Pada bagian sebelumnya, pertanyaan mengenai keberadaan solusi suatu sistem linear mengantarkan kita pada konsep rentang linear suatu himpunan vektor. Secara khusus, rentang linear suatu himpunan vektor \(\vvec_1,\vvec_2,\ldots,\vvec_n\) merupakan himpunan semua vektor \(\bvec\) yang membuat sistem linear \(\left[\begin{array}{rrrr}
\vvec_1\amp\vvec_2\amp\ldots\amp\vvec_n \end{array}\right] ~\xvec
= \bvec \) memiliki solusi.
Pada bagian ini, kita beralih ke ketunggalan solusi suatu sistem linear, yaitu pertanyaan kedua dari dua pertanyaan mendasar kita. Pembahasan ini akan mengantarkan kita pada konsep kebebasan linear.
Mari kita mulai dengan meninjau beberapa himpunan vektor dalam \(\real^3\text{.}\) Seperti yang kita lihat pada bagian sebelumnya, rentang linear suatu himpunan vektor dalam \(\real^3\) berupa sebuah garis, sebuah bidang, atau \(\real^3\) itu sendiri.
Deskripsikan rentang linear vektor-vektor tersebut, \(\laspan{\vvec_1,\vvec_2,\vvec_3}\text{,}\) sebagai sebuah garis, sebuah bidang, atau \(\real^3\text{.}\)
Deskripsikan rentang linear vektor-vektor tersebut, \(\laspan{\wvec_1,\wvec_2,\wvec_3}\text{,}\) sebagai sebuah garis, sebuah bidang, atau \(\real^3\text{.}\)
Kita telah melihat contoh ketika rentang linear suatu himpunan tiga vektor dalam \(\real^3\) adalah \(\real^3\text{,}\) serta contoh lain ketika rentang linear tiga vektor berupa sebuah bidang. Kita ingin memahami perbedaan antara kedua situasi tersebut.
Karena baris terakhir tidak memiliki posisi pivot, kita mengetahui bahwa rentang linear vektor-vektor tersebut bukan \(\real^3\text{,}\) melainkan sebuah bidang.
Dengan cara ini, kita melihat bahwa \(\wvec_3 = -2\wvec_1 -
\wvec_2\text{,}\) sehingga setiap kombinasi linear dari ketiga vektor tersebut dapat dituliskan kembali sebagai berikut:
Dengan kata lain, setiap kombinasi linear dari \(\wvec_1\text{,}\)\(\wvec_2\text{,}\) dan \(\wvec_3\) dapat dituliskan sebagai kombinasi linear yang hanya menggunakan vektor \(\wvec_1\) dan \(\wvec_2\text{.}\) Karena rentang linear suatu himpunan vektor adalah himpunan semua kombinasi linearnya, hal ini menunjukkan bahwa
Sebelum menelaah perilaku ini secara lebih umum, mari kita memandangnya dari sudut geometris. Misalkan kita mulai dengan kedua vektor \(\vvec_1\) dan \(\vvec_2\) dalam Contoh 2.4.1. Rentang linear kedua vektor tersebut berupa sebuah bidang dalam \(\real^3\text{,}\) seperti tampak di sisi kiri Gambar 2.4.3.
Dua vektor berdimensi tiga \(\vvec_1\) dan \(\vvec_2\) ditampilkan bersama bidang yang dibentuk oleh semua kombinasi linear keduanya. Terdapat vektor ketiga \(\vvec_3\) yang tidak berada dalam bidang tersebut.
Karena vektor \(\vvec_3\) bukan kombinasi linear dari \(\vvec_1\) dan \(\vvec_2\text{,}\) vektor tersebut memberikan arah gerak yang bebas dari \(\vvec_1\) dan \(\vvec_2\text{.}\) Oleh karena itu, penambahan vektor ketiga \(\vvec_3\) membentuk himpunan yang rentang linearnya adalah \(\real^3\text{,}\) seperti tampak di sisi kanan Gambar 2.4.3.
Dengan cara serupa, rentang linear vektor \(\wvec_1\) dan \(\wvec_2\) dalam Contoh 2.4.2 juga berupa sebuah bidang. Namun, vektor ketiga \(\wvec_3\) merupakan kombinasi linear dari \(\wvec_1\) dan \(\wvec_2\text{,}\) yang berarti bahwa vektor tersebut sudah berada dalam bidang yang dibentuk oleh \(\wvec_1\) dan \(\wvec_2\text{,}\) seperti tampak pada Gambar 2.4.4. Karena kita sudah dapat bergerak ke arah ini hanya dengan menggunakan \(\wvec_1\) dan \(\wvec_2\text{,}\) penambahan \(\wvec_3\) ke himpunan tersebut tidak mengubah rentang linearnya. Akibatnya, rentang linear itu tetap berupa sebuah bidang.
