Meskipun pada awalnya kita memperkenalkan vektor sebagai sarana untuk memperoleh pemahaman geometris tentang sistem persamaan linear, kita belum memanfaatkan seluruh informasi geometris yang tersedia dari sudut pandang ini. Dalam bagian ini, kita memperkenalkan suatu operasi aljabar sederhana yang dikenal sebagai hasil kali titik. Operasi ini membantu kita mengukur panjang vektor dan sudut yang dibentuk oleh sepasang vektor.
Untuk vektor dua dimensi \(\vvec\) dan \(\wvec\text{,}\) hasil kali titik keduanya, \(\vvec\cdot\wvec\text{,}\) adalah skalar yang didefinisikan sebagai
Ingat bahwa matriks \(\mattwo0{-1}10\) menyatakan transformasi matriks yang merotasi vektor sebesar \(90^\circ\) berlawanan arah jarum jam. Dengan bertolak dari vektor \(\vvec = \twovec34\text{,}\) cari \(\wvec\text{,}\) yaitu hasil rotasi \(\vvec\) sebesar \(90^\circ\text{,}\) lalu gambarkan di atas.
Misalkan \(\vvec=\twovec ab\text{.}\) Cari vektor \(\wvec\) yang diperoleh dengan merotasi \(\vvec\) sebesar \(90^\circ\text{,}\) lalu cari hasil kali titik \(\vvec\cdot\wvec\text{.}\)
Misalkan \(\vvec\) dan \(\wvec\) adalah dua vektor yang saling tegak lurus. Menurut Anda, berapakah hasil kali titik keduanya, \(\vvec\cdot\wvec\text{?}\)
Hal penting yang perlu diingat adalah bahwa hasil kali titik menghasilkan suatu skalar. Dengan kata lain, kedua vektor digabungkan sedemikian rupa sehingga menghasilkan sebuah bilangan dan, seperti yang akan kita lihat, bilangan ini menyampaikan informasi geometris yang berguna.
Seperti perkalian biasa, hasil kali titik memiliki beberapa sifat aljabar yang sudah dikenal, seperti komutativitas dan distributivitas. Secara khusus, urutan penghitungan hasil kali titik dua vektor tidak berpengaruh:
Sifat terpenting hasil kali titik, sekaligus alasan sebenarnya kita menaruh perhatian padanya, ialah bahwa operasi ini memberikan informasi geometris tentang vektor dan hubungan antarvektor. Mari terlebih dahulu memikirkan panjang sebuah vektor dengan mengamati vektor \(\vvec = \twovec32\) seperti ditunjukkan dalam Gambar 6.1.4
Vektor \(\vvec=\twovec32\) ditampilkan pada kisi koordinat \(1\times1\) beserta sumbu-sumbunya. Dari ujung vektor di titik \((3,2)\text{,}\) sebuah ruas garis vertikal ditarik ke sumbu horizontal dan sebuah ruas garis horizontal ditarik ke sumbu vertikal. Bersama sumbu-sumbu koordinat, ruas-ruas garis ini membentuk dua segitiga siku-siku yang sisi-sisi tegaknya memiliki panjang \(3\) dan \(2\text{,}\) dengan vektor \(\vvec\) sebagai hipotenusa bersama.
Kita dapat mencari panjang vektor ini dengan teorema Pythagoras karena vektor tersebut membentuk hipotenusa sebuah segitiga siku-siku yang memiliki sisi horizontal sepanjang 3 dan sisi vertikal sepanjang 2. Karena itu, panjang \(\vvec\text{,}\) yang kita nyatakan dengan \(\len{\vvec}\text{,}\) adalah \(\len{\vvec} = \sqrt{3^2 +
2^2} = \sqrt{13}\text{.}\) Sekarang perhatikan bahwa hasil kali titik \(\vvec\) dengan dirinya sendiri adalah
Dua vektor \(\vvec\) dan \(\wvec\) ditampilkan bersama sudut \(\theta\) di antara keduanya. Di antara ujung kedua vektor digambar vektor \(\wvec-\vvec\text{.}\) Ketiga vektor itu membentuk segitiga, dengan \(\theta\) sebagai sudut dalam yang sisi di hadapannya dibentuk oleh \(\wvec-\vvec\text{.}\)
Perhatikan vektor \(\xvec = \twovec{-2}{3}\text{.}\) Sertakan vektor ini dalam gambar Anda di Gambar 6.1.6 dan cari sudut antara \(\vvec\) dan \(\xvec\text{.}\)
Sage dapat digunakan untuk mencari panjang vektor dan hasil kali titiknya. Sebagai contoh, jika v dan w adalah vektor, maka v.norm() memberikan panjang v, sedangkan v * w memberikan \(\vvec\cdot\wvec\text{.}\)
Gunakan sel Sage di bawah ini untuk mencari \(\len{\vvec}\text{,}\)\(\len{\wvec}\text{,}\)\(\vvec\cdot\wvec\text{,}\) dan sudut antara \(\vvec\) dan \(\wvec\text{.}\) Anda dapat menggunakan arccos untuk mencari besar sudut yang dinyatakan dalam radian.
