Contoh 3.5.7.
Perhatikan matriks \(A\) beserta bentuk eselon baris tereduksinya:
\begin{equation*}
A =
\left[\begin{array}{rrrrr}
2 \amp 0 \amp -4 \amp -6 \amp 0 \\
-4 \amp -1 \amp 7 \amp 11 \amp 2 \\
0 \amp -1 \amp -1 \amp -1 \amp 2 \\
\end{array}\right]
\sim
\left[\begin{array}{rrrrr}
1 \amp 0 \amp -2 \amp -3 \amp 0 \\
0 \amp 1 \amp 1 \amp 1 \amp -2 \\
0 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \\
\end{array}\right],
\end{equation*}
dan notasikan kolom-kolom \(A\) sebagai \(\vvec_1,\vvec_2,\ldots,\vvec_5\text{.}\)
Berdasarkan definisi ruang kolom, tentu saja berlaku \(\col(A) =
\laspan{\vvec_1,\vvec_2,\ldots,\vvec_5}\text{.}\) Namun, bentuk eselon baris tereduksi matriks tersebut menunjukkan bahwa vektor-vektor itu tidak bebas linear, sehingga \(\vvec_1,\vvec_2,\ldots,\vvec_5\) tidak membentuk basis untuk \(\col(A)\text{.}\)
Namun, dari bentuk eselon baris tereduksi kita dapat melihat bahwa
\begin{equation*}
\begin{aligned}
\vvec_3 \amp {}={} -2\vvec_1 + \vvec_2 \\
\vvec_4 \amp {}={} -3\vvec_1 + \vvec_2 \\
\vvec_5 \amp {}={} -2\vvec_2 \\
\end{aligned}\text{.}
\end{equation*}
Ini berarti bahwa sembarang kombinasi linear dari \(\vvec_1,\vvec_2,\ldots,\vvec_5\) dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari \(\vvec_1\) dan \(\vvec_2\) saja. Oleh karena itu, kita melihat bahwa \(\col(A) = \laspan{\vvec_1,\vvec_2}\text{.}\)
Selain itu, bentuk eselon baris tereduksi menunjukkan bahwa \(\vvec_1\) dan \(\vvec_2\) bebas linear, yang menyiratkan bahwa keduanya membentuk basis untuk \(\col(A)\text{.}\) Ini berarti bahwa \(\col(A)\) merupakan subruang berdimensi 2 dari \(\real^3\text{,}\) yaitu suatu bidang dalam \(\real^3\text{,}\) dengan basis
\begin{equation*}
\threevec{2}{-4}{0},
\qquad
\threevec{0}{-1}{-1}\text{.}
\end{equation*}