Bagian ini memperkenalkan konsep nilai eigen dan vektor eigen serta menyajikan contoh yang memotivasi ketertarikan kita terhadap keduanya. Tujuannya adalah membangun pemahaman intuitif mengenai nilai eigen dan vektor eigen serta menjelaskan bagaimana keduanya dapat digunakan untuk menyederhanakan beberapa masalah yang telah kita jumpai. Pada bagian lain dalam bab ini, kita akan mengembangkan konsep tersebut menjadi teori yang lebih kaya dan memperlihatkan penggunaannya melalui contoh-contoh yang lebih bermakna.
Jelaskan pengaruh geometris perkalian skalar terhadap vektor \(\vvec\text{.}\) Kemudian, buatlah sketsa semua vektor berbentuk \(\lambda \vvec\text{,}\) dengan \(\lambda\) suatu skalar.
Diberikan matriks persegi \(n\times n\)\(A\text{,}\) vektor tak nol \(\vvec\) disebut vektor eigen dari \(A\) jika terdapat skalar \(\lambda\) sehingga
Dengan kata lain, \(A\vvec = 10\vvec\text{,}\) yang menunjukkan bahwa \(\vvec\) merupakan vektor eigen dari matriks \(A\) dengan nilai eigen terkait \(\lambda = 10\text{.}\)
Sekali lagi, kita memperoleh \(A\wvec = -5\wvec\text{,}\) yang menunjukkan bahwa \(\wvec\) merupakan vektor eigen dari \(A\) dengan nilai eigen terkait \(\lambda=-5\text{.}\)
Sekarang perhatikan syarat vektor eigen: \(A\vvec = \lambda\vvec\text{.}\) Di sini terdapat dua vektor, \(\vvec\) dan \(A\vvec\text{.}\) Jika \(A\vvec =
\lambda\vvec\text{,}\) bagaimana hubungan geometris antara \(\vvec\) dan \(A\vvec\text{?}\)
Diagram interaktif yang memungkinkan pembaca memilih matriks \(2\times2\)\(A\) menggunakan empat penggeser yang tersusun sebagai larik \(2\times2\) di bagian atas. Di bawahnya terdapat kisi koordinat standar \(1\times1\text{,}\) sumbu koordinat, dan vektor \(\vvec\) yang dapat dipindahkan dengan mengeklik lalu menyeretnya. Vektor \(A\vvec\) juga diperlihatkan.
Penggeser dalam diagram di bawah ini memungkinkan Anda memilih matriks \(A = \begin{bmatrix} a \amp b \\ c \amp d
\end{bmatrix}\text{.}\) Vektor \(\vvec\) yang berwarna merah dapat dipindahkan dengan mengeklik kepala vektor. Vektor \(A\vvec\) kemudian diperlihatkan sebagai garis luar.
Pilih matriks \(A=
\left[\begin{array}{rr}
1\amp 2 \\
2\amp 1 \\
\end{array}\right]
\text{.}\) Pindahkan vektor \(\vvec\) sehingga syarat vektor eigen terpenuhi. Tentukan vektor eigen \(\vvec\) dan nilai eigen yang berkaitan dengannya.
Jika vektor eigen \(\vvec\) yang Anda temukan dikalikan dengan \(2\text{,}\) apakah hasilnya masih merupakan vektor eigen? Jika ya, berapakah nilai eigen yang berkaitan dengannya?
Dapatkah Anda menemukan vektor eigen lain \(\vvec\) yang bukan kelipatan skalar dari vektor pertama yang Anda temukan? Jika ya, tentukan vektor eigen tersebut dan nilai eigen yang berkaitan dengannya.
Sekarang perhatikan matriks \(A = \left[\begin{array}{rr}
2 \amp 1 \\
0 \amp 2 \\
\end{array}\right]
\text{.}\) Gunakan diagram tersebut untuk mendeskripsikan semua vektor eigen beserta nilai eigen yang berkaitan dengannya.
