Kegiatan 6.4.2.

Misalkan \(W\) adalah subruang berdimensi tiga dari \(\real^4\) dengan basis:
\begin{equation*} \vvec_1 = \fourvec1111,\hspace{24pt} \vvec_2 = \fourvec1322,\hspace{24pt} \vvec_3 = \fourvec1{-3}{-3}{-3}\text{.} \end{equation*}
Kita dapat melihat bahwa basis ini tidak ortogonal dengan memperhatikan bahwa \(\vvec_1\cdot\vvec_2 = 8\text{.}\) Tujuan kita adalah membentuk basis ortogonal \(\wvec_1\text{,}\) \(\wvec_2\text{,}\) dan \(\wvec_3\) untuk \(W\text{.}\)
🔗
Sebagai langkah awal, kita tetapkan \(\wvec_1=\vvec_1\text{,}\) dan kita sebut \(W_1\) sebagai garis yang ditentukan oleh \(\wvec_1\text{.}\)
🔗
  1. Tentukan vektor \(\vhat_2\) yang merupakan proyeksi ortogonal \(\vvec_2\) pada \(W_1\text{,}\) yaitu garis yang didefinisikan oleh \(\wvec_1\text{.}\)
    🔗
    🔗
  2. Bentuk vektor \(\wvec_2 = \vvec_2-\vhat_2\) dan verifikasi bahwa vektor tersebut ortogonal terhadap \(\wvec_1\text{.}\)
    🔗
    🔗
  3. Jelaskan mengapa \(\laspan{\wvec_1,\wvec_2} = \laspan{\vvec_1,\vvec_2}\) dengan menunjukkan bahwa setiap kombinasi linear dari \(\vvec_1\) dan \(\vvec_2\) dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari \(\wvec_1\) dan \(\wvec_2\text{,}\) dan sebaliknya.
    🔗
    🔗
  4. Vektor \(\wvec_1\) dan \(\wvec_2\) merupakan basis ortogonal bagi subruang berdimensi dua \(W_2\) dari \(\real^4\text{.}\) Tentukan vektor \(\vhat_3\) yang merupakan proyeksi ortogonal \(\vvec_3\) pada \(W_2\text{.}\)
    🔗
    🔗
  5. Verifikasi bahwa \(\wvec_3 = \vvec_3-\vhat_3\) ortogonal terhadap \(\wvec_1\) maupun \(\wvec_2\text{.}\)
    🔗
    🔗
  6. Jelaskan mengapa \(\wvec_1\text{,}\) \(\wvec_2\text{,}\) dan \(\wvec_3\) membentuk basis ortogonal untuk \(W\text{.}\)
    🔗
    🔗
  7. Sekarang tentukan sebuah basis ortonormal untuk \(W\text{.}\)
    🔗
    🔗
🔗
🔗
dalam konteks