Bagian sebelumnya memperlihatkan cara mengaitkan sebuah matriks, beserta pengaruh perkaliannya terhadap vektor, dengan suatu bentuk yang lebih sederhana. Sebagai contoh, jika terdapat basis \(\real^n\) yang terdiri atas vektor-vektor eigen dari \(A\text{,}\) kita telah melihat bahwa \(A\) serupa dengan matriks diagonal \(D\text{.}\) Akibatnya, jika dinyatakan menggunakan basis vektor eigen, pengaruh perkalian vektor oleh \(A\) sama dengan perkalian oleh \(D\text{.}\)
Dalam bagian ini, kita akan menerapkan gagasan-gagasan tersebut saat menelaah sistem dinamis diskret, yang pertama kali dijumpai dalam Subbagian 2.5.4. Ingatlah bahwa kita menggunakan vektor keadaan \(\xvec\) untuk mencirikan keadaan suatu sistem pada waktu tertentu, misalnya distribusi truk pengiriman di antara dua lokasi. Matriks \(A\) mendeskripsikan transisi vektor keadaan, sedangkan \(A\xvec\) mencirikan keadaan sistem pada waktu berikutnya. Karena kita ingin memahami bagaimana vektor keadaan berkembang seiring waktu, kita tertarik mempelajari barisan vektor \(A^k\xvec\text{.}\)
Tujuan kita dalam bagian ini adalah mendeskripsikan jenis-jenis perilaku yang ditunjukkan sistem dinamis dan mengembangkan cara untuk mengenali perilaku tersebut.
Bentuklah sebuah basis untuk \(\real^2\) yang terdiri atas vektor-vektor eigen \(A\text{,}\) lalu tuliskan vektor \(\xvec = \twovec{1}{4}\) sebagai kombinasi linear vektor-vektor basis tersebut.
Kita akan mulai dengan suatu sistem dinamis yang menggambarkan bagaimana gagasan-gagasan yang telah kita kembangkan dapat membantu kita memahami populasi dua spesies yang saling berinteraksi. Dua spesies dapat berinteraksi melalui beberapa cara. Sebagai contoh, serigala di Isle Royale, Michigan utara, memangsa rusa besar sehingga interaksi ini sering disebut hubungan pemangsa-mangsa. Interaksi lain antarpesies, seperti antara lebah dan tumbuhan berbunga, saling menguntungkan bagi kedua spesies.
Misalkan kita memiliki dua spesies \(R\) dan \(S\) yang saling berinteraksi, dan kita mencatat perubahan populasi keduanya dari tahun ke tahun. Pada awal pengamatan, populasi yang diukur dalam ribuan adalah \(R_0\) dan \(S_0\text{;}\) setelah \(k\) tahun, populasinya adalah \(R_k\) dan \(S_k\text{.}\)
Ini adalah contoh hubungan yang saling menguntungkan antara dua spesies. Jika spesies \(S\) tidak ada, maka \(R_{k+1} = 0.9R_k\text{,}\) yang berarti populasi spesies \(R\) berkurang setiap tahun. Namun, spesies \(R\) memperoleh manfaat dari keberadaan spesies \(S\text{,}\) yang membantu \(R\) bertambah sebesar 80% dari populasi spesies \(S\text{.}\) Demikian pula, \(S\) memperoleh manfaat dari keberadaan \(R\text{.}\)
Kita akan mencatat populasi dalam vektor \(\xvec_k = \twovec{R_k}{S_k}\) dan memperhatikan bahwa \(\xvec_{k+1} = A\xvec_k\text{,}\) dengan \(A = \left[\begin{array}{rr}
0.9 \amp 0.8 \\
0.2 \amp 0.9 \\
\end{array}\right]
\text{.}\)
Misalkan pada awalnya \(\xvec_0 = \twovec{2}{3}\text{.}\) Tuliskan \(\xvec_0\) sebagai kombinasi linear vektor-vektor eigen \(\vvec_1\) dan \(\vvec_2\text{.}\)
Tuliskan vektor \(\xvec_1\text{,}\)\(\xvec_2\text{,}\) dan \(\xvec_3\) sebagai kombinasi linear vektor-vektor eigen \(\vvec_1\) dan \(\vvec_2\text{.}\)
Setelah waktu yang sangat lama, kira-kira dengan faktor berapa populasi \(R\) bertambah setiap tahun? Kira-kira dengan faktor berapa populasi \(S\) bertambah setiap tahun?
