Latihan 8.

Ketika \(A\) adalah matriks \(2\times2\) dengan nilai eigen kompleks \(\lambda = a+bi\text{,}\) kita telah mengatakan bahwa terdapat matriks \(P\) sedemikian sehingga \(A=PCP^{-1}\text{,}\) dengan \(C=\left[\begin{array}{rr} a \amp -b \\ b \amp a \\ \end{array}\right] \text{.}\) Dalam latihan ini, kita akan mempelajari cara mencari matriks \(P\text{.}\) Sebagai contoh, kita akan memperhatikan matriks \(A = \left[\begin{array}{rr} 2 \amp 2 \\ -1 \amp 4 \\ \end{array}\right] \text{.}\)
  1. Tunjukkan bahwa nilai-nilai eigen \(A\) kompleks.
    🔗
    🔗
  2. Pilih salah satu nilai eigen kompleks \(\lambda=a+bi\) dan bentuklah matriks yang biasa digunakan, \(C\text{.}\)
    🔗
    🔗
  3. Dengan menggunakan nilai eigen yang sama, kita akan mencari vektor eigen \(\vvec\) yang entri-entri \(\vvec\)-nya merupakan bilangan kompleks. Seperti biasa, kita akan mendeskripsikan \(\nul(A-\lambda I)\) dengan membentuk matriks \(A-\lambda I\) dan mencari bentuk eselon baris tereduksinya. Dalam proses ini, kita perlu menggunakan aritmetika kompleks.
    🔗
    🔗
  4. Sekarang kita telah memperoleh vektor eigen kompleks \(\vvec\text{.}\) Tulislah \(\vvec = \vvec_1 - i \vvec_2\) untuk menentukan vektor \(\vvec_1\) dan \(\vvec_2\) yang memiliki entri real.
    🔗
    🔗
  5. Bentuklah matriks \(P = \left[\begin{array}{rr} \vvec_1 \amp \vvec_2 \end{array}\right]\) dan verifikasikan bahwa \(A=PCP^{-1}\text{.}\)
    🔗
    🔗
🔗
🔗
dalam konteks