali \(BA\text{.}\)
Perhatikan bahwa transformasi-transformasi matriks tersebut harus bersesuaian agar dapat dikomposisikan. Secara khusus, vektor \(T(\xvec)\text{,}\) yang berdimensi \(m\text{,}\) harus menjadi vektor masukan yang sesuai bagi \(S\text{.}\) Ini berarti bahwa masukan \(S\) harus berdimensi \(m\text{.}\) Sebenarnya, ini adalah syarat yang sama untuk membentuk hasil kali \(BA\) dari matriks-matriks terkait, yaitu jumlah kolom \(B\) harus sama dengan jumlah baris \(A\text{.}\)
Kita akan menyelidiki komposisi transformasi matriks dengan meninjau kembali transformasi matriks dari Kegiatan 2.5.3.
Mari kita mulai dengan transformasi matriks \(T:\real^2\to\real^2\) yang memutar vektor berdimensi dua \(\xvec\) sebesar \(90^\circ\) untuk menghasilkan \(T(\xvec)\text{.}\) Dalam aktivitas sebelumnya, kita melihat bahwa matriks terkaitnya adalah \(A = \begin{bmatrix}
0 \amp -1 \\
1 \amp 0 \\
\end{bmatrix}
\text{.}\) Misalkan kita mengomposisikan transformasi matriks ini dengan dirinya sendiri untuk memperoleh \((T\circ T)(\xvec) =
T(T(\xvec))\text{,}\) yaitu hasil memutar \(\xvec\) sebesar \(90^\circ\) dua kali.
Tentukan matriks yang terkait dengan komposisi \((T\circ T)\text{.}\)
Vektor basis standar berdimensi dua \(\evec_1=\twovec10\) dan \(\evec_2=\twovec01\text{,}\) bersama vektor ketiga \(\vvec=\twovec{-2}{-1}=-2\evec_1 -
\evec_2\text{.}\)
Ketiga vektor \(\evec_1\text{,}\)\(\evec_2\text{,}\) dan \(\vvec\) dari diagram sebelumnya telah diputar sebesar \(180^\circ\) oleh transformasi matriks \(R\text{.}\) Vektor \(R(\evec_1)\) mengarah mendatar ke kiri, sedangkan \(R(\evec_2)\) mengarah vertikal ke bawah. Vektor \(\vvec=\twovec{-2}{-1}\) juga telah diputar menjadi \(R(\vvec)\text{,}\) yang menunjukkan bahwa
Gambar2.5.9.Transformasi matriks \(R\) menerima vektor berdimensi dua di sebelah kiri dan memutarnya sebesar \(180^\circ\) menjadi vektor di sebelah kanan.
Gunakan Proposisi 2.5.6 untuk menemukan matriks yang terkait dengan \(R\) dan jelaskan mengapa matriks tersebut sama dengan matriks yang terkait dengan \((T\circ T)\text{.}\)
Tuliskan vektor berdimensi dua \((T\circ
T)\left(\twovec xy\right)\text{.}\) Bagaimana vektor ini dapat dinyatakan menggunakan perkalian skalar, dan mengapa hal tersebut masuk akal secara geometris?
Dalam aktivitas sebelumnya, kita membayangkan sebuah perusahaan yang mengoperasikan dua toko roti. Kita memperoleh transformasi matriks \(T:\real^2\to\real^3\text{,}\) dengan \(T\left(\twovec{x_1}{x_2}\right)\) mendeskripsikan jumlah kue, donat, dan eclair ketika Toko Roti 1 beroperasi selama \(x_1\) jam dan Toko Roti 2 selama \(x_2\) jam. Matriks terkaitnya adalah \(A = \begin{bmatrix}
10 \amp 20 \\
50 \amp 30 \\
30 \amp 30 \\
\end{bmatrix}
\text{.}\)
Kita akan mendeskripsikan transformasi matriks \(S:\real^3\to\real^2\text{,}\) dengan \(S\left(\threevec{y_1}{y_2}{y_3}\right)\) berupa vektor berdimensi dua yang mendeskripsikan jumlah cangkir tepung dan gula yang diperlukan untuk membuat \(y_1\) kue, \(y_2\) donat, dan \(y_3\) eclair.