Aktivitas ini menggambarkan jenis sistem yang akan kita tinjau. Secara khusus, kita akan memiliki vektor \(\xvec_k\) yang mendeskripsikan keadaan sistem pada waktu \(k\) dan matriks \(A\) yang mendeskripsikan bagaimana keadaan berkembang dari satu waktu ke waktu berikutnya: \(\xvec_{k+1} = A\xvec_k\text{.}\) Nilai dan vektor eigen \(A\) menjadi kunci untuk memahami bagaimana vektor \(\xvec_k\) berkembang dan memungkinkan kita membuat prediksi jangka panjang.
dan bahwa matriks \(A\) mempunyai vektor eigen \(\vvec_1 =
\twovec{2}{1}\) dan \(\vvec_2=\twovec{-2}{1}\) dengan nilai eigen terkait \(\lambda_1=1.3\) dan \(\lambda_2=0.5\text{.}\)
Mari kita ubah sudut pandang sedikit. Vektor eigen \(\vvec_1\) dan \(\vvec_2\) membentuk basis \(\bcal\) untuk \(\real^2\text{,}\) yang berarti bahwa \(A\) dapat didiagonalkan; yakni, \(A = PDP^{-1}\text{,}\) dengan
Sistem koordinat yang didefinisikan oleh basis \(\bcal\) dapat digunakan untuk menyatakan vektor-vektor keadaan. Sebagai contoh, kita dapat menuliskan vektor keadaan awal \(\xvec_0=\twovec{2}{3}= 2\vvec_1+\vvec_2\text{,}\) yang berarti \(\coords{\xvec_0}{\bcal} = \twovec{2}{1}\text{.}\) Selain itu, \(\xvec_1=A\xvec_0 = (1.3)\cdot2\vvec_1 + (0.5)\cdot1\vvec_2\) sehingga
Ditinjau secara geometris, kita mulai dengan vektor \(\coords{\xvec_0}{\bcal}=\ctwovec{2}{1}\text{.}\) Vektor-vektor berikutnya \(\coords{\xvec_k}{\bcal}\) diperoleh dengan penskalaan horizontal sebesar faktor \(1.3\) dan penskalaan vertikal sebesar faktor \(0.5\text{.}\) Perhatikan bagaimana titik-titik bergerak sepanjang sebuah kurva menjauhi titik asal dan semakin mendekati sumbu horizontal. Setelah waktu yang sangat lama, \(\coords{\xvec_k}{\bcal} \approx
\ctwovec{1.3^k\cdot2}{0}\text{.}\)
Plot yang menunjukkan perkembangan vektor keadaan dalam sistem koordinat vektor eigen. Terdapat kisi koordinat standar \(1\times1\) dan sepasang sumbu. Beberapa titik pertama \(\coords{\xvec_k}{\bcal}\) ditampilkan kira-kira pada \((2,1)\text{,}\)\((2.6,0.5)\text{,}\)\((3.4,0.25)\text{,}\) dan \((4.4,0.12)\text{.}\)
Terdapat pula sebuah kurva di kuadran pertama yang memuat semua titik tersebut. Kurva ini bermula di bagian atas diagram, dekat sumbu vertikal. Ketika bergerak menuruni diagram, kurva menjauhi sumbu vertikal dan akhirnya mendekati sumbu horizontal saat keluar dari sisi kanan diagram. Sebuah panah menunjukkan arah gerak.
Untuk memperoleh kembali perilaku barisan \(\xvec_0, \xvec_1,
\xvec_2, \ldots\text{,}\) kita mengganti sistem koordinat menggunakan basis yang didefinisikan oleh \(\vvec_1\) dan \(\vvec_2\text{.}\) Di sini, titik-titik bergerak sepanjang kurva menjauhi titik asal dan semakin mendekati garis yang didefinisikan oleh \(\vvec_1\text{.}\)
Plot yang menunjukkan perkembangan vektor keadaan dalam sistem koordinat standar. Vektor eigen \(\vvec_1\) dan \(\vvec_2\) ditampilkan bersama kisi koordinat miring yang merepresentasikan kombinasi linear vektor-vektor eigen. Garis-garis yang didefinisikan sebagai kelipatan skalar \(\vvec_1\) dan \(\vvec_2\) juga ditunjukkan sebagai sepasang sumbu koordinat miring.
Titik-titik \(\xvec_k\) ditampilkan untuk beberapa nilai \(k\text{.}\) Misalnya, \(\xvec_0 = 2\vvec_1+1\vvec_2\) muncul pada kisi koordinat miring di \((2,1)\text{,}\)\(\xvec_1\) muncul di \((2.6,0.5)\text{,}\) dan \(\xvec_2\) di \((3.4, 0.25)\text{.}\)
Terdapat pula sebuah kurva yang memasuki diagram dekat sumbu koordinat miring yang merepresentasikan kelipatan skalar positif \(\vvec_2\text{.}\) Kurva menjauhi garis tersebut dan mendekati sumbu koordinat yang merepresentasikan kelipatan skalar positif \(\vvec_1\) ketika keluar dari diagram. Sebuah panah menunjukkan arah gerak.
