Karena invertibilitas berperan penting dalam bab ini, kita memerlukan suatu kriteria yang menunjukkan kapan sebuah matriks invertibel. Kita telah mengetahui bahwa sebuah matriks persegi invertibel jika dan hanya jika matriks tersebut ekuivalen baris dengan matriks identitas. Dalam bagian ini, kita akan mengembangkan kriteria kedua yang bersifat numerik untuk menentukan kapan sebuah matriks persegi invertibel.
Sebagai awal, perhatikan sebuah matriks \(2\times2\)\(A\) yang kolom-kolomnya adalah vektor \(\vvec_1\) dan \(\vvec_2\text{.}\) Kita telah sering menggambar vektor-vektor tersebut dan mempelajari kombinasi linear yang dibentuknya dengan menggunakan gambar seperti Gambar 3.4.1.
Vektor \(\vvec_1=\twovec21\) dan \(\vvec_2=\twovec12\text{,}\) serta dua kelompok garis yang sejajar dengan kedua vektor tersebut, menunjukkan himpunan kombinasi linear yang dibentuk oleh keduanya.
Perhatikan bahwa kombinasi-kombinasi linear tersebut membentuk sekumpulan jajar genjang yang kongruen pada bidang. Dalam bagian ini, kita akan menggunakan luas jajar genjang tersebut untuk mendefinisikan suatu besaran numerik yang disebut determinan, yang menunjukkan apakah matriks \(A\) invertibel.
Sebagai pengingat, luas jajar genjang diperoleh dengan mengalikan panjang salah satu sisinya dengan jarak tegak lurus ke sisi yang sejajar dengannya. Dengan notasi pada gambar, luas jajar genjang tersebut adalah \(bh\text{.}\)
Sebuah jajar genjang dengan dua sisi yang berhadapan. Panjang sisi bawah didefinisikan sebagai \(b\text{.}\) Ruas garis vertikal yang ditarik dari sebuah titik sudut pada sisi atas ke sisi bawah memiliki panjang \(h\text{.}\)
Jelaskan mengapa luas jajar genjang yang dibentuk oleh vektor \(\vvec\) dan \(\wvec_1\) sama dengan luas jajar genjang yang dibentuk oleh \(\vvec\) dan \(\wvec_2\text{.}\)
Kita akan mulai dengan mendefinisikan determinan dari matriks \(2\times2\)\(A =
\left[\begin{array}{rr} \vvec_1 \amp \vvec_2
\end{array}\right]\text{.}\) Namun, terlebih dahulu kita perlu mendefinisikan orientasi pasangan vektor terurut. Seperti ditunjukkan dalam Gambar 3.4.2, pasangan vektor terurut \(\vvec_1\) dan \(\vvec_2\) disebut berorientasi positif jika sudut dari \(\vvec_1\) ke \(\vvec_2\text{,}\) yang diukur berlawanan arah jarum jam, kurang dari \(180^\circ\text{;}\) pasangan tersebut disebut berorientasi negatif jika sudutnya lebih dari \(180^\circ\text{.}\)
Dua vektor \(\vvec_1\) dan \(\vvec_2\) sama-sama berada di kuadran pertama. Vektor \(\vvec_1\) membentuk sudut yang lebih kecil terhadap sumbu horizontal positif, sehingga merotasikan \(\vvec_1\) berlawanan arah jarum jam dengan sudut kurang dari \(180^\circ\) membuat kedua vektor menunjuk ke arah yang sama. Kita mengatakan bahwa vektor-vektor ini berorientasi positif.
Kedua vektor telah dipertukarkan, sehingga \(\vvec_1\) perlu dirotasikan berlawanan arah jarum jam dengan sudut lebih dari \(180^\circ\) agar kedua vektor menunjuk ke arah yang sama. Pasangan vektor ini berorientasi negatif.
