Kegiatan 2.5.3.

Mari kita lihat beberapa contoh dan terapkan pengamatan-pengamatan ini.
  1. Sebagai permulaan, misalkan \(T\) adalah transformasi matriks yang menerima vektor berdimensi dua \(\xvec\) sebagai masukan dan menghasilkan \(T(\xvec)\text{,}\) yaitu vektor berdimensi dua yang diperoleh dengan memutar \(\xvec\) sebesar \(90^\circ\) berlawanan arah jarum jam, seperti ditunjukkan dalam Gambar 2.5.7.
    🔗
    Vektor basis standar berdimensi dua \(\evec_1=\twovec10\) dan \(\evec_2=\twovec01\text{,}\) bersama vektor ketiga \(\vvec=\twovec{-2}{-1}=-2\evec_1 - \evec_2\text{.}\)
    🔗
    Ketiga vektor \(\evec_1\text{,}\) \(\evec_2\text{,}\) dan \(\vvec\) dari diagram sebelumnya telah diputar sebesar \(90^\circ\) berlawanan arah jarum jam oleh transformasi matriks \(T\text{.}\) Vektor \(T(\evec_1)\) mengarah ke atas sepanjang sumbu vertikal positif, sedangkan \(T(\evec_2)\) mengarah mendatar ke kiri. Vektor \(\vvec=\twovec{-2}{-1}\) juga telah diputar menjadi \(T(\vvec)\text{,}\) yang menunjukkan bahwa
    \begin{equation*} T(\vvec) = T(-2\evec_1-\evec_2) = -2T(\evec_1)-T(\evec_2)\text{.} \end{equation*}
    🔗
    Kontrol papan ketik untuk menjelajahi diagram
    Tombol Tindakan
    Enter, A Aktifkan penjelajahan dengan papan ketik
    B Aktifkan penjelajahan dengan menu
    Escape Keluar dari mode penjelajahan
    Panah bawah Jelajahi tingkat berikutnya di bawah
    Panah atas Jelajahi tingkat berikutnya di atas
    Panah kanan Jelajahi elemen berikutnya pada tingkat ini
    Panah kiri Jelajahi elemen sebelumnya pada tingkat ini
    X Aktifkan atau nonaktifkan mode ahli
    W Tampilkan rincian tambahan jika tersedia
    Spasi Ulangi keluaran suara
    M Aktifkan pembesaran bertahap
    Koma Aktifkan pembesaran langsung
    N Nonaktifkan pembesaran
    Z Tampilkan atau sembunyikan subtitel
    C Gilir pengaturan kontras
    T Gunakan warna monokrom
    L Ganti bahasa jika tersedia
    K Hentikan suara saat ini
    Y Hentikan keluaran suara
    O Mulai atau hentikan sonifikasi
    P Ulangi keluaran sonifikasi
    Gambar 2.5.7. Transformasi matriks \(T\) menerima vektor berdimensi dua di sebelah kiri dan memutarnya sebesar \(90^\circ\) berlawanan arah jarum jam menjadi vektor di sebelah kanan.
    🔗
    Dalam bagian berikutnya, kita akan melihat bahwa banyak operasi geometris seperti ini dapat dilakukan oleh transformasi matriks.
    1. Jika kita menuliskan \(T:\real^n\to\real^m\text{,}\) berapakah nilai \(m\) dan \(n\text{,}\) serta berapakah ukuran matriks terkait \(A\text{?}\)
      🔗
      🔗
    2. Tentukan matriks \(A\) dengan menerapkan Proposisi 2.5.6.
      🔗
      🔗
    3. Jika \(\vvec=\twovec{-2}{-1}\) seperti ditunjukkan di sebelah kiri dalam Gambar 2.5.7, gunakan matriks Anda untuk menentukan \(T(\vvec)\) dan pastikan bahwa hasilnya sesuai dengan yang ditunjukkan di sebelah kanan dalam Gambar 2.5.7.
      🔗
      🔗
    4. Jika \(\xvec=\twovec xy\text{,}\) tentukan vektor \(T(\xvec)\) yang diperoleh dengan memutar \(\xvec\) sebesar \(90^\circ\) berlawanan arah jarum jam.
      🔗
      🔗
    🔗
    🔗
  2. Misalkan kita bekerja untuk perusahaan yang membuat produk panggang, termasuk kue, donat, dan eclair. Perusahaan tersebut mengoperasikan dua toko roti, Toko Roti 1 dan Toko Roti 2. Dalam satu jam operasi,
    • Toko Roti 1 menghasilkan 10 kue, 50 donat, dan 30 eclair.
      🔗
      🔗
    • Toko Roti 2 menghasilkan 20 kue, 30 donat, dan 30 eclair.
      🔗
      🔗
    Jika Toko Roti 1 beroperasi selama \(x_1\) jam dan Toko Roti 2 selama \(x_2\) jam, kita akan menggunakan vektor \(\xvec=\twovec{x_1}{x_2}\) untuk mendeskripsikan operasi kedua toko roti tersebut.
    🔗
    Kita ingin mendeskripsikan transformasi matriks \(T\text{,}\) dengan \(\xvec\) menyatakan jumlah jam operasi kedua toko roti dan \(T(\xvec)\) menyatakan jumlah keseluruhan kue, donat, serta eclair yang dihasilkan. Artinya, \(T(\xvec) = \threevec{y_1}{y_2}{y_3}\text{,}\) dengan \(y_1\) menyatakan jumlah kue, \(y_2\) jumlah donat, dan \(y_3\) jumlah eclair yang dihasilkan.
    1. Jika \(T:\real^n\to\real^m\text{,}\) berapakah nilai \(m\) dan \(n\text{,}\) serta berapakah ukuran matriks terkait \(A\text{?}\)
      🔗
      🔗
    2. Kita dapat menentukan matriks \(A\) menggunakan Proposisi 2.5.6. Sebagai contoh, \(T\left(\twovec10\right)\) akan mendeskripsikan jumlah kue, donat, dan eclair yang dihasilkan ketika Toko Roti 1 beroperasi selama satu jam dan Toko Roti 2 tidak beroperasi. Tentukan vektor ini.
      🔗
      🔗
    3. Dengan cara yang sama, tentukan \(T\left(\twovec01\right)\text{.}\) Tentukan matriks \(A\text{.}\)
      🔗
      🔗
    4. Jika Toko Roti 1 beroperasi selama 120 jam dan Toko Roti 2 selama 180 jam, berapakah jumlah keseluruhan kue, donat, dan eclair yang dihasilkan?
      🔗
      🔗
    5. Misalkan dalam suatu periode waktu perusahaan menghasilkan 5060 kue, 14310 donat, dan 10470 eclair. Berapa lama setiap toko roti beroperasi?
      🔗
      🔗
    6. Misalkan perusahaan menerima pesanan untuk sejumlah kue, donat, dan eclair tertentu. Dapatkah Anda menjamin bahwa pesanan tersebut dapat dipenuhi tanpa menyisakan produk?
      🔗
      🔗
    🔗
    🔗
🔗
🔗
dalam konteks