Contoh 7.4.4.
Kita akan menentukan dekomposisi nilai singular dari matriks \(A=\begin{bmatrix}
2 \amp -2 \amp 1 \\
-4 \amp -8 \amp -8 \\
\end{bmatrix}\text{.}\)
Penentuan suatu diagonalisasi ortogonal dari \(G=A^TA\) menghasilkan
\begin{equation*}
D=\begin{bmatrix}
144 \amp 0 \amp 0 \\
0 \amp 9 \amp 0 \\
0 \amp 0 \amp 0 \\
\end{bmatrix},\hspace{24pt}
Q=\begin{bmatrix}
1/3 \amp 2/3 \amp 2/3 \\
2/3 \amp -2/3 \amp 1/3 \\
2/3 \amp 1/3 \amp -2/3 \\
\end{bmatrix}\text{,}
\end{equation*}
yang menghasilkan nilai-nilai singular \(\sigma_1=\sqrt{144}=12\text{,}\) \(\sigma_2 = \sqrt{9}= 3\text{,}\) dan \(\sigma_3 = 0\text{.}\) Vektor-vektor singular kanan \(\vvec_i\) merupakan kolom-kolom \(Q\text{,}\) sehingga \(V = Q\text{.}\)
Sekarang diperoleh
\begin{align*}
A\vvec_1 = \twovec{0}{-12} = 12\uvec_1,
\hspace{24pt}
\amp
\uvec_1 = \twovec{0}{-1}\\
A\vvec_2 = \twovec{3}{0} = 3\uvec_2,
\hspace{24pt}
\amp
\uvec_2 = \twovec10\\
A\vvec_3 = \twovec{0}{0}
\end{align*}
Perhatikan bahwa vektor singular kiri ketiga tidak dapat ditentukan karena \(A\vvec_3=\zerovec\text{.}\) Oleh karena itu, kita membentuk matriks
\begin{equation*}
U = \begin{bmatrix}
0 \amp 1 \\
-1 \amp 0 \\
\end{bmatrix},\hspace{24pt}
\Sigma = \begin{bmatrix}
12 \amp 0 \amp 0 \\
0 \amp 3 \amp 0 \\
\end{bmatrix},\hspace{24pt}
V=\begin{bmatrix}
1/3 \amp 2/3 \amp 2/3 \\
2/3 \amp -2/3 \amp 1/3 \\
2/3 \amp 1/3 \amp -2/3 \\
\end{bmatrix}\text{,}
\end{equation*}
yang menghasilkan dekomposisi nilai singular \(A=U\Sigma V^T\text{.}\)
Perhatikan bahwa \(U\) merupakan matriks ortogonal \(2\times2\) karena \(A\) mempunyai dua baris, sedangkan \(V\) merupakan matriks ortogonal \(3\times3\) karena \(A\) mempunyai tiga kolom.