Latihan 9.

Dalam mata pelajaran matematika yang pernah Anda ikuti, Anda mungkin telah mengetahui bahwa jika diberikan dua titik yang berbeda pada bidang, terdapat tepat satu garis yang melalui keduanya. Dalam soal ini, kita akan memulai dengan empat titik di sebelah kiri bawah dan mencari polinom yang melalui keempat titik tersebut, seperti ditampilkan di sebelah kanan.
🔗
Empat titik pada bidang ditampilkan bersama sepasang sumbu dan sebuah kisi koordinat. Titik-titik tersebut adalah \((0,2)\text{,}\) \((1,3)\text{,}\) \((2,0)\text{,}\) dan \((3,1)\text{.}\)
🔗
Empat titik pada bidang ditampilkan bersama sepasang sumbu dan sebuah kisi koordinat. Titik-titik tersebut adalah \((0,2)\text{,}\) \((1,3)\text{,}\) \((2,0)\text{,}\) dan \((3,1)\text{.}\) Ditampilkan pula grafik polinom derajat tiga yang melalui keempat titik.
🔗
Kontrol papan ketik untuk menjelajahi diagram
Tombol Tindakan
Enter, A Aktifkan penjelajahan dengan papan ketik
B Aktifkan penjelajahan dengan menu
Escape Keluar dari mode penjelajahan
Panah bawah Jelajahi tingkat berikutnya di bawah
Panah atas Jelajahi tingkat berikutnya di atas
Panah kanan Jelajahi elemen berikutnya pada tingkat ini
Panah kiri Jelajahi elemen sebelumnya pada tingkat ini
X Aktifkan atau nonaktifkan mode ahli
W Tampilkan rincian tambahan jika tersedia
Spasi Ulangi keluaran suara
M Aktifkan pembesaran bertahap
Koma Aktifkan pembesaran langsung
N Nonaktifkan pembesaran
Z Tampilkan atau sembunyikan subtitel
C Gilir pengaturan kontras
T Gunakan warna monokrom
L Ganti bahasa jika tersedia
K Hentikan suara saat ini
Y Hentikan keluaran suara
O Mulai atau hentikan sonifikasi
P Ulangi keluaran sonifikasi
Polinom derajat tiga dapat dituliskan sebagai
\begin{equation*} p(x) = a + bx + cx^2 + dx^3 \end{equation*}
dengan \(a\text{,}\) \(b\text{,}\) \(c\text{,}\) dan \(d\) merupakan koefisien-koefisien yang hendak kita tentukan. Karena kita ingin polinom tersebut melalui titik \((3,1)\text{,}\) kita harus mensyaratkan bahwa
\begin{equation*} p(3) = a + 3b + 9c + 27d = 1\text{.} \end{equation*}
Dengan cara ini, kita memperoleh persamaan linear untuk koefisien \(a\text{,}\) \(b\text{,}\) \(c\text{,}\) dan \(d\text{.}\)
  1. Tuliskan empat persamaan linear bagi koefisien-koefisien yang diperoleh dengan mensyaratkan bahwa grafik polinom \(p(x)\) melalui keempat titik di atas.
    🔗
    🔗
  2. Tuliskan matriks diperbesar yang bersesuaian dengan sistem persamaan ini dan gunakan sel Sage di bawah untuk menentukan koefisien-koefisiennya.
    🔗
    🔗
  3. Tuliskan polinom \(p(x)\) yang Anda temukan dan periksa pekerjaan Anda dengan menggambarnya dalam sel Sage di bawah serta memverifikasi bahwa grafiknya melalui keempat titik. Untuk menggambar suatu fungsi pada sebuah rentang, Anda dapat menggunakan perintah seperti plot(1 + x- 2*x^2, xmin = -1, xmax = 4).
    🔗
    🔗
  4. Alih-alih mencari polinom derajat tiga, misalkan kita ingin menemukan polinom yang melalui keempat titik tersebut dan berderajat dua, seperti
    \begin{equation*} p(x) = a + bx + cx^2\text{.} \end{equation*}
    Selesaikan sistem linear untuk koefisien-koefisiennya. Apa yang dapat Anda katakan tentang keberadaan dan ketunggalan polinom derajat dua yang melalui keempat titik tersebut?
    🔗
    🔗
  5. Alih-alih mencari polinom derajat tiga, misalkan kita ingin menemukan polinom yang melalui keempat titik tersebut dan berderajat empat, seperti
    \begin{equation*} p(x) = a + bx + cx^2 + dx^3 + ex^4\text{.} \end{equation*}
    Selesaikan sistem linear untuk koefisien-koefisiennya. Apa yang dapat Anda katakan tentang keberadaan dan ketunggalan polinom derajat empat yang melalui keempat titik tersebut?
    🔗
    🔗
  6. Misalkan Anda memiliki 10 titik dengan koordinat-x yang semuanya berbeda dan ingin mencari polinom yang melalui setiap titik tersebut. Berapakah derajat maksimum polinom itu agar dijamin terdapat tepat satu polinom semacam itu? Jelaskan jawaban Anda.
    🔗
    🔗
🔗
🔗
dalam konteks