Contoh 2.4.2.
Sekarang perhatikan himpunan tiga vektor berikut:
\begin{equation*}
\wvec_1 = \threevec220,~~~
\wvec_2 = \threevec11{-1},~~~
\wvec_3 = \threevec{-5}{-5}{1}.
\end{equation*}
Matriks yang bersesuaian adalah
\begin{equation*}
\begin{bmatrix}\wvec_1\amp\wvec_2\amp\wvec_3\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
2 \amp 1 \amp -5 \\
2 \amp 1 \amp -5 \\
0 \amp -1 \amp 1 \\
\end{bmatrix}
\sim
\begin{bmatrix}
1 \amp 0 \amp -2 \\
0 \amp 1 \amp -1 \\
0 \amp 0 \amp 0 \\
\end{bmatrix}.
\end{equation*}
Karena baris terakhir tidak memiliki posisi pivot, kita mengetahui bahwa rentang linear vektor-vektor tersebut bukan \(\real^3\text{,}\) melainkan sebuah bidang.
Bahkan, kita dapat mengatakan lebih banyak jika sudut pandang kita sedikit diubah dan matriks ini dipandang sebagai matriks diperbesar:
\begin{equation*}
\left[
\begin{array}{rr|r}\wvec_1\amp\wvec_2\amp\wvec_3
\end{array}
\right]
=
\left[
\begin{array}{rr|r}
2 \amp 1 \amp -5 \\
2 \amp 1 \amp -5 \\
0 \amp -1 \amp 1 \\
\end{array}
\right]
\sim
\left[
\begin{array}{rr|r}
1 \amp 0 \amp -2 \\
0 \amp 1 \amp -1 \\
0 \amp 0 \amp 0 \\
\end{array}
\right].
\end{equation*}
Dengan cara ini, kita melihat bahwa \(\wvec_3 = -2\wvec_1 -
\wvec_2\text{,}\) sehingga setiap kombinasi linear dari ketiga vektor tersebut dapat dituliskan kembali sebagai berikut:
\begin{equation*}
\begin{aligned}
c_1\wvec_1 + c_2\wvec_2 + c_3\wvec_3 \amp
{}={}
c_1\wvec_1 + c_2\wvec_2 + c_3(-2\wvec_1-\wvec_2) \\
\amp {}={}
(c_1-2c_3)\wvec_1 + (c_2-c_3)\wvec_2. \\
\end{aligned}
\end{equation*}
Dengan kata lain, setiap kombinasi linear dari \(\wvec_1\text{,}\) \(\wvec_2\text{,}\) dan \(\wvec_3\) dapat dituliskan sebagai kombinasi linear yang hanya menggunakan vektor \(\wvec_1\) dan \(\wvec_2\text{.}\) Karena rentang linear suatu himpunan vektor adalah himpunan semua kombinasi linearnya, hal ini menunjukkan bahwa
\begin{equation*}
\laspan{\wvec_1,\wvec_2,\wvec_3} = \laspan{\wvec_1,\wvec_2}.
\end{equation*}
Akibatnya, penambahan vektor \(\wvec_3\) ke himpunan vektor \(\wvec_1\) dan \(\wvec_2\) tidak mengubah rentang linearnya.