Dua vektor berdimensi tiga \(\wvec_1\) dan \(\wvec_2\) ditampilkan bersama bidang yang dibentuk oleh semua kombinasi linear keduanya. Terdapat vektor ketiga \(\wvec_3\) yang berada dalam bidang tersebut.
Hal yang membedakan kedua contoh tersebut adalah apakah salah satu vektor merupakan kombinasi linear dari vektor-vektor lainnya. Pengamatan ini mengantarkan kita pada definisi berikut.
Suatu himpunan vektor disebut bergantung linear jika salah satu vektornya merupakan kombinasi linear dari vektor-vektor lainnya. Jika tidak demikian, himpunan vektor tersebut disebut bebas linear.
Dapatkah salah satu vektor \(\vvec_1,\vvec_2,\ldots,\vvec_5\) dituliskan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor lainnya? Jika dapat, tunjukkan secara eksplisit bagaimana salah satu vektor merupakan kombinasi linear dari beberapa vektor lainnya. Apakah himpunan vektor ini bergantung linear atau bebas linear?
Misalkan kita memiliki himpunan lain yang terdiri atas tiga vektor dalam \(\real^4\) yang menjadi kolom-kolom suatu matriks dengan bentuk eselon baris tereduksi
Dapatkah salah satu vektor \(\wvec_1\text{,}\)\(\wvec_2\text{,}\) atau \(\wvec_3\) dituliskan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor lainnya? Jika dapat, tunjukkan secara eksplisit bagaimana salah satu vektor merupakan kombinasi linear dari beberapa vektor lainnya. Apakah himpunan vektor ini bergantung linear atau bebas linear?
Sekarang kita dapat menduga bahwa posisi-posisi pivot berperan penting dalam menentukan apakah kolom-kolom suatu matriks bergantung linear. Sebagai contoh, misalkan kita memiliki empat vektor dan matriks yang bersesuaian
Secara lebih umum, penalaran yang sama menyiratkan bahwa suatu himpunan vektor bergantung linear jika matriks yang bersesuaian memiliki kolom tanpa posisi pivot. Seperti yang diilustrasikan di sini, vektor yang bersesuaian dengan kolom tanpa posisi pivot dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor yang kolomnya memiliki posisi pivot.
Dengan kembali memandangnya sebagai matriks diperbesar, kita melihat bahwa sistem linear tersebut tidak konsisten karena terdapat pivot pada kolom paling kanan. Artinya, \(\wvec_4\) tidak dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor lainnya. Demikian pula, \(\wvec_3\) tidak dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari \(\wvec_1\) dan \(\wvec_2\text{.}\) Bahkan, tidak satu pun vektor dapat dituliskan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor lainnya, sehingga himpunan vektor ini bebas linear.
Syarat ini membatasi banyaknya vektor yang dapat dimuat dalam suatu himpunan bebas linear. Berikut adalah contoh bentuk eselon baris tereduksi suatu matriks yang kolom-kolomnya membentuk himpunan tiga vektor bebas linear dalam \(\real^5\text{:}\)
Secara lebih umum, jika \(\vvec_1,\vvec_2,\ldots,\vvec_n\) merupakan himpunan vektor bebas linear dalam \(\real^m\text{,}\) matriks yang bersesuaian harus memiliki posisi pivot pada setiap kolom. Karena setiap baris paling banyak memuat satu posisi pivot, banyaknya kolom tidak dapat melebihi banyaknya baris. Artinya, banyaknya vektor dalam suatu himpunan bebas linear tidak dapat melebihi jumlah dimensi.
Sebagai contoh, hal ini menyatakan bahwa setiap himpunan vektor bebas linear dalam \(\real^3\) dapat memuat paling banyak tiga vektor. Dalam dunia berdimensi tiga, kita biasanya membayangkan tiga arah yang bebas, seperti atas/bawah, depan/belakang, dan kiri/kanan. Proposisi ini menyatakan bahwa tidak mungkin terdapat lebih banyak arah yang bebas.