Dalam pembahasan selanjutnya, penting bagi kita untuk mengenali kapan vektor-vektor saling tegak lurus. Sebagai contoh, ketika vektor \(\vvec\) dan \(\wvec\) saling tegak lurus, sudut di antara keduanya adalah \(\theta=90^\circ\) dan kita memperoleh
Secara praktis, dua vektor yang saling tegak lurus bersifat ortogonal. Namun, konsep ortogonalitas sedikit lebih umum karena memperbolehkan salah satu atau kedua vektor berupa vektor nol \(\zerovec\text{.}\)
Kita telah melihat bahwa hasil kali titik memberikan informasi geometris tentang vektor. Operasi ini juga menyediakan cara untuk membandingkan vektor. Sebagai contoh, perhatikan vektor \(\uvec\text{,}\)\(\vvec\text{,}\) dan \(\wvec\) yang ditampilkan dalam Gambar 6.1.8. Vektor \(\vvec\) dan \(\wvec\) tampak agak serupa karena arah yang ditentukannya hampir sama. Sebaliknya, \(\uvec\) tampak cukup berbeda dari \(\vvec\) maupun \(\wvec\text{.}\) Kita akan mengukur kemiripan vektor dengan mencari sudut di antaranya; semakin kecil sudutnya, semakin mirip kedua vektor tersebut.
Tiga vektor \(\vvec=\twovec31\text{,}\)\(\wvec=\twovec32\text{,}\) dan \(\uvec=\twovec{-2}3\) ditampilkan pada kisi dan sumbu koordinat baku. Vektor \(\vvec\) dan \(\wvec\) menunjuk ke arah yang hampir sama, sedangkan \(\uvec\) menunjuk ke arah yang sangat berbeda.
Aktivitas ini menyelidiki dua penggunaan lain hasil kali titik, dimulai dengan kemiripan vektor.
Tugas pertama kita adalah menilai kemiripan berbagai artikel Wikipedia dengan membentuk vektor dari masing-masing lima artikel. Secara khusus, kita dapat mengunduh teks sebuah artikel Wikipedia, menghapus kata-kata umum seperti “the” dan “and”, menghitung berapa kali kata-kata yang tersisa muncul dalam artikel, lalu menyatakan jumlah kemunculan tersebut dalam sebuah vektor.
Sebagai contoh, jalankan sel berikut yang memuat beberapa perintah khusus beserta vektor-vektor yang dibentuk dari artikel Wikipedia tentang Veterans Day, Memorial Day, Labor Day, Golden Globe Awards, dan Super Bowl. Untuk masing-masing dari lima artikel itu, Anda akan melihat daftar jumlah kemunculan 10 kata dalam artikel. Sebagai contoh, kata “act” muncul 3 kali dalam artikel Veterans Day dan 0 kali dalam artikel Labor Day.
Misalkan dua artikel tidak memiliki satu pun kata yang sama. Berapakah nilai hasil kali titik antara vektor yang bersesuaian dengan kedua artikel? Apa arti hasil ini bagi sudut antara kedua vektor tersebut?
Misalkan ada dua artikel tentang subjek yang sama, tetapi salah satu artikel dua kali lebih panjang. Hubungan hampiran apa yang Anda perkirakan berlaku antara kedua vektor? Apa artinya bagi sudut di antara keduanya?
