Contoh 6.4.4.
Kita mulai dengan basis
\begin{equation*}
\vvec_1=\threevec{2}{-1}2,\hspace{24pt}
\vvec_2=\threevec{-3}{3}0,\hspace{24pt}
\vvec_3=\threevec{-2}71\text{,}
\end{equation*}
yang merupakan basis untuk \(\real^3\text{.}\)
Sebagai langkah awal, kita tetapkan \(\wvec_1=\vvec_1=\threevec{2}{-1}2\text{.}\) Kita membentuk \(\wvec_2\) dari \(\vvec_2\) dengan mengurangkan proyeksi ortogonalnya pada \(W_1\text{,}\) yaitu garis yang ditentukan oleh \(\wvec_1\text{.}\) Hasilnya adalah
\begin{equation*}
\wvec_2 = \vvec_2 -
\frac{\vvec_2\cdot\wvec_1}{\wvec_1\cdot\wvec_1}\wvec_1 =
\vvec_2 + \wvec_1 = \threevec{-1}22\text{.}
\end{equation*}
Perhatikan bahwa kita memperoleh \(\vvec_2 = -\wvec_1 + \wvec_2\text{.}\) Oleh karena itu, kita dapat menulis ulang setiap kombinasi linear dari \(\vvec_1\) dan \(\vvec_2\) sebagai
\begin{equation*}
c_1\vvec_1 + c_2\vvec_2 = c_1\wvec_1 + c_2(-\wvec_1+\wvec_2)
= (c_1-c_2)\wvec_1 + c_2\wvec_2\text{,}
\end{equation*}
yaitu kombinasi linear dari \(\wvec_1\) dan \(\wvec_2\text{.}\) Hal ini menyatakan bahwa
\begin{equation*}
W_2 = \laspan{\wvec_1,\wvec_2} =
\laspan{\vvec_1,\vvec_2}\text{.}
\end{equation*}
Dengan kata lain, \(\wvec_1\) dan \(\wvec_2\) merupakan basis ortogonal untuk \(W_2\text{,}\) subruang berdimensi dua yang merupakan rentang dari \(\vvec_1\) dan \(\vvec_2\text{.}\)
Terakhir, kita membentuk \(\wvec_3\) dari \(\vvec_3\) dengan mengurangkan proyeksi ortogonalnya pada \(W_2\text{:}\)
\begin{equation*}
\wvec_3 = \vvec_3 -
\frac{\vvec_3\cdot\wvec_1}{\wvec_1\cdot\wvec_1}\wvec_1 -
\frac{\vvec_3\cdot\wvec_2}{\wvec_2\cdot\wvec_2}\wvec_2
= \vvec_3 + \wvec_1 - 2\wvec_2
= \threevec22{-1}\text{.}
\end{equation*}
Sekarang kita dapat memeriksa bahwa
\begin{equation*}
\wvec_1=\threevec2{-1}2,\hspace{24pt}
\wvec_2=\threevec{-1}22,\hspace{24pt}
\wvec_3=\threevec22{-1},\hspace{24pt}
\end{equation*}
merupakan himpunan ortogonal. Selain itu, seperti sebelumnya, kita memiliki \(\laspan{\wvec_1,\wvec_2,\wvec_3}
= \laspan{\vvec_1,\vvec_2,\vvec_3}\text{,}\) yang berarti bahwa kita telah menemukan basis ortogonal baru untuk \(\real^3\text{.}\)
Untuk membentuk basis ortonormal, kita membentuk vektor satuan yang sejajar dengan setiap vektor dalam basis ortogonal:
\begin{equation*}
\uvec_1 = \threevec{2/3}{-1/3}{2/3},\hspace{24pt}
\uvec_2 = \threevec{-1/3}{2/3}{2/3},\hspace{24pt}
\uvec_3 = \threevec{2/3}{2/3}{-1/3}\text{.}
\end{equation*}