Contoh 6.2.5.
Misalkan \(W\) adalah subruang berdimensi \(2\) dari \(\real^5\) dengan basis
\begin{equation*}
\wvec_1=\fivevec{-1}{-2}23{-4},\hspace{24pt}
\wvec_2=\fivevec24202\text{.}
\end{equation*}
Kita akan memberikan deskripsi komplemen ortogonal \(W^\perp\text{.}\)
Jika \(\xvec\) berada di \(W^\perp\text{,}\) kita mengetahui bahwa \(\xvec\) ortogonal terhadap \(\wvec_1\) dan \(\wvec_2\text{.}\) Oleh karena itu,
\begin{align*}
\wvec_1\cdot\xvec \amp {}={}-x_1-2x_2+2x_3+3x_4-4x_5
\amp {}={} 0\\
\wvec_2\cdot\xvec \amp {}={} 2x_1+4x_2+2x_3+0x_4+2x_5
\amp {}={} 0
\end{align*}
Dengan kata lain, \(B\xvec=\zerovec\text{,}\) dengan
\begin{equation*}
B =
\begin{bmatrix}
-1 \amp -2 \amp 2 \amp 3 \amp -4 \\
2 \amp 4 \amp 2 \amp 0 \amp 2
\end{bmatrix}
\sim
\begin{bmatrix}
1 \amp 2 \amp 0 \amp -1 \amp 2 \\
0 \amp 0 \amp 1 \amp 1 \amp -1
\end{bmatrix}\text{.}
\end{equation*}
Solusinya dapat dideskripsikan secara parametrik sebagai
\begin{equation*}
\xvec=\fivevec{x_1}{x_2}{x_3}{x_4}{x_5}
=x_2\fivevec{-2}1000 + x_4\fivevec10{-1}10 +
x_5\fivevec{-2}0101\text{.}
\end{equation*}
Sifat distributif hasil kali titik menyiratkan bahwa setiap vektor yang ortogonal terhadap \(\wvec_1\) dan \(\wvec_2\) juga ortogonal terhadap setiap kombinasi linear dari \(\wvec_1\) dan \(\wvec_2\) karena
\begin{equation*}
(c_1\wvec_1 + c_2\wvec_2)\cdot\xvec = c_1\wvec_1\cdot\xvec +
c_2\wvec_2\cdot\xvec = 0\text{.}
\end{equation*}
Oleh karena itu, \(W^\perp\) adalah subruang berdimensi \(3\) dari \(\real^5\) dengan basis
\begin{equation*}
\vvec_1=\fivevec{-2}1000, \hspace{24pt}
\vvec_2=\fivevec10{-1}10, \hspace{24pt}
\vvec_3=\fivevec{-2}0101\text{.}
\end{equation*}
Dapat diperiksa bahwa vektor \(\vvec_1\text{,}\) \(\vvec_2\text{,}\) dan \(\vvec_3\) masing-masing ortogonal terhadap \(\wvec_1\) dan \(\wvec_2\text{.}\)