Terakhir, perhatikan matriks \(A = \left[\begin{array}{rr}
0 \amp -1 \\
1 \amp 0 \\
\end{array}\right]
\text{.}\) Gunakan diagram tersebut untuk mendeskripsikan semua vektor eigen beserta nilai eigen yang berkaitan dengannya. Transformasi geometris apa yang dilakukan matriks ini terhadap vektor? Bagaimana hal itu menjelaskan ada atau tidaknya vektor eigen?
Mari kita telaah lebih mendalam gagasan dalam aktivitas tersebut. Agar menjadi vektor eigen dari \(A\text{,}\) vektor \(\vvec\) harus memenuhi \(A\vvec = \lambda\vvec\) untuk suatu skalar \(\lambda\text{.}\) Artinya, \(\vvec\) dan \(A\vvec\) saling merupakan kelipatan skalar sehingga keduanya harus segaris.
Sekarang perhatikan matriks \(A = \left[\begin{array}{rr}
1 \amp 2 \\
2 \amp 1 \\
\end{array}\right]
\text{.}\) Pada sisi kiri Gambar 4.1.4, kita melihat bahwa \(\vvec=\twovec{1}{0}\) bukan vektor eigen dari \(A\) karena \(\vvec\) dan \(A\vvec\) tidak segaris. Namun, pada sisi kanan kita melihat bahwa \(\vvec=\twovec{1}{1}\) merupakan vektor eigen. Bahkan, \(A\vvec\) diperoleh dari \(\vvec\) dengan meregangkan \(\vvec\) sebesar faktor \(3\text{.}\) Oleh karena itu, \(\vvec\) merupakan vektor eigen dari \(A\) dengan nilai eigen \(\lambda = 3\text{.}\)
Vektor \(\vvec=\twovec11\) dan \(A\vvec=\twovec33\text{.}\) Hal ini menunjukkan bahwa \(\vvec\) merupakan vektor eigen dari matriks \(A\) karena kedua vektor tersebut segaris.
Gambar4.1.4.Di sebelah kiri, vektor \(\vvec\) bukan vektor eigen. Di sebelah kanan, vektor \(\vvec\) merupakan vektor eigen dengan nilai eigen \(\lambda = 3\text{.}\)
Mudah dilihat bahwa setiap kelipatan dari \(\twovec{1}{1}\) juga merupakan vektor eigen dari \(A\) dengan nilai eigen \(\lambda = 3\text{.}\) Kelak kita akan melihat bahwa semua vektor eigen yang berkaitan dengan suatu nilai eigen membentuk subruang dari \(\real^n\text{.}\)
Vektor \(\vvec=\twovec{-1}1\) dan \(A\vvec=\twovec1{-1}\text{.}\) Hal ini menunjukkan bahwa \(\vvec\) merupakan vektor eigen dari matriks \(A\) karena keduanya segaris.
Diagram interaktif yang digunakan dalam aktivitas tersebut dimaksudkan untuk menunjukkan bahwa vektor eigen suatu matriks \(A\) merupakan vektor istimewa. Pada umumnya, vektor \(\vvec\) dan \(A\vvec\) tampak tidak berkaitan secara geometris. Namun, untuk vektor tertentu, \(\vvec\) dan \(A\vvec\) segaris. Ketika hal itu terjadi, terdapat sifat penting sehingga kita menandai vektor-vektor tersebut dengan menyebutnya vektor eigen. Untuk vektor semacam ini, operasi perkalian dengan \(A\) menyusut menjadi operasi yang jauh lebih sederhana, yaitu perkalian skalar dengan \(\lambda\text{.}\) Vektor eigen penting karena penggantian perkalian matriks dengan perkalian skalar sangat memudahkan perhitungan.
Subbagian4.1.3Kegunaan nilai eigen dan vektor eigen
Pada bagian berikutnya, kita akan memperkenalkan teknik aljabar untuk mencari nilai eigen dan vektor eigen suatu matriks. Namun, sebelum melakukannya, kita akan membahas alasan nilai eigen dan vektor eigen begitu berguna.
