Contoh 3.2.9.
Misalkan kita bekerja untuk sebuah perusahaan yang mencatat pendapatan triwulanannya, dalam juta dolar, sebagai berikut:
| Triwulan | Pendapatan |
| 1 | 10.3 |
| 2 | 13.1 |
| 3 | 7.5 |
| 4 | 8.2 |
Alih-alih menggunakan tabel untuk mencatat data, kita dapat menampilkannya dalam grafik atau menuliskannya sebagai vektor di \(\real^4\text{:}\)
\begin{equation*}
\xvec=\fourvec{10.3}{13.1}{7.5}{8.2}\text{.}
\end{equation*}
Empat titik data diplot untuk merepresentasikan pendapatan perusahaan dalam empat triwulan selama satu tahun. Sumbu horizontal diberi label “Triwulan” dan menunjukkan triwulan pertama, kedua, ketiga, dan keempat. Sumbu vertikal diberi label “Pendapatan” serta memiliki posisi berlabel lima, sepuluh, dan lima belas. Titik-titik data diplot di \((1,10.3)\text{,}\) \((2,13.1)\text{,}\) \((3,7.5)\text{,}\) dan \((4,8.2)\text{.}\)
Kontrol papan ketik untuk menjelajahi diagram
Mari kita perhatikan basis baru \(\bcal\) untuk \(\real^4\) yang menggunakan vektor-vektor
\begin{equation*}
\vvec_1=\fourvec{1}{1}{1}{1},~~~
\vvec_2=\fourvec{1}{1}{-1}{-1},~~~
\vvec_3=\fourvec{1}{-1}{0}{0},~~~
\vvec_4=\fourvec{0}{0}{1}{-1}\text{.}
\end{equation*}
Kita dapat melihat elemen-elemen basis ini secara grafis, seperti pada Gambar 3.2.11
Kontrol papan ketik untuk menjelajahi diagram
Untuk mengonversi vektor pendapatan kita menjadi koordinat yang diberikan oleh \(\bcal\text{,}\) kita membentuk matriks-matriks:
\begin{equation*}
P_{\bcal} =
\left[\begin{array}{rrrr}
1 \amp 1 \amp 1 \amp 0 \\
1 \amp 1 \amp -1 \amp 0 \\
1 \amp -1 \amp 0 \amp 1 \\
1 \amp -1 \amp 0 \amp -1 \\
\end{array}\right],~~~
P_{\bcal}^{-1} =
\left[\begin{array}{rrrr}
\frac14 \amp \frac14 \amp \frac14 \amp \frac14 \\
\frac14 \amp \frac14 \amp -\frac14 \amp -\frac14 \\
\frac12 \amp -\frac12 \amp 0 \amp 0 \\
0 \amp 0 \amp \frac12 \amp -\frac12 \\
\end{array}\right].
\end{equation*}
Khususnya, jika vektor pendapatannya adalah \(\xvec =
\fourvec{x_1}{x_2}{x_3}{x_4}\text{,}\) maka
\begin{equation*}
\coords{\xvec}{\bcal} = \cfourvec
{\frac14 x_1 + \frac14 x_2 + \frac14 x_3 + \frac14 x_4}
{\frac14 x_1 + \frac14 x_2 - \frac14 x_3 - \frac14 x_4}
{\frac12 x_1 - \frac12 x_2}
{\frac12 x_3 - \frac12 x_4}.
\end{equation*}
Perhatikan bahwa komponen pertama dari \(\coords{\xvec}{\bcal}\) adalah rata-rata komponen-komponen \(\xvec\text{.}\)
Untuk vektor pendapatan khusus kita, \(\xvec =
\fourvec{10.3}{13.1}{7.5}{8.2}\text{,}\) kita memperoleh
\begin{equation*}
\coords{\xvec}{\bcal} = P_{\bcal}^{-1} \xvec =
P_{\bcal}^{-1} \fourvec{10.3}{13.1}{7.5}{8.2} =
\fourvec{9.775}{1.925}{-1.400}{-0.350}.
