Kegiatan 6.5.4.

  1. Misalkan kita ingin menentukan solusi hampiran kuadrat terkecil bagi persamaan \(A\xvec = \bvec\) dan mempunyai faktorisasi \(QR\text{,}\) yaitu \(A=QR\text{.}\) Jelaskan mengapa solusi hampiran kuadrat terkecil diberikan dengan menyelesaikan
    \begin{align*} A\xhat \amp = QQ^T\bvec \\\\ QR\xhat \amp = QQ^T\bvec \\ \end{align*}
    🔗
    🔗
  2. Kalikan kedua ruas persamaan kedua dengan \(Q^T\text{,}\) lalu jelaskan mengapa
    \begin{equation*} R\xhat = Q^T\bvec. \end{equation*}
    🔗
    Karena \(R\) berbentuk segitiga atas, persamaan ini relatif mudah diselesaikan dengan substitusi mundur, seperti yang kita lihat dalam Subbab 5.1. Oleh karena itu, kita menulis solusi hampiran kuadrat terkecil sebagai
    \begin{equation*} \xhat = R^{-1}Q^T\bvec, \end{equation*}
    dan menerapkannya dalam konteks berikut.
    🔗
    🔗
  3. Rumus Brozak, yang digunakan untuk menghitung indeks lemak tubuh seseorang \(BFI\text{,}\) adalah
    \begin{equation*} BFI = 100 \left(\frac{4.57}{\rho} - 4.142\right) \end{equation*}
    dengan \(\rho\) menyatakan kerapatan tubuh seseorang dalam gram per sentimeter kubik. Namun, memperoleh pengukuran \(\rho\) yang akurat sulit karena orang tersebut harus dibenamkan ke dalam air dan volume air yang dipindahkan harus diukur. Sebagai gantinya, kita akan mengumpulkan beberapa ukuran tubuh lain yang lebih mudah diperoleh dan menggunakannya untuk memprediksi \(BFI\text{.}\)
    🔗
    Sebagai contoh, misalkan kita mengambil 10 pasien dan mengukur berat badan \(w\) dalam pon, tinggi badan \(h\) dalam inci, lingkar perut \(a\) dalam sentimeter, lingkar pergelangan tangan \(r\) dalam sentimeter, lingkar leher \(n\) dalam sentimeter, dan \(BFI\text{.}\) Evaluasi sel berikut akan memuat dan menampilkan data.
    🔗
    Selain itu, sel tersebut menyediakan:
    1. vektor weight, height, abdomen, wrist, neck, dan BFI yang dibentuk dari kolom-kolom himpunan data.
      🔗
      🔗
    2. perintah onesvec(n), yang mengembalikan vektor berdimensi \(n\) dengan semua entrinya bernilai satu.
      🔗
      🔗
    3. perintah QR(A), yang mengembalikan faktorisasi \(QR\) dari \(A\) sebagai Q, R = QR(A).
      🔗
      🔗
    4. perintah demean(v), yang mengembalikan vektor terpusat \(\widetilde{\vvec}\text{.}\)
      🔗
      🔗
    🔗
    Kita ingin menentukan fungsi linear
    \begin{equation*} \beta_0 + \beta_1w + \beta_2h + \beta_3a + \beta_4r + \beta_5n = BFI \end{equation*}
    yang paling cocok dengan data.
    🔗
    Gunakan titik data pertama untuk menulis persamaan bagi parameter \(\beta_0,\beta_1,\ldots,\beta_5\text{.}\)
    🔗
    🔗
  4. Jelaskan sistem linear \(A\xvec = \bvec\) untuk parameter tersebut. Secara lebih khusus, jelaskan bagaimana matriks \(A\) dan vektor \(\bvec\) dibentuk.
    🔗
    🔗
  5. Bentuk matriks \(A\) dan tentukan faktorisasi \(QR\)-nya dalam sel di bawah ini.
    🔗
    🔗
  6. Tentukan solusi hampiran kuadrat terkecil \(\xhat\) dengan menyelesaikan persamaan \(R\xhat = Q^T\bvec\text{.}\) Anda dapat menggunakan N(xhat) untuk menampilkan hampiran desimal vektor tersebut. Berapakah parameter \(\beta_0,\beta_1,\ldots,\beta_5\) yang paling cocok dengan data?
    🔗
    🔗
  7. Tentukan koefisien determinasi \(R^2\) untuk parameter Anda. Apa maknanya bagi kualitas kecocokan tersebut?
    🔗
    🔗
  8. Misalkan ukuran seseorang adalah: berat badan 190, tinggi badan 70, lingkar perut 90, lingkar pergelangan tangan 18, dan lingkar leher 35. Perkirakan \(BFI\) orang tersebut.
    🔗
    🔗
🔗
🔗
dalam konteks