Proposisi di atas menyatakan bahwa suatu himpunan vektor bebas linear dalam \(\real^m\) memiliki paling banyak \(m\) vektor. Sebagai perbandingan, Proposisi 2.3.15 menyatakan bahwa suatu himpunan vektor yang rentang linearnya adalah \(\real^m\) memiliki setidaknya \(m\) vektor.
Jika \(A\) adalah suatu matriks, persamaan \(A\xvec =
\zerovec\) disebut persamaan homogen. Seperti yang akan kita lihat, ketunggalan solusi persamaan ini mencerminkan kebebasan linear kolom-kolom \(A\text{.}\)
yang kolom-kolomnya kita notasikan dengan \(\vvec_1\text{,}\)\(\vvec_2\text{,}\) dan \(\vvec_3\text{.}\) Deskripsikan ruang solusi persamaan homogen \(A\xvec = \zerovec\) secara parametrik jika sesuai.
Tentukan suatu solusi tak nol dari persamaan homogen tersebut dan gunakan solusi itu untuk menentukan bobot \(c_1\text{,}\)\(c_2\text{,}\) dan \(c_3\) sedemikian sehingga
Aktivitas ini menunjukkan bagaimana ruang solusi persamaan homogen \(A\xvec = \zerovec\) menentukan apakah kolom-kolom \(A\) bergantung linear atau bebas linear. Pertama, kita mengetahui bahwa persamaan \(A\xvec = \zerovec\) selalu memiliki setidaknya satu solusi, yaitu vektor \(\xvec = \zerovec\text{.}\) Setiap solusi lainnya merupakan solusi tak nol.
Oleh karena itu, \(A\) memiliki kolom tanpa posisi pivot, yang menyatakan bahwa vektor \(\vvec_1\text{,}\)\(\vvec_2\text{,}\) dan \(\vvec_3\) bergantung linear. Namun, kita juga dapat melihat fakta ini dengan cara lain.
Matriks eselon baris tereduksi menyatakan bahwa persamaan homogen tersebut memiliki variabel bebas, sehingga terdapat tak berhingga banyak solusi. Secara khusus, kita memperoleh
Jika kita memilih \(x_3=1\text{,}\) diperoleh solusi tak nol persamaan homogen tersebut, yaitu \(\xvec =
\threevec{-1}{-1}1\text{,}\) yang menyiratkan bahwa
Seperti ditunjukkan oleh contoh ini, pertanyaan mengenai kebebasan linear dapat dipandang dengan berbagai cara. Beberapa di antaranya dicatat dalam proposisi berikut.
Suatu himpunan vektor \(\vvec_1,\vvec_2,\ldots,\vvec_n\) bergantung linear jika terdapat bobot \(c_1,c_2,\ldots,c_n\) yang tidak semuanya nol sedemikian sehingga
Pada awal bagian ini, kita menyatakan bahwa konsep tersebut membahas pertanyaan kedua dari dua pertanyaan mendasar kita mengenai ketunggalan solusi suatu sistem linear. Ada baiknya hasil bagian ini dibandingkan dengan hasil bagian sebelumnya agar kesejajaran di antara keduanya menjadi jelas.
Misalkan \(A=\left[\begin{array}{rrrr}
\vvec_1\amp\vvec_2\amp\vvec_3\amp\vvec_4
\end{array}\right]\text{.}\) Tentukan suatu solusi tak nol dari persamaan homogen \(A\xvec = \zerovec\text{.}\)
Misalkan \(\bvec\) adalah vektor dalam \(\real^3\text{.}\) Jelaskan mengapa kita dapat memastikan bahwa \(\bvec\) dapat dituliskan sebagai kombinasi linear dari \(\vvec_1\text{,}\)\(\vvec_2\text{,}\) dan \(\vvec_3\text{.}\)
Misalkan \(\bvec\) adalah vektor dalam \(\real^3\text{.}\) Dalam berapa cara \(\bvec\) dapat dituliskan sebagai kombinasi linear dari \(\vvec_1\text{,}\)\(\vvec_2\text{,}\) dan \(\vvec_3\text{?}\)
Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut dan berikan alasan bagi jawaban Anda.
Jika vektor \(\vvec_1\) dan \(\vvec_2\) membentuk himpunan bergantung linear, apakah salah satu vektor harus merupakan kelipatan skalar dari vektor lainnya?