Mari kita lanjutkan pembahasan contoh \(A = \left[\begin{array}{rr} 1 \amp 2 \\ 2 \amp 1 \\
\end{array}\right] \text{.}\) Kita telah melihat bahwa \(\vvec_1 =
\twovec{1}{1}\) merupakan vektor eigen dengan nilai eigen \(\lambda=3\text{,}\) sedangkan \(\vvec_2=\twovec{-1}{1}\) merupakan vektor eigen dengan nilai eigen \(\lambda = -1\text{.}\) Artinya, \(A\vvec_1 = 3\vvec_1\) dan \(A\vvec_2=-\vvec_2\text{.}\) Berdasarkan linearitas perkalian matriks, kita dapat menentukan hasil perkalian suatu kombinasi linear dari \(\vvec_1\) dan \(\vvec_2\) dengan \(A\text{:}\)
Vektor \(\vvec_1=\twovec11\) dan \(\vvec_2=\twovec{-1}1\) beserta kisi koordinat miring dari kombinasi linearnya. Vektor \(\xvec=\vvec_1-2\vvec_2\) dan hasil kalinya \(A\xvec=3\vvec_1+2\vvec_2\) menunjukkan bahwa hasil kali tersebut dapat dinyatakan dengan mudah sebagai kombinasi linear vektor-vektor eigen.
Dengan kata lain, perkalian dengan \(A\) meregangkan vektor \(\xvec\) pada arah \(\vvec_1\) dengan faktor \(3\) dan membalik \(\xvec\) pada arah \(\vvec_2\text{.}\)
Kita dapat membandingkannya dengan contoh matriks diagonal yang lebih dikenal, \(D=\left[\begin{array}{rr}
3 \amp 0 \\
0 \amp -1 \\
\end{array}\right]
\text{.}\) Seperti yang telah kita lihat, transformasi matriks yang ditentukan oleh \(D\) memadukan peregangan horizontal dengan faktor 3 dan pencerminan terhadap sumbu horizontal, sebagaimana diperlihatkan pada Gambar 4.1.6.
Persegi panjang dengan titik-titik sudut di titik asal, \((3,0)\text{,}\)\((3,-1)\text{,}\) dan \((0,-1)\text{,}\) yang menunjukkan bagaimana persegi satuan ditransformasikan oleh perkalian dengan matriks diagonal \(D\text{.}\)
Matriks \(A=\left[\begin{array}{rr}
1 \amp 2 \\
2 \amp 1 \\
\end{array}\right]\) memiliki pengaruh serupa jika dilihat dalam basis yang ditentukan oleh vektor eigen \(\vvec_1\) dan \(\vvec_2\text{,}\) seperti yang tampak pada Gambar 4.1.7.
Vektor eigen \(\vvec_1\) dan \(\vvec_2\) beserta kisi koordinat miring dari kombinasi linearnya. Persegi yang titik-titik sudutnya adalah titik asal, \(\vvec_1\text{,}\)\(\vvec_1+\vvec_2\text{,}\) dan \(\vvec_2\) juga diarsir.
Vektor \(3\vvec_1\) dan \(-\vvec_2\) ditampilkan bersama persegi panjang yang titik-titik sudutnya berada di titik asal, \(3\vvec_1\text{,}\)\(3\vvec_1-\vvec_2\text{,}\) dan \(-\vvec_2\text{.}\) Persegi panjang ini menunjukkan bagaimana persegi satuan ditransformasikan oleh perkalian dengan \(A\text{.}\)
Gambar4.1.7.Matriks \(A\) memiliki pengaruh geometris yang sama dengan matriks diagonal \(D\) ketika dinyatakan dalam sistem koordinat yang ditentukan oleh basis vektor-vektor eigen.