Gunakan Proposisi 2.5.6 untuk menuliskan matriks \(B\) yang terkait dengan transformasi \(S\text{.}\)
Misalkan Toko Roti 1 beroperasi selama 75 jam dan Toko Roti 2 selama 53 jam. Berapa banyak kue, donat, dan eclair yang dihasilkan? Berapa cangkir tepung dan gula yang diperlukan?
Dalam suatu selang waktu, kedua toko roti menggunakan total 5800 cangkir tepung dan 5980 cangkir gula. Berapa lama kedua toko roti tersebut beroperasi?
Misalkan kita menjalankan perusahaan yang memiliki dua gudang, yang kita sebut \(P\) dan \(Q\text{,}\) serta armada 1000 truk pengiriman. Setiap pagi, sebuah truk pengiriman berangkat dari salah satu gudang dan kembali pada malam hari ke salah satu gudang. Diamati bahwa
70% truk yang berangkat dari \(P\) kembali ke \(P\text{.}\) Sebanyak 30% sisanya kembali ke \(Q\text{.}\)
Distribusi truk direpresentasikan oleh vektor \(\xvec=\twovec{x_1}{x_2}\) ketika terdapat \(x_1\) truk di lokasi \(P\) dan \(x_2\) truk di \(Q\text{.}\) Jika \(\xvec\) mendeskripsikan distribusi truk pada pagi hari, maka transformasi matriks \(T(\xvec)\) akan mendeskripsikan distribusi pada malam hari.
Misalkan semua 1000 truk memulai hari di lokasi \(P\) dan tidak ada yang berada di \(Q\text{.}\) Berapa banyak truk di setiap lokasi pada malam itu? Dengan menggunakan representasi vektor kita, berapakah \(T\left(\ctwovec{1000}{0}\right)\text{?}\)
Dengan cara yang sama, misalkan semua 1000 truk memulai hari di lokasi \(Q\) dan tidak ada yang berada di \(P\text{.}\) Berapa banyak truk di setiap lokasi pada malam itu? Berapakah \(T\left(\ctwovec{0}{1000}\right)\) dan \(T\left(\twovec01\right)\text{?}\)
Misalkan pada pagi hari terdapat 100 truk di \(P\) dan 900 di \(Q\text{.}\) Berapa banyak truk yang berada di masing-masing lokasi tersebut pada malam hari?
Misalkan pada malam hari terdapat 550 truk di \(P\) dan 450 di \(Q\text{.}\) Berapa banyak truk yang berada di masing-masing lokasi tersebut pada pagi hari itu?
Misalkan \(S\) adalah transformasi matriks yang mengubah distribusi truk \(\xvec\) pada suatu pagi menjadi distribusi truk pada pagi hari satu minggu (tujuh hari) kemudian. Matriks apakah yang mendefinisikan transformasi \(S\text{?}\)
Seperti yang akan kita lihat nanti, situasi semacam ini sering terjadi. Kita memiliki vektor \(\xvec\) yang mendeskripsikan keadaan suatu sistem; dalam kasus ini, \(\xvec\) mendeskripsikan distribusi truk di antara dua lokasi pada waktu tertentu. Kemudian terdapat transformasi matriks \(T(\xvec) = A\xvec\) yang mendeskripsikan keadaan pada waktu berikutnya. Kita menyebut \(\xvec\) sebagai vektor keadaan dan \(T\) sebagai fungsi transisi, karena fungsi itu mendeskripsikan peralihan vektor keadaan dari satu waktu ke waktu berikutnya.
