Subbab4.3Diagonalisasi, keserupaan, dan pangkat matriks
Dalam Kegiatan 4.1.3, kita menelaah sebuah perusahaan penyewaan mobil dengan dua lokasi dan peluang yang diketahui bahwa mobil yang disewa di suatu lokasi dikembalikan ke lokasi yang sama. Jika distribusi mobil pada suatu hari dicatat oleh vektor \(\xvec_k\text{,}\) kita memperoleh persamaan matriks \(\xvec_{k+1}=A\xvec_k\) yang menentukan perubahan distribusi mobil dari hari ke hari.
Untuk membuat prediksi jangka panjang, kita perlu memahami perilaku pangkat-pangkat besar matriks \(A\text{.}\) Bagian ini akan memperkenalkan beberapa gagasan untuk menentukan perilaku tersebut.
Contoh pertama yang kita perhatikan dalam bab ini adalah matriks \(A=\left[\begin{array}{rr}
1 \amp 2 \\
2 \amp 1 \\
\end{array}\right]
\text{,}\) yang memiliki vektor eigen \(\vvec_1=\twovec{1}{1}\) dan \(\vvec_2 = \twovec{-1}{1}\) dengan nilai eigen terkait \(\lambda_1=3\) dan \(\lambda_2=-1\text{.}\) Dalam Subbagian 4.1.3, kita menjelaskan bagaimana \(A\text{,}\) dalam arti tertentu, ekuivalen dengan matriks diagonal \(D = \left[\begin{array}{rr}
3 \amp 0 \\
0 \amp -1\\
\end{array}\right]
\text{.}\)
Ekuivalensi ini dirangkum dalam Gambar 4.3.1. Matriks diagonal \(D\) memiliki pengaruh geometris berupa peregangan vektor secara horizontal dengan faktor \(3\) dan pembalikan arah vektor secara vertikal. Matriks \(A\) memiliki pengaruh geometris berupa peregangan vektor dengan faktor \(3\) pada arah \(\vvec_1\) dan pembalikan arah vektor pada arah \(\vvec_2\text{.}\) Artinya, pengaruh geometris \(A\) sama dengan pengaruh geometris \(D\) jika dilihat dalam suatu basis yang terdiri atas vektor-vektor eigen \(A\text{.}\)
Vektor eigen \(\vvec_1\) dan \(\vvec_2\) beserta kisi koordinat miring dari kombinasi linearnya. Persegi yang titik-titik sudutnya adalah titik asal, \(\vvec_1\text{,}\)\(\vvec_1+\vvec_2\text{,}\) dan \(\vvec_2\) juga diarsir.
Vektor \(3\vvec_1\) dan \(-\vvec_2\) ditampilkan bersama persegi panjang yang titik-titik sudutnya berada di titik asal, \(3\vvec_1\text{,}\)\(3\vvec_1-\vvec_2\text{,}\) dan \(-\vvec_2\text{.}\) Persegi panjang ini menunjukkan bagaimana persegi satuan ditransformasikan oleh perkalian dengan \(A\text{.}\)
Tujuan kita dalam bagian ini adalah menyatakan pengamatan geometris tersebut dalam bentuk aljabar. Dengan demikian, kita akan memperjelas pengertian bahwa \(A\) dan \(D\) ekuivalen.