Misalkan matriks \(2\times2\)\(A\) memiliki kolom \(\vvec_1\) dan \(\vvec_2\text{.}\) Jika pasangan vektor tersebut berorientasi positif, maka determinan\(A\text{,}\) yang dinotasikan dengan \(\det(A)\text{,}\) adalah luas jajar genjang yang dibentuk oleh \(\vvec_1\) dan \(\vvec_2\text{.}\) Jika pasangan tersebut berorientasi negatif, maka \(\det(A)\) adalah -1 kali luas jajar genjang tersebut.
Seperti tampak di sebelah kiri Gambar 3.4.5, vektor \(\vvec_1 = \evec_1\) dan \(\vvec_2=\evec_2\) membentuk pasangan berorientasi positif. Karena jajar genjang yang dibentuknya merupakan persegi \(1\times1\text{,}\) kita memperoleh \(\det(I) = 1.\)
Diagram ini menunjukkan vektor \(\vvec_1=\twovec{-2}0\) dan \(\vvec_2=\twovec01\) dan jajar genjang yang dibentuknya, yaitu persegi panjang dengan panjang sisi dua dan satu.
Gambar3.4.5.Determinan \(\det(I) = 1\text{,}\) seperti tampak di sebelah kiri. Di sebelah kanan, kita melihat bahwa \(\det(A) = -2\text{,}\) dengan \(A\) adalah matriks yang kolom-kolomnya ditampilkan.
Seperti tampak di sebelah kanan Gambar 3.4.5, vektor \(\vvec_1\) dan \(\vvec_2\) membentuk pasangan berorientasi negatif. Jajar genjang yang dibentuknya adalah persegi panjang \(2\times1\text{,}\) sehingga \(\det(A) = -2\text{.}\)
Diagram interaktif untuk menyelidiki determinan matriks \(2\times2\text{.}\) Di bagian atas terdapat susunan \(2\times2\) penggeser yang memungkinkan pembaca mendefinisikan sebuah matriks \(2\times2\text{.}\)
Di bawah susunan penggeser terdapat sepasang sumbu koordinat dan dua vektor yang didefinisikan sebagai kolom matriks. Jajar genjang yang dibentuk oleh pasangan vektor ini diberi arsiran biru jika vektor-vektornya berorientasi positif dan merah jika berorientasi negatif. Kisi garis sejajar yang dibentuk oleh kombinasi linear kedua vektor juga ditampilkan.
Penggeser pada diagram di bawah memungkinkan Anda memilih matriks \(A=\begin{bmatrix}a \amp b \\
c \amp d \\
\end{bmatrix}\text{.}\) Dua vektor yang merepresentasikan kolom matriks, beserta jajar genjang yang dibentuknya, ditampilkan di bawah.
Gunakan diagram untuk menentukan determinan matriks \(\left[\begin{array}{rr} -\frac12 \amp 0 \\ 0 \amp 2
\end{array}\right]\text{.}\) Bersama Contoh 3.4.4, hasil ini membuat Anda menduga sifat umum apa mengenai determinan matriks diagonal?
Gunakan diagram untuk menentukan determinan matriks \(\left[\begin{array}{rr} 2 \amp 1 \\
0 \amp 1 \\
\end{array}\right]\text{.}\) Secara lebih umum, apa yang Anda perhatikan tentang determinan setiap matriks berbentuk \(\left[\begin{array}{rr} 2 \amp k \\
0 \amp 1 \\
\end{array}\right]\text{?}\) Apa implikasinya bagi determinan matriks segitiga atas?
Gunakan diagram untuk menentukan determinan setiap matriks berbentuk \(\left[\begin{array}{rr} 2 \amp 0 \\
k \amp 1 \\
\end{array}\right]\text{.}\) Apa implikasinya bagi determinan matriks segitiga bawah?
Gunakan diagram untuk menentukan determinan \(A\text{,}\)\(B\text{,}\) dan \(AB\text{.}\) Hubungan umum apa antara \(\det(AB)\) dengan \(\det(A)\) dan \(\det(B)\) yang disiratkan oleh hasil ini?