Pada akhirnya, vektor-vektor tersebut praktis tidak dapat dibedakan dari suatu kelipatan skalar \(\vvec_1 = \twovec{2}{1}\) karena \(\xvec_k\approx 1.3^k\cdot2\vvec_1\text{.}\) Ini berarti
Selain itu, \(\xvec_{k+1}
\approx 1.3\xvec_k\) sehingga \(R_{k+1}\approx 1.3 R_k\) dan \(S_{k+1}\approx 1.3 S_k\text{.}\) Hal ini memberi tahu kita bahwa kedua populasi dikalikan 1.3 setiap tahun, yang berarti laju pertumbuhan tahunan keduanya sekitar 30%.
Dengan cara yang sama, kita dapat meninjau kemungkinan populasi awal \(\xvec_0\) lainnya seperti ditunjukkan dalam Gambar 4.4.1. Terlepas dari \(\xvec_0\text{,}\) vektor populasi dalam koordinat yang didefinisikan oleh \(\bcal\) diskalakan secara horizontal dengan faktor \(1.3\) dan secara vertikal dengan faktor \(0.5\text{.}\) Barisan titik \(\coords{\xvec_k}{\bcal}\text{,}\) yang disebut trajektori, bergerak sepanjang kurva seperti ditunjukkan di sebelah kiri. Dalam sistem koordinat standar, kita melihat bahwa trajektori-trajektori tersebut konvergen ke ruang eigen \(E_{1.3}\text{.}\)
Beberapa trajektori dalam sistem koordinat yang didefinisikan oleh vektor-vektor eigen. Terdapat kisi koordinat standar \(1\times1\) dan sepasang sumbu koordinat. Kebanyakan trajektori direpresentasikan oleh kurva yang memasuki diagram dekat bagian atas atau bawah, di dekat sumbu vertikal, lalu menjauhi sumbu vertikal dan mendekati sumbu horizontal saat keluar dari diagram. Dua trajektori khusus bermula pada sumbu vertikal dan bergerak menuju titik asal. Dua trajektori khusus lainnya bermula pada sumbu horizontal dan bergerak menjauhi titik asal. Setiap kurva memuat sekumpulan titik yang memperlihatkan perkembangan vektor keadaan \(\coords{\xvec_k}{\bcal}\) ketika terdorong sepanjang kurva.
Diagram yang sama disajikan dalam sistem koordinat standar. Sebagai ganti kisi koordinat standar, terdapat kisi koordinat miring dari garis-garis yang sejajar dengan vektor-vektor eigen. Sebagai ganti sumbu koordinat standar, terdapat kumpulan garis yang didefinisikan oleh kelipatan skalar vektor-vektor eigen. Kebanyakan trajektori memasuki diagram dekat garis kelipatan skalar \(\vvec_2\text{,}\) lalu menjauhi garis itu dan menuju garis yang didefinisikan oleh kelipatan skalar \(\vvec_1\text{.}\) Sekumpulan titik pada setiap kurva memperlihatkan perkembangan vektor keadaan \(\xvec_k\) ketika terdorong sepanjang kurva.
Gambar4.4.1.Trajektori sistem dinamis yang dibentuk oleh matriks \(A\) dalam sistem koordinat yang didefinisikan oleh \(\bcal\) di sebelah kiri, dan dalam sistem koordinat standar di sebelah kanan.
Kita menyimpulkan bahwa, terlepas dari populasi awal, rasio populasi \(R_k/S_k\) akan mendekati 2 banding 1 dan laju pertumbuhan kedua populasi mendekati 30%. Contoh ini memperlihatkan manfaat penggunaan nilai dan vektor eigen untuk menuliskan kembali persoalan dalam suatu sistem koordinat baru. Dengan demikian, kita dapat memprediksi perilaku jangka panjang populasi secara independen dari populasi awal.
