Contoh 2.3.5.
Mari kita perhatikan vektor \(\vvec=\twovec20\) dan \(\wvec=\twovec{-1}1\) seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2.3.6.
Kontrol papan ketik untuk menjelajahi diagram
Dua vektor \(\vvec=\twovec20\) dan \(\wvec=\twovec{-1}1\) ditampilkan bersama sumbu-sumbu standar berlabel. Dua kumpulan garis sejajar yang ditentukan oleh vektor-vektor ini juga ditampilkan. Satu kumpulan sejajar dengan \(\vvec\) dan melalui kelipatan bilangan bulat \(\wvec\text{,}\) sedangkan kumpulan lainnya sejajar dengan \(\wvec\) dan melalui kelipatan bilangan bulat \(\vvec\text{.}\)
Gambar tersebut menunjukkan bahwa \(\bvec = \vvec + 2\wvec =
\twovec02\) merupakan kombinasi linear dari \(\vvec\) dan \(\wvec\text{.}\) Kita dapat memverifikasi hal ini secara aljabar dengan membentuk sistem linear
\begin{equation*}
\begin{bmatrix}\vvec \amp \wvec \end{bmatrix} ~
\xvec = \twovec02,
\end{equation*}
yang matriks diperbesar terkaitnya memiliki bentuk eselon baris tereduksi
\begin{equation*}
\left[
\begin{array}{rr|r}
2 \amp -1 \amp 0 \\
0 \amp 1 \amp 2 \\
\end{array}
\right]
\sim
\left[
\begin{array}{rr|r}
1 \amp 0 \amp 1 \\
0 \amp 1 \amp 2 \\
\end{array}
\right].
\end{equation*}
Karena sistem ini konsisten, kita mengetahui bahwa \(\bvec=\twovec02\) berada dalam rentang linear \(\vvec\) dan \(\wvec\text{.}\)
Bahkan, kita dapat mengatakan lebih jauh. Perhatikan bahwa matriks koefisien
\begin{equation*}
\begin{bmatrix}
2 \amp -1 \\
0 \amp 1 \\
\end{bmatrix}
\sim
\begin{bmatrix}
1 \amp 0 \\
0 \amp 1 \\
\end{bmatrix}
\end{equation*}
memiliki posisi pivot pada setiap baris. Ini berarti bahwa untuk sembarang vektor \(\bvec\) lainnya, matriks diperbesar yang bersesuaian dengan persamaan \(\begin{bmatrix}\vvec \amp \wvec \end{bmatrix}
~\xvec = \bvec\) tidak mungkin memiliki posisi pivot pada kolom paling kanannya:
\begin{equation*}
\left[
\begin{array}{rr|r}
2 \amp -1 \amp * \\
0 \amp 1 \amp * \\
\end{array}
\right]
\sim
\left[
\begin{array}{rr|r}
1 \amp 0 \amp * \\
0 \amp 1 \amp * \\
\end{array}
\right].
\end{equation*}
Oleh karena itu, persamaan \(\begin{bmatrix}\vvec \amp \wvec \end{bmatrix}
~\xvec = \bvec\) konsisten untuk setiap vektor berdimensi dua \(\bvec\text{,}\) yang memberi tahu kita bahwa setiap vektor berdimensi dua berada dalam rentang linear \(\vvec\) dan \(\wvec\text{.}\) Dalam kasus ini, kita mengatakan bahwa rentang linear \(\vvec\) dan \(\wvec\) adalah \(\real^2\text{.}\)
Secara intuitif, hal ini berarti bahwa kita dapat berjalan ke sembarang titik pada bidang dengan bergerak sejauh jarak yang sesuai dalam arah \(\vvec\) dan \(\wvec\text{.}\)