Situasi ketika keadaan suatu sistem berkembang dari satu waktu ke waktu berikutnya menurut aturan \(\xvec_{k+1}=A\xvec_k\) kita sebut sistem dinamis diskret. Dalam Bab 4, kita akan mengembangkan teori yang memungkinkan kita membuat prediksi jangka panjang mengenai perkembangan vektor keadaan.
Bagian ini memperkenalkan transformasi matriks, yaitu fungsi yang didefinisikan oleh perkalian matriks-vektor, seperti \(T(\xvec) = A\xvec\) untuk suatu matriks \(A\text{.}\)
Jika \(A\) adalah matriks \(m\times n\text{,}\) maka \(T:\real^n\to\real^m\text{.}\)
Sistem dinamis diskret terdiri atas vektor keadaan \(\xvec\) beserta fungsi transisi \(T(\xvec) = A\xvec\) yang mendeskripsikan bagaimana vektor keadaan berkembang dari satu waktu ke waktu berikutnya. Pangkat-pangkat matriks \(A\) menentukan perilaku jangka panjang vektor keadaan.
Misalkan \(T\) adalah transformasi matriks yang didefinisikan oleh matriks \(A\text{,}\) dan \(S\) adalah transformasi matriks yang didefinisikan oleh \(B\text{,}\) dengan
Jika \(T:\real^n\to\real^m\text{,}\) berapakah nilai \(m\) dan \(n\text{?}\) Berapakah nilai \(m\) dan \(n\) yang sesuai untuk transformasi \(S\text{?}\)
Soal ini membahas cara mengenali transformasi matriks, yang akan dibahas lebih lanjut dalam bagian berikutnya.
Pastikan bahwa fungsi \(T:\real^3\to\real^2\) berikut merupakan transformasi matriks dengan mencari matriks \(A\) sedemikian sehingga \(T(\xvec) = A\xvec\text{.}\)
Misalkan \(T:\real^3\to\real^2\) adalah transformasi matriks dengan \(T(\evec_j) = \vvec_j\text{,}\) dan \(\vvec_1\text{,}\)\(\vvec_2\text{,}\) serta \(\vvec_3\) seperti ditunjukkan dalam Gambar 2.5.10.
Transformasi matriks \(T:\real^3\to\real^2\) menghasilkan tiga vektor \(\vvec_1\text{,}\)\(\vvec_2\text{,}\) dan \(\vvec_3\text{.}\) Pertama, kita memiliki \(\vvec_1 = T\left(\threevec100\right)=\twovec21\text{.}\) Kemudian \(\vvec_2 =
T\left(\threevec010\right)=\twovec{-1}1\text{,}\) dan akhirnya \(\vvec_3 =
T\left(\threevec001\right)=\twovec{-1}{-2}\text{.}\)
Dalam Contoh 2.5.5 dan Contoh 2.5.4, kita menuliskan transformasi matriks menggunakan komponen-komponen \(T(\xvec)\text{.}\) Latihan ini menggunakan bentuk tersebut.
Mari kita kembali ke contoh dalam Kegiatan 2.5.3 mengenai perusahaan yang mengoperasikan dua toko roti. Kita menggunakan transformasi matriks dengan masukan \(\xvec\text{,}\) yang mencatat lamanya kedua toko roti beroperasi, dan keluaran \(T(\xvec)\text{,}\) yaitu jumlah kue, donat, serta eclair yang dihasilkan. Matriks terkaitnya adalah \(A=\begin{bmatrix}
10 \amp 20 \\
50 \amp 30 \\
30 \amp 30 \\
\end{bmatrix}
\text{.}\)
Jika \(\xvec=\twovec{x_1}{x_2}\text{,}\) tuliskan keluaran \(T(\xvec)\) sebagai vektor berdimensi tiga yang dinyatakan dalam \(x_1\) dan \(x_2\text{.}\)
Misalkan program berbagi sepeda memiliki dua lokasi, \(P\) dan \(Q\text{.}\) Sepeda disewa dari suatu lokasi pada pagi hari dan dikembalikan ke suatu lokasi pada malam hari. Misalkan
60% sepeda yang berada di \(P\) pada pagi hari dikembalikan ke \(P\) pada malam hari, sedangkan 40% sisanya dikembalikan ke \(Q\text{.}\)
Jika \(x_1\) adalah jumlah sepeda di lokasi \(P\) dan \(x_2\) jumlah sepeda di \(Q\) pada pagi hari, tuliskan bentuk untuk jumlah sepeda di \(P\) pada malam hari.