Diagram seperti yang ditampilkan dalam Gambar 4.4.1 disebut potret fase. Di sebelah kiri Gambar 4.4.1 terdapat potret fase matriks diagonal \(D=\mattwo{1.3}00{0.5}\text{,}\) sedangkan sebelah kanan gambar tersebut menampilkan potret fase \(A = \mattwo{0.9}{0.8}{0.2}{0.9}\text{.}\) Potret fase \(D\) relatif mudah dipahami karena hanya ditentukan oleh kedua nilai eigen. Setelah memperoleh potret fase \(D\text{,}\) potret fase \(A\) mempunyai tampilan serupa, dengan vektor eigen \(\vvec_j\) menggantikan vektor basis standar \(\evec_j\text{.}\)
Dalam contoh sebelumnya, kita dapat membuat prediksi tentang perilaku trajektori \(\xvec_k=A^k\xvec_0\) dengan meninjau nilai dan vektor eigen matriks \(A\text{.}\) Aktivitas berikutnya mengamati sekumpulan matriks yang memperlihatkan jenis-jenis perilaku yang dapat ditunjukkan oleh sistem dinamis \(2\times2\text{.}\)
Sekarang kita akan mengamati beberapa contoh lain sistem dinamis. Jika \(P = \left[\begin{array}{rr}
1 \amp -1 \\
1 \amp 1 \\
\end{array}\right]
\text{,}\) kita memperhatikan bahwa kolom-kolom \(P\) membentuk sebuah basis \(\bcal\) untuk \(\real^2\text{.}\) Di bawah ini diberikan beberapa matriks \(A\) yang ditulis dalam bentuk \(A=PEP^{-1}\) untuk suatu matriks \(E\text{.}\) Untuk setiap matriks, nyatakan nilai-nilai eigen \(A\text{,}\) lalu sketsalah potret fase untuk matriks \(E\) di sebelah kiri dan potret fase untuk \(A\) di sebelah kanan. Deskripsikan perilaku \(A^k\xvec_0\) ketika \(k\) menjadi sangat besar untuk vektor awal tipikal \(\xvec_0\text{.}\)
Aktivitas ini memperlihatkan enam jenis sistem dinamis yang mungkin, yang ditentukan oleh nilai-nilai eigen \(A\text{.}\)
Misalkan \(A\) mempunyai dua nilai eigen real \(\lambda_1\) dan \(\lambda_2\text{,}\) dan keduanya memenuhi \(|\lambda_1|, |\lambda_2| \gt 1\text{.}\) Dalam kasus ini, setiap vektor taknol \(\xvec_0\) membentuk trajektori yang bergerak menjauhi titik asal, sehingga kita mengatakan bahwa titik asal merupakan repelor. Hal ini digambarkan dalam Gambar 4.4.2.
Sekumpulan trajektori ditampilkan dalam sistem koordinat yang didefinisikan oleh vektor-vektor eigen. Semua kurva bermula dekat titik asal, lalu bergerak menjauhi titik asal dan keluar dari diagram. Kurva bergerak lebih cepat dalam arah vertikal daripada arah horizontal sehingga mula-mula tetap dekat sumbu vertikal. Setiap kurva memuat sekumpulan titik yang merepresentasikan perkembangan suatu vektor keadaan ketika bergerak menjauhi titik asal.
Diagram yang sama disajikan dalam sistem koordinat standar. Terdapat kisi dan sumbu koordinat miring, serta sekumpulan trajektori yang bermula dekat titik asal. Mula-mula kurva tetap lebih dekat dengan garis yang didefinisikan oleh kelipatan skalar vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen yang lebih kecil, sebelum bergerak keluar dari diagram. Setiap kurva memuat sekumpulan titik yang bergerak sepanjang kurva dan merepresentasikan perkembangan suatu vektor keadaan.
Misalkan \(A\) mempunyai dua nilai eigen real \(\lambda_1\) dan \(\lambda_2\) yang memenuhi \(|\lambda_1| \gt 1 \gt |\lambda_2|\text{.}\) Dalam kasus ini, kebanyakan vektor taknol \(\xvec_0\) membentuk trajektori yang konvergen ke ruang eigen \(E_{\lambda_1}\text{.}\) Dalam kasus ini, kita mengatakan bahwa titik asal merupakan titik pelana, seperti digambarkan dalam Gambar 4.4.3.
Sekumpulan trajektori ditampilkan dalam sistem koordinat yang didefinisikan oleh vektor-vektor eigen. Setiap trajektori masuk dari bagian atas atau bawah diagram dekat sumbu vertikal, lalu bergerak menuju sumbu horizontal dan keluar dari diagram sangat dekat dengan sumbu tersebut. Setiap kurva memuat sekumpulan titik yang merepresentasikan perkembangan suatu vektor keadaan ketika bergerak menjauhi titik asal.
Diagram yang sama dalam sistem koordinat standar. Terdapat kisi dan sumbu koordinat miring, serta sekumpulan trajektori yang memasuki diagram dekat salah satu garis yang didefinisikan oleh sebuah vektor eigen. Trajektori kemudian bergerak menuju garis yang didefinisikan oleh vektor eigen lainnya dan keluar dari diagram dekat garis tersebut. Setiap kurva memuat sekumpulan titik yang bergerak sepanjang kurva dan merepresentasikan perkembangan suatu vektor keadaan.
Misalkan \(A\) mempunyai dua nilai eigen real \(\lambda_1\) dan \(\lambda_2\text{,}\) dan keduanya memenuhi \(|\lambda_1|, |\lambda_2| \lt 1\text{.}\) Dalam kasus ini, setiap vektor taknol \(\xvec_0\) membentuk trajektori yang bergerak menuju titik asal, sehingga kita mengatakan bahwa titik asal merupakan atraktor. Hal ini digambarkan dalam Gambar 4.4.4.