Ingat bahwa perkalian matriks-vektor membentuk kombinasi linear dari kolom-kolom matriks. Sebagai contoh, jika \(A = \begin{bmatrix}
\avec_1 \amp \avec_2 \end{bmatrix}\text{,}\) nyatakan hasil kali \(A\twovec2{-3}\) dalam \(\avec_1\) dan \(\avec_2\text{.}\)
Selanjutnya, ingat kembali bagaimana perkalian matriks-matriks didefinisikan. Misalkan kita memiliki matriks \(A\) dan \(B\text{,}\) dengan \(B = \begin{bmatrix}
\bvec_1 \amp \bvec_2 \end{bmatrix}\text{.}\) Bagaimana kita dapat menyatakan hasil kali matriks \(AB\) dalam kolom-kolom \(B\text{?}\)
Misalkan \(A\) adalah matriks yang memiliki vektor eigen \(\vvec_1\) dan \(\vvec_2\) dengan nilai eigen terkait \(\lambda_1 = 4\) dan \(\lambda_2 = -1\text{.}\) Nyatakan hasil kali \(A(2\vvec_1+3\vvec_2)\) dalam \(\vvec_1\) dan \(\vvec_2\text{.}\)
Ketika bekerja dengan matriks \(n\times n\)\(A\text{,}\)Subbagian 4.1.3 menunjukkan manfaat memiliki basis \(\real^n\) yang terdiri atas vektor-vektor eigen \(A\text{.}\) Bahkan, Proposisi 4.2.9 menyatakan bahwa jika nilai-nilai eigen \(A\) real dan berbeda, maka basis semacam itu ada. Seperti yang akan kita lihat nanti, terdapat syarat lain pada \(A\) yang menjamin adanya basis vektor-vektor eigen. Untuk saat ini, cukup kita katakan bahwa basis vektor-vektor eigen dapat ditemukan untuk banyak matriks. Dengan asumsi ini, kita akan melihat bagaimana matriks \(A\) ekuivalen dengan matriks diagonal \(D\text{.}\)
Misalkan \(A\) adalah matriks \(2\times2\) yang memiliki vektor eigen \(\vvec_1\) dan \(\vvec_2\) dengan nilai eigen terkait \(\lambda_1=3\) dan \(\lambda_2 = -6\text{.}\) Karena nilai-nilai eigen tersebut real dan berbeda, menurut Proposisi 4.2.9 vektor-vektor eigen ini membentuk basis untuk \(\real^2\text{.}\)
Berapakah hasil kali \(A\vvec_1\) dan \(A\vvec_2\) dalam \(\vvec_1\) dan \(\vvec_2\text{?}\)
Jika kita membentuk matriks \(P = \begin{bmatrix}
\vvec_1 \amp \vvec_2
\end{bmatrix}
\text{,}\) berapakah hasil kali \(AP\) dalam \(\vvec_1\) dan \(\vvec_2\text{?}\)
Gunakan nilai-nilai eigen untuk membentuk matriks diagonal \(D
= \begin{bmatrix}
3 \amp 0 \\
0 \amp -6
\end{bmatrix}\text{,}\) lalu tentukan hasil kali \(PD\) dalam \(\vvec_1\) dan \(\vvec_2\text{.}\)
Hasil dari dua bagian sebelumnya dalam aktivitas ini menunjukkan bahwa \(AP=PD\text{.}\) Dengan menggunakan fakta bahwa vektor eigen \(\vvec_1\) dan \(\vvec_2\) membentuk basis untuk \(\real^2\text{,}\) jelaskan mengapa \(P\) invertibel dan mengapa harus berlaku \(A=PDP^{-1}\text{.}\)
Misalkan \(A=\begin{bmatrix}
-3 \amp 6 \\
3 \amp 0 \\
\end{bmatrix}\text{.}\) Verifikasikan bahwa \(\vvec_1=\twovec11\) dan \(\vvec_2=\twovec2{-1}\) merupakan vektor eigen dari \(A\) dengan nilai eigen \(\lambda_1 = 3\) dan \(\lambda_2=-6\text{.}\)
Secara lebih umum, misalkan kita memiliki matriks \(n\times n\)\(A\) dan terdapat basis untuk \(\real^n\) yang terdiri atas vektor eigen \(\vvec_1,\vvec_2,\ldots,\vvec_n\) dari \(A\) dengan nilai eigen terkait \(\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n\text{.}\) Jika vektor-vektor eigen tersebut digunakan untuk membentuk matriks
