Contoh 2.3.7.
Sekarang mari kita perhatikan vektor \(\vvec=\twovec{-1}1\) dan \(\wvec=\twovec2{-2}\) seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2.3.8.
Kontrol papan ketik untuk menjelajahi diagram
Dua vektor, \(\vvec=\twovec{-1}1\) dan \(\wvec=\twovec{2}{-2}\text{,}\) ditampilkan bersama sumbu-sumbu standar berlabel. Vektor-vektor ini terletak pada sebuah garis; garis tersebut juga ditampilkan.
Dari gambar tersebut, kita menduga bahwa \(\bvec = \twovec02\) bukan kombinasi linear dari \(\vvec\) dan \(\wvec\text{.}\) Sekali lagi, kita dapat memverifikasi hal ini secara aljabar dengan membentuk sistem linear
\begin{equation*}
\begin{bmatrix}\vvec \amp \wvec \end{bmatrix} ~
\xvec = \twovec02.
\end{equation*}
Matriks diperbesarnya memiliki bentuk eselon baris tereduksi
\begin{equation*}
\left[
\begin{array}{rr|r}
-1 \amp 2 \amp 0 \\
1 \amp -2 \amp 2 \\
\end{array}
\right]
\sim
\left[
\begin{array}{rr|r}
1 \amp -2 \amp 0 \\
0 \amp 0 \amp 1 \\
\end{array}
\right],
\end{equation*}
yang menunjukkan bahwa sistem tersebut tidak konsisten. Oleh karena itu, \(\bvec=\twovec02\) tidak berada dalam rentang linear \(\vvec\) dan \(\wvec\text{.}\)
Kita dapat menduga perilaku ini dari matriks koefisien
\begin{equation*}
\begin{bmatrix}
-1 \amp 2 \\
1 \amp -2 \\
\end{bmatrix}
\sim
\begin{bmatrix}
1 \amp -2 \\
0 \amp 0 \\
\end{bmatrix}.
\end{equation*}
Karena baris kedua matriks koefisien tidak memiliki posisi pivot, suatu sistem linear \(\begin{bmatrix}\vvec \amp \wvec \end{bmatrix}
~\xvec = \bvec\) mungkin memiliki posisi pivot pada kolom paling kanannya:
\begin{equation*}
\left[
\begin{array}{rr|r}
-1 \amp 2 \amp * \\
1 \amp -2 \amp * \\
\end{array}
\right]
\sim
\left[
\begin{array}{rr|r}
1 \amp -2 \amp 0 \\
0 \amp 0 \amp 1 \\
\end{array}
\right].
\end{equation*}
Jika kita memperhatikan bahwa \(\wvec = -2\vvec\text{,}\) kita melihat bahwa sembarang kombinasi linear dari \(\vvec\) dan \(\wvec\text{,}\)
\begin{equation*}
c\vvec + d\wvec =
c\vvec -2d\vvec = (c-2d)\vvec,
\end{equation*}
sebenarnya merupakan kelipatan skalar \(\vvec\text{.}\) Oleh karena itu, rentang linear \(\vvec\) dan \(\wvec\) adalah garis yang ditentukan oleh vektor \(\vvec\text{.}\) Secara intuitif, ini berarti bahwa dengan kedua vektor tersebut kita hanya dapat berjalan ke titik-titik pada garis ini.