Pada bagian selanjutnya, kita akan mempelajari teknik aljabar untuk menghitung determinan. Untuk sementara, cukup kita perhatikan bahwa determinan matriks \(n\times
n\) dapat didefinisikan dengan mengukur volume kotak yang ditentukan oleh kolom-kolom matriks, meskipun kotak ini berada di \(\real^n\) untuk suatu \(n\) yang sangat besar.
Sebagai contoh, kolom-kolom matriks \(3\times3\)\(A\) membentuk sebuah paralelepiped seperti yang ditampilkan di sini, dan terdapat cara untuk menggolongkan himpunan vektor semacam ini sebagai berorientasi positif atau negatif. Karena itu, determinan \(\det(A)\) dapat didefinisikan berdasarkan volume paralelepiped tersebut, tetapi kita tidak akan membahas rinciannya di sini.
Diagram tiga dimensi yang menunjukkan tiga vektor berlabel \(\vvec_1\text{,}\)\(\vvec_2\text{,}\) dan \(\vvec_3\text{.}\) Paralelepiped yang ditentukannya, yang bentuknya menyerupai kotak persegi panjang, juga ditampilkan.
Meskipun aktivitas sebelumnya membahas determinan matriks \(2\times2\text{,}\) aktivitas tersebut menggambarkan beberapa sifat penting determinan yang berlaku secara lebih umum.
Jika \(A\) adalah matriks segitiga, maka \(\det(A)\) sama dengan hasil kali entri-entri pada diagonal. Sebagai contoh,
karena kolom-kolomnya membentuk pasangan berorientasi negatif. Anda mungkin ingat dari Subbagian 3.1.4 bahwa matriks seperti ini diperoleh dengan mempertukarkan dua baris matriks identitas.
Determinan tidak hanya dapat dipandang sebagai luas jajar genjang, tetapi juga sebagai faktor skala luas di bawah transformasi matriks yang didefinisikan oleh matriks tersebut. Penerapan transformasi matriks yang didefinisikan oleh \(B\) menskalakan luas dengan faktor \(\det(B)\text{.}\) Jika kemudian \(B\) dikomposisikan dengan transformasi matriks yang didefinisikan oleh \(A\text{,}\) luas kembali diskalakan dengan faktor \(\det(A)\text{.}\) Hasil akhirnya, transformasi matriks yang didefinisikan oleh \(AB\) menskalakan luas dengan faktor \(\det(A)\det(B)\text{,}\) sehingga \(\det(AB)=\det(A)\det(B)\text{.}\)
Barangkali sifat determinan yang paling penting juga muncul dalam aktivitas sebelumnya. Kita melihat bahwa ketika kolom-kolom matriks \(A\) bergantung linear, jajar genjang yang dibentuk oleh vektor-vektor tersebut runtuh menjadi sebuah garis. Sebagai contoh, jika \(A=\begin{bmatrix} 1 \amp -1 \\ 2 \amp -2 \\
\end{bmatrix}\text{,}\) maka jajar genjang yang dihasilkan, seperti ditunjukkan dalam Gambar 3.4.9, memiliki luas nol, yang berarti bahwa \(\det(A)=0\text{.}\)
Sebuah jajar genjang yang runtuh menjadi ruas garis. Titik-titik sudut jajar genjang berada di titik asal, \((1,2)\text{,}\)\((0,0)\text{,}\) dan \((-1,-2)\text{.}\)
Syarat bahwa kolom-kolom \(A\) bergantung linear tepat sama dengan syarat bahwa \(A\) tidak invertibel. Hal ini membuat kita menduga bahwa \(A\) tidak invertibel jika dan hanya jika determinannya nol. Proposisi berikut menyatakan gagasan tersebut.
Untuk memahami proposisi ini secara lebih utuh, ingat bahwa matriks \(A\) invertibel jika dan hanya jika matriks tersebut ekuivalen baris dengan matriks identitas \(I\text{.}\) Karena itu, kita akan melihat bagaimana determinan berubah ketika operasi baris dilakukan pada sebuah matriks. Dalam prosesnya, kita akan menemukan cara yang efektif untuk menghitung determinan.