Dalam pengertian yang akan dirumuskan secara tepat nanti, keberadaan suatu himpunan vektor eigen \(A\) yang membentuk basis untuk \(\real^2\) memungkinkan kita memandang \(A\) sebagai matriks yang ekuivalen dengan suatu matriks diagonal \(D\text{.}\) Tentu saja, seperti yang ditunjukkan oleh contoh-contoh lain dalam aktivitas sebelumnya, basis tidak selalu dapat dibentuk dari vektor-vektor eigen suatu matriks. Sebagai contoh, satu-satunya vektor eigen dari matriks \(\left[\begin{array}{rr} 2 \amp 1 \\
0 \amp 2 \end{array}\right]\text{,}\) yang merepresentasikan suatu geseran, berbentuk \(\twovec{x}{0}\text{.}\) Dalam contoh ini, kita tidak dapat membentuk basis untuk \(\real^2\) yang terdiri atas vektor eigen matriks tersebut. Hal yang sama berlaku untuk matriks \(\left[\begin{array}{rr}
0 \amp -1 \\
1 \amp 0 \\
\end{array}\right]
\text{,}\) yang merepresentasikan rotasi sebesar \(90^\circ\text{.}\)
Misalkan kita bekerja pada perusahaan penyewaan mobil yang memiliki dua lokasi, \(P\) dan \(Q\text{.}\) Ketika pelanggan menyewa mobil di salah satu lokasi, pada akhir hari pelanggan dapat mengembalikannya ke salah satu dari kedua lokasi tersebut. Setelah melakukan riset pasar, kita memperoleh informasi berikut:
80% mobil yang disewa di lokasi \(P\) dikembalikan ke \(P\text{,}\) sedangkan 20% dikembalikan ke \(Q\text{.}\)
Misalkan pada Senin pagi terdapat 1000 mobil di lokasi \(P\) dan tidak ada mobil di lokasi \(Q\text{.}\) Berapa banyak mobil yang berada di lokasi \(P\) dan \(Q\) pada akhir hari Senin?
Kita dapat menggunakan vektor \(\xvec_k = \twovec{P_k}{Q_k}\) untuk menyatakan banyak mobil di kedua lokasi pada akhir hari \(k\text{.}\) Dengan demikian,
Hitung \(A\vvec_1\) dan \(A\vvec_2\) untuk menunjukkan bahwa \(\vvec_1\) dan \(\vvec_2\) merupakan vektor eigen dari \(A\text{.}\) Berapakah nilai eigen terkait \(\lambda_1\) dan \(\lambda_2\text{?}\)
Kita telah menyatakan bahwa pada awalnya terdapat 1000 mobil di lokasi \(P\) dan tidak ada mobil di lokasi \(Q\text{.}\) Artinya, vektor awal yang menyatakan banyak mobil adalah \(\xvec_0 = \ctwovec{1000}{0}\text{.}\) Nyatakan \(\xvec_0\) sebagai kombinasi linear dari \(\vvec_1\) dan \(\vvec_2\text{.}\)
Ingat bahwa \(\vvec_1\) dan \(\vvec_2\) merupakan vektor eigen dari \(A\text{.}\) Gunakan linearitas perkalian matriks untuk menuliskan vektor \(\xvec_1 = A\xvec_0\text{,}\) yang menyatakan banyak mobil di kedua lokasi pada akhir hari pertama, sebagai kombinasi linear dari \(\vvec_1\) dan \(\vvec_2\text{.}\)
Nyatakan vektor \(\xvec_2 = A\xvec_1\) sebagai kombinasi linear dari \(\vvec_1\) dan \(\vvec_2\text{.}\) Selanjutnya, nyatakan beberapa vektor berikut sebagai kombinasi linear dari \(\vvec_1\) dan \(\vvec_2\text{:}\)
Apa yang akan terjadi pada banyak mobil di kedua lokasi setelah waktu yang sangat lama? Jelaskan bagaimana penulisan \(\xvec_0\) sebagai kombinasi linear vektor-vektor eigen membantu Anda menentukan perilaku jangka panjangnya.