\end{equation*}
Artinya, vektor pendapatan kita adalah
\begin{equation*}
\xvec = 9.775 \vvec_1 + 1.925 \vvec_2 - 1.400\vvec_3 -
0.350 \vvec_4\text{.}
\end{equation*}
Kita akan menelaah arti suku-suku ini dengan menjumlahkannya satu per satu.
Suku pertama,
\begin{equation*}
9.775\vvec_1 = \fourvec{9.775}{9.775}{9.775}{9.775},
\end{equation*}
memberikan pendapatan rata-rata selama setahun.
Diagram ini memplot empat titik data pendapatan seperti sebelumnya dan menambahkan garis horizontal pada rata-rata keempat nilai pendapatan yang membentang sepanjang lebar diagram.
Pendapatan rata-rata untuk dua triwulan pertama adalah 11,7, yaitu 1,925 juta dolar di atas rata-rata tahunan. Demikian pula, pendapatan rata-rata untuk dua triwulan terakhir adalah 1,925 juta dolar di bawah rata-rata tahunan. Hal ini dicatat oleh suku kedua
\begin{equation*}
1.925\vvec_2 =
\cfourvec{1.925}{1.925}{-1.925}{-1.925}.
\end{equation*}
Keempat titik data pendapatan kembali diplot dengan garis horizontal di latar belakang yang menunjukkan nilai rata-rata. Dua ruas garis horizontal ditambahkan: ruas pertama merepresentasikan rata-rata dua triwulan pertama, sedangkan ruas kedua merepresentasikan rata-rata dua triwulan terakhir. Kedua garis horizontal baru tersebut menunjukkan perbedaan antara rata-rata pada kedua paruh tahun dan rata-rata sepanjang tahun.
Terakhir, pendapatan triwulan pertama berada 1,400 juta dolar di bawah rata-rata dua triwulan pertama, sedangkan pendapatan triwulan kedua berada 1,400 juta dolar di atas rata-rata tersebut. Hal ini, beserta data terkait untuk dua triwulan terakhir, ditangkap oleh dua suku terakhir:
\begin{equation*}
-1.400\vvec_3 - 0.350\vvec_4 = \cfourvec
{-1.400}{1.400}{-0.350}{0.350}\text{.}
\end{equation*}
Keempat titik data pendapatan diplot dengan dua garis horizontal di latar belakang yang menunjukkan rata-rata pada paruh pertama dan paruh kedua tahun.
Terdapat pula empat garis horizontal baru yang melalui setiap titik data dan menunjukkan pendapatan tiap triwulan. Hal ini memperlihatkan perbedaan antara pendapatan tiap triwulan dan pendapatan rata-rata pada paruh tahun yang bersangkutan.
Kontrol papan ketik untuk menjelajahi diagram
Jika kita menulis \(\coords{\xvec}{\bcal} =
\fourvec{c_1}{c_2}{c_3}{c_4}\text{,}\) kita melihat bahwa koefisien \(c_1\) mengukur pendapatan rata-rata selama setahun, \(c_2\) mengukur simpangan dari rata-rata tahunan pada paruh pertama dan kedua tahun, dan \(c_3\) mengukur perbedaan pendapatan triwulan pertama dan kedua dari rata-rata pada paruh pertama tahun. Dengan cara ini, koefisien-koefisien tersebut memberikan gambaran pendapatan pada berbagai skala waktu, dari ringkasan tahunan hingga gambaran perilaku triwulanan yang lebih rinci.
Basis ini kadang-kadang disebut basis wavelet Haar, dan perubahan basis tersebut dikenal sebagai transformasi wavelet Haar. Pada bagian berikutnya, kita akan melihat bagaimana basis ini menyediakan cara yang bermanfaat untuk menyimpan citra digital.