Kegiatan 4.1.2.

Definisi ini memiliki interpretasi geometris penting yang akan kita selidiki di sini.
  1. Misalkan \(\vvec\) adalah vektor tak nol dan \(\lambda\) adalah skalar. Bagaimana hubungan geometris antara \(\vvec\) dan \(\lambda\vvec\text{?}\)
    🔗
    🔗
  2. Sekarang perhatikan syarat vektor eigen: \(A\vvec = \lambda\vvec\text{.}\) Di sini terdapat dua vektor, \(\vvec\) dan \(A\vvec\text{.}\) Jika \(A\vvec = \lambda\vvec\text{,}\) bagaimana hubungan geometris antara \(\vvec\) dan \(A\vvec\text{?}\)
    🔗
    🔗
  3. Diagram interaktif yang memungkinkan pembaca memilih matriks \(2\times2\) \(A\) menggunakan empat penggeser yang tersusun sebagai larik \(2\times2\) di bagian atas. Di bawahnya terdapat kisi koordinat standar \(1\times1\text{,}\) sumbu koordinat, dan vektor \(\vvec\) yang dapat dipindahkan dengan mengeklik lalu menyeretnya. Vektor \(A\vvec\) juga diperlihatkan.
    🔗
    Petunjuk.
    Penggeser dalam diagram di bawah ini memungkinkan Anda memilih matriks \(A = \begin{bmatrix} a \amp b \\ c \amp d \end{bmatrix}\text{.}\) Vektor \(\vvec\) yang berwarna merah dapat dipindahkan dengan mengeklik kepala vektor. Vektor \(A\vvec\) kemudian diperlihatkan sebagai garis luar.
    🔗
    🔗
    Gambar 4.1.3. Interpretasi geometris syarat nilai eigen-vektor eigen \(A\vvec = \lambda\vvec\text{.}\)
    🔗
    Pilih matriks \(A= \left[\begin{array}{rr} 1\amp 2 \\ 2\amp 1 \\ \end{array}\right] \text{.}\) Pindahkan vektor \(\vvec\) sehingga syarat vektor eigen terpenuhi. Tentukan vektor eigen \(\vvec\) dan nilai eigen yang berkaitan dengannya.
    🔗
    🔗
  4. Dengan menghitung \(A\vvec\) secara aljabar, verifikasi bahwa vektor \(\vvec\) yang Anda temukan memenuhi syarat vektor eigen.
    🔗
    🔗
  5. Jika vektor eigen \(\vvec\) yang Anda temukan dikalikan dengan \(2\text{,}\) apakah hasilnya masih merupakan vektor eigen? Jika ya, berapakah nilai eigen yang berkaitan dengannya?
    🔗
    🔗
  6. Dapatkah Anda menemukan vektor eigen lain \(\vvec\) yang bukan kelipatan skalar dari vektor pertama yang Anda temukan? Jika ya, tentukan vektor eigen tersebut dan nilai eigen yang berkaitan dengannya.
    🔗
    🔗
  7. Sekarang perhatikan matriks \(A = \left[\begin{array}{rr} 2 \amp 1 \\ 0 \amp 2 \\ \end{array}\right] \text{.}\) Gunakan diagram tersebut untuk mendeskripsikan semua vektor eigen beserta nilai eigen yang berkaitan dengannya.
    🔗
    🔗
  8. Terakhir, perhatikan matriks \(A = \left[\begin{array}{rr} 0 \amp -1 \\ 1 \amp 0 \\ \end{array}\right] \text{.}\) Gunakan diagram tersebut untuk mendeskripsikan semua vektor eigen beserta nilai eigen yang berkaitan dengannya. Transformasi geometris apa yang dilakukan matriks ini terhadap vektor? Bagaimana hal itu menjelaskan ada atau tidaknya vektor eigen?
    🔗
    🔗
🔗
🔗
dalam konteks