Jika \(A\) adalah matriks \(n\times n\) dan terdapat basis \(\{\vvec_1,\vvec_2,\ldots,\vvec_n\}\) untuk \(\real^n\) yang terdiri atas vektor-vektor eigen \(A\) dengan nilai eigen terkait \(\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n\text{,}\) maka kita dapat menulis \(A=PDP^{-1}\text{,}\) dengan \(D\) matriks diagonal yang entri-entri diagonalnya merupakan nilai-nilai eigen \(A\)
Kita telah melihat bahwa \(A = \begin{bmatrix}
1 \amp 2 \\
2 \amp 1 \\
\end{bmatrix}\) memiliki vektor eigen \(\vvec_1 = \twovec11\) dan \(\vvec_2=\twovec{-1}1\) dengan nilai eigen terkait \(\lambda_1 = 3\) dan \(\lambda_2 = -1\text{.}\) Dengan membentuk matriks
Inilah pengertian yang dimaksud ketika kita mengatakan bahwa \(A\) ekuivalen dengan matriks diagonal \(D\text{.}\) Pernyataan \(A=PDP^{-1}\) mengatakan bahwa \(A\text{,}\) jika dinyatakan dalam basis yang ditentukan oleh kolom-kolom \(P\text{,}\) memiliki pengaruh geometris yang sama dengan \(D\) yang dinyatakan dalam basis standar \(\evec_1, \evec_2,\ldots,\evec_n\text{.}\)
Kita akan mencoba mencari suatu diagonalisasi dari \(A =
\left[\begin{array}{rr}
-5 \amp 6 \\
-3 \amp 4 \\
\end{array}\right]\) yang persamaan karakteristiknya adalah
Dengan membentuk \(\nul(A-(-2)I)\text{,}\) kita memperoleh basis untuk \(E_{-2}\) yang terdiri atas vektor \(\vvec_1 = \twovec{2}{1}\text{.}\) Demikian pula, basis untuk \(E_1\) terdiri atas vektor \(\vvec_2 = \twovec{1}{1}\text{.}\) Hal ini menunjukkan bahwa kita dapat membentuk basis \(\{\vvec_1,\vvec_2\}\) untuk \(\real^2\) yang terdiri atas vektor-vektor eigen \(A\text{.}\)
Sebenarnya, terdapat banyak cara untuk mendiagonalisasi \(A\text{.}\) Sebagai contoh, kita dapat mengubah urutan nilai eigen dan vektor eigen, lalu menulis
Jika kita memilih basis yang berbeda untuk ruang-ruang eigen, kita juga akan memperoleh matriks \(P\) berbeda yang mendiagonalisasi \(A\text{.}\) Intinya, terdapat banyak cara untuk menuliskan \(A\) dalam bentuk \(A=PDP^{-1}\text{.}\)
Dalam kasus ini, tidak terdapat basis untuk \(\real^2\) yang terdiri atas vektor-vektor eigen \(A\text{.}\) Hal ini memberi tahu kita bahwa \(A\) tidak dapat didiagonalisasi.
Bahkan, jika kita hanya mengetahui bahwa \(A = PDP^{-1}\text{,}\) kita dapat mengatakan bahwa kolom-kolom \(P\) merupakan vektor-vektor eigen \(A\) dan entri-entri diagonal \(D\) merupakan nilai-nilai eigen terkait.
Matriks \(n\times n\)\(A\) dapat didiagonalisasi jika dan hanya jika terdapat basis untuk \(\real^n\) yang terdiri atas vektor-vektor eigen \(A\text{.}\)
Kolom-kolom \(P\) merupakan vektor-vektor eigen \(A\text{,}\) sehingga \(\vvec_1 = \twovec{1}{1}\) merupakan vektor eigen \(A\) dengan nilai eigen \(\lambda_1 = 2\) dan \(\vvec_2 = \twovec{1}{2}\) merupakan vektor eigen dengan nilai eigen \(\lambda_2=-2\text{.}\)
Subbagian4.3.3Pangkat matriks yang dapat didiagonalisasi
Dalam beberapa contoh sebelumnya, kita tertarik untuk menghitung pangkat dari suatu matriks. Sebagai contoh, dalam Kegiatan 4.1.3, kita memiliki matriks \(A = \left[\begin{array}{rr}
0.8 \amp 0.6 \\
0.2 \amp 0.4 \\
\end{array}\right]\) dan vektor awal \(\xvec_0=\ctwovec{1000}{0}\text{,}\) dan kita ingin menghitung
Secara khusus, kita ingin mencari \(\xvec_k=A^k\xvec_0\) dan menentukan apa yang terjadi ketika \(k\) menjadi sangat besar. Jika matriks \(A\) dapat didiagonalisasi, penulisan \(A=PDP^{-1}\) dapat membantu kita memahami pangkat-pangkat \(A\) dengan lebih mudah.