Gunakan sel Sage di bawah ini untuk mencari sudut antara vektor veterans dan keempat vektor lainnya. Untuk menyatakan sudut dalam derajat, gunakan perintah degrees(x), yang memberikan besar sudut dalam derajat untuk x radian.
Bandingkan keempat sudut yang telah Anda temukan dan bahas artinya bagi kemiripan antara artikel Veterans Day dan keempat artikel lainnya. Bagaimana temuan Anda mencerminkan sifat kelima peristiwa tersebut?
Vektor sering digunakan untuk menyatakan perubahan suatu besaran dari waktu ke waktu. Sebagai contoh, vektor \(\svec=\fourvec{78.3}{81.2}{82.1}{79.0}\) dapat menyatakan nilai saham sebuah perusahaan selama empat hari berturut-turut. Jika ditafsirkan demikian, vektor itu disebut deret waktu. Jalankan sel Sage di bawah ini untuk melihat representasi dua deret waktu, \(\svec_1\) berwarna biru dan \(\svec_2\) berwarna jingga, yang kita bayangkan menyatakan nilai dua saham selama suatu rentang waktu. (Sel ini bergantung pada beberapa data yang dimuat oleh sel pertama dalam aktivitas ini.)
Meskipun satu saham bernilai lebih tinggi daripada yang lain, keduanya tampak berhubungan karena naik dan turun dengan pola yang kurang lebih serupa. Kita sering mengatakan bahwa keduanya berkorelasi, dan kita ingin mengukur derajat korelasinya.
Untuk membandingkan pola naik dan turunnya, mula-mula kita akan memusatkan deret waktu dengan mengurangkan nilai rata-ratanya; yaitu, untuk setiap deret waktu, kita mengurangkan nilai rata-ratanya guna memperoleh deret waktu baru. Perintah demean(s) mengembalikan deret waktu s yang telah dipusatkan. Gunakan sel Sage di bawah ini untuk memusatkan deret \(\svec_1\) dan \(\svec_2\text{,}\) lalu buat plotnya.
Jika deret yang telah dipusatkan adalah \(\tilde{\svec}_1\) dan \(\tilde{\svec}_2\text{,}\) korelasi antara \(\svec_1\) dan \(\svec_2\) didefinisikan sebagai
Berdasarkan penafsiran geometris hasil kali titik, korelasi sama dengan kosinus sudut antara deret waktu yang telah dipusatkan. Karena itu, \(\corr(\svec_1,\svec_2)\) berada di antara -1 dan 1.
Misalkan dua deret waktu sedemikian rupa sehingga deret waktu yang telah dipusatkan merupakan kelipatan skalar satu sama lain, seperti dalam Gambar 6.1.9
Representasi dua deret waktu, dengan setiap deret waktu ditampilkan sebagai sekumpulan titik yang diplot. Terdapat sepasang sumbu dengan tanda skala pada sumbu horizontal yang menyatakan waktu \(1\text{,}\)\(2\text{,}\)\(3\text{,}\) dan seterusnya. Komponen setiap deret waktu menentukan koordinat vertikal titik yang diplot, dan setiap komponen berada satu satuan waktu di sebelah kanan komponen sebelumnya. Titik-titik yang bersebelahan dihubungkan oleh ruas garis sehingga deret waktu tampak seperti grafik suatu fungsi.
Dua deret waktu direpresentasikan dengan cara yang sama seperti pada diagram sebelumnya. Namun, dalam diagram ini, ketika salah satu deret waktu naik, deret lainnya turun, dan sebaliknya. Karena itu, kedua deret waktu berkorelasi negatif.
Gambar6.1.9.Di sebelah kiri, deret waktu yang telah dipusatkan merupakan kelipatan skalar positif satu sama lain. Di sebelah kanan, keduanya merupakan kelipatan skalar negatif.