Dalam Subbagian 3.1.4, kita telah melihat cara menyatakan tiga operasi baris—penskalaan, pertukaran, dan penggantian—dengan menggunakan perkalian matriks. Jika kita melakukan operasi baris pada matriks \(A\) untuk memperoleh matriks \(A'\text{,}\) kita ingin menghubungkan \(\det(A)\) dengan \(\det(A')\text{.}\) Untuk itu, ingat bahwa
Penskalaan dilakukan dengan mengalikan matriks \(A\) dengan matriks diagonal, seperti
yang mengalikan baris kedua \(A\) dengan \(3\) untuk memperoleh \(A'\text{.}\) Karena \(S\) diagonal, determinannya adalah hasil kali entri-entri diagonalnya, sehingga \(\det(S) = 3\text{.}\) Ini berarti \(A'=SA\) dan oleh karena itu
yang mempertukarkan baris pertama dan kedua \(A\text{.}\) Seperti telah kita lihat dalam Proposisi 3.4.8, \(\det(P) = -1\text{.}\) Karena itu, ketika \(PA=A'\text{,}\) kita memperoleh
yang mengalikan baris pertama dengan \(-2\) lalu menambahkan hasilnya ke baris ketiga. Karena matriks ini segitiga bawah, determinannya adalah hasil kali entri-entri diagonal, sehingga \(\det(R) = 1\text{.}\) Ini berarti bahwa ketika \(RA = A'\text{,}\) kita memperoleh \(\det(A')=\det(R)\det(A) = \det(A)\text{.}\) Dengan kata lain, penggantian baris tidak mengubah determinan.
Dengan mengingat Proposisi 3.1.9, manakah di antara matriks \(U_1\) dan \(U_2\) yang invertibel? Berapakah determinan \(\det(U_1)\) dan \(\det(U_2)\text{?}\)
Karena \(U\) segitiga atas, kita dapat menghitung determinannya, yang selanjutnya memungkinkan kita menentukan \(\det(A)\text{.}\) Berapakah \(\det(A)\text{?}\) Apakah \(A\) invertibel?
Lakukan serangkaian operasi baris untuk memperoleh matriks segitiga atas \(U\) yang ekuivalen baris dengan \(A\text{.}\) Gunakan hasil ini untuk menentukan \(\det(A)\) dan apakah \(A\) invertibel.
Misalkan kita menerapkan serangkaian operasi baris pada matriks \(A\) untuk memperoleh \(A'\text{.}\) Jelaskan mengapa \(\det(A)
\neq 0\) jika dan hanya jika \(\det(A') \neq 0\text{.}\)
Seperti terlihat dalam aktivitas ini, operasi baris dapat digunakan untuk menghitung determinan sebuah matriks. Lebih khusus, penerapan tahap substitusi maju dari eliminasi Gauss pada matriks \(A\) menghasilkan matriks segitiga atas \(U\) sehingga \(A\sim U\text{.}\)
Kita mengetahui bahwa \(U\) invertibel ketika semua entri diagonalnya tak nol. Kita juga mengetahui bahwa \(\det(U)\neq 0\) di bawah syarat yang sama. Hal ini menunjukkan bahwa \(U\) invertibel jika dan hanya jika \(\det(U) \neq 0\text{.}\)
Jika \(\det(A)\neq 0\text{,}\) maka \(\det(U)\neq 0\) juga, sebab penerapan serangkaian operasi baris pada \(A\) hanya mengalikan determinan dengan bilangan tak nol. Akibatnya, \(U\) invertibel, sehingga \(U\sim I\text{.}\) Karena itu, kita juga mengetahui bahwa \(A\sim I\text{,}\) sehingga \(A\) harus invertibel.
Sekarang kita memiliki teknik untuk menghitung determinan sebuah matriks dengan menggunakan operasi baris. Terdapat cara lain untuk menghitung determinan, yaitu dengan menggunakan apa yang disebut ekspansi kofaktor, yang akan penting bagi kita dalam bab berikutnya. Kita akan menjelaskan metode tersebut di sini.
