Kegiatan 2.3.3.

Dalam aktivitas ini, kita akan menelaah rentang linear berbagai himpunan vektor dalam \(\real^3\text{.}\)
  1. Misalkan \(\vvec=\threevec{1}{2}{1}\text{.}\) Berikan deskripsi geometris \(\laspan{\vvec}\) dan buatlah sketsa kasar \(\vvec\) beserta rentang linearnya pada Gambar 2.3.10.
    🔗
    Kontrol papan ketik untuk menjelajahi diagram
    Tombol Tindakan
    Enter, A Aktifkan penjelajahan dengan papan ketik
    B Aktifkan penjelajahan dengan menu
    Escape Keluar dari mode penjelajahan
    Panah bawah Jelajahi tingkat berikutnya di bawah
    Panah atas Jelajahi tingkat berikutnya di atas
    Panah kanan Jelajahi elemen berikutnya pada tingkat ini
    Panah kiri Jelajahi elemen sebelumnya pada tingkat ini
    X Aktifkan atau nonaktifkan mode ahli
    W Tampilkan rincian tambahan jika tersedia
    Spasi Ulangi keluaran suara
    M Aktifkan pembesaran bertahap
    Koma Aktifkan pembesaran langsung
    N Nonaktifkan pembesaran
    Z Tampilkan atau sembunyikan subtitel
    C Gilir pengaturan kontras
    T Gunakan warna monokrom
    L Ganti bahasa jika tersedia
    K Hentikan suara saat ini
    Y Hentikan keluaran suara
    O Mulai atau hentikan sonifikasi
    P Ulangi keluaran sonifikasi
    Sumbu-sumbu koordinat berdimensi tiga standar yang diberi label \(x\text{,}\) \(y\text{,}\) dan \(z\text{.}\)
    🔗
    Gambar 2.3.10. Sistem koordinat berdimensi tiga untuk membuat sketsa \(\vvec\) dan rentang linearnya.
    🔗
    🔗
  2. Sekarang perhatikan kedua vektor
    \begin{equation*} \evec_1 = \threevec{1}{0}{0},~~~ \evec_2 = \threevec{0}{1}{0}\text{.} \end{equation*}
    Buatlah sketsa vektor-vektor tersebut di bawah ini. Kemudian berikan deskripsi geometris \(\laspan{\evec_1,\evec_2}\) dan buatlah sketsa kasar rentang linearnya pada Gambar 2.3.11.
    🔗
    Kontrol papan ketik untuk menjelajahi diagram
    Tombol Tindakan
    Enter, A Aktifkan penjelajahan dengan papan ketik
    B Aktifkan penjelajahan dengan menu
    Escape Keluar dari mode penjelajahan
    Panah bawah Jelajahi tingkat berikutnya di bawah
    Panah atas Jelajahi tingkat berikutnya di atas
    Panah kanan Jelajahi elemen berikutnya pada tingkat ini
    Panah kiri Jelajahi elemen sebelumnya pada tingkat ini
    X Aktifkan atau nonaktifkan mode ahli
    W Tampilkan rincian tambahan jika tersedia
    Spasi Ulangi keluaran suara
    M Aktifkan pembesaran bertahap
    Koma Aktifkan pembesaran langsung
    N Nonaktifkan pembesaran
    Z Tampilkan atau sembunyikan subtitel
    C Gilir pengaturan kontras
    T Gunakan warna monokrom
    L Ganti bahasa jika tersedia
    K Hentikan suara saat ini
    Y Hentikan keluaran suara
    O Mulai atau hentikan sonifikasi
    P Ulangi keluaran sonifikasi
    Sumbu-sumbu koordinat berdimensi tiga standar yang diberi label \(x\text{,}\) \(y\text{,}\) dan \(z\text{.}\)
    🔗
    Gambar 2.3.11. Sistem koordinat untuk membuat sketsa \(\evec_1\text{,}\) \(\evec_2\text{,}\) dan \(\laspan{\evec_1,\evec_2}\text{.}\)
    🔗
    🔗
  3. Sekarang mari kita telaah situasi ini secara aljabar dengan menuliskan \(\bvec = \threevec{b_1}{b_2}{b_3}\text{.}\) Tentukan syarat-syarat bagi \(b_1\text{,}\) \(b_2\text{,}\) dan \(b_3\) agar \(\bvec\) berada dalam \(\laspan{\evec_1,\evec_2}\) dengan memperhatikan sistem linear
    \begin{equation*} \left[\begin{array}{rr} \evec_1 \amp \evec_2 \\ \end{array}\right] ~\xvec = \bvec \end{equation*}
    atau
    \begin{equation*} \left[\begin{array}{rr} 1 \amp 0 \\ 0 \amp 1 \\ 0 \amp 0 \\ \end{array}\right] \xvec = \threevec{b_1}{b_2}{b_3}\text{.} \end{equation*}
    Jelaskan hubungan hasil ini dengan sketsa \(\laspan{\evec_1,\evec_2}\) Anda.
    🔗
    🔗
  4. Perhatikan vektor-vektor
    \begin{equation*} \vvec_1 = \threevec{1}{1}{-1},~~ \vvec_2 = \threevec{0}{2}{1}. \end{equation*}
    1. Apakah vektor \(\bvec=\threevec{1}{-2}{4}\) berada dalam \(\laspan{\vvec_1,\vvec_2}\text{?}\)
      🔗
      🔗
    2. Apakah vektor \(\bvec=\threevec{-2}{0}{3}\) berada dalam \(\laspan{\vvec_1,\vvec_2}\text{?}\)
      🔗
      🔗
    3. Berikan deskripsi geometris \(\laspan{\vvec_1,\vvec_2}\text{.}\)
      🔗
      🔗
    🔗
    🔗
  5. Perhatikan vektor-vektor
    \begin{equation*} \vvec_1 = \threevec{1}{1}{-1}, \vvec_2 = \threevec{0}{2}{1}, \vvec_3 = \threevec{1}{-2}{4}\text{.} \end{equation*}
    Bentuklah matriks \(\left[\begin{array}{rrrr} \vvec_1 \amp \vvec_2 \amp \vvec_3 \end{array}\right]\) dan tentukan bentuk eselon baris tereduksinya.
    🔗
    Apa yang disampaikan hasil ini mengenai \(\laspan{\vvec_1,\vvec_2,\vvec_3}\text{?}\)
    🔗
    🔗
  6. Jika rentang linear suatu himpunan vektor \(\vvec_1,\vvec_2,\ldots,\vvec_n\) adalah \(\real^3\text{,}\) apa yang dapat Anda katakan tentang posisi-posisi pivot matriks \(\left[\begin{array}{rrrr} \vvec_1\amp\vvec_2\amp\ldots\amp\vvec_n \end{array}\right]\text{?}\)
    🔗
    🔗
  7. Berapa jumlah minimum vektor sedemikian sehingga \(\laspan{\vvec_1,\vvec_2,\ldots,\vvec_n} = \real^3\text{?}\)
    🔗
    🔗
🔗
🔗
dalam konteks