Sebagai contoh, misalkan kita memiliki deret waktu \(\tvec_1\) dan \(\tvec_2\text{,}\) sedangkan deret waktu terpusatnya, \(\tilde{\tvec}_1\) dan \(\tilde{\tvec}_2\text{,}\) merupakan kelipatan skalar positif satu sama lain. Berapakah sudut antara kedua vektor terpusat? Apa artinya bagi korelasi \(\corr(\tvec_1, \tvec_2)\text{?}\)
Misalkan deret waktu terpusat \(\tilde{\tvec}_1\) dan \(\tilde{\tvec}_2\) merupakan kelipatan skalar negatif satu sama lain. Berapakah sudut antara kedua vektor terpusat? Apa artinya bagi korelasi \(\corr(\tvec_1, \tvec_2)\text{?}\)
Salah satu masalah yang umum dalam sains data adalah menemukan pola yang mendasari suatu himpunan data. Misalkan, sebagai contoh, kita memiliki 177 titik data yang diplot dalam Gambar 6.1.10. Perhatikan bahwa titik-titik tersebut tidak tersebar secara acak; sebaliknya, titik-titik itu tampak membentuk klaster. Tujuan kita di sini adalah mengembangkan strategi untuk mendeteksi klaster tersebut.
Diagram pencar \(177\) titik data dua dimensi. Meskipun titik-titik itu tampak agak acak tersebar pada bidang, terdapat beberapa himpunan bagian titik yang saling berdekatan dan tampak membentuk klaster.
Untuk melihat kegunaannya, misalkan kita memiliki data medis yang menggambarkan sekelompok pasien, beberapa di antaranya telah didiagnosis mengalami kondisi tertentu, misalnya diabetes. Barangkali kita memiliki catatan usia, berat badan, gula darah, kolesterol, dan atribut lain untuk setiap pasien. Titik-titik data bagi kelompok yang didiagnosis mengalami kondisi tersebut mungkin membentuk klaster yang agak terpisah dari data lainnya. Misalkan kita dapat mengenali klaster itu, lalu menerima pasien baru yang belum menjalani pemeriksaan untuk kondisi tersebut. Jika atribut pasien itu menempatkannya dalam klaster tersebut, kita mungkin mengidentifikasinya sebagai pihak yang berisiko dan memprioritaskannya untuk pemeriksaan yang sesuai.
Jika terdapat banyak atribut untuk setiap pasien, datanya mungkin berdimensi tinggi dan tidak mudah divisualisasikan. Karena itu, kita ingin mengembangkan algoritma yang memisahkan titik-titik data menjadi klaster tanpa campur tangan manusia. Hasilnya kita sebut pengelompokan.
Aktivitas berikut memperkenalkan teknik yang disebut pengelompokan \(k\)-means, yang membantu kita menemukan pengelompokan. Untuk itu, kita akan memandang titik data sebagai vektor sehingga jarak antara dua titik data sama dengan panjang vektor yang menghubungkannya. Artinya, jika dua titik dinyatakan oleh vektor \(\vvec\) dan \(\wvec\text{,}\) maka jarak antara kedua titik tersebut adalah \(\len{\vvec-\wvec}\text{.}\)
dan gambarkan vektor-vektor beserta sentroidnya menggunakan Gambar 6.1.11. Anda dapat memilih untuk sekadar memplot titik-titik yang dinyatakan oleh ujung vektor, alih-alih menggambar vektornya sendiri.
Sekarang kita akan mengilustrasikan algoritma yang membentuk pengelompokan. Sebagai langkah awal, perhatikan titik-titik berikut yang dinyatakan sebagai vektor,
Kisi koordinat \(1\times1\) beserta sumbu-sumbunya, yang memuat empat titik data yang bersesuaian dengan vektor \(\vvec_1=\twovec{-2}1\text{,}\)\(\vvec_2=\twovec11\text{,}\)\(\vvec_3=\twovec12\text{,}\) dan \(\vvec_4=\twovec32\text{.}\)
Misalkan kita ingin mengelompokkan titik-titik ini menjadi \(k=2\) klaster. (Nanti kita akan melihat cara memilih nilai \(k\text{,}\) yaitu jumlah klaster, yang sesuai.) Kita mulai dengan memilih dua titik \(c_1\) dan \(c_2\) secara acak lalu menetapkannya sebagai “pusat” kedua klaster.