Menentukan determinan matriks \(n\times n\) yang lebih umum dengan ekspansi kofaktor memerlukan lebih banyak perhitungan, sehingga kita akan memperagakannya melalui sebuah contoh.
Determinan akan diperoleh dengan membentuk jumlah beberapa suku, satu suku untuk setiap entri pada baris yang telah dipilih. Untuk setiap entri pada baris tersebut, kita membentuk sukunya dengan mengalikan
\((-1)^{i+j}\text{,}\) dengan \(i\) dan \(j\) masing-masing adalah nomor baris dan nomor kolom entri tersebut,
Ingat bahwa Anda dapat memilih baris atau kolom mana pun untuk membentuk ekspansi, tetapi pemilihan baris atau kolom tertentu dapat menyederhanakan perhitungan.
Dalam bagian ini, kita mengaitkan suatu besaran numerik, yaitu determinan, dengan sebuah matriks persegi dan menunjukkan bagaimana determinan memberi tahu kita apakah matriks tersebut invertibel.
Determinan suatu matriks memiliki interpretasi geometris. Khususnya, ketika \(n=2\text{,}\) determinan merupakan luas bertanda jajar genjang yang dibentuk oleh kedua kolom matriks.
Determinan memenuhi banyak sifat. Sebagai contoh, \(\det(AB) = \det(A) \det(B)\) dan determinan matriks segitiga sama dengan hasil kali entri-entri diagonalnya.
Sifat-sifat ini membantu kita menghitung determinan matriks dengan menggunakan operasi baris. Hal ini juga membawa kita pada pengamatan penting bahwa determinan suatu matriks tidak nol jika dan hanya jika matriks tersebut invertibel.
Terakhir, kita mempelajari cara menghitung determinan matriks dengan menggunakan ekspansi kofaktor, yang akan menjadi alat berharga bagi kita dalam bab berikutnya.
Kita telah melihat tiga cara menghitung determinan: dengan menafsirkan determinan sebagai luas atau volume bertanda; dengan menerapkan operasi baris yang sesuai; dan dengan menggunakan ekspansi kofaktor. Ada baiknya kita meluangkan waktu sejenak untuk memikirkan keunggulan relatif masing-masing pendekatan ini.
Definisi geometris determinan menunjukkan bahwa determinan mengukur suatu besaran geometris alami, suatu wawasan yang tidak mudah diperoleh melalui dua pendekatan lainnya. Intuisi yang kita peroleh dengan memikirkan determinan secara geometris membuatnya masuk akal bahwa determinan harus nol bagi matriks yang tidak invertibel: jika kolom-kolomnya bergantung linear, vektor-vektornya tidak dapat membentuk volume positif.
Pendekatan terhadap determinan melalui operasi baris menyediakan cara yang efektif untuk menghitung determinan. Pada kenyataannya, inilah yang dilakukan kebanyakan program komputer di balik layar ketika menghitung determinan. Pendekatan ini juga merupakan alat teoretis yang berguna untuk menjelaskan mengapa determinan menunjukkan apakah suatu matriks invertibel.
Metode ekspansi kofaktor akan berguna dalam bab berikutnya ketika kita membahas nilai eigen dan vektor eigen. Namun, metode ini bukan cara praktis untuk menghitung determinan. Untuk melihat alasannya, perhatikan bahwa determinan matriks \(2\times2\text{,}\) yang dituliskan sebagai \(ad-bc\text{,}\) mengharuskan kita menghitung dua suku, \(ad\) dan \(bc\text{.}\) Untuk menghitung determinan matriks \(3\times3\text{,}\) kita perlu menghitung tiga determinan \(2\times2\text{,}\) yang melibatkan \(3\cdot 2 = 6\) suku. Untuk matriks \(4\times4\text{,}\) kita perlu menghitung empat determinan \(3\times3\text{,}\) yang menghasilkan \(4\cdot3\cdot2 = 24\) suku. Dengan melanjutkan pola ini, kita melihat bahwa ekspansi kofaktor matriks \(10\times10\) akan melibatkan \(10\cdot9\cdot8\ldots3\cdot2 = 10! = 3628800\) suku.
