Kegiatan 4.1.3.

Mari kita perhatikan sebuah contoh yang menggambarkan cara memanfaatkan gagasan-gagasan ini.
🔗
Misalkan kita bekerja pada perusahaan penyewaan mobil yang memiliki dua lokasi, \(P\) dan \(Q\text{.}\) Ketika pelanggan menyewa mobil di salah satu lokasi, pada akhir hari pelanggan dapat mengembalikannya ke salah satu dari kedua lokasi tersebut. Setelah melakukan riset pasar, kita memperoleh informasi berikut:
  1. Misalkan pada Senin pagi terdapat 1000 mobil di lokasi \(P\) dan tidak ada mobil di lokasi \(Q\text{.}\) Berapa banyak mobil yang berada di lokasi \(P\) dan \(Q\) pada akhir hari Senin?
    🔗
    🔗
  2. Berapa banyak mobil yang berada di lokasi \(P\) dan \(Q\) pada akhir hari Selasa?
    🔗
    🔗
  3. Jika \(P_k\) dan \(Q_k\) masing-masing menyatakan banyak mobil di lokasi \(P\) dan \(Q\) pada akhir hari \(k\text{,}\) maka
    \begin{equation*} \begin{aligned} P_{k+1}\amp {}={} 0.8P_k + 0.6Q_k \\ Q_{k+1}\amp {}={} 0.2P_k + 0.4Q_k\text{.} \\ \end{aligned} \end{equation*}
    Kita dapat menggunakan vektor \(\xvec_k = \twovec{P_k}{Q_k}\) untuk menyatakan banyak mobil di kedua lokasi pada akhir hari \(k\text{.}\) Dengan demikian,
    \begin{equation*} \xvec_{k+1} = \left[\begin{array}{rr} 0.8 \amp 0.6 \\ 0.2 \amp 0.4 \\ \end{array}\right] \xvec_k \end{equation*}
    atau \(\xvec_{k+1} = A\xvec_k\text{,}\) dengan \(A=\left[\begin{array}{rr}0.8 \amp 0.6 \\ 0.2 \amp 0.4 \end{array}\right]\text{.}\)
    🔗
    Misalkan
    \begin{equation*} \vvec_1 = \twovec{3}{1}, \qquad \vvec_2 = \twovec{-1}{1}\text{.} \end{equation*}
    Hitung \(A\vvec_1\) dan \(A\vvec_2\) untuk menunjukkan bahwa \(\vvec_1\) dan \(\vvec_2\) merupakan vektor eigen dari \(A\text{.}\) Berapakah nilai eigen terkait \(\lambda_1\) dan \(\lambda_2\text{?}\)
    🔗
    🔗
  4. Kita telah menyatakan bahwa pada awalnya terdapat 1000 mobil di lokasi \(P\) dan tidak ada mobil di lokasi \(Q\text{.}\) Artinya, vektor awal yang menyatakan banyak mobil adalah \(\xvec_0 = \ctwovec{1000}{0}\text{.}\) Nyatakan \(\xvec_0\) sebagai kombinasi linear dari \(\vvec_1\) dan \(\vvec_2\text{.}\)
    🔗
    🔗
  5. Ingat bahwa \(\vvec_1\) dan \(\vvec_2\) merupakan vektor eigen dari \(A\text{.}\) Gunakan linearitas perkalian matriks untuk menuliskan vektor \(\xvec_1 = A\xvec_0\text{,}\) yang menyatakan banyak mobil di kedua lokasi pada akhir hari pertama, sebagai kombinasi linear dari \(\vvec_1\) dan \(\vvec_2\text{.}\)
    🔗
    🔗
  6. Nyatakan vektor \(\xvec_2 = A\xvec_1\) sebagai kombinasi linear dari \(\vvec_1\) dan \(\vvec_2\text{.}\) Selanjutnya, nyatakan beberapa vektor berikut sebagai kombinasi linear dari \(\vvec_1\) dan \(\vvec_2\text{:}\)
    1. \(\xvec_3 = A\xvec_2\text{.}\)
      🔗
      🔗
    2. \(\xvec_4 = A\xvec_3\text{.}\)
      🔗
      🔗
    3. \(\xvec_5 = A\xvec_4\text{.}\)
      🔗
      🔗
    4. \(\xvec_6 = A\xvec_5\text{.}\)
      🔗
      🔗
    🔗
    🔗
  7. Apa yang akan terjadi pada banyak mobil di kedua lokasi setelah waktu yang sangat lama? Jelaskan bagaimana penulisan \(\xvec_0\) sebagai kombinasi linear vektor-vektor eigen membantu Anda menentukan perilaku jangka panjangnya.
    🔗
    🔗
🔗
🔗
dalam konteks