Jika \(T:\real^3\to\real^2\) adalah transformasi matriks, maka terdapat tak berhingga banyak vektor \(\xvec\) sedemikian sehingga \(T(\xvec) = \zerovec\text{.}\)
Jika \(T:\real^2\to\real^3\) adalah transformasi matriks, mungkin saja persamaan \(T(\xvec) = \bvec\) memiliki solusi untuk setiap vektor \(\bvec\text{.}\)
Misalkan suatu perusahaan memiliki tiga pabrik, yang disebut Pabrik 1, 2, dan 3, yang menghasilkan susu \(M\) dan yoghurt \(Y\text{.}\) Untuk setiap jam operasi,
Pabrik \(1\) menghasilkan 20 satuan susu dan 15 satuan yoghurt.
Misalkan \(x_1\text{,}\)\(x_2\text{,}\) dan \(x_3\) mencatat lamanya ketiga pabrik beroperasi, sedangkan \(M\) dan \(Y\) mencatat jumlah susu serta yoghurt yang dihasilkan. Jika kita menuliskan \(\xvec=\threevec{x_1}{x_2}{x_3}\) dan \(\yvec = \twovec{M}{Y}\text{,}\) carilah matriks \(A\) yang mendefinisikan transformasi matriks \(T(\xvec) = \yvec\text{.}\)
Jika kita menuliskan vektor \(\zvec = \twovec{E}{L}\) untuk mencatat jumlah listrik \(E\) dan tenaga kerja \(L\) yang diperlukan, carilah matriks \(B\) yang mendefinisikan transformasi matriks \(S(\yvec) = \zvec\text{.}\)
Jika \(\xvec = \threevec{30}{20}{10}\) mendeskripsikan lamanya ketiga pabrik beroperasi, berapa banyak susu dan yoghurt yang dihasilkan? Berapa banyak listrik dan tenaga kerja yang diperlukan?
Carilah matriks \(C\) yang mendeskripsikan transformasi matriks \(R(\xvec)=\zvec\text{,}\) yang memberikan jumlah listrik dan tenaga kerja yang diperlukan ketika setiap pabrik beroperasi selama waktu yang diberikan oleh vektor \(\xvec\text{.}\)
Misalkan dua spesies \(P\) dan \(Q\) saling berinteraksi dan kita mengukur populasinya setiap bulan. Kita mencatat populasi tersebut dalam vektor keadaan \(\xvec = \twovec{p}{q}\text{,}\) dengan \(p\) dan \(q\) masing-masing merupakan populasi \(P\) dan \(Q\text{.}\) Kita mengamati bahwa terdapat matriks
sedemikian sehingga transformasi matriks \(T(\xvec)=A\xvec\) merupakan fungsi transisi yang mendeskripsikan bagaimana vektor keadaan berkembang dari bulan ke bulan. Kita juga mengamati bahwa pada awal Juli, populasi dideskripsikan oleh vektor keadaan \(\xvec=\twovec{1}{2}\text{.}\)
Kita akan mencatat jumlah siswa yang hadir \(p\) dan jumlah siswa yang tidak hadir \(a\) dalam vektor keadaan \(\xvec=\twovec{p}{a}\text{.}\) Perhatikan bahwa vektor keadaan ini berkembang dari satu hari ke hari berikutnya menurut fungsi transisi \(T:\real^2\to\real^2\text{.}\) Pada hari Selasa, vektor keadaannya adalah \(\xvec=\ctwovec{1700}{100}\text{.}\)