Sebagai perbandingan, kita telah melihat bahwa banyaknya langkah yang diperlukan untuk melakukan eliminasi Gauss pada matriks \(n\times n\) sebanding dengan \(n^3\text{.}\) Ketika \(n=10\text{,}\) kita memperoleh \(n^3 =
1000\text{,}\) yang menunjukkan bahwa menentukan determinan dengan eliminasi Gauss memerlukan jauh lebih sedikit perhitungan.
Latihan ini membahas rotasi dan pencerminan di \(\real^2\text{.}\)
Misalkan \(A\) adalah matriks yang melakukan rotasi berlawanan arah jarum jam di \(\real^2\text{.}\) Gambarlah ilustrasi umum vektor-vektor yang membentuk kolom \(A\text{,}\) lalu gunakan definisi geometris determinan untuk menentukan \(\det(A)\text{.}\)
Misalkan \(B\) adalah matriks yang melakukan pencerminan terhadap garis yang melalui titik asal. Gambarlah ilustrasi umum kolom-kolom \(B\text{,}\) lalu gunakan definisi geometris determinan untuk menentukan \(\det(B)\text{.}\)
Hitung determinan \(A\) dan \(B\text{,}\) lalu verifikasi bahwa hasilnya sesuai dengan yang Anda peroleh pada bagian-bagian sebelumnya dalam latihan ini.
Dalam bab berikutnya, kita akan mengatakan bahwa matriks \(A\) dan \(B\)serupa jika terdapat matriks \(P\) sedemikian sehingga \(A= PBP^{-1}\text{.}\)
Misalkan \(A\) dan \(B\) adalah matriks, dan terdapat matriks \(P\) sedemikian sehingga \(A=PBP^{-1}\text{.}\) Jelaskan mengapa \(\det(A) = \det(B)\text{.}\)
Tentukan apakah pernyataan-pernyataan berikut benar atau salah, lalu jelaskan jawaban Anda.
Jika kita memiliki matriks persegi \(A\text{,}\) mengalikan baris pertama dengan \(5\text{,}\) lalu menambahkannya ke baris ketiga untuk memperoleh \(A'\text{,}\) maka \(\det(A') = 5\det(A)\text{.}\)
Misalkan \(A\) dan \(B\) adalah matriks \(5\times5\) sedemikian sehingga \(\det(A) = -2\) dan \(\det(B) = 5\text{.}\) Tentukan determinan-determinan berikut:
Jelaskan mengapa \(\vvec_1\) dan \(\vvec_2\text{,}\) yaitu dua kolom pertama \(A\text{,}\) memenuhi persamaan yang Anda peroleh pada bagian sebelumnya.
Dalam bagian ini, kita mempelajari pengaruh operasi baris pada matriks \(A\text{.}\) Dalam latihan ini, kita akan mempelajari pengaruh operasi kolom yang analog.
Jelaskan mengapa matriks \(AR\) diperoleh dari \(A\) dengan mengganti kolom pertama \(\vvec_1\) dengan \(\vvec_1 - 3\vvec_3\text{.}\) Kita menyebutnya operasi penggantian kolom. Jelaskan mengapa operasi penggantian kolom tidak mengubah determinan.
Jelaskan mengapa matriks \(AS\) diperoleh dari \(A\) dengan mengalikan kolom kedua dengan \(3\text{.}\) Jelaskan pengaruh penskalaan suatu kolom terhadap determinan matriks.
Terdapat cara alami untuk menggeneralisasi hal ini menjadi matriks \(4\times4\) dengan parameter \(a\text{,}\)\(b\text{,}\)\(c\text{,}\) dan \(d\text{.}\) Tuliskan matriks tersebut dan nyatakan determinannya berdasarkan pekerjaan Anda sebelumnya.