Misalkan \(A\) adalah matriks dengan vektor eigen \(\vvec\) dan nilai eigen terkait \(\lambda\text{;}\) artinya, \(A\vvec = \lambda\vvec\text{.}\) Dengan memperhatikan \(A^2\vvec\text{,}\) jelaskan mengapa \(\vvec\) juga merupakan vektor eigen \(A^2\) dengan nilai eigen \(\lambda^2\text{.}\)
Dengan mengingat bahwa kolom-kolom \(P\) merupakan vektor-vektor eigen \(A\text{,}\) jelaskan mengapa \(A^2\) dapat didiagonalisasi dan carilah suatu diagonalisasi dalam \(P\) dan \(D\text{.}\)
Misalkan \(A\) adalah matriks \(2\times2\) yang dapat didiagonalisasi dengan nilai eigen \(\lambda_1 =
0.5\) dan \(\lambda_2=0.1\text{.}\) Apa yang terjadi pada \(A^k\) ketika \(k\) menjadi sangat besar?
Mari kita tinjau kembali Kegiatan 4.1.3, yang di dalamnya kita memiliki matriks \(A = \begin{bmatrix}
0.8 \amp 0.6 \\
0.2 \amp 0.4 \\
\end{bmatrix}\) dan vektor awal \(\xvec_0 = \ctwovec{1000}0\text{.}\) Kita tertarik untuk memahami barisan vektor \(\xvec_{k+1} = A\xvec_k\text{,}\) yang berarti bahwa \(\xvec_k = A^k\xvec_0\text{.}\)
Kita dapat memverifikasikan bahwa \(\vvec_1 = \twovec31\) dan \(\vvec_2 = \twovec{-1}1\) merupakan vektor eigen \(A\) dengan nilai eigen terkait \(\lambda_1=1\) dan \(\lambda_2 = 0.2\text{.}\) Artinya, \(A = PDP^{-1}\text{,}\) dengan
Perhatikan bahwa \(D^k = \begin{bmatrix}
1^k \amp 0 \\
0 \amp 0.2^k \\
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
1 \amp 0 \\
0 \amp 0.2^k
\end{bmatrix}
\text{.}\) Ketika \(k\) meningkat, \(0.2^k\) semakin mendekati nol. Artinya, untuk pangkat \(k\) yang sangat besar, kita memiliki
Dimulai dengan vektor \(\xvec_0 = \ctwovec{1000}{0}\text{,}\) kita memperoleh \(\xvec_k = A^k\xvec_0\approx
\twovec{750}{250}\) ketika \(k\) sangat besar.
Kita tertarik untuk mendiagonalisasi matriks \(A\) karena hal itu menghubungkan matriks \(A\) dengan matriks diagonal \(D\) yang lebih sederhana. Secara khusus, pengaruh perkalian suatu vektor dengan \(A=PDP^{-1}\text{,}\) jika dilihat dalam basis yang ditentukan oleh kolom-kolom \(P\text{,}\) sama dengan pengaruh perkalian dengan \(D\) dalam basis standar.
Walaupun banyak matriks dapat didiagonalisasi, ada pula yang tidak dapat didiagonalisasi. Sebagai contoh, jika suatu matriks memiliki nilai eigen kompleks, tidak mungkin ditemukan basis untuk \(\real^n\) yang terdiri atas vektor-vektor eigen. Artinya, matriks tersebut tidak dapat didiagonalisasi. Namun, dalam kasus ini kita masih dapat menghubungkan matriks tersebut dengan bentuk yang lebih sederhana untuk menjelaskan pengaruh geometrisnya terhadap vektor.
Perhatikan bahwa suatu matriks dapat didiagonalisasi jika dan hanya jika matriks tersebut serupa dengan suatu matriks diagonal. Jika matriks \(A\) memiliki nilai eigen kompleks, kita akan mencari matriks \(C\) yang lebih sederhana dan serupa dengan \(A\text{.}\) Kita juga akan memperhatikan bahwa \(A=PCP^{-1}\text{,}\) jika dilihat dalam basis yang ditentukan oleh kolom-kolom \(P\text{,}\) memiliki pengaruh yang sama dengan \(C\) jika dilihat dalam basis standar.