Aktivitas ini penting dan menjadi motivasi bagi banyak pembahasan kita mengenai nilai eigen dan vektor eigen. Karena itu, aktivitas ini perlu ditinjau kembali untuk memastikan bahwa konsep-konsepnya telah dipahami dengan jelas.
Perhitungan ini menunjukkan bahwa \(\vvec_1\) merupakan vektor eigen dari \(A\) dengan nilai eigen \(\lambda_1 = 1\text{,}\) sedangkan \(\vvec_2\) merupakan vektor eigen dari \(A\) dengan nilai eigen \(\lambda_2=0.2\text{.}\)
Oleh karena itu, kita akan menuliskan vektor yang menyatakan distribusi awal mobil, \(\xvec_0=\ctwovec{1000}{0}\text{,}\) sebagai kombinasi linear dari \(\vvec_1\) dan \(\vvec_2\text{,}\) yaitu \(\xvec_0 = c_1\vvec_1 + c_2 \vvec_2\text{.}\) Untuk melakukannya, kita membentuk matriks diperbesar lalu mereduksi baris:
Mengalikan suatu bilangan dengan \(0.2\) sama dengan mengambil 20% dari bilangan tersebut. Setiap hari, suku kedua dikalikan dengan \(0.2\text{,}\) sehingga koefisien \(\vvec_2\) dalam bentuk \(\xvec_k\) akhirnya menjadi sangat kecil. Dengan demikian, distribusi mobil akan menstabil pada \(\xvec=250\vvec_1=\twovec{750}{250}\text{.}\)
Perhatikan bahwa pemahaman kita tentang vektor-vektor eigen matriks memungkinkan perkalian matriks digantikan dengan operasi perkalian skalar yang lebih sederhana. Akibatnya, kita dapat meninjau keadaan jauh pada masa depan tanpa harus melakukan perkalian matriks secara berulang.
Selain itu, perhatikan bahwa contoh ini bergantung pada kenyataan bahwa vektor awal \(\xvec_0\) dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear vektor-vektor eigen. Karena itu, jika diberikan matriks \(n\times n\text{,}\) kita ingin dapat membentuk basis untuk \(\real^n\) yang terdiri atas vektor-vektor eigennya. Pertanyaan ini akan sering kita tinjau kembali pada bagian-bagian berikutnya.
Jika \(A\) adalah matriks \(n\times n\text{,}\) dapatkah kita membentuk basis untuk \(\real^n\) yang terdiri atas vektor-vektor eigen dari \(A\text{?}\)
Kita mendefinisikan vektor eigen suatu matriks persegi \(A\) sebagai vektor tak nol \(\vvec\) yang memenuhi \(A\vvec = \lambda\vvec\) untuk suatu skalar \(\lambda\text{.}\) Skalar ini disebut nilai eigen yang terkait dengan \(\vvec\text{.}\)
Jika \(\vvec\) merupakan vektor eigen, perkalian matriks dengan \(A\) menyusut menjadi operasi yang lebih sederhana, yaitu perkalian skalar dengan \(\lambda\text{.}\)
Kelipatan skalar dari suatu vektor eigen juga merupakan vektor eigen. Bahkan, kita akan melihat bahwa vektor-vektor eigen yang terkait dengan suatu nilai eigen \(\lambda\) membentuk subruang.
Jika kita dapat membentuk basis untuk \(\real^n\) yang terdiri atas vektor-vektor eigen dari \(A\text{,}\) maka dalam pengertian tertentu \(A\) ekuivalen dengan suatu matriks diagonal.
Menuliskan ulang vektor \(\xvec\) sebagai kombinasi linear vektor-vektor eigen dari \(A\) menyederhanakan proses perkalian berulang \(\xvec\) dengan \(A\text{.}\)
Tunjukkan bahwa \(\vvec_1\) dan \(\vvec_2\) merupakan vektor eigen dari \(A\text{,}\) lalu tentukan nilai eigen yang terkait dengan masing-masing vektor.
