Misalkan kita memiliki persamaan

yang kita tulis dalam bentuk \(A\xvec = \bvec\text{.}\) Kita mulai dengan menerapkan algoritma eliminasi Gauss untuk menentukan faktorisasi \(LU\) dari \(A\text{.}\)

Langkah pertama adalah mengalikan baris pertama \(A\) dengan \(2\) dan menambahkannya ke baris kedua. Matriks elementer

melakukan operasi ini sehingga \(E_1A = \begin{bmatrix} 2 \amp -3 \amp 1 \\ 0 \amp -1 \amp 2 \\ 2 \amp -2 \amp 2 \end{bmatrix} \text{.}\)

Selanjutnya, kita menerapkan matriks

untuk memperoleh matriks segitiga atas \(U = E_3E_2E_1 A = \begin{bmatrix} 2 \amp -3 \amp 1 \\ 0 \amp -1 \amp 2 \\ 0 \amp 0 \amp 3 \end{bmatrix} \text{.}\)

Kita dapat menuliskan \(U = (E_3E_2E_1)A\text{,}\) yang menunjukkan bahwa

Dengan kata lain, kita memperoleh

Perhatikan bahwa matriks \(L\) segitiga bawah. Hal ini merupakan akibat dari fakta bahwa matriks elementer \(E_1\text{,}\) \(E_2\text{,}\) dan \(E_3\) juga segitiga bawah.

Setelah memfaktorkan \(A=LU\) menjadi dua matriks segitiga, kita dapat menyelesaikan persamaan \(A\xvec = \bvec\) dengan menyelesaikan dua sistem segitiga. Kita menuliskan

dan mendefinisikan vektor tak diketahui \(\cvec = U\xvec\text{,}\) yang ditentukan oleh persamaan \(L\cvec = \bvec\text{.}\) Karena \(L\) segitiga bawah, kita menentukan solusinya dengan substitusi maju, \(\cvec = \threevec833\text{.}\) Terakhir, kita menentukan \(\xvec\text{,}\) yaitu solusi sistem semula \(A\xvec = \bvec\text{,}\) dengan menerapkan substitusi mundur untuk menyelesaikan \(U\xvec = \cvec\text{.}\) Hal ini menghasilkan \(\xvec = \threevec2{-1}1\text{.}\)