Sebagai awal, misalkan \(A\) adalah matriks \(2\times2\) yang memiliki nilai eigen kompleks \(\lambda = a+bi\text{.}\) Ternyata \(A\) serupa dengan \(C=\begin{bmatrix}
a \amp -b \\
b \amp a \\
\end{bmatrix}
\text{.}\)
Aktivitas berikut menunjukkan bahwa \(C\) memiliki pengaruh geometris sederhana pada \(\real^2\text{.}\) Namun, terlebih dahulu kita akan menggunakan koordinat polar untuk menulis ulang \(C\text{.}\) Seperti yang diperlihatkan pada gambar, titik \((a,b)\) menentukan \(r\text{,}\) yaitu jarak dari titik asal, dan \(\theta\text{,}\) yaitu sudut yang dibentuk dengan sumbu horizontal positif. Dengan demikian, kita memiliki
\begin{equation*}
\begin{aligned}
a \amp {}={} r\cos\theta \\
b \amp {}={} r\sin\theta\text{.} \\
\end{aligned}
\end{equation*}
Perhatikan bahwa teorema Pythagoras menyatakan bahwa \(r=\sqrt{a^2+b^2}\text{.}\)
Sepasang sumbu koordinat pada bidang beserta suatu titik yang koordinatnya diberikan sebagai \((a,b)\text{.}\) Sebuah ruas garis yang panjangnya dinyatakan dengan \(r\) membentang dari titik asal ke titik tersebut. Sudut antara ruas garis ini dan sumbu horizontal positif dinyatakan dengan \(\theta\text{.}\) Terdapat pula ruas garis vertikal dari titik tersebut ke sumbu horizontal dengan panjang \(b\) yang ditunjukkan. Jarak dari titik asal ke titik potong ruas garis vertikal dengan sumbu horizontal dinyatakan dengan \(a\text{.}\)
yang nilai-nilai eigennya adalah \(\lambda_1 = 1+i\) dan \(\lambda_2 = 1-i\text{.}\) Kita akan memilih untuk berfokus pada salah satu nilai eigen, yaitu \(\lambda_1 = a+bi= 1+i. \)
Bentuklah matriks \(C\) menggunakan nilai \(a\) dan \(b\) tersebut. Kemudian, tulis ulang titik \((a,b)\) dalam koordinat polar dengan menentukan nilai \(r\) dan \(\theta\text{.}\) Jelaskan pengaruh geometris perkalian vektor dengan \(C\text{.}\)
Kita membentuk matriks \(C\) dengan memilih nilai eigen \(\lambda_1=1+i\text{.}\) Misalkan kita memilih \(\lambda_2 = 1-i\) sebagai gantinya. Bentuklah matriks \(C'\) dan gunakan koordinat polar untuk mendeskripsikan pengaruh geometris \(C'\text{.}\)
Jika matriks \(2\times2\)\(A\) memiliki nilai eigen kompleks \(\lambda = a + bi\text{,}\) ternyata \(A\) selalu serupa dengan matriks \(C = \left[\begin{array}{rr}
a \amp -b \\
b \amp a \\
\end{array}\right],\) yang pengaruh geometrisnya terhadap vektor dapat dideskripsikan sebagai rotasi dan penskalaan. Sebenarnya, terdapat metode untuk mencari matriks \(P\) sedemikian sehingga \(A=PCP^{-1}\text{,}\) yang akan kita lihat dalam Latihan 4.3.6.8. Untuk saat ini, kita memperhatikan bahwa \(A\) memiliki pengaruh geometris yang sama dengan \(C\) jika dilihat dalam basis yang diberikan oleh kolom-kolom \(P\text{.}\) Fakta ini akan kita gunakan dalam bagian berikutnya untuk memahami sistem dinamis tertentu.
Jika \(A\) adalah matriks \(2\times2\) dengan nilai eigen kompleks \(\lambda = a + bi\text{,}\) maka \(A\) serupa dengan \(C = \begin{bmatrix}
a \amp -b \\
b \amp a \\
\end{bmatrix}\text{;}\) artinya, terdapat matriks \(P\) sedemikian sehingga \(A= PCP^{-1}\text{.}\)
Tujuan kita dalam bagian ini adalah menggunakan nilai-nilai eigen dan vektor-vektor eigen suatu matriks \(A\) untuk menghubungkan \(A\) dengan matriks yang lebih sederhana.