Sekumpulan trajektori ditampilkan dalam sistem koordinat yang didefinisikan oleh vektor-vektor eigen. Setiap kurva memasuki diagram dari berbagai lokasi, lalu bergerak menuju sumbu vertikal hingga akhirnya masuk ke titik asal. Setiap kurva memuat sekumpulan titik yang merepresentasikan perkembangan suatu vektor keadaan ketika bergerak menuju titik asal.
Diagram yang sama disajikan dalam sistem koordinat standar. Kurva-kurva memasuki diagram dari berbagai lokasi dan semakin mendekati garis yang didefinisikan oleh salah satu vektor eigen saat masuk ke titik asal. Setiap kurva memuat sekumpulan titik yang bergerak sepanjang kurva dan merepresentasikan perkembangan suatu vektor keadaan.
Misalkan \(A\) mempunyai nilai eigen kompleks \(\lambda = a+bi\) dengan \(|\lambda| \gt 1\text{.}\) Dalam kasus ini, vektor taknol \(\xvec_0\) membentuk trajektori yang bergerak spiral menjauhi titik asal. Kita mengatakan bahwa titik asal merupakan repelor spiral, seperti digambarkan dalam Gambar 4.4.5.
Sekumpulan trajektori ditampilkan dalam sistem koordinat yang didefinisikan oleh vektor-vektor eigen. Setiap kurva bermula dekat titik asal, tetapi bergerak keluar dari diagram sambil berputar berlawanan arah jarum jam mengelilingi titik asal. Setiap kurva memuat sekumpulan titik yang merepresentasikan perkembangan suatu vektor keadaan ketika bergerak menjauhi titik asal.
Diagram yang sama disajikan dalam sistem koordinat standar. Terdapat kisi dan sumbu koordinat miring, serta sekumpulan trajektori yang bermula dekat titik asal dan bergerak keluar dari diagram sambil berputar searah jarum jam mengelilingi titik asal. Setiap kurva memuat sekumpulan titik yang bergerak sepanjang kurva dan merepresentasikan perkembangan suatu vektor keadaan.
Misalkan \(A\) mempunyai nilai eigen kompleks \(\lambda = a+bi\) dengan \(|\lambda| = 1\text{.}\) Dalam kasus ini, vektor taknol \(\xvec_0\) membentuk trajektori yang bergerak pada kurva tertutup mengelilingi titik asal. Kita mengatakan bahwa titik asal merupakan pusat, seperti digambarkan dalam Gambar 4.4.6.
Sekumpulan trajektori ditampilkan dalam sistem koordinat yang didefinisikan oleh vektor-vektor eigen. Setiap kurva berbentuk lingkaran yang berpusat di titik asal dan bergerak berlawanan arah jarum jam. Setiap kurva memuat sekumpulan titik yang merepresentasikan perkembangan suatu vektor keadaan ketika bergerak sepanjang kurva.
Diagram yang sama disajikan dalam sistem koordinat standar. Terdapat kisi dan sumbu koordinat miring, serta sekumpulan trajektori yang bergerak pada elips berlawanan arah jarum jam mengelilingi titik asal. Setiap kurva memuat sekumpulan titik yang bergerak sepanjang kurva dan merepresentasikan perkembangan suatu vektor keadaan.
Misalkan \(A\) mempunyai nilai eigen kompleks \(\lambda = a+bi\) dengan \(|\lambda| \lt 1\text{.}\) Dalam kasus ini, vektor taknol \(\xvec_0\) membentuk trajektori yang bergerak spiral menuju titik asal. Kita mengatakan bahwa titik asal merupakan atraktor spiral, seperti digambarkan dalam Gambar 4.4.7.
Sekumpulan trajektori ditampilkan dalam sistem koordinat yang didefinisikan oleh vektor-vektor eigen. Kurva-kurva memasuki diagram dari berbagai lokasi, tetapi bergerak menuju titik asal sambil berputar berlawanan arah jarum jam. Setiap kurva memuat sekumpulan titik yang merepresentasikan perkembangan suatu vektor keadaan ketika bergerak menuju titik asal.
Diagram yang sama disajikan di sebelah kanan dalam sistem koordinat standar. Kurva-kurva memasuki diagram dari berbagai lokasi, tetapi bergerak menuju titik asal sambil berputar berlawanan arah jarum jam. Setiap kurva memuat sekumpulan titik yang bergerak sepanjang kurva dan merepresentasikan perkembangan suatu vektor keadaan.
Daftar ini mencakup banyak jenis perilaku yang diharapkan, tetapi masih ada kemungkinan lain jika, misalnya, salah satu nilai eigen adalah 0. Bagian berikutnya menelaah situasi ketika salah satu nilai eigen adalah 1.
Dalam aktivitas ini, kita akan meninjau beberapa cara dua spesies dapat saling berinteraksi. Sepanjang aktivitas, kita akan meninjau dua spesies \(R\) dan \(S\) yang populasinya pada tahun \(k\) membentuk vektor \(\xvec_k=\twovec{R_k}{S_k}\) dan berkembang menurut aturan
Jelaskan mengapa kedua spesies tidak saling berinteraksi. Manakah dari keenam jenis sistem dinamis yang kita miliki? Apa yang terjadi pada kedua spesies setelah waktu yang lama?
