Latihan 8.

Sebelumnya telah dilihat bahwa rotasi pada bidang sebesar sudut \(\theta\) diberikan oleh matriks:
\begin{equation*} \left[\begin{array}{rr} \cos\theta \amp -\sin\theta \\ \sin\theta \amp \cos\theta \\ \end{array}\right]\text{.} \end{equation*}
Akan dicari bentuk serupa bagi matriks yang merepresentasikan pencerminan \(P_\theta\) terhadap \(L_\theta\text{,}\) yaitu garis yang melalui titik asal dan membentuk sudut \(\theta\) terhadap bagian positif sumbu \(x\text{,}\) seperti diperlihatkan dalam Gambar 2.6.23.
🔗
Kontrol papan ketik untuk menjelajahi diagram
Tombol Tindakan
Enter, A Aktifkan penjelajahan dengan papan ketik
B Aktifkan penjelajahan dengan menu
Escape Keluar dari mode penjelajahan
Panah bawah Jelajahi tingkat berikutnya di bawah
Panah atas Jelajahi tingkat berikutnya di atas
Panah kanan Jelajahi elemen berikutnya pada tingkat ini
Panah kiri Jelajahi elemen sebelumnya pada tingkat ini
X Aktifkan atau nonaktifkan mode ahli
W Tampilkan rincian tambahan jika tersedia
Spasi Ulangi keluaran suara
M Aktifkan pembesaran bertahap
Koma Aktifkan pembesaran langsung
N Nonaktifkan pembesaran
Z Tampilkan atau sembunyikan subtitel
C Gilir pengaturan kontras
T Gunakan warna monokrom
L Ganti bahasa jika tersedia
K Hentikan suara saat ini
Y Hentikan keluaran suara
O Mulai atau hentikan sonifikasi
P Ulangi keluaran sonifikasi
Garis \(L_\theta\) membentuk sudut \(\theta\) terhadap sumbu horizontal positif, dan ditampilkan bersama vektor \(\xvec\text{.}\) Hasil pencerminan \(\xvec\) terhadap garis \(L_\theta\) ditampilkan dan dinyatakan dengan \(P_\theta(\xvec)\text{.}\)
🔗
Gambar 2.6.23. Pencerminan terhadap garis \(L_\theta\text{.}\)
🔗
  1. Perhatikan bahwa pencerminan ini dapat diperoleh dengan mengomposisikan tiga transformasi terpisah seperti diperlihatkan dalam Gambar 2.6.24. Dimulai dengan vektor \(\xvec\text{,}\) transformasi \(R\) diterapkan untuk merotasikannya sebesar \(-\theta\) sehingga diperoleh \(R(\xvec)\text{.}\) Selanjutnya diterapkan \(S\text{,}\) yaitu pencerminan terhadap sumbu horizontal, diikuti oleh \(T\text{,}\) yaitu rotasi sebesar \(\theta\text{.}\) Terlihat bahwa \(T(S(R(\xvec)))=P_\theta(\xvec)\) merupakan hasil pencerminan \(\xvec\) terhadap garis semula \(L_\theta\text{.}\)
    🔗
    Sebuah garis yang membentuk sudut \(\theta\) terhadap sumbu horizontal positif serta sebuah vektor \(\xvec\text{.}\)
    🔗
    Garis telah dirotasikan searah jarum jam sehingga terletak pada sumbu horizontal. Vektor hasil rotasi dinyatakan dengan \(R(\xvec)\text{.}\)
    🔗
    Hasil pencerminan \(R(\xvec)\) terhadap sumbu horizontal adalah \(S(R(\xvec))\text{.}\)
    🔗
    Terakhir, garis dan vektor dirotasikan berlawanan arah jarum jam sebesar \(\theta\) sehingga diperoleh vektor \(P_\theta(\xvec)=T(S(R(\xvec)))\text{.}\)
    🔗
    Kontrol papan ketik untuk menjelajahi diagram
    Tombol Tindakan
    Enter, A Aktifkan penjelajahan dengan papan ketik
    B Aktifkan penjelajahan dengan menu
    Escape Keluar dari mode penjelajahan
    Panah bawah Jelajahi tingkat berikutnya di bawah
    Panah atas Jelajahi tingkat berikutnya di atas
    Panah kanan Jelajahi elemen berikutnya pada tingkat ini
    Panah kiri Jelajahi elemen sebelumnya pada tingkat ini
    X Aktifkan atau nonaktifkan mode ahli
    W Tampilkan rincian tambahan jika tersedia
    Spasi Ulangi keluaran suara
    M Aktifkan pembesaran bertahap
    Koma Aktifkan pembesaran langsung
    N Nonaktifkan pembesaran
    Z Tampilkan atau sembunyikan subtitel
    C Gilir pengaturan kontras
    T Gunakan warna monokrom
    L Ganti bahasa jika tersedia
    K Hentikan suara saat ini
    Y Hentikan keluaran suara
    O Mulai atau hentikan sonifikasi
    P Ulangi keluaran sonifikasi
    Gambar 2.6.24. Pencerminan terhadap garis \(L_\theta\) sebagai komposisi tiga transformasi.
    🔗
    Dengan menggunakan dekomposisi ini, tunjukkan bahwa pencerminan terhadap garis \(L_\theta\) dinyatakan oleh matriks
    \begin{equation*} \left[\begin{array}{rr} \cos(2\theta) \amp \sin(2\theta) \\ \sin(2\theta) \amp -\cos(2\theta) \\ \end{array}\right]\text{.} \end{equation*}
    Gunakan identitas trigonometri berikut:
    \begin{equation*} \begin{aligned} \cos(2\theta) \amp {}={} \cos^2\theta - \sin^2\theta \\ \sin(2\theta) \amp {}={} 2\sin\theta\cos\theta \\ \end{aligned}\text{.} \end{equation*}
    🔗
    🔗
  2. Setelah diperoleh matriks yang menyatakan pencerminan terhadap garis \(L_\theta\text{,}\) tunjukkan bahwa komposisi pencerminan terhadap sumbu horizontal yang diikuti oleh pencerminan terhadap \(L_\theta\) merupakan rotasi berlawanan arah jarum jam sebesar sudut \(2\theta\text{.}\) Beberapa contohnya telah dilihat sebelumnya dalam Latihan 2.6.5.2.
    🔗
    🔗
🔗
🔗
dalam konteks