Kita mengatakan bahwa \(A\) dapat didiagonalisasi jika kita dapat menulis \(A = PDP^{-1}\text{,}\) dengan \(D\) matriks diagonal. Kolom-kolom \(P\) terdiri atas vektor-vektor eigen \(A\text{,}\) sedangkan entri-entri diagonal \(D\) merupakan nilai-nilai eigen terkait.
Matriks \(n\times n\)\(A\) dapat didiagonalisasi jika dan hanya jika terdapat basis untuk \(\real^n\) yang terdiri atas vektor-vektor eigen \(A\text{.}\)
Kita mengatakan bahwa \(A\) dan \(B\) serupa jika terdapat matriks invertibel \(P\) sedemikian sehingga \(A=PBP^{-1}\text{.}\) Dalam kasus ini, \(A^k = PB^kP^{-1}\text{.}\)
Jika \(A\) adalah matriks \(2\times2\) dengan nilai eigen kompleks \(\lambda = a+bi\text{,}\) maka \(A\) serupa dengan \(C = \left[\begin{array}{rr}
a \amp -b \\
b \amp a \\
\end{array} \right]
\text{.}\) Dengan menulis titik \((a,b)\) dalam koordinat polar \(r\) dan \(\theta\text{,}\) kita melihat bahwa \(C\) merotasikan vektor sebesar sudut \(\theta\) dan menskalakannya dengan faktor \(r=\sqrt{a^2+b^2}\text{.}\)
Jika \(A\) adalah matriks \(n\times n\) yang dapat didiagonalisasi, maka terdapat basis untuk \(\real^n\) yang terdiri atas vektor-vektor eigen \(A\text{.}\)
Berikan alasan untuk jawaban Anda atas pertanyaan-pertanyaan berikut.
Jika \(A\) adalah matriks \(3\times3\) yang memiliki nilai eigen \(\lambda = 2, 3, -4\text{,}\) dapatkah Anda menjamin bahwa \(A\) dapat didiagonalisasi?
Jika \(A\) dan \(B\) serupa, jelaskan mengapa \(A\) dan \(B\) memiliki polinomial karakteristik yang sama; artinya, jelaskan mengapa \(\det(A-\lambda I) =
\det(B-\lambda I)\text{.}\)
Ketika \(A\) adalah matriks \(2\times2\) dengan nilai eigen kompleks \(\lambda = a+bi\text{,}\) kita telah mengatakan bahwa terdapat matriks \(P\) sedemikian sehingga \(A=PCP^{-1}\text{,}\) dengan \(C=\left[\begin{array}{rr}
a \amp -b \\
b \amp a \\
\end{array}\right]
\text{.}\) Dalam latihan ini, kita akan mempelajari cara mencari matriks \(P\text{.}\) Sebagai contoh, kita akan memperhatikan matriks \(A = \left[\begin{array}{rr}
2 \amp 2 \\
-1 \amp 4 \\
\end{array}\right]
\text{.}\)
Dengan menggunakan nilai eigen yang sama, kita akan mencari vektor eigen \(\vvec\) yang entri-entri \(\vvec\)-nya merupakan bilangan kompleks. Seperti biasa, kita akan mendeskripsikan \(\nul(A-\lambda I)\) dengan membentuk matriks \(A-\lambda I\) dan mencari bentuk eselon baris tereduksinya. Dalam proses ini, kita perlu menggunakan aritmetika kompleks.
Sekarang kita telah memperoleh vektor eigen kompleks \(\vvec\text{.}\) Tulislah \(\vvec = \vvec_1 - i \vvec_2\) untuk menentukan vektor \(\vvec_1\) dan \(\vvec_2\) yang memiliki entri real.
Perhatikan matriks berbentuk \(C=\left[\begin{array}{rr}
a \amp -b \\
b \amp a \\
\end{array}\right]\) dengan \(r=\sqrt{a^2+b^2}\text{.}\) Apa yang terjadi ketika \(k\) menjadi sangat besar jika
Jika \(A\) adalah matriks \(2\times2\) dengan nilai eigen \(\lambda_1=0.7\) dan \(\lambda_2=0.5\text{,}\) serta \(\xvec\) adalah sebarang vektor, apa yang terjadi pada \(A^k\xvec\) ketika \(k\) menjadi sangat besar?