Sebagai contoh, misalkan kita secara acak memilih \(c_1=\vvec_2\) dan \(c_2=\vvec_3\) sebagai pusat dua klaster. Klaster yang berpusat di \(c_1=\vvec_2\) adalah himpunan titik yang lebih dekat ke \(c_1=\vvec_2\) daripada ke \(c_2=\vvec_3\text{.}\) Tentukan mana dari keempat titik data yang berada dalam klaster ini, yang kita nyatakan dengan \(C_1\text{,}\) lalu lingkari titik-titik itu dalam Gambar 6.1.12.
Klaster kedua terdiri atas titik-titik data yang lebih dekat ke \(c_2=\vvec_3\) daripada ke \(c_1=\vvec_2\text{.}\) Tentukan mana dari keempat titik yang berada dalam klaster ini, yang kita nyatakan dengan \(C_2\text{,}\) lalu lingkari titik-titik itu dalam Gambar 6.1.12.
Kita kini memiliki pengelompokan dengan dua klaster, tetapi akan mencoba memperbaikinya dengan cara berikut. Pertama, cari sentroid kedua klaster; yaitu, definisikan ulang \(c_1\) sebagai sentroid klaster \(C_1\) dan \(c_2\) sebagai sentroid \(C_2\text{.}\) Cari kedua sentroid itu dan tandai dalam Gambar 6.1.13.
Kisi koordinat \(1\times1\) beserta sumbu-sumbunya, yang memuat empat titik data yang bersesuaian dengan vektor \(\vvec_1=\twovec{-2}1\text{,}\)\(\vvec_2=\twovec11\text{,}\)\(\vvec_3=\twovec12\text{,}\) dan \(\vvec_4=\twovec32\text{.}\)
Sekarang perbarui klaster \(C_1\) menjadi himpunan titik yang lebih dekat ke \(c_1\) daripada ke \(c_2\text{.}\) Perbarui klaster \(C_2\) dengan cara serupa, lalu tandai klaster-klaster tersebut dalam Gambar 6.1.13.
Mari lakukan langkah terakhir ini sekali lagi. Yaitu, perbarui sentroid \(c_1\) dan \(c_2\) berdasarkan klaster yang baru, lalu perbarui klaster \(C_1\) dan \(C_2\text{.}\) Tandai sentroid dan klaster Anda dalam Gambar 6.1.14.
Kisi koordinat \(1\times1\) beserta sumbu-sumbunya, yang memuat empat titik data yang bersesuaian dengan vektor \(\vvec_1=\twovec{-2}1\text{,}\)\(\vvec_2=\twovec11\text{,}\)\(\vvec_3=\twovec12\text{,}\) dan \(\vvec_4=\twovec32\text{.}\)
Perhatikan bahwa langkah terakhir ini menghasilkan kumpulan klaster yang sama, sehingga tidak ada gunanya mengulanginya. Kita menetapkan hasil ini sebagai pengelompokan akhir.
Aktivitas ini memperagakan algoritma kita untuk menemukan suatu pengelompokan. Mula-mula kita memilih nilai \(k\) dan berusaha membagi titik-titik data menjadi \(k\) klaster. Algoritma berjalan sebagai berikut:
Pilih secara acak \(k\) titik \(c_1, c_2, \ldots, c_k\) dari himpunan data kita.
Bentuk klaster \(C_1\) sebagai himpunan titik data yang paling dekat ke \(c_1\text{,}\)\(C_2\) sebagai himpunan titik data yang paling dekat ke \(c_2\text{,}\) dan seterusnya.
Pengelompokan yang kita temukan bergantung pada pemilihan acak awal titik \(c_1, c_2,\ldots, c_k\text{.}\) Sebagai contoh, dalam aktivitas sebelumnya, dengan pilihan awal \(c_1=
\vvec_2\) dan \(c_2=\vvec_3\text{,}\) kita memperoleh pengelompokan:
Adakah cara untuk menentukan pengelompokan mana yang lebih baik? Pengelompokan yang lebih baik tampaknya adalah pengelompokan yang titik-titik dalam setiap klasternya, secara rata-rata, lebih dekat ke sentroid klaster tersebut. Karena itu, untuk suatu pengelompokan, kita mendefinisikan fungsi yang disebut fungsi objektif. Fungsi ini mengukur rata-rata kuadrat jarak dari setiap titik ke sentroid klaster tempat titik itu berada. Pengelompokan dengan nilai objektif lebih kecil memiliki klaster yang lebih rapat di sekitar sentroidnya, sehingga semestinya menghasilkan pengelompokan yang lebih baik.