Jelaskan mengapa \(S\) merupakan spesies yang menguntungkan bagi \(R\text{.}\) Manakah dari keenam jenis sistem dinamis yang kita miliki? Apa yang terjadi pada kedua spesies setelah waktu yang lama?
Jika \(A = \left[\begin{array}{rr}
0.7 \amp 0.5 \\
-0.4 \amp 1.6 \\
\end{array}\right]
\text{,}\) jelaskan mengapa matriks ini mendeskripsikan sistem pemangsa-mangsa. Spesies manakah yang merupakan pemangsa dan manakah yang merupakan mangsa? Manakah dari keenam jenis sistem dinamis yang kita miliki? Apa yang terjadi pada kedua spesies setelah waktu yang lama?
Misalkan \(A = \left[\begin{array}{rr}
0.5 \amp 0.2 \\
-0.4 \amp 1.1 \\
\end{array}\right]
\text{.}\) Bandingkan sistem pemangsa-mangsa ini dengan sistem pada bagian sebelumnya. Manakah dari keenam jenis sistem dinamis yang kita miliki? Apa yang terjadi pada kedua spesies setelah waktu yang lama?
Sejauh ini, kita berfokus pada sistem \(2\times2\text{.}\) Sebenarnya, kasus umum cukup serupa. Sebagai contoh, tinjaulah sistem \(3\times3\)\(\xvec_{k+1}=A\xvec_k\text{,}\) dengan matriks \(A\) yang mempunyai nilai eigen \(\lambda_1 = 0.6\text{,}\)\(\lambda_2 = 0.8\text{,}\) dan \(\lambda_3=1.1\text{.}\) Karena nilai-nilai eigen tersebut real dan berbeda, terdapat basis \(\bcal\) yang terdiri atas vektor-vektor eigen \(A\text{,}\) sehingga kita dapat mengamati trajektori \(\coords{\xvec_k}{\bcal}\) dalam sistem koordinat yang didefinisikan oleh \(\bcal\text{.}\) Potret fase dalam Gambar 4.4.8 menunjukkan perkembangan beberapa trajektori yang mewakili. Kita melihat bahwa semua trajektori akan konvergen ke ruang eigen \(E_{1.1}\text{.}\)
Trajektori sistem dinamis tiga dimensi. Terdapat tiga sumbu koordinat standar yang diberi label \(x_1\text{,}\)\(x_2\text{,}\) dan \(x_3\text{.}\) Terdapat kisi koordinat yang merepresentasikan bidang \(x_1x_2\text{.}\) Trajektori pada bidang ini ditampilkan sedang konvergen menuju titik asal seperti pada atraktor dua dimensi. Sebuah trajektori bergerak sepanjang sumbu \(x_3\) menjauhi titik asal.
Trajektori sistem dinamis tiga dimensi. Terdapat tiga sumbu koordinat standar yang diberi label \(x_1\text{,}\)\(x_2\text{,}\) dan \(x_3\text{.}\) Terdapat kisi koordinat yang merepresentasikan bidang \(x_1x_2\text{.}\) Sekumpulan trajektori tidak bermula pada bidang \(x_1x_2\) ataupun sumbu \(x_3\text{.}\) Trajektori-trajektori ini konvergen ke sumbu \(x_3\) ketika bergerak menjauhi titik asal.
Gambar4.4.8.Dalam sistem \(3\times3\) dengan \(\lambda_1 = 0.6\text{,}\)\(\lambda_2=0.8\text{,}\) dan \(\lambda_3 = 1.1\text{,}\) trajektori \(\coords{\xvec_k}{\bcal}\) bergerak sepanjang kurva yang ditampilkan.
Dengan cara yang sama, misalkan kita mempunyai sistem \(3\times3\) dengan nilai eigen kompleks \(\lambda=0.8 \pm 0.5i\) dan \(\lambda_3=1.1\text{.}\) Karena nilai eigen kompleks memenuhi \(|\lambda| \lt 1\text{,}\) terdapat subruang dua dimensi tempat trajektori bergerak spiral menuju titik asal. Potret fase dalam Gambar 4.4.9 menunjukkan beberapa trajektori. Sekali lagi, kita melihat bahwa semua trajektori konvergen ke ruang eigen \(E_{1.1}\text{.}\)
Trajektori sistem dinamis tiga dimensi. Terdapat tiga sumbu koordinat standar yang diberi label \(x_1\text{,}\)\(x_2\text{,}\) dan \(x_3\text{,}\) serta kisi koordinat yang merepresentasikan bidang \(x_1x_2\text{.}\) Trajektori pada bidang ini ditampilkan sedang bergerak spiral menuju titik asal seperti pada atraktor spiral dua dimensi. Sebuah trajektori bergerak sepanjang sumbu \(x_3\) menjauhi titik asal.