Tunjukkan bahwa vektor \(\vvec_1\text{,}\)\(\vvec_2\text{,}\) dan \(\vvec_3\) merupakan vektor eigen dari \(A\text{,}\) lalu tentukan nilai eigen yang terkait dengan masing-masing vektor.
Jika \(\vvec\) merupakan vektor eigen dari \(A\) dengan nilai eigen terkait \(\lambda\text{,}\) jelaskan mengapa \(\vvec\) juga merupakan vektor eigen dari \(A^2\) dengan nilai eigen terkait \(\lambda^2\text{.}\)
Jika \(A\) invertibel dan \(\vvec\) merupakan vektor eigen dari \(A\) dengan nilai eigen terkait \(\lambda\text{,}\) jelaskan mengapa \(\vvec\) juga merupakan vektor eigen dari \(A^{-1}\) dengan nilai eigen terkait \(\lambda^{-1}\text{.}\)
Matriks \(A=
\left[\begin{array}{rr}
1 \amp 2 \\
2 \amp 1 \\
\end{array}\right]\) memiliki vektor eigen \(\vvec_1=\twovec{1}{1}\) dan \(\vvec_2=\twovec{-1}{1}\) dengan nilai eigen terkait \(\lambda_1 = 3\) dan \(\lambda_2=-1\text{.}\) Sebutkan beberapa vektor eigen beserta nilai eigen terkait untuk \(A^5\text{.}\)
Misalkan \(A\) adalah matriks dengan vektor eigen \(\vvec_1\) dan \(\vvec_2\) serta nilai eigen \(\lambda_1 = -1\) dan \(\lambda_2=2\text{,}\) seperti yang diperlihatkan pada Gambar 4.1.9.
Vektor eigen \(\vvec_1\) dan \(\vvec_2\) ditampilkan bersama kisi koordinat miring dari kombinasi linearnya. Vektor \(\xvec\text{,}\) yang dapat ditafsirkan sebagai kombinasi linear vektor-vektor eigen dengan menggunakan garis kisi, juga ditampilkan.
Misalkan \(A\) adalah matriks \(n\times n\text{.}\)
Dengan mengasumsikan bahwa \(\vvec\) merupakan vektor eigen dari \(A\) yang nilai eigen terkaitnya tak nol, jelaskan mengapa \(\vvec\) berada dalam \(\col(A)\text{.}\)
Dengan mengasumsikan bahwa \(\vvec\) merupakan vektor eigen dari \(A\) yang nilai eigen terkaitnya nol, jelaskan mengapa \(\vvec\) berada dalam \(\nul(A)\text{.}\)
Misalkan terdapat dua spesies, \(P\) dan \(Q\text{,}\) dengan spesies \(P\) memangsa \(Q\text{.}\) Populasi keduanya, dalam jutaan, pada tahun \(k\) dinyatakan oleh \(P_k\) dan \(Q_k\) serta memenuhi
Tunjukkan bahwa \(\vvec_1=\twovec{1}{3}\) dan \(\vvec_2=\twovec{2}{1}\) merupakan vektor eigen dari \(A\text{,}\) lalu tentukan nilai eigen yang terkait.
Misalkan populasi awal dinyatakan oleh vektor \(\xvec_0 = \twovec{38}{44}\text{.}\) Nyatakan \(\xvec_0\) sebagai kombinasi linear dari \(\vvec_1\) dan \(\vvec_2\text{.}\)
Tentukan populasi setelah satu tahun, dua tahun, dan tiga tahun dengan menuliskan vektor \(\xvec_1\text{,}\)\(\xvec_2\text{,}\) dan \(\xvec_3\) sebagai kombinasi linear dari \(\vvec_1\) dan \(\vvec_2\text{.}\)