Kita kini telah melihat dua pengelompokan dan menghitung nilai objektifnya. Ingat bahwa himpunan data kita ditampilkan dalam Gambar 6.1.12. Manakah dari kedua pengelompokan itu yang tampak lebih sesuai? Bagaimana kesesuaian ini tercermin pada nilai objektifnya?
Dalam sel berikut, Anda dapat memilih nilai \(k\text{,}\) lalu menjalankan algoritma untuk menentukan dan menampilkan suatu pengelompokan beserta nilai objektifnya. Jika Anda menjalankan algoritma beberapa kali dengan nilai \(k\) yang sama, kemungkinan besar Anda akan melihat pengelompokan berbeda dengan nilai objektif berbeda. Hal ini wajar karena algoritma dimulai dengan pemilihan acak titik \(c_1,c_2,\ldots,c_k\text{,}\) dan pilihan yang berbeda dapat menghasilkan pengelompokan yang berbeda. Pilih suatu nilai \(k\) dan jalankan algoritma beberapa kali. Perhatikan bahwa pengelompokan dengan nilai objektif lebih rendah tampak lebih sesuai dengan data. Ulangi percobaan ini dengan beberapa nilai \(k\) yang berbeda.
Untuk suatu nilai \(k\text{,}\) strategi kita adalah menjalankan algoritma beberapa kali dan memilih pengelompokan dengan nilai objektif terkecil. Setelah memilih nilai \(k\text{,}\) sel berikut akan menjalankan algoritma 10 kali dan menampilkan pengelompokan dengan nilai objektif terkecil.
Sepasang sumbu koordinat dengan sumbu horizontal berlabel \(k\) dan sumbu vertikal berlabel “Objektif”. Rentang horizontal membentang dari \(0\) hingga \(9\text{,}\) sedangkan rentang vertikal membentang dari \(0\) hingga \(4\text{.}\) Terdapat pula kisi koordinat untuk membantu memplot titik.
Plot ini disebut plot siku karena bentuknya. Perhatikan bagaimana nilai objektif turun tajam ketika \(k\) kecil, lalu melandai. Hal ini menghasilkan sebuah lokasi yang disebut siku, tempat nilai objektif beralih dari penurunan tajam menjadi relatif datar. Artinya, menaikkan \(k\) melampaui siku tidak menurunkan nilai objektif secara berarti, sehingga siku merupakan pilihan yang baik untuk \(k\text{.}\)
Di manakah siku muncul pada plot Anda di atas? Bagaimana hasilnya dibandingkan dengan nilai \(k\) terbaik yang Anda perkirakan hanya dengan mengamati data dalam Butir c?
Tentu saja, kita dapat menaikkan \(k\) sampai setiap titik data menjadi klaster tersendiri. Namun, hal ini menggagalkan tujuan teknik tersebut, yaitu mengelompokkan titik-titik data yang berdekatan dengan harapan bahwa titik-titik itu memiliki ciri yang sama, sehingga memberi pemahaman tentang struktur data.
Kita telah melihat bagaimana algoritma dan fungsi objektif mengenali nilai \(k\text{,}\) yaitu jumlah klaster, yang masuk akal serta menghasilkan pengelompokan yang baik dengan \(k\) klaster. Perhatikan bahwa kita tidak mengklaim telah menemukan pengelompokan terbaik, sebab ujian sesungguhnya bagi setiap pengelompokan ialah sejauh mana pengelompokan itu membantu kita memahami himpunan data dan membuat prediksi tentang data baru yang mungkin kita jumpai.
Jika \(\vvec=s\wvec\) untuk suatu skalar \(s\text{,}\) apakah hubungan antara \(\vvec\cdot\vvec\) dan \(\wvec\cdot\wvec\text{?}\) Apakah hubungan antara \(\len{\vvec}\) dan \(\len{\wvec}\text{?}\)
Tuliskan himpunan solusi sistem linear ini dalam bentuk parametrik. Jenis objek geometris apakah yang dinyatakan oleh himpunan solusi ini? Jelaskan dengan gambar kasar mengapa hasil tersebut masuk akal.