Misalkan \(\vvec_1,\vvec_2,\ldots,\vvec_n\) merupakan himpunan vektor bebas linear. Apa yang dapat Anda katakan mengenai kebebasan atau ketergantungan linear suatu himpunan bagian dari vektor-vektor tersebut?
Misalkan \(\vvec_1,\vvec_2,\ldots,\vvec_n\) merupakan himpunan vektor bebas linear yang menjadi kolom-kolom matriks \(A\text{.}\) Jika persamaan \(A\xvec = \bvec\) tidak konsisten, apa yang dapat Anda katakan mengenai kebebasan atau ketergantungan linear himpunan vektor \(\vvec_1,\vvec_2,\ldots,\vvec_n,\bvec\text{?}\)
Misalkan kita memiliki himpunan vektor \(\vvec_1,\vvec_2,\ldots,\vvec_n\) dan \(\vvec_2\) merupakan kelipatan skalar dari \(\vvec_1\text{.}\) Maka himpunan tersebut bergantung linear.
Misalkan \(\vvec_1,\vvec_2,\ldots,\vvec_n\) bebas linear dan membentuk kolom-kolom suatu matriks \(A\text{.}\) Jika \(A\xvec = \bvec\) konsisten, maka terdapat tepat satu solusi.
Misalkan vektor-vektor tersebut sekaligus bebas linear dan merentang \(\real^{27}\text{.}\) Apa yang dapat Anda simpulkan tentang banyaknya vektor dalam himpunan tersebut?
Anggap bahwa vektor-vektor tersebut sekaligus bebas linear dan merentang \(\real^{27}\text{.}\) Untuk suatu vektor \(\bvec\) dalam \(\real^{27}\text{,}\) apa yang dapat Anda simpulkan tentang ruang solusi persamaan \(A\xvec = \bvec\text{?}\)
Di bawah ini diberikan beberapa deskripsi himpunan vektor yang membentuk kolom-kolom suatu matriks \(A\text{.}\) Untuk setiap deskripsi, berikan salah satu bentuk eselon baris tereduksi yang mungkin bagi \(A\text{,}\) atau jelaskan mengapa tidak ada himpunan vektor yang memenuhi deskripsi tersebut dengan menyatakan mengapa matriks eselon baris tereduksi yang diperlukan tidak mungkin ada.
Himpunan 4 vektor bebas linear dalam \(\real^5\text{.}\)
Ketika mempelajari perkalian matriks dalam Subbab 2.2, kita melihat bahwa beberapa sifat yang berlaku untuk bilangan real tidak berlaku untuk matriks. Latihan ini akan menyelidiki hal tersebut secara lebih mendalam.
Misalkan \(A\) dan \(B\) adalah dua matriks dan \(AB = 0\text{.}\) Jika \(B \neq 0\text{,}\) apa yang dapat Anda simpulkan tentang kebebasan linear kolom-kolom \(A\text{?}\)
Misalkan kita memiliki matriks \(A\text{,}\)\(B\text{,}\) dan \(C\) sedemikian sehingga \(AB = AC\text{.}\) Kita telah melihat bahwa secara umum kita tidak dapat menyimpulkan \(B=C\text{.}\) Jika kita juga menganggap bahwa kolom-kolom matriks \(A\) bebas linear, jelaskan mengapa \(B = C\text{.}\) Anda dapat memulai dengan menuliskan kembali persamaan \(AB = AC\) sebagai \(AB-AC = A(B-C) = 0\text{.}\)
Dari suatu himpunan vektor yang bergantung linear, kita dapat menghilangkan beberapa vektor untuk membentuk himpunan vektor bebas linear yang lebih kecil.
Misalkan \(\wvec\) merupakan kombinasi linear dari vektor \(\vvec_1\) dan \(\vvec_2\text{.}\) Jelaskan mengapa \(\laspan{\vvec_1,\vvec_2, \wvec} =
\laspan{\vvec_1,\vvec_2}\text{.}\)
Tuliskan salah satu vektor sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor lainnya. Carilah himpunan tiga vektor yang memiliki rentang yang sama dengan \(\laspan{\vvec_1,\vvec_2,\vvec_3,\vvec_4}\text{.}\)
Apakah ketiga vektor yang tersisa bebas linear? Jika tidak, nyatakan salah satu vektor sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor lainnya dan carilah himpunan dua vektor yang memiliki rentang yang sama dengan \(\laspan{\vvec_1,\vvec_2,\vvec_3,\vvec_4}\text{.}\)