Trajektori sistem dinamis tiga dimensi. Terdapat tiga sumbu koordinat standar yang diberi label \(x_1\text{,}\)\(x_2\text{,}\) dan \(x_3\text{,}\) serta kisi koordinat yang merepresentasikan bidang \(x_1x_2\text{.}\) Ditampilkan trajektori-trajektori yang tidak bermula pada bidang \(x_1x_2\) ataupun sumbu \(x_3\text{.}\) Trajektori tersebut konvergen ke sumbu \(x_3\) dengan bergerak spiral mengelilinginya sambil menjauhi titik asal.
Gambar4.4.9.Dalam sistem \(3\times3\) dengan nilai eigen kompleks \(\lambda = a\pm bi\) yang memenuhi \(|\lambda| \lt 1\) dan \(\lambda_3=1.1\text{,}\) trajektori \(\coords{\xvec_k}{\bcal}\) bergerak sepanjang kurva yang ditampilkan.
Jenis analisis berikut telah digunakan untuk mempelajari populasi kawanan bison. Kita akan membagi populasi bison betina menjadi tiga kelompok: anak yang berumur kurang dari satu tahun; bison muda yang berumur antara satu dan dua tahun; dan bison dewasa yang berumur lebih dari dua tahun.
Terdapat tiga kotak yang disusun membentuk segitiga. Di bagian atas terdapat kotak berlabel “Anak”, di kiri bawah terdapat “Dewasa”, dan di kanan bawah terdapat “Muda”. Sebuah panah dari Anak ke Muda diberi label 80%. Panah dari Muda ke Dewasa diberi label 90%, dan panah dari Dewasa ke Anak diberi label 40%. Terakhir, terdapat gelung dari Dewasa kembali ke Dewasa yang diberi label 80%.
Dengan \(J_k\text{,}\)\(Y_k\text{,}\) dan \(A_k\text{,}\) kita menyatakan jumlah anak, bison muda, dan bison dewasa pada tahun \(k\text{.}\) Kita mempunyai
Seperti biasa, kita menuliskan vektor \(\xvec_k=\threevec{J_k}{Y_k}{A_k}\text{.}\) Tuliskan matriks \(A\) sedemikian sehingga \(\xvec_{k+1} = A\xvec_k\text{,}\) lalu tentukan nilai-nilai eigennya.
Buatlah prediksi tentang perilaku jangka panjang \(\xvec_k\text{.}\) Misalnya, berapakah laju pertumbuhannya? Untuk setiap 100 bison dewasa, ada berapa anak dan bison muda?
Misalkan angka kelahiran menurun sehingga hanya 30% bison dewasa yang melahirkan seekor anak. Bagaimana hal ini memengaruhi laju pertumbuhan jangka panjang kawanan tersebut?
Misalkan angka kelahiran menurun lebih jauh sehingga hanya 20% bison dewasa yang melahirkan seekor anak. Bagaimana hal ini memengaruhi laju pertumbuhan jangka panjang kawanan tersebut?
Kita telah menelaah sistem dinamis diskret dengan suatu vektor keadaan awal \(\xvec_0\) yang berkembang seiring waktu menurut aturan \(\xvec_{k+1}=A\xvec_k\text{.}\) Nilai dan vektor eigen \(A\) membantu kita memahami perilaku vektor-vektor keadaan. Dalam kasus \(2\times2\text{,}\) kita melihat bahwa
\(|\lambda_1|, |\lambda_2| \lt 1\) menghasilkan atraktor, sehingga trajektori ditarik menuju titik asal.
\(|\lambda_1| \gt 1\) dan \(|\lambda_2| \lt 1\) menghasilkan titik pelana, tempat kebanyakan trajektori didorong menjauhi titik asal dan menuju arah \(E_{\lambda_1}\text{.}\)
Untuk setiap matriks \(2\times2\) di bawah ini, tentukan nilai eigen dan, jika sesuai, vektor eigennya untuk mengklasifikasikan sistem dinamis \(\xvec_{k+1}=A\xvec_k\text{.}\) Gunakan informasi ini untuk membuat sketsa potret fase.