Berikan deskripsi parametrik semua vektor yang ortogonal terhadap \(\vvec_1\text{.}\) Jenis objek geometris apakah yang dinyatakannya? Jelaskan dengan gambar kasar mengapa hasil tersebut masuk akal.
Jelaskan jawaban Anda atas pertanyaan-pertanyaan berikut.
Misalkan \(\vvec\) ortogonal terhadap \(\wvec_1\) maupun \(\wvec_2\text{.}\) Dapatkah Anda menjamin bahwa \(\vvec\) juga ortogonal terhadap sebarang kombinasi linear \(c_1\wvec_1+c_2\wvec_2\text{?}\)
Misalkan \(\vvec_1\text{,}\)\(\vvec_2\text{,}\) dan \(\vvec_3\) membentuk basis untuk \(\real^3\text{,}\) dan setiap vektor ortogonal terhadap dua vektor lainnya. Misalkan pula \(\vvec\) adalah vektor lain di \(\real^3\text{.}\)
Jelaskan mengapa \(\vvec=c_1\vvec_1+c_2\vvec_2+c_3\vvec_3\) untuk suatu skalar \(c_1\text{,}\)\(c_2\text{,}\) dan \(c_3\text{.}\)
membentuk basis untuk \(\real^3\) dan setiap vektor ortogonal terhadap dua vektor lainnya. Gunakan apa yang telah Anda temukan dalam soal ini untuk menuliskan vektor \(\vvec=\threevec35{-1}\) sebagai kombinasi linear \(\vvec_1\text{,}\)\(\vvec_2\text{,}\) dan \(\vvec_3\text{.}\)
Misalkan \(\vvec_1\text{,}\)\(\vvec_2\text{,}\) dan \(\vvec_3\) adalah tiga vektor taknol yang saling ortogonal berpasangan; yaitu, setiap vektor ortogonal terhadap dua vektor lainnya.
Jelaskan mengapa \(\vvec_3\) tidak dapat merupakan kombinasi linear \(\vvec_1\) dan \(\vvec_2\text{.}\)
Misalkan \(\vvec\) adalah vektor eigen matriks \(A\) dengan nilai eigen terkait \(\lambda\text{,}\) dan \(\vvec\) memiliki panjang 1. Berapakah nilai fungsi \(q(\vvec)\text{?}\)
Dalam Subbab 1.1, kita telah melihat bahwa persamaan berbentuk \(Ax+By = C\) menyatakan garis pada bidang. Dalam latihan ini, kita akan melihat bagaimana ekspresi tersebut muncul secara geometris.
Sebuah garis melintasi diagram dengan kisi dan sumbu koordinat sebagai latar. Terdapat tiga vektor. Vektor berlabel \(\pvec\) berawal di titik asal dan berakhir di suatu titik pada garis. Vektor \(\nvec\) berawal di ujung \(\pvec\) dan mengarah secara ortogonal terhadap garis. Vektor ketiga, \(\xvec\text{,}\) berawal di titik asal dan berakhir di suatu titik umum pada garis.
Misalkan \(\pvec\) adalah titik pada garis, \(\nvec\) adalah vektor yang tegak lurus terhadap garis, dan \(\xvec=\twovec xy\) adalah titik umum pada garis. Gambarkan vektor \(\xvec-\pvec\) dan deskripsikan sudut antara vektor ini dan vektor \(\nvec\text{.}\)
Identifikasi vektor \(\pvec\) dan \(\nvec\) untuk garis yang diilustrasikan dalam Gambar 6.1.16, lalu gunakan keduanya untuk menuliskan persamaan garis dalam \(x\) dan \(y\text{.}\) Verifikasi bahwa ekspresi ini ekuivalen secara aljabar dengan persamaan \(y=mx+b\) yang sebelumnya Anda temukan untuk garis tersebut.
Jelaskan mengapa sebarang garis pada bidang dapat dideskripsikan oleh persamaan berbentuk \(Ax+By = C\text{.}\) Apakah arti vektor \(\twovec AB\text{?}\)