Untuk nilai \(p\) yang berbeda-beda, tentukan jenis sistem dinamis yang dihasilkan. Untuk rentang nilai \(p\) mana kita memperoleh atraktor? Untuk rentang nilai \(p\) mana kita memperoleh titik pelana? Pada nilai berapakah transisi antara kedua jenis tersebut terjadi?
dengan \(p\) sebagai parameter. Seperti yang kita lihat dalam teks, sistem dinamis ini merepresentasikan hubungan pemangsa-mangsa tipikal, dan parameter \(p\) merepresentasikan laju spesies \(R\) memangsa \(S\text{.}\) Kita akan menyatakan matriksnya dengan \(A=\mattwo{\frac12}{\frac12}{-p}2\text{.}\)
Jika \(p = 0\text{,}\) tentukan vektor dan nilai eigen sistem, lalu klasifikasikan sistem tersebut sebagai salah satu dari keenam jenis. Sketsalah potret fase untuk matriks diagonal \(D\) yang serupa dengan \(A\text{,}\) serta potret fase untuk \(A\text{.}\)
Jika \(p=1\text{,}\) tentukan vektor dan nilai eigen sistem. Sketsalah potret fase untuk matriks diagonal \(D\) yang serupa dengan \(A\text{,}\) serta potret fase untuk \(A\text{.}\)
Dengan menggunakan nilai-nilai eigen \(A\text{,}\) kita dapat menuliskan \(A=PEP^{-1}\) untuk suatu matriks \(E\) dan \(P\text{.}\) Apakah matriks \(E\) itu, dan apakah pengaruh geometris perkalian oleh \(E\) terhadap vektor-vektor pada bidang?
Tentukan matriks \(E\) sedemikian sehingga \(B = PEP^{-1}\) untuk suatu matriks \(P\text{.}\) Apakah pengaruh geometris perkalian oleh \(E\) terhadap vektor-vektor pada bidang?
Jika angka kelahiran meningkat menjadi 80%, prediksi apa yang dapat Anda buat tentang populasi-populasi ini setelah waktu yang sangat lama? Untuk setiap 100 individu dewasa, ada berapa anak dan individu muda?
Tentukan apakah pernyataan-pernyataan berikut benar atau salah, dan berikan alasan untuk jawaban Anda. Dalam setiap kasus, kita meninjau sistem dinamis berbentuk \(\xvec_{k+1} = A\xvec_k\text{.}\)
Jika matriks \(2\times2\)\(A\) mempunyai nilai eigen kompleks, kita tidak dapat membuat prediksi tentang perilaku trajektori.
Jika suatu matriks \(4\times4\) mempunyai nilai eigen kompleks \(\lambda_1\text{,}\)\(\lambda_2\text{,}\)\(\lambda_3\text{,}\) dan \(\lambda_4\text{,}\) yang semuanya memenuhi \(|\lambda_j| \gt 1\text{,}\) maka semua trajektori didorong menjauhi titik asal.
Bilangan Fibonacci membentuk barisan bilangan yang dimulai dengan \(0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \ldots\text{.}\) Jika \(F_n\) menyatakan bilangan Fibonacci berindeks \(n^{th}\text{,}\) maka
Secara umum, sebuah bilangan Fibonacci merupakan jumlah dua bilangan Fibonacci sebelumnya; yakni, \(F_{n+2} = F_{n}+F_{n+1}\text{,}\) sehingga kita mempunyai
Klasifikasikan sistem dinamis ini sebagai salah satu dari keenam jenis yang telah kita lihat dalam bagian ini. Apa yang terjadi pada \(\xvec_n\) ketika \(n\) menjadi sangat besar?
Bilangan Lucas \(L_n\) didefinisikan oleh hubungan yang sama dengan bilangan Fibonacci: \(L_{n+2}=L_{n+1}+L_n\text{.}\) Namun, kita memulai dengan \(L_0=2\) dan \(L_1=1\text{,}\) yang menghasilkan barisan \(2,1,3,4,7,11,\ldots\text{.}\)
Seperti sebelumnya, bentuklah vektor \(\xvec_n=\twovec{L_{n+1}}{L_n}\) sehingga \(\xvec_{n+1}=A\xvec_n\text{.}\) Nyatakan \(\xvec_0\) sebagai kombinasi linear \(\vvec_1\) dan \(\vvec_2\text{,}\) yaitu vektor-vektor eigen \(A\text{.}\)
Gil Strang mendefinisikan bilangan Gibonacci\(G_n\) sebagai berikut. Kita memulai dengan \(G_0 = 0\) dan \(G_1=1\text{.}\) Bilangan Gibonacci berikutnya adalah rata-rata dari dua bilangan sebelumnya; yakni, \(G_{n+2} = \frac12(G_{n}+G_{n+1})\text{.}\) Dengan demikian, kita mempunyai
Tinjaulah sejenis hewan pengerat kecil yang hidup selama tiga tahun. Sekali lagi, kita dapat membagi populasi betina menjadi anak, individu muda, dan individu dewasa. Misalkan setiap tahun,
Separuh anak bertahan hidup hingga menjadi individu muda.
Dengan menuliskan populasi anak, individu muda, dan individu dewasa pada tahun \(k\) menggunakan vektor \(\xvec_k=\threevec{J_k}{Y_k}{A_k}\text{,}\) tentukan matriks \(A\) sedemikian sehingga \(\xvec_{k+1} = A\xvec_k\text{.}\)
